این پایان نمه در سطح کارشناسی ارشد بوده و معادلات ترکیبی دوتایی را مورد حل و بررسی قرارد داده است که هدف آن ترکیب معادلات و به دست آوردن معادلات جدید می باشد.

بنا بر نتیجه اساسی جبر هر چندجمله ای غیر ثابت و از درجه n ; دقیقا دارای n ریشه (نه لزوما برابر ) می باشد . این قضیه فقط وجودی است به عبارت دیگر اطلاعاتی در خصوص مکان ریشه ها بیان نمی کند ; در این پروژه تلاش می شود ریشه های چندجمله ایهای حقیقی و مختلط ;همچنین سریهای توانی با ضرایب حقیقی و مختلط مورد بررسی و مطالعه قرار بگیرد.

در این پایانامه ما پایداری هایرز-اولام-راسیاس از مشتقها روی جبرهای باناخ وc^{*} جبرهارا مورد بررسی قرار می دهیم.

قضایای نقطه ی ثابت دوتایی

با توجه به کاربرد فراوان دنباله فیبوناچی در علوم مختلف از جمله ریاضیات،فیزیک و... در این پایان نامه ابتدا به بررسی اعداد فیبوناچی،لوکاس و روابط آن ها با نسبت طلایی می پردازیم، سپس با توجه به کاربرد ماتریس ها، چندجمله ای ها و دنباله های ترایبوناچی ویزگی هایی از دنباله های تعمیم یافته مرتبط با فیبوناچی تحلیل و بررسی خواهند شد.این نظریه ها برای دنباله های فیبوناچی k -مرحله ای توسعه و سرانجام کاربردهایی از مطالب بالا را بررسی می کنیم.

مبحث معادلات تابعی یک شاخه از ریاضیات است که پیدایش آن تقریباً به زمان تعریف تابع بر می گردد. در سال های 1747 و 1750، دالامبر سه مقاله چاپ کرد که آن ها آغاز کار روی معادلات تابعی بودند، اما اولین رشد معنی دار در به نظم در آوردن معادلات تابعی توسط مسئله ی قاعده متوازی الاضلاع نیروها ایجاد شد. ریاضیدان های مشهوری از جمله آبل، اویلر، پکسیدر، پواسون، دالامبر، فرشه، کوشی، کولموگوروف، گاوس و ینسن معادلات تابعی را، به خاطر سادگی ظاهری و ماهیت هماهنگ، مورد مطالعه قرار داده اند. در سال 1940، مسئله تقریب یا پایداری اولام معادلات تابعی با بیان این سوال که « اگر یک معادله تابعی معین را با یک نامعادله تابعی جای گزین کنیم، آن گاه تحت چه شرایطی می توان گفت که حل های نامعادله به حل های معادله نزدیک هستند» مرتبط با همریختی های گروهی توسط اولام مطرح شد. یک سال بعد، این سوال توسط هایرز برای نگاشت های جمعی در فضاهای باناخ پاسخ داده شد، ولی لازم به ذکر است که اولین دست آورد راجع به مسئله ی فوق در کتاب پولیا و زگو، سال 1925، دیده شده است. این رساله شامل دو بخش اصلی است. بخش اول، به حل و بررسی برخی از معادلات تابعی می پردازد. بخش دوم، به مسئله ی تقریب اولام معادلات تابعی مختلف، با دو روش مستقیم و نقطه ثابت، اختصاص یافته است. واژه های کلیدی: حل تقریبی، حل دقیق، روش مستقیم، روش نقطه ثابت، فضای 2- نرم دار، فضای ?- نرم دار، فضای ناارشمیدسی، معادله تابعی فرشه، معادله تابعی کوشی- ینسن، معادله تابعی مربعی، معادله تابعی مکعبی، میدان p-یی، نگاشت چند جمعی، نگاشت تک جمله ای، نگاشت همگن از درجه ?، c*-جبر، c*-جبر لی، (?,?,?)-مشتق.

بررسی شرایط وجودی و یکتایی نقطه ثابت یک نگاشت رده ایی از مسائل آنالیز غیر خطی است که کاربردهای فراوانی در شاخه های ریاضی کاربردی نظیر، معادلات انتگرالی، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، معادلات دیفرانسیل معمولی، نظریه بازی و ... دارند. از این رو ارائه و تعریف نگاشت های انقباض پذیر با شرایط انقباضی ضعیف بسیار حائز اهمیت می باشند و می توانند به تعریف رده جدیدی از معادلات انتگرالی یا معادلات دیفرانسیلی منجر شوند. در این رساله به ارائه توسیع هایی از قضیه نقطه ثابت باناخ برای توابع مجموعه مقدار و توابع تک مقداری می پردازیم و با استفاده از شرایط انقباضی و روش های تکراری، وجود جواب منحصر به فرد را برای رده ایی از معادلات انتگرالی ولترا با هسته غیر خطی نشان می دهیم.

در این رساله با استفاده از شرط انقباضی که توسط باناخ بیان شده است، وجود نقطه ی ثابت را بر روی فضاهای جی متریک و متریک مرتب جزئی مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین با برخی گراف های جهت دار و به طور همبند ضعیف نشان می دهیم که یک نگاشت پاتا جی انقباضی چه موقع یک عملگر پیکارد است. در پایان به عنوان کاربردی از این قضایا نشان می دهیم که عملگر برنستین یک عملگر پیکارد ضغیف است.

اگر خانواده تمام توابعی مانند(f(z که در دایره واحد تحلیلی،تک ارز،0 =(f(z و 1= (f(z را با s نمایش دهیم آنگاه خانواده s دارای خواص و کاربردهای منحصربه فردی می باشد. در این پایان نامه برای شروع ، کرانهایی برای نرم اعضای s و مشتق آنها حاصل شده است . در ادامه با معرفی زیر کلاسهایی از خانواده s مانند توابع ستاره گون ، ستاره گون از مرتبه a ،محدب ، محدب از مرتبه a،ستاره گون قوی ، ستاره گون قوی از مرتبه a، محدب قوی ، محدب قوی از مرتبه a، و وابسته فرعی تلاش میشود تا خواص و روابط بین این زیر کلاسها مورد مطالعه و بررسی قرار گیرد.

در این رساله ابتدا قضیه ی پایداری هایرز-اولام معادله تابعی فیبوناچی را بیان می کنیم. سپس چند قضیه ی نگاشت های تقریباً جمعی را روی فضاهای 2-باناخ و نتایج مرتبط با آن بررسی می نماییم. در ادامه چند قضیه ی همریختی های تقریبی را روی 2-جبرهای باناخ ناارشمیدسی اثبات می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا تعدادی از تعاریف و قضایای مقدماتی نقطه ثابت را بیان می کنیم. در ادامه فضای مدولار و تعدادی از ویژگی های این فضا را معرفی و سپس قضایای نقطه ثابت را برای نگاشت های شبه انقباضی و انقباضی ضعیف در این فضا بیان و ثابت می کنیم و کاربردی از این قضایای را در معادلات انتگرال ارائه می دهیم. هم چنین ضمن معرفی فضای متریک مدولار، قضایای نقطه ثابت را برای نگاشت های انقباضی و انقباضی ضعیف در این فضا بیان و ثابت می کنیم.

در این پایان نامه به بیان و بررسی قضیه نقطه ثابت باناخ بر روی نگاشت انقباضی از نوع پاتا می پردازیم وکاربردی از این قضیه را در اثبات وجود جواب معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال بیان می کنیم. همچنین پایداری برخی از معادلات انتگرال از جمله معادله انتگرال از نوع ولترا را اثبات می کنیم.

‏هدف اصلی این رساله بیان و اثبات تعمیم هایی از قضیه نقطه ثابت باناخ برای توابع و توابع مجموعه مقدار است. کاربرد هایی از این قضایا در اثبات وجود و منحصر به فردی جواب معادلات دیفرانسیل‏، معادلات انتگرال و معادلات ماتریسی آورده شده است. همچنین ‏نسخه ای از اصل انقباض باناخ در مجموعه های متعامد ثابت شده است.

در این پایان نامه، با استفاده از مفهوم وابسته ی فرعی، رده های خاصی از توابع تحلیلی را معرفی و کران قدرمطلق این توابع بررسی شده اند. سپس شرایط کافی برای تک ارز بودن عملگرهای انتگرالی و سرانجام پایداری هایرز- اولام معادلات چندجمله ای ها، سریهای توانی و تعمیم معادله ی تابعی فیبونانچی مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته است.

?? هدف اصلی در این پایان نامه پرداختن به پایداری هایرز-اولام-راسیاس معادلات ترکیبی شرطی روی فضای باناخ ناارشمیدسی و ضربگرهای متعامد روی جبر باناخ ناارشمیدسی است. همچنین حل وپایداری معادله شبه فیبوناچی(4-f(x) = f(x??)+f(x روی فضای باناخ ناارمیدسی را اثبات می کنیم.سازماندهی این پایان نامه به صورت زیر می باشد ?? فصل اول تعاریف مفاهیم و قضایای اولیه پایداری معادلات تابعی که در فصل های بعدنقش به سزایی دارند، بیان میشوند. در فصل دوم ، تعمیم پایداری هایرز-اولام-راسیاس برای معادلات تابعی جمعی و درجه دوم روی فضای ناارشمیدسی 11 ارائه می شود. در فصل سوم، با استفاده از روش نقطه ثابت پایداری معادله تابعی جمعی-درجه دوم شرطی روی فضای باناخ ناارشمیدسی را بررسی می کنیم. در فصل چهارم، با استفاده از روشنقطه ثابت پایداری و ابر پایداری ضربگرهای متعامد روی جبرهای باناخ ناارشمیدسی را بررسی می کنیم. در فصل پنجم، حل عمومی و پایداری معادله تابعی شبه فیبوناچی را در فضای باناخ ناارشمیدسی بررسی می کنیم.

هدف از این پژوهش، بررسی میانگین پذیری ضعیف برخی جبرهای باناخ است. در ابتدا، نشان می دهیم که اگر a یک جبر باناخ باشد، که واحد تقریبی کراندار چپ داشته و همچنین یک ایده آل چپ در **a باشد، آن گاه برای هر 2m+1 ، m >1-میانگین پذیری ضعیف a از میانگین پذیری ضعیف a نتیجه می شود. در ادامه، به بررسی موضوعات مرتبط با میانگین پذیری و میانگین پذیری ضعیف مدول های توسعه یافته از جبرهای باناخ می پردازیم. سپس، میانگین پذیری ضعیف سگال جبر (sp(g را بررسی خواهیم کرد که در آن g یک گروه آبلی و فشرده موضعی و (?,p?[? می باشد. مفهوم میانگین پذیری ضعیف ایده آلی را با میانگین پذیری ضعیف جبرهای باناخ مرتبط می کنیم. نشان می دهیم که نوعی برلینگ جبر موجود است که میانگین پذیر ضعیف و 2-میانگین پذیر ضعیف می باشد.

در این پایان نامه حل و پایداری معادلات تابعی فیبوناچی و شبه فیبوناچی روی فضاهای باناخ ناارشمیدسی بررسی می کنیم. به علاوه پایداری رابطه های بازگشتی غیرخطی روی فضای متریک و ناپایداری رابطه ی بازگشتی خطی مرتبه اول روی فضای باناخ را اثبات می کنیم .

هدف در این پژوهش، ارائه یک رابطه جدید و کاربردهایی از آن است. در این پژوهش به ابر پایداری و پایداری هایرز‎ -اولام‎‎ -راسیاس‎ برای همریختی های سه تایی ژوردان و مشتق های سه تایی ژودان روی جبر های باناخ‎‎ سه تایی و ‎c*‎جبرهای سه تایی می پردازیم.

در این پژوهش به ابر پایداری و پایداری هایرز-اولام-راسیاس m-مشتق های لی سه تایی روی جبر های سه تایی لی و *-m-همریختی های ژوردان متعامد روی *c جبرهای باناخ و ابر پایداری و پایداری هایرز-اولام تعمیم یافته دو همریختی ها و دو مشتق های سه تایی ژودان روی جبرهای سه تایی لی می پردازیم.

نظریه فضاهای نُــرمدار نقش محوری را در بسیاری از زمینه های ریاضیات دارد. در دهه اول قرن بیستم، فضاهای هیلبرت از این جهت مورد مطالعه قرار گرفتند که به عنوان ابزار بسیار ضروری در نظریه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، مکانیک کوانتومی، تجزیه و تحلیل فوریه (که شامل برنامه های کاربردی در پردازش سیگنال و انتقال حرارت) و نظریه ارگودیک که زیر بنای ریاضی مطالعه ترمودینامیک هستند، بکار می روند. در این رساله، تعریف جامع و بهتری از فضای دو - ضرب داخلی ارائه می دهیم که هم تمام تعاریف قبلی را شامل می شود و همچنین از نظر هندسی کاربردی تر است. از جمله مزایای این تعریف جدید‏، ارائه مفهوم فضاهای دو - هیلبرت می باشد که روی آن تعامد را تعریف کرده و سپس به بیان و اثبات قضیه نمایش ریس می پردازیم. در ادامه، نتایجی برای زیر فضاهای با بُـعد متناهی از یک فضای یکنواخت محدب خطی بدست می آوریم. امیدواریم که مفهوم فضاهای دو-هیلبرت بتواند در آینده، کاربردهای جدیدی در فیزیک‏، مکانیک (به خصوص در نظریه کوانتوم) و مهندسی داشته باشد.

در این رساله مفهوم تابع ‎$eta$-‎محدب به عنوان تعمیم تابع محدب ارائه و به صورت پایه ای خواص آن مورد بررسی قرار می گیرد. با ارائه مثال هایی از توابع ‎$eta$-‎محدب نشان داده می شود که هر تابع محدب خود یک تابع ‎$eta$-‎محدب است و در مقابل توابع ‎$eta$-‎محدبی وجود دارند که محدب نیستند. شاخص بندی توابع ‎$eta$-‎محدب و یافتن شرایطی برای تابع که معادل با ‎$eta$-‎محدب بودن تابع باشد از دیگر موضوعاتی است که در این رساله مورد تحقیق قرار گرفته است. نشان داده می شود که تحت شرایط خاص برای تابع ‎$eta$‎ یک تابع ‎$eta$-‎محدب بطور مطلق پیوسته و در نتیجه پیوسته است. بررسی دو نامساوی معروف هرمیت-هادامارد و نامساوی ینسن وابسته به توابع ‎$eta$-‎محدب از دیگر موارد انجام شده در این رساله است .‎ به عنوان تعمیم هایی از توابع ‎$eta$-‎محدب، دو مفهوم تابع ‎$eta_b$-‎محدب و تابع ‎$eta_e$-‎محدب را معرفی کرده و به بررسی خواص آنها می پردازیم. نشان می دهیم با فرض مشتق پذیر بودن یک تابع ‎$eta$-‎محدب، نامساوی های مختلفی را می توان بدست می آورد که معروفترین نامساوی از این دست نامساوی اسلاتر مخصوص توابع ‎$eta$-‎محدب است. ‎ به عنوان تعمیمی از نامساوی هرمیت-هادامارد به معرفی و اثبات نامساوی هرمیت-هادامارد-فجر مربوط به توابع ‎$eta$-‎محدب پرداخته می شود و چند نتیجه جالب از این قضیه بیان می شود‎.‎ مسئله تخمین تفاضل بین بخش میانی با بخش راست نامساوی هرمیت-هادامارد-فجر مربوط به توابع ‎$eta$-‎محدب و مسئله تخمین تفاضل بین بخش های میانی و چپ نامساوی هرمیت-هادامارد-فجر مربوط به توابع ‎$eta$-‎محدب از مهمترین بخشهای این رساله است. ‎ اثبات نامساوی هایی از نوع نامساوی های فجر که شامل انتگرال گیری وزنی هستند و همچنین بیان و اثبات نامساوی های ذوزنقه ای و نقطه میانی که در بردارنده نتایج جالبی مربوط به توابع ‎$eta$-‎محدب مشتق پذیر است در این رساله انجام شده است‎.‎ در نهایت طرح مسئله برنامه ریزی مختص توابع ‎$eta$-‎محدب و ارائه چند نتیجه و قضیه تعمیم یافته در این زمینه، پایان بخش مطالب ارائه شده در این رساله در مورد توابع ‎$eta$-‎محدب خواهد بود‎.

این مدل ها را nsdf و همچنین گسسته سازی sir و مدل تغییر یافته sir در این پایان نامه مدل مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. ابتدا مدل ها را به صورت یک دستگاه معادلات دیفرانسیل بیان می کنیم، سپس خواص جواب های آنها را تجزیه و تحلیل می کنیم. نقاط تعادل هر کدام از این مدل ها بدست آورده و در مورد پایداری مجانبی و پایداری سرتاسری و سایر خواص این نقاط بحث و بررسی می کنیم.

هدف اصلی این رساله، بررسی نامساوی های انتگرالی در چارچوب اندازه های یکنوا و انتگرال های غیرخطی است. برای این منظور، در ابتدا شکل جدید نامساوی هرمیت-هادامارد مربوط به توابع مقعر و توابع محدب حاصل ضربی را به دست می آوریم. سپس نامساوی های از نوع جنسن برای توابع مقعر را در حوزه اندازه های یکنوا بررسی می کنیم. در ادامه نامساوی جدیدی از نوع ساندور برای توابع مقعر و نامساوی جدیدی از نوع هادامارد برای توابع $r$-محدب به دست می آوریم. در پایان، نامساوی های محدب و شبه محدب را در حالت تقریبی مورد مطالعه قرار می دهیم.