در این پایان نامه، روش های جدیدی از نوع عملگری را برای حل دسته ای از معادله های دیفرانسیل جزئی نوع تحول که مربوط به مسئله های شامل عملگرهای دیفرانسیل کسری هستند به کار می بریم.همچنین از این روش ها برای پرداختن به چند دسته از چندجمله ایها و توابع خاص مانند چندجمله ایهای هرمیت و لاگر معمولی و تعمیم یافته استفاده می کنیم.

تعریف تبدیل - l2 و رابطه آن با تبدیل لاپلاس، اثبات یک فرمول معکوس مختلط برای تبدیل - l2با کاربردهای آن. بیان قضیه افروز ( حاصل ضرب تعمیم یافته ) وکاربرد آن در حل معادلات انتگرال منفرد- فاکس. ارائه روش جدید برای حل معادلات دیفرانسیل بسل و ایری با استفاده از تبدیل –l2 . همچنین اثبات اتحادها و روابط نوع پارسوال برای تبدیل–l2 و کاربرد آنها در معین کردن انتگرالهای نامتناهی شامل توابع خاص.

در مطالعات اخیر، مشتقها و انتگرالهای از مرتبه کسری کاربردهای بسیاری در مکانیک و فیزیک، از جمله در دینامیک آشفتگی، مکانیک کوانتومی و فیزیک پلاسما پیدا کرده اند. تلاشهای جالبی برای دادن مفهوم فیزیکی از مشتق کسری توسط "podlubny" انجام گرفته است. یک هدف تحقیقات در زمینه حساب کسری، تنظیم اصول تغییراتی کسری بود."agrawal" معادله اویلر - لاگرانژ کسری را بر حسب مشتقات کسری ریمان - لیوویل نمایش داده است. در سالهای اخیر اصول تغییراتی کسری به مسائل کنترل و مسائل فیزیکی توسعه داده شده و به کار برده شده اند. تحقیقات روی این مطالب مبتنی بر موارد زیادی از جایگزینی مشتقات کلاسیک به جای مشتقات کسری، مخصوصا مشتقات کسری کاپوتو و ریمان – لیوویل هستند. مطلب دیگر، به کار بستن خاصیتهای حساب کسری برای مشتقات کسری و انتگرال کسری، که تعمیمی از مشابه کلاسیکش برای هر مرتبه هستند، و رسیدن به یک سری از معادلات اویلر – لاگرانژ و معادلات همیلتونی و معادلات همیلتون – ژاکوبی می باشد. در این طرح، نشان داده ایم که حساب تغییراتی کسری می تواند به عنوان تعمیمی از اصول حساب تغییراتی فرمول بندی شود.

در این پایان نامه تبدیل لاگر و ویژگیهای اساسی آن را تعریف کردیم .در آن نشان داده شده است که تبدیل لاگر می توا ند بطور موثری برای حل مساله رسانش گرمایی در یک سیم نیم متناهی با جریان گرمایی متغیر در حضور یک منبع گرمایی در حالت تعادل استفاده می شود. در این پایان نامه ، قضایایی از تبدیل لاپلاس چند بعدی و تعمیم آنها و بعضی از کاربردهای آنها را بیان و اثبات می شوند. همچنین کاربرد تبدیل لاپلاس دوبعدی در حل مسائل مربوط به چند جمله ای های لاگر را نشان دادیم . تبدیل لاپلاس دوبعدی در حل معادلات دیفرانسیل جزیی مفید است .

در این رساله برای اولین بار حساب عملگری تبدیل l2 را مورد بررسی قرار می دهیم و با بیان قضایایی همچون قضیه تلفیق‎،‎ قضیه فرمول انتگرال معکوس و قضیه حاصلضرب تعمیم یافته از کاربرد های آن در حل معادلات انتگرال منفرد و معادلات با مشتقات کسری جزئی استفاده می کنیم‎.‎ در ادامه نشان می دهیم که چگونه این تبدیل می تواند به عنوان تبدیل مکملی برای تبدیل لاپلاس در حل مسایل مقدار مرزی که توابع به کار رفته در آن لاپلاس پذیر نیستند مورد استفاده قرار گیرد. در فصل دوم و سوم با معرفی تبدیل la یک بعدی و دو بعدی برای تابع یکنوا‎ a (به عنوان تعمیمی از تبدیل لاپلاس‎،‎ تبدیل ملین و تبدیل l2‎ ) و به کار گیری حساب عملگری این تبدیل با تعمیم قضایایی همانند قضیه تلفیق‎،‎ قضیه فرمول انتگرال معکوس و قضیه حاصلضرب تعمیم یافته ‎،‎ تکنیک جدید و مفیدی را برای حل مسایل مقدار مرزی با مشتقات کسری جزئی و معادلات انتگرال منفرد به کار می گیریم . بررسی برخی مسائل مقدار مرزی با مشتقات کسری به کار رفته در علوم کاربردی (مانند معادله آشفتگی ‎،‎ معادله پخش در فراکتالها‎,‎ معادله بلک شولز و .....) از جمله مواردی است که در فصل چهارم با استفاده از تبدیل la ‎یک بعدی و دو بعدی مورد بررسی قرار می دهیم. در انتها, در فصل پنجم با معرفی روش عددی مفید با خطای بسیار کم و همگرایی سریع برای تبدیل ‎ l2 یک بعدی و دو بعدی مبتنی بر سری فوریه‎،‎ امکان محاسبه معکوس توابع به کار رفته در علوم ریاضی ارائه شده است به ویژه توابعی با رفتار میرا در نزدیکی نقطه صفر که لاپلاس پذیر نیستند. ‎

معادله دیفیوژن - موج کسری را با مراتب مختلف روی دامنه فضایی کراندار و بی کران بررسی کردیم. جوابهایی از مسائل کشی و علامت دهی در جملات یک سری وانتگرال نشان داده شده است. معادلات رسانش گرما و موج کلاسیک در حالت محدود شده بدست می آید و همچنین معادله گرما (کسری - زمان ) را با استفاده از تبدیل انتگرال حل کردیم .

این پایان نامه شامل چهار فصل است. در فصل اول، به معرفی تبدیل لاپلاس یک بعدی و معکوس آن و برخی از خواص آنها و محاسبه ی تبدیل لاپلاس برخی از توابع پرداخته ایم. در فصل دوم، به تعریف تبدیل لاپلاس دو بعدی و معکوس آن پرداخته ایم. همچنین بعضی از خواص تبدیلات لاپلاس دو بعدی و معکوس آن و قضایایی در ارتباط با آنها را بیان کرده ایم و تبدیلات لاپلاس دو بعدی برخی از توابع را نیز بدست آورده ایم وهمچنین کاربرد هایی از تبدیل لاپلاس دو بعدی را بیان و مثالهایی از آنرا در ریاضی و فیزیک ذکر کرده ایم.در فصل سوم، معادلات موج و گرمای نا همگن با ضرایب غیر ثابت به صورت تلفیق دوبعدی را با استفاده از تبدیل لاپلاس دوبعدی حل کرده ایم.در فصل چهارم نیز یک معادله ی گرمای کسری زمان ناهمگن را با استفاده ازتبدیل لاپلاس یک بعدی حل کرده ایم.

روش های مختلفی برای حَل معادلات دیفیوژن کسری ارایه شده است.همچون روش تبدیلات-روش تکرار متغیر وروش تجزیه ادومین

در این پایان نامه پاسخی براساس جملاتی از تابع رایت، برای تعمیم یافته ی معادله ی دیفیوژن کسری کشی با استفاده از تبدیل انتگرالی la ارائه می شود. همچنین برای تعمیم معادله ی آشفتگی کسری کشی با توزیع گسسته یا پیوسته با مشتق کسری زمان با بکار بردن تبدیل انتگرالی la پاسخی حاصل شده است. بنابراین در فصل اول به معرفی تبدیلات انتگرالی لاپلاس و l2 پرداخته می شود. در فصل دوم توابع خاص از جمله تابع های رایت و h- فوکس بررسی می شوند. در فصل سوم برخی معادلات انتگرال منفرد حل می شوند که در جواب آنها تابعهای خاص دیده می شوند و در فصل آخر مسایلی از نوع کشی حل شده اند

در سالهای اخیر بسیاری از نویسندگان به حل معادلات با استفاده از مشتقات کسری پرداخته اند در این پایان نامه سیستم معادلات با مشتقات کسری جزیی را حل می کنیم معادلات انتگرال را مورد بررسی قرار می دهیم

در فصل اول از این رساله، کاربرد جالبی از تبدیل لاپلاس را در محاسبه انتگرال ها بیان می کنیم. قضایای مقدماتی در بخش دوم از این فصل اثبات گردیده اند. همچنین در این فصل، وارون تبدیل لاپلاس برخی از توابع با استفاده از قضایایی همچون پُست – ویدر، تیچ مارچ و . . . و با استفاده از نمایش انتگرالی محاسبه می شوند. در ادامه، جواب برخی از معادلات انتگرال منفرد از مرتبه کسری را پیدا می کنیم و آنگاه، تبدیل اشتیلیس و وارون های مختلف آن و حل معادلات انتگرال منفرد با استفاده از وارون تبدیل اشتیلیس را بررسی می کنیم. در فصل دوم، قضیه پست – ویدر در دو بعد و تبدیل لاپلاس دو بعدی و کاربردهای آنها در محاسبه انتگرال ها مورد بررسی قرار گرفته است. قضایای این فصل، تعمیمی از قضایای فصل اول می باشد. در فصل سوم، جواب تحلیلی برخی از معادلات دیفرانسیل معمولی از مرتبه کسری و معادلات تاخیری کسری را جستجو کرده ایم. دستگاه های معادلات دیفرانسیل کسری هم در این فصل مورد مطالعه قرار گرفته اند. چندین روش برای حل معادلات خطی کسری در مقالات مختلف پیشنهاد شده است که از بین آنها تبدیل لاپلاس از اهمیت بیشتری برخوردار است. هدف این فصل، استفاده از تبدیل لاپلاس برای نمایش جواب دستگاه های دینامیکی کسری است. همان طور که می دانیم، دستگاه های دینامیکی معمولی، کاربردهای فراوانی در علوم مهندسی و فیزیک دارند. همچنین توجیه برخی از این دستگاه ها و معادلات، با توجه به قوانین فیزیکی موجود امکان پذیر است. در این فصل، هدف، توضیح معادلات و دستگاه های معمولی در حالت کسری و مقایسه جواب دقیق در حالت کسری با جواب دقیق در حالت معمولی با استفاده از نمودار جواب می باشد. معادلات خطی کسری به دلایل زیادی مورد توجه هستند، زیرا بسیاری از پدیده ها در طبیعت به صورت معادلات خطی فرمول بندی می شوند. از جمله معادلات خطی کسری که در این فصل در نظر گرفته شده، معادله ارتعاش نخ و معادله فنر می باشد. یکی از نکات برجسته در این فصل، حل معادلات کسری تاخیری می باشد. در فصل چهارم، جواب دقیق معادلات با مشتقات جزیی کسری از قبیل معادله موج و گرما و شارش را بر حسب تابع میتگ – لفلر و تابع رایت به دست آورده ایم. همچنین در یکی از قسمت های فصل چهارم، معادلاتی را با استفاده از قضایای فصل اول از جمله قضیه تیچ مارچ حل کرده ایم. از نکات برجسته در این فصل، به کار بستن هم زمان تبدیلات فوریه و لاپلاس برای به دست آوردن جواب تحلیلی معادلات جزیی کسری می باشد. هر جا لازم بوده، با ارائه نمودارها، جواب ها را نمایش داده ایم.

هدف از این تحقیق، حل صورت های مختلفی از معادلات انتگرالی فردهولم و ولترا و همچنین معادلات با مشتقات جزئی تعمیم یافته موج و حرارت از مرتبه کسری با استفاده از تبدیلات انتگرالی می باشد. در فصول مختلف به تفصیل بررسی شده که برای حل fpde های مختلف با چه شرایطی از کدام تبدیل انتگرالی استفاده می شود.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.