نوسانگر هماهنگ را می توان یکی از مهمترین سیستم ها در مکانیک کوانتومی به شمار آورد که به شکل دقیق قابل بررسی است. در سال 2008 میلادی رائو (rao) و کاگالی (kagali) به ارائه فرمول بندی سازگاری از نوسانگر هماهنگ در مکانیک کوانتومی نسبیتی پرداخته و طیف انرژی و توابع موج معادله کلاین-گوردن وابسته به نوسانگر هماهنگ را در 1+1 بعد فضا-زمان به صورت تحلیلی به دست آوردند. در این پایان نامه ما به مطالعه مکانیک آماری نوسانگر کلاین-گوردن در یک بعد فضایی در حد غیر نسبیتی و نسبیتی پرداخته و نشان می دهیم که در حالت نسبیتی و در حد دماهای بسیار بالا انرژی درونی و ظرفیت گرمایی ویژه نوسانگر کلاین-گوردن یک بعدی دو برابر انرژی درونی و ظرفیت گرمایی ویژه یک نوسانگر هماهنگ غیر نسبیتی یک بعدی می باشد. در خاتمه نشان می دهیم که نوسانگر کلاین-گوردن، نوسانگر دیراک و نوسانگر کمر (kemmer) در 1+1 بعد فضا-زمان در حد دماهای بسیار بالا دارای رفتار ترمودینامیکی مشابهی می باشند.

اصل کمترین کنش در تکامل فیزیک نظری نقش اساسی ایفا نموده است. در بسیاری از شاخه های علم فیزیک نظیر هیدرودینامیک، الکترودینامیک و نظریه گرانش اصل کمترین کنش ابزاری توانا در فرمول بندی این نظریه ها به شمار می آید. این پایان نامه دو هدف را دنبال می کند. نخست به ارائه یک اصل کنش تعمیم یافته برای دستگاه های کوانتومی غیر نسبیتی در حضور یک جمله اتلافی می پردازیم و از این منظر معادله موج شرودینگر را برای ذره ای واقع در یک میدان نیروی ناپایستار برای دو حالت میرایی خطی و میرایی درجه دوم به صورت جداگانه بدست می آوریم. دومین هدفی که در این پایان نامه دنبال می گردد بررسی ساختار ریاضی کنش بر روی فضاهایی با ابعاد کسری می باشد. انگیزه اصلی ما در این بررسی آن است که نظریه فضاهای با ابعاد کسری یا غیر صحیح به گونه ای موفقیت آمیز در توصیف فیزیکی مسئله پربست (confinement) در دستگاه های با ابعاد پایین در فیزیک ماده چگال مورد استفاده قرار گرفته اند. بعد از بدست آوردن معادلات اویلرـ لاگران‍ژ‍‍‍‍ در ابعاد غیر صحیح به عنوان مثالی از رهیافت معرفی شده شکل صریح معادله شرودینگر وابسته به زمان در یک فضای کسری با مختصه فضایی بدست آورده می شود.

می دانیم که اصل کمترین کنش در فیزیک از جایگاه ویژه ای برخوردار است. اغلب معادلات دیفرانسیل پاره ای در فیزیک از یک مسئله وردشی قابل حصول می باشند. از سوی دیگر مسئله توصیف خواص فیزیکی دستگاههای اتلافی از موضوعاتی است که از دیر باز در علم فیزیک مطرح بوده است. در این پایان نامه، یک اصل کمترین کنش تعمیم یافته برای دستگاههای فیزیکی گسسته و پیوستار در حضور نیروهای اتلافی به دست آورده شده است. سپس به کمک اصل کمترین کنش تعمیم یافته میدان های کلاین-گوردن حقیقی و مختلط در حضور نیروهای اتلافی فرمول بندی شده اند. در بخش انتهایی این پایان نامه میدان کلاین-گوردن حقیقی بر روی یک فضای زمینه اینشتین با مختصه فضایی به دست آمده است. نشان داده شده است که بخش زمانی تابع موج کلاین-گوردن بر روی یک فضای زمینه اینشتین تنها به ازای تک مقدار خواهد شد.

در این پایان نامه ما مکانیک کلاسیک و کوانتومی را در نسخه غیر نسبیتی مدل اشنایدر مورد بررسی قرار می دهیم. در ادامه دینامیک نوسانگر هماهنگ یک بعدی در فضای اشنایدر در حالت کلاسیک و کوانتومی مورد تحلیل قرار گرفته و نشان داده می شود که بسامد نوسانگر در این فضا تابعی از انرژی دستگاه است. ثابت می کنیم که در فضای اشنایدر سطح یک دیسک و نیز سطح کره کمیت هایی کوانتیده می باشند. پیشگویی جالب توجه دیگر فضای اشنایدر اثبات حدس بکنشتاین است (سطح افق رویداد یک سیاهچاله باید دارای یک طیف گسسته باشد).

سابقه استفاده از ایده فضا-زمان ناجابه جایی به زمان هایزنبرگ باز می گردد. نخستین فرمول بندی رسمی فضا-زمان ناجابه جایی در فیزیک در سال 1947 میلادی توسط اشنایدر مطرح گردید. اخیرا مطالعه مکانیک کلاسیک در فضای فاز ناجابه جایی در کانون توجه قرار گرفته است. در این پایان نامه فرمول بندی مکانیک کلاسیک در یک فضای فاز ناجابه جایی ارائه می گردد. روابط ناجابه جایی نه تنها میان مختصات فضایی بلکه بین تکانه های متناظر با مختصات فضایی ظاهر می گردند. پس از معرفی کروشه های پواسون دگرگون شده در فضای فاز ناجابه جایی تعمیمی از قانون دوم نیوتون به دست آورده می شود. نشان داده می شود که شتاب مربوط به یک ذره آزاد در فضای فاز ناجابه جایی مخالف صفر است. دلیل وجود این شتاب غیر صفر برای ذره آزاد را می توان به ناجابه جایی بودن تکانه ها در فضای فاز نسبت داد. در مثالی دیگر معادلات حرکت وابسته به نوسانگر هماهنگ ناجابه جایی به صورت تحلیلی مورد بررسی قرار می گیرند. همچنین مسئله حرکت یک ذره باردار در صفحه ناجابه جایی در حضور یک میدان مغناطیسی خارجی یکنواخت عمود برصفحه مورد بررسی قرار می گیرد. چنین مثالی از دیدگاه پدیده شناختی مورد توجه است.

در این پایان نامه نظریه میدان های کوانتومی در ابعاد بالا (نظریه میدان های کوانتومی با ابعاد اضافی ) به صورت مختصر معرفی می گردد. در ادامه ما به مطالعه نظریه های میدان کوانتومی بر روی یک فضا – زمان پنج بعدی می پردازیم. مدل ارکانی حامد- دیموپولوس- دوالی (add) مرور می شود. این مدل پاسخی به مسئله معروف سلسله مراتب در فیزیک ذرات است. در بخش انتهایی این پایان نامه تعادل ترمودینامیکی میان یک گاز پیرگونی (برانگیزش های گرانشی جرم دار یک میدان نرده ای ) و میدان تابشی در یک فضا- زمان پنج بعدی را بررسی می کنیم. تعداد پیرگون ها برای پیکربندی تعادلی محاسبه می شود.

یکی از مسائل بنیادی در فیزیک نظری وحدت بخشی میان نظریه نسبیت عام با مکانیک کوانتومی است. یکی از جالب توجه ترین پیامد های این وحدت بخشی پیشگویی وجود یک کمینه طول مشاهده پذیر از مرتبه بزرگی طول پلانک است. امروزه فیزیکدان های نظری می دانند که وجود یک کمینه طول مشاهده پذیر در اندازه گیری فواصل منجر به تعمیم اصل عدم قطعیت هایزنبرگ می گردددر سال 2006 میلادی کوئیزنی و تکاچوک یک جبر لورنتس ناوردای دگرگون شده دو پارامتری (?و?) را در یک فضا-زمان d+1 بعدی معرفی نمودند که در آن وجود یک کمینه طول مشاهده پذیر در اندازه گیری فواصل پیشگویی شده بود . در این پایان نامه فرمول بندی لاگرانژی میدان اسپینوری در یک فضا-زمان 3+1 بعدی بر اساس چبر کوئیزنی و تکاچوک در حالت ?=2? و تا مرتبه اول بر حسب پارامتر دگرگونش ? مطالعه می شود. در یک مجموعه از مقالات کمپف و همکارانش یک چبر هایزنبرگ دگرگون شده دو پارامتری (?و?) را دریک فضای d بعدی معرفی نمودند که به یک کمینه طول مشاهده ÷ذیر در اندازه گیری فواصل منجر می گردید. در این پایان نامه فرمول بندی لاگرانژی میدان الکتروستاتیک در فضای 3 بعدی بر اساس چبر کمپف و تا و تا مرتبه اول بر حسب پارامتر دگرگونش ? مطالعه می شود.

در این پایان نامه اثر کوانتومی هال بر روی یک صفحه ی ناجابه جایی دوبعدی و همچنین یک فضای فاز ناجابه جایی مورد بررسی قرار می گیرد. پس از حل معادله ی شرودینگر بر روی صفحه ی ناجابه جایی دوبعدی و نیز فضای فلز ناجابه جایی ویژه مقادیر انرژی و ویژه توابع مربوط به اثر کوانتومی هال بصورت تحلیلی بدست می آیند.با محاسبه ی مقدار چشم داشتی مولفه های عملگر جریان ،ضریب رسانندگی هال بر روی صفحه ی ناجابه جایی و فضای فاز ناجابه جایی بدست آورده می شود.در بخش نتیجه گیری این پایان نامه کران عددی بالایی برای پارامترهای ناجابه جایی مربوط به اثر کوانتومی هال بدست آورده می شوند.

مشاهدات نجومی متععدی وجود دارند که نشان می دهند عالم ما وارد یک فاز انبساط شتابدار شده است. امروزه اکثر کیهان شناسان بر این باورند که انرژی تاریک مسئول انبساط شتابدار عالم در دوره کنونی می باشد. از میان نامزد های مختلف برای انرژی تاریک، میدان نرده ای تاکیونی که خاستگاه آن نظریه ریسمان می باشد به صورت گسترده ای در متون مورد استفاده قرار گرفته است. در این پایان نامه، ما به بررسی نقش میدان تاکیونی در توصیف انبساط شتابدار عالم در چارچوب کیهان شناسی فریدمان-رابرتسون-واکر می پردازیم.

در قسمت نخست این پایان نامه، بعد از مقدمه ای کوتاه بر تاریخچه نظریه های میدان با فرض وجود یک کمینه طول مشاهده پذیر در اندازه گیری فواصل فرمول بندی لاگرانژی الکترودینامیک را در حضور یک کمینه طول قابل اندازه گیری مورد بررسی قرار داده و نشان می دهیم که در سطح کلاسیک الکترودینامیک در حضور یک کمینه طول قابل اندازه گیری هم ارز با الکترودینامیک لی-ویک می باشد. نشان می دهیم که پاسخ های معادلات نا همگن ماکسول در خلا با فرض وجود یک کمینه طول در اندازه گیری فواصل مکانی دو ذره برداری، یکی بدون جرم و دیگری جرمدار با جرم موثر مخالف صفر را توصیف می کنند. دو کران بالای متفاوت برای کمینه طول همسانگرد بدست آورده می شوند. نخستین کران بالا براب کمینه طول همسانگرد به مقیاس طول بر هم کنش ضعیف، یعنی ?10?^(-18) m نزدیک است در حالی که کران بالای دوم بدست آمده برای کمینه طول همسانگرد به مقیاس طول برهمکنش هسته ای قوی، یعنی ?10?^(-15) m نزدیک می باشد. ارتباط میان الکترودینامیک در حضور یک کمینه طول قابل اندازه گیری با الکترودینامیک غیر موضعی معرفی شده توسط گائت (gaete) و اسپالوچی (spallucci) در مقاله j. phys. a: math. theor. 45, 65401 (2012) را مورد بررسی قرار می دهیم. در قسمت دوم این پایان نامه قوانین مگنتواستاتیک با فرض وجود یک کمینه طول در اندازه گیری فواصل مکانی مورد مطالعه قرار می گیرند. شکل انتگرالی قانون آمپر و چگالی انرژی برای یک میدان مگنتواستاتیکی در حضور یک کمینه طول بدست می آیند. همچنین قانون بیو-ساوار با فرض وجود یک کمینه طول در اندازه گیری فواصل مکانی بدست آورده می شود. با مطالعه اثر حاصل از تصحیحات کمینه طول بر روی گشتاور ژیرومغناطیسی میون کران بالایی برابر?4/42×10?^(-19) m برای کمینه طول همسانگرد بدست می اید که باز هم به مقیاس طول مربوط به برهمکنش ضعیف نزدیک می باشد. در قسمت نتیجه گیری این پایان نامه بعضی از مسائل حل نشده مرتبط با اهداف این پایان نامه مطرح می گردند.

مطالعات اخیر در نظریه ریسمان و گرانش کوانتومی نشان می دهند که فضا-زمان در مقیاس طول پلانک ناجابه جایی می باشد. از سوی دیگر گرافین را می توان توسط یک معادله ی دیراک بدون جرم توصیف کرد. در این پایان نامه، ما طیف انرژی مربوط به یک لایه ی گرافین را در حضور یک میدان مغناطیسی یکنواخت خارجی در یک فضای فاز ناجابه جایی دو بعدی به دست می آوریم. همچنین، طیف انرژی برای یک نوسانگر کلاین-گوردون در فضای فاز ناجابه جایی دو بعدی را به شکل تحلیلی محاسبه می کنیم.