در این پایان نامه مثال هایی از فضاهای یک-بعدی ارایه می دهیم و به سوالاتی می پردازیم که در مطالعه گروه های بنیادی این فضاها ایجاد می شوند. البته برخی از نتایج را برای فضاهای کلی تر نیز اثبات خواهیم کرد. برای نمونه اثبات می کنیم گروه بنیادی یک فضای متری ، همبند، همبند مسیری موضعی، یک-بعدی و جدایی پذیر، آزاد است اگر و تنها اگر شمارا باشد و اگر و تنها اگر دارای پوشش جهانی باشد. همچنین اثبات می کنیم برای فضای متری، همبند مسیری موضعی و جدایی پذیر موارد زیر برقرار هستند. هر گروه خارج قسمتی جابجایی آزاد از ( ) ، شمارا است و در نتیجه هر گروه خارج قسمتی آزاد از ( ) از مرتبه ی شمارا است . اگر فشرده باشد، هر گروه خارج قسمتی جابجایی از ( ) متناهی-تولید شده است، در نتیجه هر گروه خارج قسمتی آزاد از ( ) از مرتبه ی متناهی است. اگر ( ) جابجایی آزاد باشد، آن گاه دارای یک پوشش جهانی است.

اگر (?:m?r^(n+p یک نشاننده از خمینه ی فشرده و n بعدی m به فضای اقلیدسی (n+p ) بعدی باشد ، m را می توان زیر خمینه ی r^(n+p) محسوب کرد. در بین این زیر خمینه ها ، تعدادی روی ابر کره ی (n+p-1) بعدی واقع می شوند که به طور طبیعی نتایج موجود برای زیر خمینه های کروی برای آن ها صادق است. بنابراین یک مسئله جالب توجه در هندسه ، به دست آوردن شرایطی است که تحت آن این کلاس یعنی زیرخمینه های کروی مشخص شوند. در این پایان نامه یک شرط لازم وکافی بر اساس مولفه مماسی نگاشت نشا ننده و یک تابع حقیقی بر حسب مولفه قائم آن ارائه می شود که تحت آن m زیر خمینه ای کروی است. به علاوه یک دسته بندی برای زیر خمینه های اینشتین فشرده با برش مماسی نافی بیان خواهد شد. همچنین ابر رویه ها ی فشرده با انحنای عددی ثابت که برش قائم نگاشت نشاننده آن ها یک برش نافی است ، بر اساس زیر خمینه ی کروی بودن یا شرطی بر اساس اولین مقدار ویژه ی خود دسته بندی می شوند. د رنهایت برای یک زیر خمینه که مقدار کمینه ی انحنای ریچی آن تعیین شده است، شرطی بیان می شودکه بر طبق آن زیر خمینه با کره ای ایزومتر خواهد بود که انحنای آن متناسب با مقدار کمینه ی بیان شده است. کلمات کلیدی :زیر خمینه های کروی، بردار انحنای متوسط، انحنای ریچی، برش نافی، اولین مقدار ویژه از عملگر لاپلاسین.

هدف دیگر وجود یک طوقه اریب هموار با انحنای غیر صفر است که از سطوح لوله ای شکل به دست می آید. به همین منظور سطوح لوله ای مرتبط به تعداد کافی دارای زوج های نقطه ای هستند که مقابل هم قرار دارند

هدف اصلی در این پایان نامه بیان این مطلب است که یک خمینه انیشتین فشرده از بعد بزرگ تر یا مساوی چهار که دارای انحنای همسانگرد نامنفی است، باید موضعاً متقارن باشد. در ابتدا نشان داده می شود که یک خمینه انیشتین کیلری با انحنای همسانگرد نامنفی دارای انحنای مقطعی هولومورف ثابت است. سپس با تمرکز بر روی خمینه های چهارگانی- کیلری و با توجه به تجزیه r=r1+kr0 برای تانسور انحنای این خمینه ها، دو مطلب زیر ثابت می شود: (1) اگر برای هر نقطه p درون خمینه m و برای هر بردار x درون فضای مماس بر خمینه در نقطه p داشته باشیم:r1(x,jx,x,jx) < k در اینصورت r1 همه جا صفر است. (2) اگر (m,g) دارای انحنای همسانگرد نامنفی باشد آنگاه برای هر نقطه p درون خمینه m و برای هر بردار x درون فضای مماس بر خمینه در نقطه p داریم: r1(x,jx,x,jx) < k . سپس با کنار هم قرار دادن دو مطلب قبل نتیجه می گیریم اگر (m,g) دارای انحنای همسانگرد نامنفی باشد آنگاه r1 همه جا صفر است. در ادامه نشان می دهیم یک خمینه انیشتین فشرده و همبند ساده از بعد بزرگتر یا مساوی چهار که دارای انحنای همسانگرد نامنفی بوده و گروه هولونومی آن so(n) باشد، باید دارای انحنای مقطعی ثابت باشد. با استفاده از این نکته و قضیه طبقه بندی برگر نشان می دهیم که یک خمینه انیشتین فشرده و همبند ساده از بعد بزرگتر یا مساوی چهار که دارای انحنای همسانگرد نامنفی و در ضمن تحویل ناپذیر باشد، با یک فضای متقارن ایزومتر است. سرانجام با استفاده از نتایج به دست آمده نشان می دهیم که یک خمینه انیشتین فشرده از بعد بزرگتر یا مساوی چهار که دارای انحنای همسانگرد نامنفی است، باید موضعاً متقارن باشد.

هدف این پایان نامه بررسی رفتار ? تحت هموتوپی منظم است که ? تابعک انحنای ژئودزی مطلق کلی روی غوطهوری ها از دایره به یک رویه ریمان است. همچنین بزرگترین کران پائینی از بیشترین مقدار تابعک در طی هموتوپی بررسی می شود. در ابتدا ? برای غوطه وری های از دایره به یک ریمان، با اندکی تغییر شکل کاهش داده می شود، سپس هر غوطه وری با pgc-خم ها با حفظ ? تقریب زده و با pgc-هموتوپی ها بین چنین خم هایی، آن ها به حالت استاندارد تغییر شکل داده می شوند. آنگاه هر pgc-خم، هموارسازی می شود و سرانجام پس از فراهم آوردن مقدمات لازم به اثبات قضایای اصلی این پایان نامه می پردازیم.

اساسی ترین مثال از زیر خمینه های با انحنای مقطعی از پایین کراندار ابررویه های با انحنای مقطعی مثبت در فضای اقلیدسی هستند. این ابررویه ها موضعا محدب هستند به این معنی که هر نقطه از آنها یک همسایگی دارد که به طور کامل در یک طرف صفحه مماس در آن نقطه واقع می شود. در این پایان نامه در ابتدا ساختار یک خم پرشده در فضای اقلیدسی 3- بعدی شرح داده می شود. سپس فضاهای الکساندروف تعریف می شوند و در چارچوب این فضاها قضیه ی تناهی که بیان می کند یک زیر خمینه ی هموار با نقص بعد 2 در فضای اقلیدسی n- بعدی مرز تعداد متناهی از زیر خمینه های به طور مثبت خمیده شده واقع می شود، ثابت می گردد. همچنین در ادامه با استفاده از نتایج قدیمی قضیه گاوس بونه یعنی لم های کوهن وسن و لم هابر حالت قویتری از قضیه تناهی را ثابت می کنیم. در ادامه قضیه های معروف یعنی قضیه ی فشردگی گروموف و قضیه ی پایایی پرلمان بیان می گردند. با استفاده از این قضیه ها نشان می دهیم که بین فضاهای الکساندروف با انحنای از پایین کراندار و قضیه ی تناهی نوع توپولوژی برای زیر خمینه های ریمانی رابطه تنگاتنگی برقرار است. در انتها مفهوم پایان را برای یک زیر خمینه در فضای اقلیدسی را تعریف می کنیم. سپس با در نظر گرفتن یک خمینه ی ریمانی تام و نافشرده در فضای اقلیدسی نشان می دهیم که یک کران بالا برای تعداد پایان ها وجود دارد.

پایه گربنر برای اولین بار توسط بوخبرگر در سال 1965 معرفی شد. این مفهوم به عنوان یک ابزار محاسباتی قوی برای مطالعه ساختار ایده ال های چندجمله ای محسوب می شود. با توجه به شناخته شدن هرچه بیشتر کاربرد های پایه گربنر، افراد زیادی سعی در گسترش این نظریه کرده اند. تعریف اولیه این مفهوم روی حلقه های چندجمله ای با ضرایب روی میدان صورت گرفت. در سال 1978، ترینکس به تعمیم این نظریه روی حلقه های چندجمله ای با ضرایب روی یک حلقه نوتری پرداخت. همچنین افرادی مانند بوخبرگر، کندری-رودی و کاپور به مطالعه پایه گربنر روی حلقه اعداد صحیح پرداختند. نتیجه این مطالعات تعریف دو نوع پایه گربنر ضعیف و قوی روی حلقه ها بود. در این پایان نامه ابتدا مفهوم پایه گربنر ضعیف را روی حلقه های نوتری بررسی می کنیم. سپس به بیان پایه گربنر قوی روی برخی از حلقه های pid، دامنه های اقلیدسی و حلقه های گالوایی می پردازیم. در پایان، دو کاربرد پایه گربنر روی حلقه ها را در دو مسئله کاشی کاری و کدگشایی کدهای واگردان بیان می کنیم.

در این پایان نامه ابرویه های با انحنای مقطعی نامنفی در یک فضافرم حقیقی که دارای انحنای میانگین یا انحنای عددی ثابت هستند مطالعه می شوند. همچنین نقش انحناهای اصلی در دسته بندی ابررویه ها قابل مشاهده است. در این پایان نامه ابررویه هایی مورد بررسی قرار می گیرند که دارای دو انحنای اصلی متمایز هستند. در ادامه یک دسته بندی از یک استوانه ی کروی، حاصل ضرب دو کره و حاصلضرب ریمانی یک کره در یک فضای هذلولوی به دست میآوریم.

section{introduction} the concept of {sl cartan geometry} appeared at the beginning of the twentieth century, when {e}lie cartan was working on the so-called {sl equivalence problem}, the aim of which is to determine whether two given geometric structures can be mapped bijectively onto each other by some diffeomorphism. this problem can be considered in many different contexts, such as equivalences of submanifolds, of differential equations, of frames, of coframes and of other geometric structures. in the specific case of local real analytic hypersurfaces in $bbb c^2$, poincare (1907) initiated the study of the {sl cauchy-riemann} (cr for short) equivalence problem under biholomorphic transformations. later, in 1932, this problem was solved in an essentially complete way by cartan cite{cartan}. in general, cartan also developed appropriate concepts and showed that one can reformulate several,,---,,somewhat hard,,---,,initial equivalence questions ({em see}~cite{olver1}) in terms of equivalences of coframes. granted this, he devised an algorithm to decide whether two given manifolds $m_1$ and $m_2$ equipped with certain specific geometric structures encoded by means of coframes are equivalent. the main thrust is to construct two principal bundles ${cal g}_1$ and ${cal g}_2$ over $m_1$ and $m_2$ having the same structure group together with two coframes $omega^1:={omega_1^1,ldots,omega_1^n}$ on ${cal g}_1$ and $omega^2:={omega_2^1,ldots,omega_2^n}$ on ${cal g}_2$, such that $m_1$ and $m_2$ are equivalent if and only if there exists a diffeomorphism $phi:{cal g}_1 o {cal g}_2$ commuting with projections, which sends $omega^1$ to $omega^2$, i.e.: [ phi^ast(omega_2^i) = omega_1^i, scriptstyle{(i,=,1,,ldots,,n)}. ] this also motivated cartan to introduce new elegant geometries, that he called {sl espaces g{e}n{e}ralis{e}s} and that are nowadays defined as follows. egin{definition} label{cartanconnecdefini} let $g$ be a lie group with a closed subgroup $h$, and let $frak g$ and $frak h$ be the corresponding lie algebras. a {sl cartan geometry of type $(g,h)$} on a manifold $m$ is a principal $h$-bundle: [ pi:{cal g}longrightarrow m ] together with a $frak g$-valued $1$-form $omega$, called the corresponding {sl cartan connection}, on $cal g$ subjected to the following three conditions: smallskipegin{itemize} item[ extbf{(i)}] $omega_p:t_p{cal g}longrightarrowfrak g$ is an isomorphism at every point $pincal g$; smallskip item[ extbf{(ii)}] if $r_h(p):=ph$ is the right translation on $cal g$ by $hin h$, then for any such $h$: [ r^ast_homega={ m ad}(h^{-1})circomega; ] smallskipitem[ extbf{(iii)}] $omega(h^dag)={sf h}$ for every ${sf h}infrak h$, where: [ h^dag|_p := extstyle{frac{d}{dt}}ig|_0ig((r_{exp(t sf h)}(p)ig) ] is the left-invariant vector field on $cal g$ corresponding to $sf h$. end{itemize} oindent end{definition} underlying a cartan geometry, there always is a homogeneous space, namely $g/h$. in fact, among the cartan geometries of type $(g,h)$, the most symmetric one, called {sl klein geometry of type $(g,h)$}, arises when $m=g/h$, when $pi colon g ightarrow g/h$ is the projection onto left-cosets, and when $omega=omega_{mc} colon tg o frak g$ is the {sl maurer-cartan form} on $g$ ({em see} cite{sharpe}). generally, cartan geometries are a generalization of klein geometries and also, are a generalization of {sl riemannian geometries}. while the geometries of klein present perfect homogeneity and while the ones of riemann can be regarded as inhomogeneous types of euclidean geometry, cartan devised a broad synthesis between these two seemingly incompatible types of geometry. in general, with a cartan connection $omega$ as above, if we associate the vector field $widehat{x}:=omega^{-1}({sf x})$ on $cal g$ to an arbitrary element ${sf x}$ of $frak g$, then the infinitesimal version of condition extbf{(ii)} reads as: [ [widehat{x},widehat{y}] = widehat{[{sf x},{sf y}]_{frak g}}, ] whenever {sf y} belongs to $frak h$. but in the special case of klein geometries, this equality holds moreover for any arbitrary element $sf y$ of $frak g$. this difference motivates one to define the {sl curvature function}: [ kappa colon {cal g} longrightarrow { m hom} ig( lambda^2 (frak g/frak h),frak g ig) ] associated to the cartan connection $omega$ by: [ kappa_p({sf x},{sf y}) := omega_pig([widehat{x}, widehat{y}]ig)-[{sf x},{sf y}]_{frak g} {scriptstyle{(p,in,mathcal{g}, {sf x},,{sf y},in,frak {g/h})}}. ] in a way, the curvature function measures how far a cartan geometry is from its corresponding klein geometry. in particular, a cartan geometry is locally equivalent to its corresponding klein geometry if and only if its curvature function vanishes identically ({em see} cite{sharpe}). section{theoretical background} in this thesis, we aim to effectively build the cartan geometry of real hypersurfaces in $bbb c^2$. after cartan himself in 1932, several other mathematicians reconstructed and developed this geometry, especially, chern-moser cite{chernmoser} and tanaka cite{tanaka}, who presented some alternative methods which enable one to construct the cartan geometries in higher dimension. the powerful methods of tanaka have been used widely in the important class of so-called {sl parabolic geometries}, which are a specific, rich type of cartan geometries; {em see} the recent extensive monograph cite{cap,cap-slovak} by v{c}ap and slovak. recently, ezhov, mclaughlin and schmalz published the article cite{ems} in the {em notices of the american mathematical society}, the purpose of which is to reconstruct cartans eight-dimensional coframe within tanakas framework. in this excellent expository paper, which in fact inspired us to prepare the current work, they computed again the cartan curvatures of the mentioned real hypersurfaces in $bbb c^2$, taking account of the corresponding lie algebra second cohomology space. contrary to what is sometimes believed, neither cartans computations (cite{ cartan}), nor cherns computations (cite{ chernmoser, jacobowitz, isaev}) are really effective, though, {em potentially}, they should be so after some (hard) work. ezhov, mclaughlin and schmalz (cite{ ems}) made a normalization of an initial frame for $tm$ which requires an application of the cauchy-kowalewski theorem, hence requires real analyticity of $m$ ({em cf.}~cite{ jacobowitz, merkerporten} for some {sc pde} aspects of cr geometry). by performing an alternative choice ${ h_1, h_2, t}$ of an initial frame for $tm$ which is explicit in terms of a local graphing function $varphi ( x, y, u)$ for $m$, we deviate from the normalization made in~cite{ ems} (with a more geometric-minded approach), our computational objective being to provide a cartan-tanaka connection all elements of which are completely effective in terms of $varphi (x, y, u)$,,---,,assuming only ${cal c}^6$-smoothness of $m$. one important obstacle on the way to performing completely explicit computations is that one has to divide by a complicated levi-form factor $upsilon$ ({em see} below) and then to execute several further differentiations of algebraic expressions involving $upsilon$, {em see} the functions $a_i$, $a_{ i, k_1}$, $a_{ i, k_1, k_2}$, $a_{ i, k_1, k_2, k_3}$ below whose full expansion costs hundreds of lines to maple. section{results and discussion} let $m^3subsetbbb c^2$ be a local levi-nondegenerate real 3-dimensional hypersurface passing through the origin, represented in coordinates $(z,w)=(x+iy,u+iv)$ as a graph: [ v = varphi(x,y,u) = x^2+y^2+{ m o}(3), ] for a certain real-valued ${cal c}^6$-smooth graphing function $varphi$ defined in a neighborhood of the origin in $bbb r^3$. throughout the paper, ${cal c}^6$-smoothness will be regularly assumed, because all objects (curvatures, frames, coframes) will happen to depend upon partial derivatives of order $leqslant 6$ of $varphi$. in this thesis, our intention is to reformulate cartans results in terms of the graphing function $varphi$, which is the initial, single datum of this study. the goal is to build the cartan geometry of such hypersurfaces $m^3$ and to characterize explicitly when they are locally biholomorphic to the distinguished {sl heisenberg sphere} $bbb h^3$ defined by the simplest equation having no ${ m o} ( 3)$ remainder: [ v = x^2+y^2 { m or equivalently:} w-overline{w} = 2i,zoverline{z}. ] to do this, we use tanakas powerful methods in several steps. at first, we compute the lie algebra $frak{hol}(bbb h^3)$ of infinitesimal cr automorphisms of the heisenberg sphere, namely the $bbb r$-linear space of all $(1,0)$-vector fields: [ {sf x}=z(z,w)frac{partial}{partial z}+w(z,w)frac{partial}{partial w} ] having holomorphic coefficients $z$ and $w$, whose real part is tangent to $bbb h^3$, {em i.e.}: [ ig({sf x}+overline {sf x}ig)|_{bbb h^3}equiv 0. ] easy computations yield at first some standard, known generators: egin{proposition} label{8-dim} the lie algebra $frak{hol}(bbb h^3)$ of infinitesimal cr automorphisms of the heisenberg sphere $bbb h^3$ in $bbb c^2$ is of dimension $8$ and is generated by the following eight $bbb r$-linearly independent fields: egin{eqnarray*} & {sf h}_1& := partial_z+2iz,partial_w {sf h}_2 := i, partial_z+2z,partial_w, {sf i}_1 := (w+2iz^2),partial_z+2izw,partial_w, & {sf i}_2 &:= (iw+2z^2),partial_z+2zw, {sf t} := partial_w, {sf d} := z,partial_z+2w,partial_w, & {sf j} &:= zw,partial_z+w^2,partial_w, {sf r} := iz,partial_z. end{eqnarray*} end{proposition} this lie algebra is two-graded of the form: [ frak{hol}(bbb h^3)=underbrace{frak l_{-2}oplusfrak l_{-1}}_{frak l_-}oplusfrak l_{0}oplusfrak l_{1}oplusfrak l_2, ] where: $frak {l}_{-2} = bbb{ r} , {sf t}$; $frak {l}_{ -1} = bbb{r}, {sf h}_1 oplus bbb{r}, {sf h}_2$; $frak { l}_0 = bbb{r}, {sf d} oplus bbb{r}, {sf r}$; $frak { l}_1 = bbb{r}, {sf i}_2 oplus bbb{r}, {sf i}_2$; $frak {l}_{ 2} = bbb{r} , {sf j}$. it is known ({em see} cite{beloshapka2}) that $frak l_-$ is in fact the levi-tanaka symbol algebra of every levi nondegenerate real hypersurface $m^3subsetbbb c^2$, up to isomorphism. as for the second step, we apply the tanaka prolongation procedure to the nilpotent lie algebra $frak l_-$ just above, which we rename $frak { g}_- = frak { g}_{ -2} oplus frak { g}_{ -1}$, and we recover an eight-dimensional two-graded algebra: [ frak g=underbrace{frak g_{-2}oplusfrak g_{-1}}_{frak g_-}oplusfrak g_{0}oplusfrak g_{1}oplusfrak g_2 ] which is isomorphic to $frak{hol} (bbb h^3)$ {em via} a trivial map: [ {sf t} ightarrow{sf t}, {sf h}_1 ightarrow{sf h}_1, {sf h}_2 ightarrow{sf h}_2, {sf d} ightarrow{sf d}, {sf r} ightarrow{sf r}, {sf i}_1 ightarrow{sf i}_1, {sf i}_2 ightarrow{sf i}_2, {sf j} ightarrow{sf j}. ] where ${sf t},{sf h}_1,{sf h}_2,{sf r},{sf d},{sf i}_1,{sf i}_2$, ${sf j}$ are the eight generators of $frak g$ we construct. knowing that, generally speaking, the lie algebra of infinitesimal automorphisms of a non-holonomic homogeneous distribution is isomorphic to the tanaka prolongation of its nilpotent $frak h_-$-part (cite{tanaka, yamaguchi}), our computations verify this fact in the specific case of levi-nondegenerate real hypersurfaces $m^3subsetbbb c^2$ ({em cf.} also~cite{ems}) . afterward, we compute the second cohomology of the obtained pair of graded tanaka-type lie algebras $(frak { g}_-, frak { g})$. this enables us to find in advance some significant algebraic properties of the desired curvature function $kappa$ before starting the main computations in order to construct the sought $frak g$-valued connection. for example, we can find the homogeneity of the first nonzero homogeneous component of this curvature function, and also, we can find in advance how many essential curvature components there are. to compute the cohomology space, we have used the implementation of an algorithm provided in cite{aams} which is workable within the maple software. the last section of this thesis is devoted to introduce this algorithm which is prepared in the more general case of {sl lie (super) algebras}. next, we start the computation of an initial frame for any hypersurface $m^3$ in $bbb c^2$. at first we construct two basis elements $h_1$ and $h_2$ for the complex tangent bundle $t^cm$ in terms of the defining function $varphi$ and we get: egin{lemma} for any local ${cal c}^6$-smooth hypersurface $m^3$ of $bbb c^2$ which is represented as a graph: [ v = varphi(x,y,u) ] in coordinates $(z, w) = ( x + iy, , u + iv)$, the complex tangent bundle $t^cm = { m re}, t^{ 0, 1}m$ is generated by the two explicit vector fields: egin{eqnarray*} left{ egin{array}{c} h_1 := frac{partial}{partial x} + igg( frac{varphi_y-varphi_x,varphi_u}{1+varphi_u^2} igg) frac{partial}{partial u}, h_2 := frac{partial}{partial y} + igg( frac{-varphi_x-varphi_y,varphi_u}{1+varphi_u^2} igg) frac{partial}{partial u}. end{array} ight. end{eqnarray*} end{lemma} oindent next, assuming that $m$ is furthermore levi nondegenerate, we also compute the lie bracket $t:=frac{1}{4}[h_1,h_2]$ in terms of the defining function. for each hypersurface $m^3$ defined as the graph of the function $varphi$, the associated vector fields $h_1,h_2$ and $t$ constitute a local frame on $m$, which will be what we call the {sl initial frame}. for later use, we also compute the two length-three brackets $[h_1,t]$ and $[h_2,t]$ and, fortunately, we see that both of them are certain multiples of $t$: egin{lemma} label{h-t-brackets} allowing the two notational coincidences: $x_1equiv x$ and $x_2equiv y$, one has: [ [h_1,t]=phi_1,t { m and} [h_2,t]=phi_2,t, ] where the two rational functions $phi_1$ and $phi_2$ of the variables $(x_1,x_2,u)$ are of the form: [ phi_1=frac{a_1}{delta^2upsilon} { m and} phi_2=frac{a_2}{delta^2upsilon}, ] in which the two functions $delta$ and $upsilon$ (the levi-form factor, nonzero by assumption) have the explicit expressions: egin{eqnarray*} delta & = & 1+varphi_u^2, upsilon & = & -varphi_{xx}-varphi_{yy} - 2,varphi_y,varphi_{xu} - varphi_x^2,varphi_{uu} + 2,varphi_x,varphi_{yu} - varphi_y^2,varphi_{uu} + && + 2,varphi_y,varphi_u,varphi_{yu} + 2,varphi_x,varphi_u,varphi_{xu} - varphi_u^2,varphi_{xx} - varphi_u^2,varphi_{yy}. end{eqnarray*} and in which the two numerators are given by: [ a_i := delta^2,upsilon_{x_i} + delta ig( -2,delta_{x_i},upsilon + lambda_i,upsilon_u - upsilon,lambda_{i,u} ig) - lambda_i,upsilon,delta_u {scriptstyle{(i,=,1,,2)}}, ] where we set: [ lambda_1 := varphi_y - varphi_x,varphi_u, lambda_2 := -,varphi_x - varphi_y,varphi_u. ] end{lemma} from now on, we are using a different normalization than ezhov, mclaughlin and schmalz (cite{ ems}), so that the computations begin to be substantially distinct. one should notice here that the two functions $phi_1$ and $phi_2$ which encode the lie structure of the initial frame $ig{ h_1, h_2, t ig}$ already necessitate a division by the complicated function $upsilon$, which coincides, in the real coordinates $(x, y, u)$, with the levi determinant of $m$, of course of size $1 imes 1$, because ${ m crdim}(m) = 1$. then the $a_i$ require differentiations of $upsilon$, and furthermore, higher order invariants of the normal tanaka connection we will construct,,---,,which corresponds to a known, basic parabolic geometry,,---,,will require further partial differentiations of $upsilon$ up to order $4$. this will make computations really explode when expressing back everything in terms of partial derivatives of the graphing function $varphi ( x, y, u)$ of order $leqslant 6$. in particular, we shall have to introduce furthermore the $h_k$-iterated derivatives of the functions $phi_i$ up to order $3$, where $i, k_1, k_2, k_3 = 1, 2$: [ h_{k_1}(phi_i) = { extstyle{frac{a_{i,k_1}}{delta^4,upsilon^2}}}, h_{k_2}(h_{k_1}(phi_i)) = frac{a_{i,k_1,k_2}}{delta^6,upsilon^3}, h_{k_3}(h_{k_2}(h_{k_1}(phi_i))) = { extstyle{frac{a_{i,k_1,k_2,k_3}}{delta^8,upsilon^4}}}. ] smallskip egin{proposition} label{aikkk} all the numerators appearing above are explicitly given by: egin{eqnarray*} scriptsize a_i & := &delta^2,upsilon_{x_i} + delta ig( -2,delta_{x_i},upsilon + lambda_i,upsilon_u - upsilon,lambda_{i,u} ig) - lambda_i,upsilon,delta_u, a_{i,k_1} & :=& delta^2 ig( upsilon,a_{i,x_{k_1}} - upsilon_{x_{k_1}},a_i ig) + delta ig( -2,delta_{x_{k_1}},upsilon,a_i + upsilon,lambda_{k_1},a_{i,u} - upsilon_u,lambda_{k_1},a_i ig) - 2,delta_u,upsilon,lambda_{k_1},a_i, a_{i,k_1,k_2} & := & delta^2 ig( upsilon,a_{i,k_1,x_{k_2}} - 2,upsilon_{x_{k_2}},a_{i,k_1} ig) + delta ig( -4,delta_{x_{k_2}},upsilon,a_{i,k_1} + upsilon,lambda_{k_2},a_{i,k_1,u} - 2,upsilon_u,lambda_{k_2},a_{i,k_1} ig) - & & - 4,delta_u,upsilon,lambda_{k_2},a_{i,k_1}, a_{i,k_1,k_2,k_3} & := &delta^2 ig( upsilon,a_{i,k_1,k_2,x_{k_3}} - 3,upsilon_{x_{k_3}},a_{i,k_1,k_2} ig) + delta ig( -6,delta_{x_{k_3}},upsilon,a_{i,k_1,k_2} + upsilon,lambda_{k_3},a_{i,k_1,k_2,u} - && -3,upsilon_u,lambda_{k_3},a_{i,k_1,k_2} ig) - 6,delta_u,upsilon,lambda_{k_3},a_{i,k_1,k_2}. end{eqnarray*} furthermore, these iterated derivatives identically satisfy: [ h_2(phi_1) equiv h_1(phi_2) ] and also: egin{eqnarray*} scriptsize 0 & equiv & -,h_1(h_2(h_1(phi_2))) + 2,h_2(h_1(h_1(phi_2))) - h_2(h_2(h_1(phi_1))) - phi_2,h_1(h_2(phi_1)) + phi_2,h_2(h_1(phi_1)), & equiv & -,h_2(h_1(h_1(phi_2))) + 2,h_1(h_2(h_1(phi_2))) - h_1(h_1(h_2(phi_2))) - phi_1,h_2(h_1(phi_2)) + phi_1,h_1(h_2(phi_2)), & equiv & -,h_1(h_1(h_1(phi_2))) + 2,h_1(h_2(h_1(phi_1))) - h_2(h_1(h_1(phi_1))) + phi_1,h_1(h_1(phi_2)) - phi_1,h_2(h_1(phi_1)), & equiv & -,h_2(h_2(h_1(phi_2))) + 2,h_2(h_1(h_2(phi_2))) - h_1(h_2(h_2(phi_2))) + phi_2,h_2(h_1(phi_2)) - phi_2,h_1(h_2(phi_2)). end{eqnarray*} end{proposition} the latter statement corresponds to an observation which seems to be new in the subject, seemingly absent in the papers~cite{cartan, chernmoser, jacobowitz, nurowskisparling, le, ems, isaev}. section{conclusions} subsequently, we will be able to start the main computations of the curvature function $kappa$. we compute in fact {sl curvature coefficients} $kappa^{p_{j_1}p_{j_2}}_{q_j}$, which, by definition, are the coefficients of the basis elements: [ {sf p}_{j_1}^astwedge{sf p}_{j_2}^astotimes{sf q}_j,,,,,,, {scriptstyle{({sf p}_{j_1},,{sf p}_{j_2},in,frak g_-, ,,,, {sf q}_j,in,frak g)}} ] of the vector space ${ m linig(lambda^2frak g_-,frak gig)}$, in the expression of $kappa$. here is our main result. egin{theorem} associated to any ${cal c}^6$-smooth levi-nondegenerate real $3$-dimensional hypersurface $m^3 subset bbb{ c}^2$, represented in coordinate $(z,w):=(x+iy,u+iv)$ as a graph: [ v=varphi(x,y,u)=x^2+y^2+{ m o}(3), ] there is a unique $frak { g}$-valued cartan connection which is normal and regular in the sense of tanaka. its curvature function reduces to: egin{eqnarray*} kappa(p) & = & kappa^{h_1t}_{i_1}(p), {sf h}_1^astwedge{sf t}^ast otimes {sf i}_1 + kappa^{h_1t}_{i_2}(p), {sf h}_1^astwedge{sf t}^ast otimes {sf i}_2 + kappa^{h_2t}_{i_1}(p), {sf h}_2^astwedge{sf t}^ast otimes {sf i}_1 + && + kappa^{h_2t}_{i_2}(p), {sf h}_2^astwedge{sf t}^ast otimes {sf i}_2 + kappa^{h_1t}_j(p), {sf h}_1^astwedge{sf t}^ast otimes {sf j} + kappa^{h_2t}_j(p), {sf h}_2^astwedge{sf t}^ast otimes {sf j}, end{eqnarray*} where the two main curvature coefficients, having homogeneity $4$, are of the form: egin{eqnarray*} footnotesize kappa_{i_1}^{h_1t}(p) & = & -,mathbf{delta_1},c^4 - 2,mathbf{delta_4},c^3d - 2,mathbf{delta_4},cd^3 + mathbf{delta_1},d^4, kappa_{i_2}^{h_1t}(p) & = & -,mathbf{delta_4},c^4 + 2,mathbf{delta_1},c^3d + 2,mathbf{delta_1},cd^3 + mathbf{delta_4},d^4, end{eqnarray*} in which the two functions $mathbf{ delta_1}$ and $mathbf{ delta_4}$ of only the three variables $(x, y, u)$ are {em explicitly} given by: egin{eqnarray*} scriptsize mathbf{delta_1} & =& { extstyle{frac{1}{384}}} ig[ h_1(h_1(h_1(phi_1))) - h_2(h_2(h_2(phi_2))) + 11,h_1(h_2(h_1(phi_2))) - 11,h_2(h_1(h_2(phi_1))) + && + 6,phi_2,h_2(h_1(phi_1)) - 6,phi_1,h_1(h_2(phi_2)) - 3,phi_2,h_1(h_1(phi_2)) + 3,phi_1,h_2(h_2(phi_1)) - & & - 3,phi_1,h_1(h_1(phi_1)) + 3,phi_2,h_2(h_2(phi_2)) - ig[h_1(phi_1)ig]^2 + ig[h_2(phi_2)ig]^2 - && -,2,(phi_2)^2,h_1(phi_1) + 2,(phi_1)^2,h_2(phi_2) - 2,(phi_2)^2,h_2(phi_2) + 2,(phi_1)^2,h_1(phi_1) ig], mathbf{delta_4} & = & { extstyle{frac{1}{384}}} ig[ -,3,h_2(h_1(h_2(phi_2))) - 3,h_1(h_2(h_1(phi_1))) + 5,h_1(h_2(h_2(phi_2))) + 5,h_2(h_1(h_1(phi_1))) + && +4,phi_1,h_1(h_1(phi_2)) + 4,phi_2,h_2(h_1(phi_2)) - 3,phi_2,h_1(h_1(phi_1)) - 3,phi_1,h_2(h_2(phi_2)) - && -,7,phi_2,h_1(h_2(phi_2)) - 7,phi_1,h_2(h_1(phi_1)) - 2,h_1(phi_1),h_1(phi_2) - 2,h_2(phi_2),h_2(phi_1) + && +4,phi_1phi_2,h_1(phi_1) + 4,phi_1phi_2,h_2(phi_2) ig], end{eqnarray*} and where the remaining four secondary curvature coefficients are given by: egin{eqnarray*} kappa_{i_1}^{h_2t} & =& kappa_{i_2}^{h_1t}, kappa_{i_2}^{h_2t} & =& -,kappa_{i_1}^{h_1t}, kappa^{h_1t}_j & =& widehat{h}_1ig(kappa^{h_2t}_{i_2}ig) - widehat{h}_2ig(kappa^{h_1t}_{i_2}ig), kappa^{h_2t}_j & = &-widehat{h}_1ig(kappa^{h_2t}_{i_1}ig) + widehat{h}_2ig(kappa^{h_1t}_{i_1}ig). end{eqnarray*} end{theorem} egin{corollary} a ${cal c}^6$-smooth levi nondegenerate local hypersurface $m^3 subset bbb{ c}^2$ is biholomorphic to $bbb{ h}^3$, namely is {sl spherical}, if and only if $0 equiv mathbf{ delta_1} equiv mathbf{ delta_4}$, identically as functions of $(x, y, u)$. end{corollary} the proof is just an application of the frobenius theorem (cite{ sharpe}), real analyticity of $m$ being forced by these two zero curvature equations.

چکیده : در این پایان نامه نظریه موضی رویه ها در فضای اقلیدسی چهاربعدی بررسی می شود. با تعریف یک نگاشت خطی روی فضای مماس رویه با نام نگاشت وینگارتن ثابت می شود که این نگاشت به تقریب علامت یک ناوردای هندسی رویه است. دترمینان و اثر ماتریس متناظر به این نگاشت خطی را به عنوان ناورداهای جدید رویه در نظر می گیریم و بر حسب این دو کمیت نقاط روی رویه به چهارنوع تخت، بیضوی، هذلولوی و سهموی تقسیم بندی می شوند. سپس رویه های مینیمال و رویه های دارای التصاق قائم تخت بر حسب این دو کمیت مشخص خواهند شد. در ادامه دو ساختار دیگر برای مشخص کردن شکل رویه ارائه شده و ارتباط نقاط تخت، بیضوی، هذلولوی و سهموی ورویه های مینیمال و رویه های دارای التصاق قائم تخت با این دو ساختار بیان می شوند. در روش اول در هر نقطه از فضای مماس رویه یک خم جبری درجه دوم با نام شاخص مماسی تعریف شده و در روش دوم در فضای قائم بر هر نقطه از رویه یک بیضی با نام بیضی انحنای قائم معرفی می شود. پس از آن در هر نقطه از رویه میدان کنجی متعامد یکه یگانه ای انتخاب شده و هشت ناوردای جدید از رویه بدست می آید. آنگاه معادلات مشتق رویه را بر حسب این ناورداها نوشته و دو رده از رویه های تخت بر حسب آنها مشخص خواهند شد. در ادامه قضیه ای ثابت می شود که بنابر آن وجود رویه یکتایی را برای مجموعه ای از ناورداها تضمین می کند. واژه های کلیدی : رویه ها در فضای چهار بعدی اقلیدسی ، نگاشت وینگارتن، بیضی انحنای قائم، قضیه اساسی از نوع بونه

در این پایان نامه به معرفی و مطالعه ی تابعک های متناوب تقریبی ضعیف روی جبرهای باناخ a، که آن را با wap(a) نمایش می دهیم می پردازیم، و ارتباط آن را با نمایش جبرهای باناخ بررسی می کنیم. در ادامه ارتباط بین تابعک های متناوب تقریبی ضعیف و تابعک های متناوب تقریبی؛ یعنی ap(a) و برخی ویژگی های موروثی آن را بیان می کنیم و به عنوان نمونه فضای تابعک های متناوب تقریبی را روی برخی از جبرهای باناخ به دست می آوریم. همچنین با توجه به ارتباط wap(l^1 (g)) و توابع متناوب تقریبی ضعیف روی گروه g؛ یعنی wap(g) نتایج خوبی را روی l^1 (g) می گیریم. سرانجام با توجه به اینکه ?m(g)?^* یک جبر هاف فون نویمن جابه جایی است و wap(l^1 (g)) یک c^*-زیرجبر از l^? (g) است، نتیجه می گیریم که wap(m(g)) یک c^*-زیرجبر از ?m(g)?^*=?c_0 (g)?^(**) است.

خمینه ی ریمانی (m,g) را یک خمینه ی انیشتن می نامیم هرگاه انحنای ریچی متناظر با متر ‎g‎ مضربی از خود ‎g‎ باشد. در این صورت برای یک عدد ثابت ??r ‎ خواهیم داشت r_ab=?g_ab‎. معادله ی اخیر معادله ی انیشتن نامیده می شود که یک دستگاه ‎pde ‎ مرتبه دوم غیرخطی است. در حالت کلی پیدا کردن جواب های معادله ی انیشتن کار ساده ای نیست. با این حال اگر m فشرده و یا همگن باشد، روش هایی برای ساده کردن محاسبات و تبدیل آن ها به دستگاهی ساده تر از معالات جبری وجود دارد. در این پایان نامه ابتدا به مطالعه ی مترهای انیشتن بدون کاهش طبیعی روی گروه های لی فشرده می پردازیم. سپس به مطالعه ی مترهای انیشتن روی گروه های لی فلگ با دو جمعوند برای فضای مماس و مترهای انیشتن روی گروه های لی همگن حاصل از فضای خارج قسمت گروه های لی ماتریسی خواهیم پرداخت. همچنین با استفاده از محاسبات تانسوری مستقیم در محیط نرم افزار متمتیکا، مترهای انیشتن روی گروه های لی با بعد کم را مورد بررسی قرار خواهیم داد. به علاوه، متناظر با تاربندی همگن ‎m=g/l ? g/k=n‎، خانواده ای از مترهای انیشتن را روی خمینه ی همگن m‎ توصیف خواهیم کرد. چنین مترهایی را مورد قبول می نامیم. نشان خواهیم داد که یک شرط لازم برای انیشتن بودن یک متر مورد قبول تنها شرایطی ساده روی عملگرهای کازیمیر زیرجبرهای تحویل ناپذیر جبر لی ‎m‎ است. سپس مترهای انیشتن دونرمال را به عنوان حالتی خاص از مترهای انیشتن مورد قبول بررسی خواهیم کرد. همچنین مترهای انیشتن مورد قبولی که تحدید آن به فضای پایه ی n‎ و تار f=k/l‎ نیز انیشتن باشند را مورد بررسی قرار خواهیم داد. به عنوان یک کاربرد، نشان خواهیم داد که فضای کووالسکی، یک متر انیشتن غیر نرمال می پذیرد. کلمات کلیدی: متر انیشتن، فضاهای همگن، مترهای کاهش یافته طبیعی، خمینه های فلگ، تاربندی

در این پایان نامه ساختارهایی از g-خمینه های لورنتسی همگن d-بعدی m=g/h از یک گروه لی نیم ساده g بررسی می شوند. با توجه به نتیجه ای از کوالسکی در [18] کافی است در حالتی که g به طور سره عمل می کند مورد بررسی قرار گیرد که در این حالت h فشرده است.بنابراین هر خمینه ی m=g/h ? که h ??h با یک متر لورنتسی مجهز می شود. خمینه ی همگن m=g/h با پایدارساز فشرده و همبند h را سازگار کمینه گوییم هرگاه با یک متر لورنتسی مجهز شود و g-خمینه ی m=g/h ? با پایدارساز همبند و فشرده h ? یافت نشود که با متر لورنتسی مجهز شود. در این پایان نامه هم چنین به شرح g-خمینه های لورنتسی همگن کمینه با بعد d?11 می پردازیم و فهرستی از این نوع خمینه ها با بیان متر لورنتسی روی آنها ارایه می دهیم.

در این پایان نامه ابتدا به بررسی خواص صفحات مطلق با رهیافت اصل موضوعی می پردازیم. سپس زیر گروه ویژه ای از خود ریختی های آن به نام حرکت ها را معرفی کرده و مجموعه ی حرکت های سره را مورد مطالعه قرار می دهیم. در ادامه به هر صفحه ی مطلق مانند یک گروه مرتب جابجایی نظیر می شود که w,+ یک زیر گروه از k- لوپ (e, +) نظیر صفحه ی مطلق است. به کمک رابطه ی ترتبیب روی صفحه ی مطلق مفاهیمی چون نیم خط، زاویه، اندازه ی زاویه و مجموع اندازه ی زاویه ها تعریف خواهند شد. همچنین یک گروه مرتب دوری جابه جایی مانند(e,c) به دست می آید که (e10) یکریخت با گروه دوران های با یک نقطه ی ثابت است. به کمک ( w,+,<) و e10 به ترتیب مفهوم فاصله ی x برای توصیف هم نهشتی با ویژگی مثلث و مفهوم اندازه ی µ برای زاویه ها تعریف می شود که هم نهشتی و ترویج زاویه ها به کمک آن توصیف می شود. در پایان نتیجه می گیریم مجموعه ی حرکت های سره را می توان به صورت حاصل ضرب شبه مستقیم نشان داد .

در مرجع [?] مفاهیم مربوط به ساختارهای مرتبه دوم روی خمینه ها، ساختارهای عسته ای و اسپری ها مورد بررسی قرار گرفته اند و ثابت شده است که هر کدام از این ساختارها توسط التصاق متقارن به طور یکتا مشخص می شوند، که در این میان ساختار کریستوفل نقش مهمی را ایفا می کند. ما در این پایان نامه این مفاهیم را به خمینه های باناخ تعمیم می دهیم. همچنین ساختارهای هسته ای مرتبه n را روی خمینه ها معرفی کرده و به مطالعه آنها می پردازیم. به خصوص برای n=3 یک تناظر یک به یک بین ساختارهای هسته ای مرتبه سوم و التصاق ها روی کلاف مماس مرتبه دوم برقرار می کنیم. همچنین نشان می دهیم یک التصاق روی کلاف مماس یک خمینه، یک التصاق روی کلاف مماس مرتبه دوم القا می کند. به علاوه ژیودزی های مرتبه دوم را تعریف می کنیم و سرانجام همه این مفاهیم را به خمینه های فرشه تعمیم می دهیم.

فرض کنیم یک صفحه مطلفق باشد. در این پایان نامه ابتدا بررسی خواص صفحات مطلق با رهیافت اصل موضوعی می پردازیم. سپس زیرگروه ویژه ای از خودریختی های آن به نام حرکت ها را معرفی و با استفاده از آن ها صفحات مطلق را به دو گروه منفرد و عادی تقسیم بندی می کنیم. سرانجام، p، مجموعه ی نقاط صفحه را به یک عمل دوتایی + مجهز می کنیم و نشان می دهیم (+,p) ساختار جبری ویژه ای موسوم به k- لوپ است. در ادامه بحث مفاهیمی چون نیم خط، زاویه، جمع زاویه ها، گروه دوران مرتب دایره ای و جهت مثلث ها را با توجه به ترتیب موجودی روی صفحه مطرح می کنیم. همچنین مفهوم اندازه برای یک زاویه و دوران حول یک نقطه را تعریف می کنیم؛ به ویژه دو حالت منفرد و عادی، اندازه ی مجموع زاویه های داخلی یک مثلث را مورد مطالعه قرار می دهیم. در پایان، بعد از تعریف تابع کاستی صفحه ی مطلق، برای رده خاصی از مثلث ها، ارتباط کاستی صفحه را با ساختار k- لوپ وابسته ی صفحه بررسی خواهیم کرد.

در سال 1990، وینستین و کرانت ساختارهای دیراک را به منظور یکی کردن منیفلدهای پواسن و منیفلدهای پیش همتافته معرفی نمودند. یپی ساختارهای مختلط تعمیم یافته توسط هیتچین مطرح شدند و جوالتری در رساله دکتری خود به استفاده از آن در جهت یکی کردن هندسه و همتافته هندسه مختلط پرداخت. در این پایان نامه ساختارهای مختلط قانونمند روی کلاف مماس تعمیم یافته tm t*m از منیفلد هموار m و رابطه آن با متر ریمانی m را بیان می نماییم. همچنین به بیان شرایط انتگرال پذیری از ساختارهای مختلط خواهیم پرداخت. بعدا نشان می دهیم که شرایط انتگرال پذیری از ساختارهای مختلط قانونمند در رابطه ای نزدیک با وجود تانسور کدازی روی m قرار دارن و خواهیم دید که اگر l1 و l2 دو زیر کلاف لاکرانژ وابسته به ساختار مختلط قانونمند j باشند، آنگاه j انتگرال پذیر است اگر و تنها اگر l1 و l2 جبر گونه های لی باشند. سر انجام مثال هایی از این ساختار را در مورد r و زیر منیفلدهای دلخواهی از یک منیفلد بیان می نماییم.

این پایان نامه درباره بلوری کردن منیفلدهای سه بعدی از دسته حداکثر دو با حداکثر 42 رأس می باشد و از چهار فصل تشکیل شده. فصل اول مقدمه، فصل دوم درباره گراف نشانده شده بر خمینه های سه بعدی، فصل سوم درباره نمایش گروه بنیادی و فصل چهارم درباره تجزیه و تحلیلی از کلاس های همولوژی می باشد.

رویه ی m در e3 را رویه وین گارتن گوییم هرگاه رابطه ژاکوبین بین انحنای گاوسی آن k و انحنای متوسط آن h برابر صفر باشد. هرگاه اعداد حقیقی a,b,c که هر سه همزمان صفر نیستند انحنای گاوسی k و انحنای متوسط h از رویه در رابطه خطی ak+bh = c صدق کند آنگاه m را رویه خطی وین گارتن نامیم. رویه های فوق الذکر را به ترتیب با w-رویه و lw-رویه نشان میدهیم. اگر دومین فرم اساسی رویه m در e3 ناتباهیده باشد، آنگاه دومین فرم اساسی روی m یک متر ریمانی جدید القا میکند که برای متر جدید خمینه ریمانی (m,ii) بدست می آید. میتوان برای این خمینه ریمانی، انحنای گاوسی و انحنای متوسط جدیدی بدست آورد.این انحناها را به ترتیب دومین انحنای گاوسی kii و دومین انحنای متوسط hii رویه مینامیم. در این پایان نامه ابتدا فرمول کلی انحنای گاوسی، انحنای متوسط، دومین انحنای گاوسی، دومین انحنای متوسط رویه ها در e3 را بدست می آوریم. سپس برای نوع خاصی از رویه ها در e3 به نام رویه لوله ای نیز انحنای گاوسی،انحنای متوسط، دومین انحنای گاوسی، دومین انحنای متوسط محاسبه کرده و به مطالعه انواع w-رویه های لوله ای و lw-رویه های لوله ای در e3 می پردازیم. همچنین نوع خاص دیگری از رویه ها در e3 به نام رویه درجه دو را معرفی کرده و در پایان انواع w-رویه های درجه دو در e3 را مطالعه می کنیم.

نخستسن بار صفحه های لاگر به عنوان هندسه ی خطوط و دایره های جهت دار در صفحه ی اقلیدسی مطرح شدند. در صفحه ی اقلیدسی یک دایره هم به عنوان مجموعه ای از نقاط و هم به عنوان مجموعه ای از خطوط مماس بر آن در نظر گرفت. با توجه به این که خط و دایره صفحه را به زیر مجموعه ی مجزا تقسیم می کنند، برای دایره ها و خطوط صفحه ی اقلیدسی می توان دو جهت مختلف در نظر گرفت. اگر خطوط جهت دار گذرنده را به عنوان نقاط صفحه ی لاگر در نظر بگیریم همراه با دایره های جهت دار و بافه های خط های جهت دار گذرنده از یک نقطه ی دلخواه نخستین مدل صفحه ی لاگر به دست می آید. این مدل یک ویژگی اساسی دارد که به آن ویژگی میکلی می گویند. از چشم انداز هندسی صفحه های لاگر از سال 1963 به وسیله ی بنز و مویرر شروع شد. یکی از مباحث مهم در هندسه، مساله رده بندی است. در مورد صفحات تصویری یک رده بندی کلاسیک منسوب به لنز و بارلوتی وجود دارد. صفحه های لاگر حالت خاصی از صفحه های موسوم به صفحه های بنز هستند. علاوه بر صفحات لاگر صفحات موبیوس و مینکوفسکی نیز جزء صفحات بنز محسوب می شوند. می توان به کمک رده بندی لنتز بارلوتی برای صفحه های بنز یک رده بندی مشابه ارائه کرد. مهم ترین موضوع مورد نظر ما صفحه های لاگر تخت و مطالعه یک رده از آن ها بر اساس رده بندی کلاین ویلینگ هوفر است. هم چنین در این پایان نامه یک شرط وجودی برای صفحه های لاگر تخت از رده ی iii.b ارائه می شود و برای زیر رده های iii.b.1 و iii.b.3 مثال هایی بیان خواهد شد.

قضیه استوکس روی خمینه ها بیان می کند که انتگرال یک k-فرم دیفرانسیل روی مرز خمینه فشرده جهتدار و دیفرانسیل پذیر m برابر با انتگرال مشتق خارجی آن k-فرم روی خمینه است. از نکات مورد توجه دراین قضیه این است که خمینه m باید جهتدار بوده و فرم دیفرانسیل مربوطه دارای تکیه گاه فشرده باشد. هم چنین مرز خمینه دارای جهت مرزی القا شده از m است. جهت خمینه m توسط یک فرم دیفرانسیل ناصفر تعیین می گردد. هم چنین خمینه m جهت پذیر است اگر و تنها اگر دارای یک اطلس جهتدار باشد. در حقیقیت یک جهت روی خمینه مرزدار m به طور طبیعی یک جهت روی مرز m القا می کند. مفهوم مرز یک خمینه بااستفاده از نیم فضای بالایی تعریف میشود. یکی از جدیدترین رویکردها در اثبات قضیه استوکس رهیافت کورزویل-هنستوک است. برای این کار از روش انتگرال گیری کورزویل-هنستوک برای انتگرال گیری روی خمینه هااستفاده میگردد. تعریف این نوع انتگرال با استفاده از مفهوم افرازهای واحد و تقسیمات دلتا-متناهی هنستوک انجام می شود. انتگرال کورزویل-هنستوک هم ارز با انتگرال لبگ روی فضای اقلیدسی است.

مطالعه ی خواص هندسی فضاهای همگن و گروه های لی یکی از زمینه های تحقیقاتی پرجاذبه در هندسه ی دیفرانسیل است که از جمله ی این خواص می توان به مطالعه ی ژئودزی های همگن, ساختارهای مختلط و اتصالی پایا, سولیتن ریچی پایا و غیره اشاره نمود که دارای کاربردهای متعددی در فیزیک و مکانیک هستند. از این رو در این رساله ابتدا یک کلاس از گروه های لی حل پذیر ‎$m^{2n+1}$‎ را در نظر می گیریم که در سال ‎1980‎ توسط ‎ بزک ‎ ‎‎‏‎footnote{bozek{ مطرح شده اند و شکل دقیقی از همه ی ساختارهای همگن و نوع آن ها را در دو حالت ریمان و لوران بر روی این فضاها بیان می کنیم. سپس به بررسی تابع انرژی یک میدان برداری دلخواه پایای چپ از این فضاها می پردازیم و در حالت لوران ثابت می کنیم که هیچ کدام از میدان های برداری زمان گون بر روی این فضاها نقطه ی بحرانی برای تابع انرژی فضاگون نیستند. هم چنین شکل دقیقی از ابررویه های کاملاً ژئودزی, توازی پذیر و نیمه توازی پذیر را روی این فضاها معرفی کرده و ثابت می کنیم که روی این فضاها ساختارهای اتصالی پایا, سولیتن یامابی و سولیتن ریچی پایای چپ وجود ندارند. در ادامه با توجه به اهمیت مترهای فینسلر و به طور خاص مترهای رندرز در فیزیک, فضاهای همگن را در نظر می گیریم که به مترهای رندرز مجهز شده اند و به معرفی و رده بندی یک ساختار هندسی روی گروه های لی می پردازیم که به یک متر رندرز از نوع بروالد مجهز شده اند. سرانجام با استفاده از مطالعه ی ویژگی های هندسی این فضاها یک قضیه برای فضاهای همگن رندرز تحویل پذیر را بهبود داده و دو نتیجه برای مترهای رندرز از نوع داگلاس بر روی این فضاها را تعمیم می دهیم.

یکی از مهم ترین چالش ها در جبر کامپیوتری، حل دستگاه های معادلات چند جمله ای است. از طرفی برخی از معادلاتی که از صنعت معرفی می شوند دارای تقارن هستند. ما در این پایان نامه به حل دستگاه معادلات چند جمله ای می پردازیم که تحت عمل یک گروه ماتریسی متناهی پایا بماند. برای مطالعه ی جبری این دستگاه ها و در نظر گرفتن تقارن آن ها، حلقه ی چند جمله ای های پایا را معرفی می کنیم. با توجه به ساختار این حلقه ها، می توان هر حلقه ی پایا را بر حسب پایا های اولیه و ثانویه نمایش داد.

در این پایان نامه اصل ماکزیمم در بی نهایت برای رویه های بطور سره جادهی شده با انحنای متوسط ثابت مثبت در فضای اقلیدسی سه بعدی ثابت می شود. بعلاوه نشان داده می شود که رویه های بطور سره جادهی شده, در طرف محدب متوسط یکدیگر نمی توانند قرار بگیرند و همچنین ثابت می شود که اگر این رویه ها پهنای کمتر از 1/h داشته و نسبت به صفحه ی x-{3}=0 متقارن باشند آنگاه این رویه ها با این صفحه در اجتماع شمارایی از منحنی های بسته ی اکیدا محدب اشتراک دارند.

دراین پایان نامه، هدف تمرکز بر روی ابررویه های خاص با نام وینگارتن خطی در فضافرم های مختلف است. برخی نتایج مهم این ابررویه ها با انحنای میانگین ثابت و انحنای عددی ثابت به دست می آیند. درجهت دسته بندی این ابررویه ها، قضیه ای به نام قضیه ی ماکزیمم ضعیف مطرح می شود. برای ابرررویه های کروی واحد که انحنای مقطعی نامنفی دارند و انحنای عددی نرمال شده ی آن ها ثابت، بزرگتر یا مساوی یک است، دو امکان وجود دارد: یا تماماَ نافی هستند یا یک چنبره ی کلیفورد خواهند بود. با این یادآوری دسته بندی نهایی در موردخمینه های مورد نظر این پایان نامه یکی از سه مورد استوانه ی کروی،استوانه ی هذلولوی و یا چنبره ی کلیفورد خواهد بود.

در این پایان نامه خواص التصاق های همورد تعریف شده در کلاف مماس تعمیم یافته از یک خمینه ی ریمانی و پایا نسبت به ساختار مختلط تعمیم یافته مورد بحث قرار می گیرد که توسط تبدیلات ‎ -b ‎میدان تولید شده اند. این موضوع در مورد خمینه های کیلری با جزییات بیشتری بررسی خواهد شد. در پایان یک تعمیم از مفهوم ساختار آماری به هندسه ی تعمیم یافته معرفی می شود و مثالی در این زمینه ارائه می گردد‎