هدف اصلی این پایان نامه معرفی شار ریچی همیلتون است. شار ریچی یک معادله دیفرانسیل پاره ای است که در آن تانسور متریک در یک منیفلد ریمانی تحول می یابد. شار ریچی اخیرا برای اثبات دو قضیه بسیار مهم در توپولوژی با نام های هندسی سازی و حدس پوانکاره مورد استفاده قرار گرفته است. ما ابتدا به مطالعه هندسه دیفرانسیل مورد نیاز شار ریچی می پردازیم. در آخر شار ریچی را معرفی کرده و حل آن را در حالت خاص می بینیم.

مطابق قضیه کلاسیک پوانکاره-بندیکسون، اگر میدان برداری x (حاقل از رده c^1) روی کره واحد s^2، شامل نقاط منفرد نباشد، آنگاه مجموعه نقاط حدی مسیرهای x، مدارهای تناوبی هستند. در این پایان نامه، نسخه ای از قضیه پوانکاره-بندیکسون را، برای میدان های برداری پیوسته روی بطری کلاین k^2 ارائه می کنیم. برای این منظور میدان های برداری پیوسته با تعداد متناهی نقطه منفرد را در نظر گرفته و مجموعه نقاط حدی مسیرهای آن ها را مطالعه می کنیم.

هدف اصلی این پایان نامه معرفی اوربیفلدها است. اوربیفلدها فضاهایی هستند که موضعا همئومورف با فضای خارج قسمتی ناشی از عمل یک گروه متناهی روی مجموعه های باز فضای اقلیدسی می باشند. فضای یک اوربیفلد با استفاده از مفاهیمی مانند دستگاه یکنواخت ساز موضعی،انژکسیونها قابل تعریف است. در ادامه با استفاده از تعریف نگاشت میان اوربیفلدها، مفهوم هندسی کلاف اوربیفلدی مطرح میشود و در ادامه یک کلاف اوربیفلدی را برای هر اوربیفلد میسازیم. سپس برشهای اوربیفلدی را تعریف کرده و برای مثال کلاف مماس و کلاف تانسوری را بیان و معرفی می کنیم. سپس با استفاده از تعریف فرمهای دیفرانسیل مشتق خارجی را مطرح می کنیم و در انتها انتگرال را روی یک فرم را مشاهده می کنیم. در ادامه بر روی یک اوربیفلد متر ریمانی را تعریف می کنیم و فرمهای اساسی، فرمهای التصاق و تانسورهای انحنا را به صورت تعمیمی از منیفلدها روی اوربیفلدها مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم. در آخر با استفاده از فرمول انحنای گاوس و مفهوم اندیس تکینگی برای میدانهای برداری، قضیه گاوس-بنه را برای اوربیفلدهای فشرده، ریمانی و جهت دار اثبات می کنیم.

هدف اصلی این پایان نامه معرفی اسپینورهای لورنتس و حسابان اسپینوری می باشد. اسپینورها عناصر یک فضای برداری مختلط هستند که بر خلاف بردارها و تانسورهای معمولی، گروه تبدیلات آن ها به جای گروه لورنتس، گروه پوششی آن یعنی $sl(2,mathbb{c})$ است. در این پایان نامه اسپینورها اشیایی وابسته به فضای مینکوفسکی هستند. فضای مینکوفسکی یک قالب ریاضی است که نسبیت خاص را می توان در آن فرمول بندی کرد. در این فضا سه بعد مکان و یک بعد زمان با هم ترکیب می شوند و یک منیفلد چهار بعدی حقیقی را تولید می کنند که برای نمایش فضا زمان به کار می رود. به طور معمول فضای مینکوفسکی یک فضای برداری حقیقی چهاربعدی است که مجهز به نگاشت دوخطی متقارن ناتباهیده $eta$ با دستینه ی $(+و-و-و-)$ است. تبدیلاتی از این فضا که حافظ متر $eta$ هستند را تبدیلات لورنتس می نامند. در این پایان نامه ابتدا این گروه تبدیلات و فضای پوششی آن ها را معرفی می کنیم و سپس به مطالعه ی مفهوم اسپینور و حسابان اسپینوری می پردازیم.

نظریه ی لاسترنیک-اشنایرلمن نظریه ای برای نقاط بحرانی توابع هموار روی منیفلد های ریمانی با بعد متناهی است. در این نظریه شار گرادیان هر تابع خواص توپولوژیک منیفلد را به نقاط بحرانی آن تابع ربط می دهد. هدف، در این پایان نامه بسط نظریه اخیر برای طیف وسیع تری از شارهاست. در واقع در این پایان نامه مفهوم (cat(?,? را که تعمیمی از رسته لاسترنیک-اشنایرلمن است مطالعه می کنیم. این کمیت به فضای توپولوژیک ? وکلاس کوهمولوژی حقیقی (??h^1(?,x بستگی دارد. ثابت می کنیم که هر1-فرم بسته ? در این کلاس، در صورتی که میدان برداری شبه گرادیانی بدون دور هموکلنیکی داشته باشد، حداقل به اندازه(cat(?,?دارای صفر است.

هدف این پایان نامه مطالعه ی نظریه ی k اکی واریان است. این نظریه توسط اتیه ابداع شده و بیشتر نتایج نیز توسط او بوجود آمده اند. با استفاده از اعمال روی کلاف های برداری مانند حاصل ضرب تانسوری و حاصل جمع مستقیم کلاف های برداری می توان کلاف های برداری جدیدی ساخت. نظریه ی k استاندارد مطالعه ی کلاف های برداری روی فضای پایه ی x است. به پیمانه ی کلاف های بدیهی می توان کلاس های یکریختی کلاف های برداری را درون یک گروه ( k ( x جای داد. عضو همانی این گروه کلاف بدیهی روی x است. در این پایان نامه نظریه ی اخیر را به نظریه ی k اکی واریان توسعه می دهیم. برای این منظور با استفاده از کلاس های یکریختی g-کلاف های برداری روی g-فضای فشرده ی x یک گروه می سازیم. منظور از یک نگاشت اکی واریان، نگاشتی است که عمل گروه را حفظ می کند. کلاس های هم ارزی g-کلاف های برداری روی g-فضای فشرده ی x تشکیل یک گروه آبلی می دهند. در حالتی که x موضعا فشرده باشد با فشرده سازی تک نقطه ای آن و تعریف فضای تعلیق کاهش یافته ی آن می توان این گروه را ساخت.

مباحث کلاسیک نظریه هندسه دیفرانسیل‏، در چارچوب منیفلدهای حقیقی با بعد متناهی است. بخش هایی از این نظریه به‏ انواع مختلف منیفلدهای با بعد نامتناهی تعمیم یافته‎‎‎‎ است. در این پایان نامه قصد داریم برخی مباحث هندسه دیفرانسیل در زمینه منیفلدها را در چارچوبی واحد روی میدان ها و حلقه های عام تعمیم دهیم.

منیفلدهای کیلری، منیفلدهای ریمانی مختلطی هستند که فرم کیلری آن ها بسته است؛ به این معنی که d?=0 . التصاق و انحنای این منیفلدها شکل خاصی دارد. هم چنین اثبات می شود که تنها نمادهای غیر صفر منیفلدهای کیلری، ?_k^ij و ?_k ?^(i ?j ? )=(?_j^ij ) ? است. علاوه بر این، تانسور انحنای این منیفلدها کاملاً توسط نگاشت های r_(ij ?kl ? )=r(?(?/(?z_i )) ,?(?/(?z ?_j )) ,?(?/(?z_k )) ,?(?/(?z ?_l ))) معین می شود. گوییم (m,g) یک منیفلد ریمانی با انحناء دوبرشی ثابت است اگر مقدار ثابت ? وجود داشته باشد به طوری که r_(ij ?kl ? )= ?(g_(ij ? ) g_(kl ? )+g_(il ? ) g_(kj ? )) . در قضیه ی یکنواخت سازی ثابت می کنیم که پوشش جهانی یک منیفلد کیلری کامل با انحناء دوبرشی ثابت، یکی از منیفلدهای cp^n ، c^n و یا b^n است.

هدف این پایان نامه تعمیم مناسب مفهوم دیفرانسیل روی حلقه ها است. ایده اصلی این پایان نامه را می توان به این صورت خلاصه کرد؛ حد نگاشت خارج قسمت تفاضلی از خود نگاشت جدا نیست؛ به عبارت دیگر، حد یک نگاشت خارج قسمت تفاضلی به تنهایی ممکن است خیلی مفید نباشد. اما اگر آن را به عنوان توسیعی از نگاشت خارج قسمت تفاضلی در نظر بگیرید، در آن صورت اهمیت پیدا می کند. توجه کنید که $f:mathbb{r}^nsupseteq uarrow mathbb{r}^m$ از کلاس $c^1$ (در حالت معمولی) است اگر و تنها اگر نگاشت خارج قسمت تفاضلی [(x,v,t)mapsto frac{f(x+tv)-f(x)}{t}] یک توسیع پیوسته روی یک همسایگی از $u imes mathbb{r}^n imes mathbb{r}$ داشته باشد که این همسایگی شامل $t=0$ است؛ به عبارت دقیق تر $(ast)$ نگاشت پیوسته ای مانند egin{eqnarray}label{(*)} f^{[1]}:u^{[1]}:={(x,v,t) : x+tvin u}arrow mathbb{r}^m end{eqnarray} وجود داشته باشد به طوری که برای هر $(x,v,t)$ از $u^{[1]}$، [f(x+tv)-f(x)=tf^{[1]}(x,v,t).] در حقیقت اگر $(ast)$ برقرار باشد، آنگاه دیفرانسیل $f$ در $x$ با $df(x)=f(x,v,0)$ داده می شود و برعکس، اگر $f$ از کلاس $c^0$ باشد، آنگاه $f^{[1]}$ که به صورت egin{eqnarray} f^{[1]}:u^{[1]}arrow mathbb{r}^m quad ; quad f^{[1]}(x,v,t):= egin{cases} frac{(f(x+tv)-f(x))}{t},& t eq 0 ext{اگر}df(x)v,& t= 0 ext{اگر} end{cases} end{eqnarray} تعریف می شود، تابعی پیوسته است؛ و این موضوع از قضیه اساسی حسابان به دست می آید که به طور موضعی یک نمایش انتگرالی به صورت egin{eqnarray} f^{[1]}(x,v,t)=int^1_0df(x+stv)ds end{eqnarray} به دست می دهد. بحث مشابهی را می توان برای رده بندی نگاشت های $c^1$ به مفهوم میشل-باستیانی به کار برد. با در نظر گرفتن این مباحث و جای گزینی $mathbb{r}^n$ و $mathbb{r}^m$ با فضاهای برداری توپولوژیکی، وجود نگاشت پیوسته $f^{[1]}$ باشرایط گفته شده در $(ast)$ را به عنوان تعریف کلاس $c^1$ از نگاشت های به طور پیوسته مشتق پذیر در نظر می گیریم. این کار چندین مزیت دارد: نخست این که این تعریف، تعرف منطقی است حتی زمانی که با فضاهای برداری توپولوژیکی عام سروکار داریم که لزوماً محدب نیستند. این در حالی است که در این فضاها تعریف کلاسیک $c^1$ بی معناست. چون در فضاهایی که موضعاً محدب نیستند قضیه اساسی حسابان وجود ندارد، ما بسیاری از نتایج مربوطه را به طریقی در تعریف نگاشت های $c^1$ گنجانده ایم. ثانیاً و مهم تر این که ساختار میدان پایه هیچ نقش خاصی در شرایط $(ast)$ ندارد. کافی است بدانیم نگاشت های پیوسته چیستند. بنابراین می توانیم میدان پایه را باحلقه توپولوژیکی که مجموعه اعضای وارون پذیر آن چگال است، جای گزین کنیم و فضاهای موضعاً محدب را با مدول های توپولوژیکی روی چنین حلقه هایی جای گزین کنیم. برای پیش برد این هدف لازم است رده کلاس های $c^0$ را از نگاشت های پیوسته به زیرمجموعه ای از نگاشت های پیوسته محدود کنیم.در واقع با این تعمیم به زبان مشترک برای بیان صورتهای مختلف مشتق از جمله دیفرانسیل پذیری اکید و . . . می رسیم. با این تعمیم بسیاری از قوانین مشتق همچنان برقرار است. لازم به ذکر است که برای برقراری قانون ضرب و قانون خارج قسمتی فرض شده است، حلقه جابه جایی است.

کلاف برداری e رادر نظر بگیرید. مجموعه تمام نگاشت های انتقال موازی در طول طوقه های به پایه x، زیرگروهhol گروه خطی gl(e) را تشکیل می دهد. گروه اخیر گروه هولونومی التصاق ما نامیده می شود. اگر m همبند باشد آن گاه با تقریب یکریختی می توان گفت که این گروه وابسته به نقطه پایه x نیست. اگر یک(m,g) منیفلد ریمانی باشد، گروه هولونومی وابسته به متر g عبارت است از گروه هولونومی hol التصاق لوی-چیویتای مترg می باشد. منیفلد ریمانی (m,g) را فضای متقارن نامند هرگاه به ازای هر ایزومتری s وجود داشته باشد به طوری که اولاً پیچشی باشد وثانیاً p یک نقطه ثابت ایزوله از s باشد. گروه هولونومی برای فضاهای متقارن ریمانی (m,g) کاملاً معین است و در واقع یک زیر گروه لی از گروه ایزومتری های (m,g) می باشد. به این دلیل گروه هولونومی فضاهای متقارن را با کمک نظریه گروه های لی می توان رده بندی کرد.

در فصل اول این پایان نامه از ابتدا تعریف منیفلد را بیان کرده و مفهوم کلاف برداری و میدان برداری به عنوان یک تابع هموار از کلاف برداری به منیفلد معرفی می کنیم. سپس با روش انتگرال گیری روی منیفلد و بعد از آن به ترتیب با مفاهیم مشتق خارجی و مشتق لی با استفاده از ساختار خود منیفلد و مشتق همورد به عنوان یک ساختار اضافی روی منیفلد آشنا می شویم. در ادامه با استفاده از مشتق همورد مفهوم التصاق و تانسور انحنا را معرفی می کنیم که در مطالعه نسبیت عام نقش مهمی را ایفا می کنند. در انتهای فصل با انتگرال گیری گاوس آشنا می شویم که در فصل دوم در روش حساب وردشی برای بدست آوردن معادلات میدانی اینشتین از آن استفاده خواهیم کرد. در فصل دوم به مدل ریاضی در نظر گرفته شده برای فضا-زمان با استفاده از منیفلدها می پردازیم و رابطه برخی از مفاهیم ریاضی و تعابیر فیزیکی آنها را بیان می کنیم. سپس با استفاده از مفهوم تانسور و مشتق همورد فرمول بندی از میدان ماده و پایستگی انرژی ارائه خواهیم کرد. در ادامه لاگرانژی و روش حساب وردشی را بیان می کنیم و برای دو لاگرانژی شناخته شده با استفاده از روش وردش تانسور انژی-تکانه را بدست می آوریم.در انتها به معرفی معادلات میدانی اینشتین و فرض هایی که این معادلات از آنها نشأت میگیرد و همچنین برخی از نتایجی که از این معادله ناشی میشود را مورد بحث قرار می دهیم.

در این پایان نامه ‎v‎‎-فضای تصویری را که تعمیم خاصی از فضاهای تصویری می باشد را معرفی می کنیم. لازم به ذکر است که ابرفضای تصویری تعمیم معمول فضای تصویری در ابرهندسه می ‎‎باشد با این حال در تعریف این ابرفضا متغیر های فرد نقش اساسی ندارند. ‎‎ به منظور رفع این مشکل ‎v‎‎‎‎‎-فضاهای تصویری معرفی شده اند. ‎نشان‎ داده می شود‎‎ این ابرفضاها ابزار مفیدی برای تعمیم مفهوم کلاس های چرن در ابرهندسه فراهم می آورد. به طور دقیق تر می توان گفت که ابرهندسه به مطالعه اشیاء هندسی می پردازد که بتوان آن ها را به وسیله سیستم های موضعی با مختصات مستقل که شامل عناصر جابه جایی و ناجابه جایی است بیان کرد. تعمیم ابرهندسی از فضاهای تصویری که در این پایان نامه معرفی می کنیم از همریختی های ‎[mathbb{c}_v‎]‎‎-مدولی معینی ساخته می شود به طوری که ‎mathbb{c}_v‎‎‎ حلقه ‎mathbb{c}[v]‎‎‎ با خاصیت ‎‎‎‎v^2=1‎‎ است ‎‎ و آن را v‎‎-فضای تصویری می نامیم. ‎ در ادامه با استفاده از ابرساختار معرفی شده جدید‏، v‎‎-ابرکلاف خطی کانونیک را می سازیم و نشان می دهیم این ساختار برای رده بندی هموتوپیک ابرکلاف های خطی روی ابر منیفلد ها یک ساختار مناسب است. در انتها این نوشتار نیز به معرفی v‎‎-کلاس های ‎v‎‎-ابرکلاف های خطی می پردازیم که معادل کلاس های چرن نظیر کلاف های خطی معمولی است. در واقع برای هر ابرمنیفلد ‎‎‎‎(m,‎mathcal{a})‎‏، v ‎‎ -کلاس عنصر گروه کوهمولوژی مرتبه دوم ‎‎‎‎m‎ با ضرایبی در ‎mathbb{z}[v]‎‎‎ است. به تسامح می توان گفت v‎‎-کلاس یک ابرکلاف‏، میزان در هم آمیختگی عناصر زوج و فرد این ابرکلاف را اندازه گیری می کند.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

نظریه دگردیسی ابزاری برای بررسی ساختار فضای مدولای از طریق مطالعه دگردیسی های بی نهایت کوچک است و ارتباط نزدیکی با مساله رده بندی در بخشهای مختلف ریاضی از جمله هندسه جبری ، هندسه دیفرانسیل ، جبر و توپولوژی دارد. در این رساله ضمن معرفی مفاهیمی اساسی از هندسه ریمان ، ابزار لازم برای بررسی دگردیسی های ژئودزیکی و شرط وجود موضعی آنها با تقریب مرتبه اول فراهم شده است .