در این رساله ما تعریف جدیدی از فضای فوریه روی یک ابرگروه فشرده ی موضعی ارایه می دهیم و ثابت می کنیم که آن یک زیرفضای باناخ از جبر فوریه – استیلیس روی آن ابرگروه است. این تعریف باتعریف امینی و مدقالچی هنگامیکه ابرگروه مورد نظر یک ابرگروه تانسوری باشد منطبق است و همچنین با تعریف رم که تنها برای ابرگروه های فشرده می باشد انطباق دارد. ثابت می کنیم که دوگان جبر فوریه روی یک ابرگروه برابر است با جبر فون - نویمن روی آن ابرگروه. همچنین نشان می دهیم برای یک ابرگروه پونتریاگین جبر فوریه برابر است با پیچش فضای هیلبرت متشکل از تمام توابعی که انتگرال مربع آن ها متناهی است با خودش. علاوه بر آن نشان میدهیم یک نرم معادل روی جبر فوریه ی روی یک ابرگروه وجود دارد که آن را به یک جبر باناخ یکریخت با جبر باناخ متشکل از توابع با انتگرال متناهی روی تبدیل فوریه ی روی آن ابرگروه تبدیل می کند. ما ثابت می کنیم هرگاه یک ابرگروه تانسوری میانگین پذیر باشد آن گاه جبر فوریه ی روی آن دارای یک همانی تقریبی کراندار است. همچنین نشان می دهیم اگر یک زیر جبر از جبر فوریه – استیلیس روی یک ابرگروه تانسوری فشرده ی موضعی ضعیف ستاره بسته پایا نسبت به مزدوج پایا باشد و نقاط آن ابرگروه را از هم جدا کند آنگاه می بایست شامل جبر فوریه ی روی آن ابرگروه باشد. در آخر دو گونه ی جدید از ابرگروه ها با نام های ابرگروه های حذفی چپ و ابرگروه های انتقال پذیر چپ را معرفی می کنیم . ما به تحقیق در باره ی ویژگی های این نوع از ابرگروه ها می پردازیم و نتایج جدیدی بدست می آوریم که در حالت کلی برای همه ی ابرگروه ها برقرار نیست. همچنین برخی مثال های جالب از این ابرگروه ها را می آوریم .

در این پایان نامه به بسط مفهوم میانگین پذیری مدولی پرداخته ایم و هم ارزی میانگین پذیری مدولی و وجود قطر واقعی مدولی را به اثبات رساندیم و در ادامه قضیه مشهور جانسون را تعمیم دادیم و میانگین پذیری مدولی را برای کلاسی از جبرهای باناخ ثابت نمودیم، در واقع نشان دادیمs)l^1) به عنوان یک e))l^1-مدول میانگین پذیر مدولی است اگر و فقط اگر s میانگین پذیر باشد.