در این نگارش، سعی بر این شده است که به مباحث اساسی و بنیادی در زمینه ی حلقه های خوش ترکیب پرداخته شود. حلقه ی خوش ترکیب که نخستین بار در سال 1977 توسط دبلیو.کیت.نیکلسون معرفی شد عبارت است از حلقه ای که بتوان هر عضو آن را به صورت مجموع یک عضو خودتوان و یک عضو یکال بیان نمود. دراین پژوهش به بررسی خواص حلقه های خوش ترکیب در سه حوزه ی حلقه های تعویضپذیر، حلقه های تعویض ناپذیر و حلقه های عمومی(حلقه ی نه لزوماً یکدار) پرداخته ایم. بررسی ها را در حوزه ی حلقه های تعویضپذیر با محوریّت حلقه های خوش ترکیب، حلقه های یکتا خوش ترکیب، حلقه های ضعیف خوش ترکیب و حلقه های تقریباً خوش ترکیب پیش برده ایم. درقلمروی حلقه های تعویض ناپذیر علاوه بر بررسی حلقه های خوش ترکیب، به شناسایی ویژگی های حلقه های یکتا خوش ترکیب، حلقه های به طور قوی خوش ترکیب، حلقه های پوچ خوش ترکیب و به طور قوی پوچ خوش ترکیب و نیز عملگرهای خطی شمارش پذیر و خاصیت خوش ترکیبی آن ها پرداخته ایم. در زمینه ی حلقه های عمومی نیز حلقه های خوش ترکیب و یکتا خوش ترکیب را بررسی کرده ایم. در بخش پایانی با استفاده از ایده ای که توسط پروفسور امیدعلی شهنی کرم زاده مطرح شد، دسته ی جدیدی ازحلقه ها راتحت عنوان حلقه های زیبا معرفی نموده ایم. حلقه ی زیبا عبارت است از حلقه ای که هر عضو غیرصفرآن به صورت مجموع یک عضو مقسوم علیه صفر و یک عضو منظم قابل بیان باشد. نشان داده ایم که اگر r یک حلقه ی تعویضپذیر زیبا باشد، آن گاه حلقه ی ماتریس های n*n روی r نیز زیبا است. همچنین اثبات کرده ایم که حلقه ی ماتریس های n*n روی یک حلقه ی تقسیم، یک حلقه ی زیبای چپ است و نیز یک حلقه ی آرتینی دوطرفه، زیبای چپ است اگر و فقط اگر با حاصل ضرب مستقیم متناهی از حلقه های تقسیم یکریخت باشد.

در ارتباط با موضوع این پایان نامه که منجر به استخراج دو مقاله گردید بر اساس تعاریف زیر که برای اولین بار ارائه شده اند به شرح ذیل داریم: 1) ایدآل ابتدائی p از حلقه r یک ایدآل g - ابتدائی نامیده می شود هر گاه حلقه خارج قسمتی r بروی رادیکال p یک g - دامنه باشد. بر اساس این تعریف قضیه اساسی زیر قابل بیان می گردد. قضیه: اگر دامنه r یک دامنه خارج قسمتی اصلی موضعی و لاسکرین باشد در آنصورت هر ایدال غیر صفر از r دارای یک تجزیه g - ابتدائی می باشد. 2)دامنه r یک g - نوع دامنه قوی است هرگاه هر فوق حلقه r به عنوان حلقه روی r بصورت شمارا تولید شده باشد. 3)دامنه r یک حلقه خارج قسمتی شمارا موضعی (lcqr) نامیده می شود هرگاه به ازای هر ایدآل اول p از r حلقه خارج قسمتی r روی p به عنوان حلقه روی r شمارا تولید شده باشد. در این صورت قضیه اساسی زیر قابل بیان خواهد بود. قضیه: با فرض اینکه v یک حلقه ارزیاب باشد در آنصورت گزاره های زیر با هم معادلند: الف) v یک g-نوع دامنه قوی است ب) v یک (lcqr) است ج) هر ایدآل اول v یک g-نوع ایدآل است د) به ازای هر ایدآل اول p از v یا حلقه خارج قسمتی v روی p دارای یک تعداد شمارا ایدآل اول است یا مجموعه همه ایدآلهای اول که p را بطور سره شامل هستند " تحت عنوان f" می توانند به فرم اشتراک شمارائی از fاندیس n ها نوشته شوند که هر کدام از اینها یک مجموعه خوش ترتیب بوده و برخی از آنها نیز ممکن است ناشمارا باشند.

در این پژوهش، محقق به بررسی نقشی که تولید مثال در بهبود یاد گیری و مهارت های حل مساله دانش آموزان دارد، پرداخت. به این منظور دو گروه از دانش آموزان دختر سال سوم ریاضی دبیرستان را که نمونه در دسترس بودند به عنوان گروه های آزمایش و گواه در نظر گرفته و موضوع تدریس خود را فصل تابع از کتاب حسابان سوم ریاضی انتخاب نمود. تدریس در گروه گواه به روش سنتی و معمولی(معرفی مفهوم با رویه و مثال های آموزشی و دادن تمرین به دانش آموزان)، و در گروه آزمایش(با رویکرد تاکید بر تولید مثال توسط دانش آموزان از مفهوم تدریس شده)، صورت گرفت. با بررسی مطالعات انجام شده، چارچوبی برای ارزیابی یادگیری و مهارت های حل مساله دانش آموزان تهیه گردید. تجزیه و تحلیل داده ها و مقایسه نمرات پیش آزمون و پس آزمون دو گروه آزمایش و گواه با استفاده از نرم افزار spss و روش های آمار توصیفی و آزمون t گروه های مستقل و وابسته انجام گردید و نتایج به دست آمده نشان دادند که تولید مثال توسط دانش آموزان در بهبود یادگیری و مهارت های حل مساله آنان تاثیر داشته و تفاوت بین میانگین نمرات آن ها در پیش آزمون و پس آزمون معنا دار است.همچنین با بررسی فعالیت های کلاسی دانش آموزان گروه آزمایش، نتایج قابل توجهی در مورد رویکرد های انتخابی دانش آموزان در حل مساله و مشکلات و موانع آن ها در تولید مثال گرفته شد.

در این مقاله اثبات شده که مدول m در شرط زنجیر صعودی (به ترتیب. شرط زنجیر نزولی) روی غیر جمعوندها صدق می کند اگر وفقط اگر m نیم ساده یا نوتری(به ترتیب. آرتینی) باشد . روی یک حلقه نوتری راست،- r مدول راست m در شرط زنجیر صعودی روی غیر جعموندهای متناهی تولید شده صدق می کند اگر و فقط اگر m در شرط زنجیر صعودی روی غیر جمعوند ها صدق کند . هم چنین یک r – مدول راست m درشر ط زنجیر نزولی روی غیر جمعوندهای متناهیا تولید شده صدق می کند اگرو فقط اگر m موضعا آرتینی باشد علاوه بر این‏ اگر حلقه r در شرط زنجیر نزولی روی ایدالهای راست دوری غیر جمعوند صدق کند آنگاه r نیم موضعی است که رادیکال جیکبسن آن t –پوچ توان است.

روی هر حلقه تعویض پذیر هر مدول نویتری با ساکل اساسی ارتینی است. اماfaith و menal نشان دادند که این مطلب برای حلقه های نویتری راست درست نیست اگر چه ginn وmoss ثابت کردند که یک حلقه نویتری چپ و راست با ساکل راست اساسی ارتینی راست و چپ است. در این رساله به بررسی قضیه هایی می پردازیم که حلقه های نویتری با ساکل اساسی ، ارتینی هستند. نشان می دهیم که هر حلقه نویتری با ساکل راست یا چپ اساسی ،یک حلقه ارتینی است و با یک مثال ثابت می کنیم که هر حلقه نویتری راست با ساکل راست اساسی لزوما ارتینی نیست و در ادامه ثابت می کنیم که اگر شرط sr<sl را به حلقه نویتری راست با ساکل راست اساسی اضافه کنیم در ان صورت حلقه ی مورد نظر به حلقه ارتینی راست تبدیل می شود.

در حلقه ی توابع پیوسته ی حقیقی مقدار روی فضای توپولوژی x، هر ایدآل اول مشمول در یک ایدآل ماکسیمال منحصر به فرد است. اگر x فشرده باشد، آن گاه هر ایدآل ماکسیمال به شکل mp برای یک p ? x و شامل همه ی عناصر f ? c(x) است به طوری که f(p) = ? و اشتراک همه ی ایدآل های اول مینیمال در mp مجموعه ی همه ی توابع پیوسته ای است که در یک همسایگی نقطه ی p صفر می شوند. در این پایان نامه عکس بعضی از جزئیات را بررسی خواهیم کرد و اجتماع ایدآل های اول مینیمال مشمول در mp را مورد مطالعه قرار می دهیم مخصوصاٌ وقتی که این اجتماع برابر با ایدآل ماکسیمال mp می شود که در این صورت فضای توپولوژی x را یک ump- فضا می نامیم. با به کاربردن قضیه ی گلفاند-کلوموگروف نتایج جدیدی را بدون اینکه x فشرده باشد بدست می آوریم و نشان خواهیم داد که در ump- فضاها درون هر صفر- مجموعه ی ناتهی، ناتهی است؛ یعنی، x یک تقریباٌ p– فضا است.

این پایان نامه مشتمل بر پنج فصل است. در فصل اول به بیان مفاهیم اساسی مورد نیاز و بعضی از قضیه ها که در فصل های بعد به کار می روند، می پردازیم. فصل دوم به بررسی مولدها و فضاهای شبه فشرده اختصاص دارد. دراین بخش به بیان دو لم و یک قضیه اساسی دراین رابطه می پردازیم. فصل سوم این پایان نامه اختصاص به وجود شبه مکمل ها دارد. دراین بخش یک قضیه اساسی که وجود شبه مکمل برای مشبکه راثابت می کندآورده شده است. درفصل چهارم . فضاهاوارتباط آنهابا نیم میدان آورده شده است. درنهایت فصل آخراین پایان نامه به بیان برخی از ویژگیهای فضاهای توپولوژی برحسب هسته هااختصاص دارد. این پایان نامه مشتمل بر پنج فصل است. در فصل اول به بیان مفاهیم اساسی مورد نیاز و بعضی از قضیه ها که در فصل های بعد به کار می روند، می پردازیم. فصل دوم به بررسی مولدها و فضاهای شبه فشرده اختصاص دارد. دراین بخش به بیان دو لم و یک قضیه اساسی دراین رابطه می پردازیم. فصل سوم این پایان نامه اختصاص به وجود شبه مکمل ها دارد. دراین بخش یک قضیه اساسی که وجود شبه مکمل برای مشبکه راثابت می کندآورده شده است. درفصل چهارم . فضاهاوارتباط آنهابا نیم میدان آورده شده است. درنهایت فصل آخراین پایان نامه به بیان برخی از ویژگیهای فضاهای توپولوژی برحسب هسته هااختصاص دارد.

تابع از فضای توپولوژی به را -باز می نامیم، هرگاه برای هر همسایگی متمم صفرمجموعه ای برای یک صفرمجموعه ی در ، تصویر یک همسایگی برای در باشد. می گوییم ویژگی -تفکیک پذیری دارد، هرگاه برای دو متمم صفرمجموعه ی و و صفرمجموعه ی در که ، یک صفرمجموعه ی در وجود داشته باشد که . یک تابع پوشا، -باز است، هرگاه متمم صفرمجموعه ها را به متمم صفرمجموعه ها تصویر کند و دارای ویژگی -تفکیک پذیری باشد. در این پایان نامه، توابع -باز و دیگر توابعی را که متمم صفرمجموعه ها را به متمم صفرمجموعه ها تصویر می کنند، بررسی می کنیم. نشان می دهیم که اگر یک تابع پیوسته و -باز باشد، آن گاه تعمیم استون-چک آن باز است. از این موضوع برای نشان دادن بعضی از ویژگی های مربوط به -فضاها که تحت توابع پیوسته و -باز حفظ می شوند، استفاده می شود.

تمامی حلقه ها در این نوشتار تعویض پذیر و یکانی هستند و 0 ? 1. هم چنین تمامی زیرحلقه ها، توسیع حلقه ها‏، همریختی ها و مدول ها نیز یکانی می باشند. توسیع حلقه ای از حلقه های تعویض پذیر را یک توسیع مینیمال می نامیم ( را توسیع مینیمال می نامیم)، هرگاه بین ‎‎ و ‎هیچ حلقه ی دیگری یافت نشود. توسیع مینیمال را می توان به دو دسته تقسیم نمود. یک توسیع مینیمال را بسته می نامیم اگر در بسته ی صحیح باشد. در غیر این صورت روی ‎‎ صحیح می باشد، که این توسیع را توسیع صحیح مینیمال می نامیم. ثابت می کنیم که توسیع مینیمال بسته است، اگر و تنها اگر ایدال ماکسیمال از وجود داشته باشد که زوج یک جفت ارزیاب با رتبه ی 1 برای باشد. همچنین نشان خواهیم داد که برای توسیع حلقه ای و ، توسیع یک توسیع مینیمال بسته است‏، اگر وتنها اگر برای هر عضوهای وجود داشته باشد که . نشان خواهیم داد که اگر یک توسیع حلقه ای و یک ایدال ماکسیمال از باشد، در این صورت موارد زیر با هم معادل اند: ) 1 (یک توسیع مینیمال بسته از است؛ (2) یک جفت ارزیاب است؛ ‎ (3) یک جفت ارزیاب با مرتبه ی 1 از است.‎

r-مدولm را دو طرفه می نامیم، اگر و تنها اگر هر r-زیرمدول آن کاملاً پایا باشد. مدول دوطرفه ی mروی یک حلقه ی شرکت پذیررادر نظر می گیریم. در این پایان نامه، یک توپولوژی زاریسکی روی فضای زیرمدول های سره را که در m تماماً اول هستند، بررسی خواهیم نمود. همچنین درادامه شرایطی را به دست خواهیم آورد که تحت آن شرایط، فضای مورد نظر نویتری، تحویل ناپذیر، فرا همبند، فشرده، همبند، t1 یا t2 است. در پایان نیز کاربردهای توپولوژی زاریسکی را روی حلقه ها بررسی خواهیم نمود.

در سرتاسر این پایان نامه، تمامی حلقه ها، تعویض پذیر، یکدار و کاهش یافته هستند. پس از مقدمات، به معرفی انواع مهمی از توسیع های حلقه ها، از جمله توسیع های صلب و -rتوسیع ها خواهیم پرداخت. برای حلقه r، توسیعی به نام حلقه کامل کسرها که آن را با نماد q(r) نشان می دهیم و دو زیرحلقه مهم از آن به نام های پوش اپی مورفیک و پوش بئر، معرفی شده و مورد مطالعه قرار خواهند گرفت. پوش اپی مورفیک r را با نماد ( e(r و پوش بئر r را با نماد b(r) نشان می دهیم. هدف نهایی ما، در این مطالعه، تعیین شرایطی است که در آن، توسیع های q(r) ?r ، b(r)?r و e(r)?r صلب یا شبه صلب هستند. این شرایط صرفا جبری نیستند؛ بلکه با بهره گیری از مفاهیم توپولوژی هسته- غلافی و توپولوژی معکوس روی مجموعه ایدال های اول مینیمال، به دست می آیند.به عنوان مثال، توسیع های r?q(r) و r?b(r)، صلب هستند، اگر و تنها اگر فضای ایدال های اول مینیمال r، فشرده و شدیدا ناهمبند باشد و به علاوه r در شرط پوچساز صدق کند. از دیگر نتایج مهم که می توان به آن اشاره کرد این است که توسیع r?e(r)شبه صلب است، اگر و تنها اگر فضای ایدال های اول مینیمال r، فشرده باشد.

دراین نوشتار ثابت می شوداگر m و m دو r-مدول روی حلقه دلخواهr باشندو (m)? وm))? فضاهای زاریسکی از واریته های زیرمدول های m و m باشند، آن گاه (m)? و(m)? به عنوان نیم مدول روی نیم حلقه زاریسکی ازایدآل های r یکریخت هستند اگروتنهااگرr -مشبکه ?mو??m از زیرمدول های رادیکال m وm یکریخت باشند. دراین حالت نشان داده می شود که اگرچه مدول های m و m لازم نیست یکریخت باشند ولی یک تعداد ویژگی های مشترک دارند.

ابتدا چهار شرط لازم برای وجود ارزیاب روی مدول را بیان می کنیم و با استفاده از این شرط ها قضایای اساسی و مثال هایی را ذکر می کنیم. همچنین شرط های دیگری برای ارزیاب روی مدول بیان شده که در نتایج گزاره ها به آن ها برمی خوریم. در ادامه اسکلت یک ارزیاب روی یک مدول معرفی شده و به عنوان سیستم نمایش یک رابطه ی هم ارزی تلقی می شود. در مورد زیر مجموعه هایی از یک مدول که به آن ها –?مستقل می گوییم، دو شرط بیان کرده و اسکلت یک ارزیاب روی مدول –?مستقل می باشد. در پایان در مورد ارزیاب سه گانه از یک مدول گفته می شود که ارزیاب روی مدول را نتیجه می دهد.

در سرتاسر این پایان نامه تمامی حلقه ها تعویض پذیر و یکدار هستند. اگر r یک حلقه و b در r ناصفر و نایکه باشد انگاه b را یک عضو شبه تحویل ناپذیر می گوییم هر گاه نتوان آن را به صورت b=cd که c و d متباین و نا یکه اند نوشت. دامنه ی صحیح r را یک دامنه ی تجزیه ی متباین (cfd) گوییم هر گاه هر عضو ناصفر و نایکه از r دارای تجزیه ی متباین کامل باشد. دامنه ی تجزیه متباین یکتا(ucfd) نیز به طور مشابه تعریف می شود. در این پایان نامه نشان می دهیم هر دامنه ی نویتری (و هر ufd) یک cfd است. همچنین شرایط لازم و کافی برای اینکه یک cfd یک ucfd باشد را بررسی خواهیم کردو در ادامه شرایط لازم و کافی برای cfd بودن بین r و حلقه چندجمله ایها را بیان خواهیم کرد. سپس به رابطه ی cfd و ucfd بین دامنه های r و rp که p یک ایدال اول از دامنه ی r است می پردازیم در آخر تجزیه ی ایدال های حلقه ی r را تعمیم خواهیم داد.

زیر مدول های قویاً کوچک

(c(x نمایش حلقه ی توابع پیوسته روی فضای تیخونف x و p ایدال اول از (c(x است. ابتدا حوزه ی ارزه(یعنی برای هر دو عنصر غیر صفر یکی دیگری را عاد کند) معرفی می شود و در ادامه sv-فضاها (یعنی هر ایدال اول آن اول ارزه باشد) بررسی می شوند. سپس تقریبا sv-فضاها(یعنی هر ایدال ماکسیمال آن شامل یک ایدال اول ارزه مینیمال باشد) و شبه sv-فضاها(یعنی هر ایدال ماکسیمال حقیقی و غیر مینیمال آن شامل یک ایدال اول ارزه باشد) مطالعه شده است و قضایایی در مورد آن ها ثابت شده است.