حالت های هم گام در شبکه های پیچیده ای که از نوسان گرهای فاز در حال برهم کنش تشکیل شده اند اهمیت ویژه ای دارند. در این پایان نامه پس از تعریف و بررسی پایداری جواب های هم گام نشان می دهیم که به جز این حالت ها، پاسخ های دیگری به نام حالت های پایا نیز قابل تعریف اند. که در آن ها اگرچه فاز نوسان گرها با زمان تغییر می کند این تغییرات با الگوی خاصی صورت می گیرد به طوری که پارامترنظم به صورت یک تابع متناوب از زمان در می آید. همچنین پایداری این حالت ها در شبکه های کامل، دوبخشی کامل، شبه دوبخشی کامل و با توزیع فرکانس دوقله ای مورد بررسی قرارگرفته است. هم چنین جواب های مسئله به صورت عددی و توسط شبیه سازی کامپیوتری نیز مورد بررسی قرار گرفته و تطابق حل عددی و تحلیلی به خوبی دیده می شود.

استفاده از شبکه های پیچیده به عنوان مدلی موثر برای توضیح بسیاری از سیستم ها و پدیده های طبیعی دارای گسترش روزافزون است. در بررسی یک شبکه‏، شناخت ساختار آن از اهمیت بالایی برخوردار و برای فهمیدن عملکرد آن ضروری است. از مهم ترین مفاهیم ساختاری همایه ها هستند. در همایه ها ارتباطات زیاد در میان اعضای درون آن ها و روابط ضعیف بین این اعضا و گره های برونی وجود دارد. این باعث می شود که همایه ها رفتاری متفاوت با کل شبکه از خود نشان دهند و عملکرد شبکه را نیز تحت تأثیر قرار دهند‎‎‎‎.‎‎ تاکنون محققان بسیاری از علوم مختلف به بررسی این مسئله پرداخته اند و همین امر باعث شده است که شاهد طیف وسیعی از روش های یافت همایه با مبناها و دیدگاه های گوناگون باشیم. با این وجود مسئله ی تشخیص همایه ها هنوز به طور قابل قبول و جامع حل نشده است و به عنوان یک مسئله ی باز در شبکه های پیچیده مطرح است. از جمله رویکردهای مطرح در حل این مسئله می توان روش های بهینه سازی که بر بیشینه کردن پیمانگی یا تابع مناسب دیگری در شبکه متکی هستند‏، روش های دینامیکی که از فرایندهای پویا در شبکه بهره می برند و ‎روش های طیفی که از یک ماتریس شبکه جهت پیدا کردن ساختار همایه استفاده می کنند را نام برد. در این نوشته یافتن همایه ها بر اساس ماتریس انبوهش در شبکه های پیچیده مورد بررسی قرار گرفته و تحلیل شده است.‎‎ در این روش از ویژه بردارهای ماتریس انبوهش شبکه برای تشکیل یک فضای تصویر استفاده می شود. در این فضا تجمع نقاط به صورت شاخه هایی مشاهده می شود که همایه ها هستند. این شاخه ها با استفاده از تعریف یک مرز و/یا با روش خوشه بندی سلسله مراتبی از هم تفکیک می شوند و همایه های شبکه را بدست می دهند. برای این عملکرد بر اساس رابطه ی برهمکنشی بین گره ها در ماتریس انبوهش و در نظر گرفتن آن به عنوان هامیلتونی سیستم توجیه فیزیکی ارائه می شود. اثر ناهمگنی ‎‎در توزیع اندازه ی همایه ها بر این مبنا بحث می شود. سپس نتایج محاسباتی حاصل از آن ارائه می شوند و عملکرد این روش ‎‎در مقایسه با الگوریتم های دیگر مورد بررسی قرار می گیرد.

در این مطالعه بعد از معرفی انواع سیستم های دینامیکی، به بررسی معادلات دیفرانسیل عمومی می پردازیم و نشان می دهیم تعیین نقاط ثابت و نوع پایداری آن ها، چگونه به تشخیص رفتار این سیستم ها می انجامد. معادلات دیفرانسیل به دو دسته ی خطی و غیرخطی تقسیم می شوند. معادلات دیفرانسیل خطی می توانند به بخش هایی تفکیک شوند که جواب کلی سیستم، از ترکیب جواب های بخش های آن حاصل می شود. این نوع معادلات دیفرانسیل به روش تحلیلی حل می شوند، در صورتی که معادلات دیفرانسیل غیرخطی حل تحلیلی ندارند. با این وجود، از یک شیوه ی تصویری در بررسی سیستم های خطی استفاده می کنیم که رفتار کیفی آن ها را در فضای فاز نشان می دهد. با تعمیم این شیوه به سیستم های غیرخطی و تعیین رفتار سیستم در نزدیکی نقاط ثابت این سیستم ها، رفتار کیفی این سیستم ها مشخص می شود، اما برای شناخت بیشتر این سیستم ها، استفاده از روش های عددی تنها راه ممکن است. بعد از آن به نوسانگرهای دینامیکی آشوبناک که با معادلات دیفرانسیل غیرخطی توصیف می شوند، می پردازیم. این نوسانگرها رباینده ی شگفت دارند و شدیداً به شرایط اولیه حساسند. یک سیستم در صورتی می تواند این ویژگی ها را از خود نشان دهد که دست کم یک نمای لیاپانف منفی و یک نمای لیاپانف مثبت داشته باشد. بنابراین نوسانگرهای آشوبناک زمان-پیوسته دست کم سه بعدی هستند. در ادامه به همگام سازی نوسانگرهای آشوبناک به عنوان یک رفتار جمعی می پردازیم و خواهیم دید نوسانگرهای آشوبناک نیز وقتی در یک شبکه با هم جفت شوند، می توانند هم آهنگ، هم فاز و حتی منطبق با هم تحول یابند. دوره تناوب همه ی نوسانگرهای آشوبناک را می توان با میانگین گیری از فاصله ی زمانی دو واقعه ی مشابه به دست آورد، در صورتی که فاز را برای هر نوسانگر آشوبناک با توجه به مسیر آن نوسانگر در فضای فاز تعریف می کنیم. بررسی پایداری همگام سازی در شبکه ای از نوسانگرهای آشوبناک بخش اصلی این مطالعه است. اگر اختلال از خمینه ی همگام سازی کاهش یابد، همگام سازی پایدار و اگر رشد کند، ناپایدار است. بزرگ ترین نمای لیاپانف ناشی از دینامیک اختلال از خمینه ی همگام سازی که تابع پایداری اصلی نامیده می شود، می تواند چگونگی تحول اختلال را تعیین کند. اگر مقدار تابع پایداری اصلی به ازای تمام ویژه مقادیر ماتریس جفت شدگی شبکه منفی شود، همگام سازی پایدار و در غیر این صورت همگام سازی ناپایدار است. پیش از این پایداری همگام سازی کامل برای شبکه هایی که جمع عناصر روی هر سطر آن ها صفر است، بررسی شده است. نشان می دهیم که پایداری همگام سازی فقط در شبکه هایی امکان پذیر است که جمع مقادیر عناصر روی هر سطر آن ها مقدار ثابتی باشد. سپس روش محاسبه ی تابع پایداری اصلی را برای شبکه هایی که جمع عناصر روی سطرهای آن ها غیر صفر است، به کار می بریم.

آنفلوانزا یکی از شایع ترین و مهم ترین عفونت های ویروسی است که دستگاه تنفسی بدن را مورد حمله قرار می دهد. شیوع سالیانه ی بیماری آنفلوانزا منجر به مرگ صدها هزار نفر از مردم جهان می شود که این تعداد با شیوع پاندمی (عالم گیری) به شدت افزایش می یابد. مشهورترین پاندمی آنفلوانزا در اسپانیا رخ داد که مردم جهان را با کشتن 20 تا 40 میلیون نفر در سال های 1918 تا 1919 قلع و قمع کرد. آنفلوانزای تیپ a از نظر آنتی ژنتیک بسیار تغییرپذیر بوده و مسئول اغلب موارد ابتلا به آنفلوانزای اپیدمیک است. عفونت آنفلوانزا از طریق قطرات کوچک آئروسل که حین صحبت، تنفس و سرفه خارج می شوند، انتقال پیدا می کند. محدود کردن انتقال ویروس آنفلوانزا از راه هوا تقریباً غیرممکن است. با این حال بهترین راه کنترل ویروس مصون سازی است. در هر حال خصوصیات ویژه ای از ویروس آنفلوانزا موجب شده است که پیشگیری و کنترل بیماری مشکل باشد. ورود ویروس به بدن پاسخ ایمنی را به همراه دارد. سیستم ایمنی بدن از اجزا و سلول های مختلفی تشکیل شده و هرکدام دینامیک مخصوص خود را دارند. به منظور درک بیشتر برهم کنش ویروس با سلول میزبان و به دست آوردن دینامیک بیماری از مدل های ریاضی و روش های شبیه سازی استفاده می شود. در این پایان نامه به معرفی انواع مدل های ارائه شده برای پی بردن به چگونگی انتشار ویروس ها از یک سلول به سلول دیگر می پردازیم.هدف مدل ها، یافتن برهم کنش های حاکم و غالب در فرآیند بیماری ویروسی است. یکی از مدل های دینامیک بر هم کنش ویروس با بدن، مدل معادله دیفرانسیل معمولی (ode) است در این مدل تغییر چگالی اجزای سیستم (ویروس و انواع سلول ها) بر حسب زمان مورد بررسی قرار می گیرد. یکی دیگر از مدل های به کارفته مدل شبه گونه است این مدل مانند$ode$ از معادلات دیفرانسیل تشکیل شده ولی قابلیت در نظر گرفتن تنوع ژنتیکی ویروس و سلول های ایمنی را دارد . یکی از روش های شبیه سازی مدل ماشین سلولی است. از خصوصیت این مدل، گسسته بودن فضا و زمان و محدود بودن تعداد حالات هر سلول است. در این مدل امکان در نظر گرفتن توزیع ناهمگن ویروس ها و سلول ها وجود دارد. در این پایان نامه، به بررسی مدل های بالا در مورد بیماری آنفلوانزاa پرداخته می شود. و در نهایت الگوریتمی را برای این بیماری پیشنهاد می کنیم که در آن از ترکیب مدل شبه گونه و ماشین سلولی استفاده شده است.

‏پدیده همگام سازی در جمعیت زیادی از عناصر برهمکنشی از جمله سیستم های فیزیکی‏، شیمیایی‏، بیولوژیکی و همچنین سیستم های اجتماعی دیده می شود. سیستم های جفت شده بیولوژیکی و شیمیایی‏، شبکه های عصبی‏، گونه هایی از تعاملات اجتماعی‏، اینترنت و شبکه جهانی وب فقط چند نمونه از سیستم های تشکیل شده توسط تعداد زیادی از عناصر دینامیکی به هم ‏جفت شده هستند. ‏اولین نگاه به خواص کلی اینگونه سیستم ها این است که آنها را به صورت گراف‏ هایی در نظر بگیریم که از گره هایی که نماینده عناصر دینامیکی شان هستند تشکیل شده اند‏، و همچنین یال هایی که ارتباط میان این گره ها را نمایش می دهند. یک رویکرد موفق به مسئله همگام سازی مدل سازی هر عنصر از سیستم به عنوان یک نوسانگر فازی است. در این بررسی‏، همگام سازی را می توان با استفاده از یکی از معروف ترین مدلسازی های نوسانگر فازی یعنی مدل کوراموتو تجزیه و تحلیل کر‎د‏‏،‎ که ماهیت فرآیندهای میان اینگونه نوسانگرها را مورد بررسی قرار می دهد. راه حل دقیق ریاضی‏، روش های خاص عددی‏ و تغییرات و الحاقات بسیاری از این مدل در چند سال گذشته ارائه گردیده است و برنامه های کاربردی مربوط به این مدل در زمینه های مختلف نیز آورده شده است. ما در این پایان نامه ابتدا توضیحی از انواع شبکه ها و نحوه ساختنشان ارائه می دهیم و سپس به معرفی و توصیف پدیده همگام سازی‏، مدل کوراموتو‏، پارامتر نظم و ... خواهیم پرداخت. در قسمت بعد به بررسی تأثیرات اعمال توزیع دو قله ای فرکانس طبیعی بر روی مدل کوراموتو در شبکه جهان کوچک‏، که جوابهای پایدار و متعددی دارد‎‎‏،‎‎ می پردازیم. نشان خواهیم داد که با اعمال توزیع دو قله ای فرکانس طبیعی در حالت بهنجار نشده در فرکانس های مشخصی (‎w=0.9‎ و ‎w=1‎ ‎‎) پارامتر نظم از حالت ایستایی خارج و حالت های متناوبی به وجود می آید‏، که می توان آن را مشابه آنچه در سلول های ضربان ساز قلب اتفاق می افتد دانست. همچنین‏، با تغییر ‎w‎ نقوص شبکه جابجا و یا حذف می شوند. دیدم که با ‏بهنجار کردن مدل کوراموتو باید زمانی تقریباً ‎‎‏چند برابر را در نظر بگیریم تا پارامتر نظم به پایداری برسد و همچنین حالت های تناوبی در فرکانس های بسیار کوچکتری (w=0.09‎ $ w=0.1‎) دیده می شوند. در شبکه های بی مقیاس و تصادفی هم مشاهده شد که با بهنجار کردن مدل‏، در فرکانس های کوچکتری نسبت به حالت بهنجار نشده‏، پارامتر نظم از حالت پایدار خارج می شود. با توجه به اینکه شبکه جهان کوچک دارای دو خصوصیت اصلی یعنی ضریب خوشگی زیاد و طول کوتاهترین مسیر کم است‏، رفتاری متفاوت با دو شبکه تصادفی و بی مقیاس نشان می دهد. در آخر نتایج اعمال توزیع تک قله ای‏، دو قله ای و گاوسی را بر روی سه شبکه جهان کوچک‏، تصادفی و ‏بی مقیاس در دو حالت مدل کوراموتوی بهنجار نشده و بهنجار شده را ارائه خواهیم کرد و با استفاده از رسم ماتریس همبستگی‎ مربوطه نقاط همگام شده در هر کدام مشخص می گردد.‏

یکی از مهم ترین عواملی که بقا و تکامل موجودات زنده را تضمین می کند، وجود همکاری میان آن هاست. با پذیرش این موضوع می توان چگونگی ایجاد ساختارهای پیچیده ی زیستی را درک کرد. تک سلولی ها با قرارگیری در کنار هم و کمک به بقای یکدیگر می توانند موجودات کامل تر و مقاوم تری را ایجاد کنند. یکی از اولین نظریه های معتبر تکامل که توسط داروین مطرح شد، این موضوع را در بر دارد که افرادی که سازگاری بیشتری با محیط داشته باشند از شانس بقای بیشتری برخوردارند. به این پدیده انتخاب طبیعی گفته می شود. درک چگونگی شکل گیری همکاری میان موجودات اهمیت دارد زیرا در تضاد با انتخاب طبیعی است. در میان افراد یک گونه هم تمایز، برتری و ضعف مشاهده می شود؛ در این صورت چرا افراد قدرتمندتر باید به بقای سایرین کمک کنند؟ در واقع توصیف چگونگی ایجاد همکاری، هنوز هم مسأله چالش برانگیزی است. در سال ???? یک زیست شناس فعال در زمینه ی تکامل به نام رابرت تیریورس به مدلی ساده از برهم کنش دو موجود مستقل اشاره کرد که توانست این رفتار نوع دوستانه را توجیه کند. در این برخورد هرچند همکاری طرفین درگیر بسیار سودمند بود اما در نهایت آن ها به سوءاستفاده متقابل کشیده می شدند. این برخورد در واقع برهم کنشی معروف در نظریه ی بازی است که توسط دو ریاضیدان به نام های مریل فلود و ملوین درشر معرفی شد و سپس ریاضیدانی به نام آلبرت تاکر آن را فرمول بندی کرد و نام معمای زندانی را بر آن نهاد. برهم کنش هایی مانند معمای زندانی در قالب یک نظریه ی مدون به نام نظریه ی بازی بررسی می شوند. پایه ی مطالعات نظریه ی بازی منطق است. اما هرگاه نظریه ی بازی را برای توصیف تکامل استفاده کنیم، عنصر منطق را از آن حذف کرده و تحولات را با توجه به فراوانی نسبی گونه ها در جمعیت بررسی کنیم، وارد حوزه ی نظریه ی بازی تکاملی می شویم. در چارچوب این نظریه افراد طی برهم کنش های خود با یکدیگر امتیاز کسب می کنند و آن امتیاز را به برازیدگی گونه ها نسبت می دهیم. در حالتی که جمعیت کاملاً آمیخته ی نامحدود است، به این معنا که افراد می توانند با همه افراد دیگر موجود در جمعیت برهم کنش کنند، دینامیک تکاملی در چارچوب این نظریه توسط معادلات همانند سازی توصیف می شود. با محدود در نظر گرفتن جمعیت، تحولات موجود در سیستم از حالت معین خارج شده و توسط فرآیندهای تصادفی توصیف می شود. یکی از راه های افزایش احتمال تثبیت و در نتیجه گسترش همکاری در جمعیت، بررسی آن بر روی ساختار های پیچیده تر، همانند شبکه ی بی مقیاس است. نظریه ای که این مطالعات در چارچوب آن بررسی می شود نظریه ی تکاملی گراف نام دارد و فرض می کند افراد بر روی رئوس قرار دارند و توسط یال هایی با هم در ارتباطند . در چارچوب نظریه ی بازی تکاملی که در آن برازیدگی و انتخاب وابسته به فراوانی اند و با تغییر اجزای جمعیت، تغییر می کنند، دینامیک بازی جاده ی برفی که توسط یک حالت هم زیستی شبه پایدار توصیف می شود را روی شبکه بی مقیاس بررسی می کنیم. در این نوع ساختار، تعداد رئوس کمی با درجه ی بالا وجود دارد و تعداد رئوس با درجه ی کم، به وفور یافت می شود. به این معنا که توزیع درجه در این ساختار به صورت توانی است. در حد شدت انتخاب ضعیف و تحت فرآیند موران، نشان خواهیم داد که چگونه این نوع ساختار، حالت شبه پایدار سیستم را تحت تأثیر قرار داده و منجر به یک تثبیت غیر عادی می شود. نتایج حاصل از شبیه سازی در این تحقیق نشان داده است که ساختار جمعیت موجب می شود که سیاست ها در کنار هم به گونه ای قرار بگیرند که از جانب سیاست مقابل، مورد هجوم کمتری واقع شوند و به نوعی در سیستم شاهد حفظ و گسترش همکاری خواهیم بود.

در این پایان نامه با استفاده از روش گروه نابهنجارش میدان میانگین و گروه نابهنجارش سطحی-کپه ای خواص بحرانی مدل های هایزنبرگ و xy بر روی شبکه مکعبی ساده بررسی می شود. دمای بحرانی و نماهای بحرانی را، که مشخص کننده ی رده جهان شمولی این دو مدل هستند. برای خوشه های 1، 2، 3 و 4 اسپینی به صورت تحلیلی محاسبه می کنیم. در ادامه به علت ناتوانی حل تحلیلی در خوشه های بزرگ تر از روش های عددی مونت کارلو استفاده کرده و نتایج مربوط به کاربرد این روش ها در روش های گروه بازبهنجارش میدان میانگین و گروه بازبهنجارش سطحی- کپاه ای را تا خوشه ی 27 اسپینی به دست می اوریم، نتایج به دست آمده در تمام بخش ها با نتایج روش های دیگر که دقت بالایی دارند، مانند مونت کارلو، بسط اپسیلن و سری دماهای بالا مورد مقایسه قرار می گیرند که تطابق خوبی با نتایج به دست آمده مشاهده می شود.

در اطراف ما شبکه های پیچیده ی فراوانی، از یک سلول گرفته تا جامعه ای که در آن زندگی می کنیم، وجود دارد. مدل های فراوانی برای توضیح خواص این شبکه ها ارایه شده اند. در این پایان نامه نیز مدل گراف های نیمه دوبخشی تصادفی تعریف و تعدادی از مشخصه های آن مورد مطالعه قرار گرفته است. شبکه های نیمکه دوبخشی از دو بخش تشکیل شده اند. بخش اول که هسته نامیده می شود شامل رأس هایی است که دوبدو و به هم متصلند و بخش دیگر از ریوس تشکیل شده که به هم متصل نیستند ولی تعدادی از آن ها به تعدادی از رأس های هسته وصل هستند. در مدل شبکه های نیمه دوبخشی تصادفی رأس های مرکزی و غیر مرکزی بطور تصادفی به هم متصلند. ضریب خوشه گی این مدل بسیار بزرگ و میانگین کوتاهترین فاصلهی بین هر دو رأس آن مقدار کوچکی است که این دو خصوصیت مستقیماً به تعداد رأس های شبکه وابسته نیستند و به نسبت تعداد رأس های هسته به تعداد کل ریوس، a=nc/n، وابسته اند. در این مدل حد پایین برای ضریب خوشه گی بدست می آید و همچنین بطور کلی در گراف های نیمه دوبخشی، میانگین کوتاهترین مسیر دارای یک حد بالا است و هر دو این حدود نیز مستقل از اندازه ی شبکه هستند.

امروزه همگام سازی به عنوان یکی از مهمترین پدیده های طبیعی مطرح می شود. همگام سازی در بسیاری از زمینه های زیستی‏، اجتماعی‏، فیزیکی و‎‏ ... . کاربرد دارد. هر کجا که از همگام سازی نام می بریم‏، بی گمان باید از آشوب وسیستم های دینامیکی نیز یاد کرد. زیرا مسئله ی همگام سازی یکی از مهمترین مسائل مطرح شده در نظریه ی آشوب و سیستم های دینامیکی است. سیستم های آشوب ناک‏، به سیستم هایی اطلاق می شود که حساس به شرایط اولیه بوده و رفتار آن ها در مدت زمان طولانی غیر قابل پیش بینی است. سیستم های دینامیکی را به دو دسته ی زمان پیوسته و زمان گسسته تقسیم کرده ایم. تحولات نوسان گرها در سیستم های زمان پیوسته توسط معادلات دیفرانسیل و در سیستم های زمان گسسته توسط روابط بازگشتی بررسی می شوند. همگام سازی را می توان از دو جنبه ی همگام سازی سرتاسری و همگام سازی موضعی بررسی نمود و شرایط هر یک از این حالت ها را پیدا کرد. موضوعِ مهمی که در همگام سازی مطرح است‏، پایداریِ حالتِ همگام است. منظور از پایداریِ حالتِ همگام ‏این است که سیستم بعد از اعمال اختلال‏، به حالتِ همگام خود بازگردد و همه ی نوسان گرها دوباره همگام شوند. برای بررسی پایداریِ حالتِ همگام روش های تابع پایداری اصلی و سنجه ی ماتریسی را به کار برده ایم. روش تابع پایداری اصلی اغلب برای سیستم های زمان پیوسته و روش سنجه ی ماتریسی برای سیستم های زمان گسسته به کار می رود. در روش تابع پایداری اصلی‏، نیاز به دانستن معادله ی حاکم بر نوسان گرها و دانستن مقدار پارامتر آشوب داریم ولی در روش سنجه ی ماتریسی فقط نیاز به دانستن توپولوژی شبکه داریم. در عوض روش تابع پایداری اصلی شرط لازم و کافی‏ و روش سنجه ی ماتریسی شرط کافی را برای همگام سازی در اختیار ما می گذارد. یک نمونه از سیستم های زمان گسسته‏، نگاشت های لجیستیک هستند. این نگاشت ها را بر روی شبکه های بی مقیاس‏، منظم‏، تصادفی و جهان کوچک شبیه سازی خواهیم کرد و شرایط همگامی و پایداری حالتِ همگامِ هر کدام از این شبکه ها را با استفاده از روش های تابع پایداری اصلی و روش سنجه ی ماتریسی‏، پیدا خواهیم کرد. در آخر هم این شبکه ها را با یک دیگر مقایسه کرده و بررسی می کنیم که ‏کدام شبکه ها می توانند همگام باشند و همگامی آن ها پایدار است یا خیر.

‏در این پایان نامه ابتدا به معرفی سیستم های دینامیکی‏ می پردازیم. سیستم های دینامیکی به دو دسته ی سیستم های زمان پیوسته و زمان گسسته تقسیم می شوند. سیستم های زمان پیوسته توسط معادلات دیفرانسیل و سیستم های زمان گسسته توسط نگاشت ها توصیف می گردند. در برخی حالت ها برای معادلات توصیف کننده ی سیستم پاسخ تحلیلی نمی توان بدست آورد و ‏سیستم رفتار پیچیده ای از خود نشان می دهد. سیستم های آشوبناک و نگاشت های لوجیستیک که نوعی از سیستم های زمان گسسته هستند بررسی می شوند. از نمای لیاپانوف به عنوان ابزاری برای بررسی آشوب ناک بودن سیستم استفاده می شود. همان طور که همگام سازی برای نوسانگرهای متناوب مشاهده شده است‏، همگام سازی برای نوسانگرها و نگاشت های آشوبناک که دینامیکی نامتناوب‏، غیرقابل پیش بینی و حساس به شرایط اولیه دارند‏، نیز رخ می دهد. انواع همگام سازی و همچنین پایداری ‏حالت همگام را شرح داده ایم. شبکه های پیچیده و چهار شبکه ی منظم، جهان کوچک، بی مقیاس و تصادفی معرفی شده اند و همگام سازی شبکه هایی از نگاشت های لوجیستیک را بررسی کرده ایم. سپس به مطالعه ی پایداری حالت همگام توسط دو روش تابع پایداری اصلی و روش سنجه ی ماتریسی پرداخته ایم. در ابتدا تابع جفت شدگی را به صورت تفاضل دو نگاشت لوجیستیک در نظر گرفته ایم و در حالت کلی تر تابع جفت شدگی را به صورت تفاضل دو تابع دلخواه در نظر گرفته ایم و انتخاب های ممکن برای تابع جفت شدگی را بررسی کرده ایم. بررسی های ما در این پایان نامه توسط نرم افزار ‎matlab‎ انجام شده است. در روش سنجه ی ماتریسی وابستگی پایداری را نسبت به پارامترهای نگاشت لوجیستیک، تعداد رأس ها و پارامترهای مختلف هر شبکه مقایسه کرده ایم.

شبکه های پیچیده نقش مهمی در زندگی افراد ایفا می کنند.اکثر سیستم های واقعی از قبیل سیستم های اجتماعی، ارتباطی و بیولوژیکی را می توان با شبکه های پیچیده مدل سازی نمود.ولگشت یکی از روش های مهم آماری برای مطالعه ی ساختار دینامیکی شبکه های پیچیده است.در سال های اخیر استفاده از ولگشت کمک بسیاری به حل مسائل گوناگون در اکثر رشته های علمی نموده است و تأثیر آن در تعدادی از مقالات علمی در رشته های مختلف از برق گرفته تا ترافیک شهری، زیست شناسی، شیمی، فیزیک، روانشناسی، اقتصاد و ... به چشم می خورد.تاکنون ولگشت های متفاوت در مطالعه ی شبکه های پیچیده مورد استفاده قرار گرفته اند.در تمامی این ولگشت ها چگونگی توزیع تعداد معینی از این ولگشت ها بر روی شبکه های پیچیده بسیار حائز اهمیت است.بررسی تحلیلی و محاسباتی ولگشت معمولی و ولگشت با احتمال توقف نشان داده که توزیع این ولگشت ها بر روی شبکه های مختلف بر اساس درجه ی رئوس شبکه به صورت خطی تغییر می کند.نتایج محاسباتی نشان می دهد برای یک شبکه ی مشخص با تعداد رأس ثابت، شیب نمودار تعداد ولگشت ها بر اساس درجه ی رئوس با افزایش تعداد یال ها کاهش خواهد یافت که این کاهش با ضریبی عکس ضریب افزایش یال ها خواهد بود.

شبکه ها، به عنوان نمایشی مناسب از سیستم های پیچیده شناخته شده اند که ایده ی اولیه ی آن ها از نظریه ی گراف گرفته شده است. بسیاری از شبکه های موجود در جهان واقعی، دارای ساختار هایی ناهمگن هستند و شامل مجموعه ای از زیرساختار های با اتصالات داخلی بسیار به نام همایه می باشند که نقش عملیاتی را در سیستم اولیه بازی می کنند. همایه، یک مفهوم کیفی است و تاکنون هیچ تعریف همه پسندی برای آن ارائه نشده است. شناخت ساختار همایه از این جهت مهم است که منجر به شناخت ساختار توپولوژی شبکه ها می شود. روش های بسیاری تاکنون برای شناسایی همایه ها معرفی شده اند. روش جدیدی که در این پایان نامه به آن اشاره شده است، بر پایه ی فاکتوریزه سازی ماتریس نامنفی (nmf) بنا شده است. در واقع، یکی از ماتریس های نامنفی شبکه به عنوان ماتریس مشخصه، v، در این الگوریتم به کار می رود و به حاصل ضرب دو ماتریس نامنفی، w و h، فاکتوریزه می شود. این فاکتوریزه سازی، نمایشی از مجموعه داده ها در یک فضای با ابعاد کاهش یافته است. ماتریس های w و h در مرحله ی نخست به صورت تصادفی انتخاب می شوند. گزینش متوالی این ماتریس ها براساس دو قانون به روز رسانی صورت می گیرد که در نهایت، منجر به همگرایی حاصل ضرب wh به ماتریس اولیه می شود. در یک شبکه، هر ستون w معادل با یک همایه است و مولفه های بردار وزن، میزان تعلق هر رأس را به تمامی همایه ها نشان می دهند. این الگوریتم را برای مجموعه ای از شبکه های موجود در جهان واقعی و شبکه های دست ساز به کار بردیم که ساختار همایه های آن ها برای ما از قبل شناخته شده بود یا قبلاً توسط دیگران بررسی شده بود. روش ما منجر به شناسایی ساختار همایه های با هم پوشانی در شبکه ها می شود. ماتریس مشخصه ی جدیدی را به نام ماتریس همبستگی میان رئوس معرفی کردیم. با کاربرد این ماتریس در روش ما، حساسیت های موجود در الگوریتم نسبت به مقادیر اولیه ی متفاوت که تاکنون در روش nmf به کار می رفت، بسیار کاهش می یابد و منجر به نتایج دقیق تری در مجموعه داده ای متفاوت می شود. به علاوه، این ماتریس مشخصه، منجر به پیدایش تعریف جدیدی برای همایه می شود که در بسیاری موارد معقول به نظر می رسد.

ابرتقارن در نظریه میدان کوانتمی به عنوان تقارنی بین میدانهای بوزونی و میدانهای فرمبونی مطرح شد ‏‎[5]‎‏ و از آنجا که می توانست گامی به سوی یافتن وحدتی بین درجات آزادی درونی و بیرونی باشد، بسیار مورد توجه قرار گرفت. ابرتقارن در مکانیک کوانتمی نخست به عنوان مدل سازه شده ای از ابر تقارن در نظریه میدان مورد توجه قرار گرفت ‏‎[12]‎‏. اما به زودی جایگاه ویژه ای در مکانیک کوانتومی به دست آورد. اهمیت این نظریه، و هم به دلیل ارتباطی است که این نظریه با برخی مباحث ریاضی دارد مانند قضیه اندیس ‏‎[11,10]‎‏ و قضیه مورس ‏‎[54]‎‏ و هم به دلیل توانایی آن در حل مسائل، مانند حل دقیق معادله شرودینگر از طریق یافتن هامبلتونی های هم شکل برای پتانسیل های شکل ناوردا ‏‎[8]‎‏. این نظریه همچنین کاربردهای وسیعی در بسیاری از شاخه های فیزیک همچون فیزیک اتمی ‏‎[45]‎‏ ، فیزیک آماری ‏‎[47,46]‎‏ ، ابر رسانایی ‏‎[49, 48]‎‏ ، نیم رساناها ‏‎[51,50]‎‏ پیدا کرده است. به دلیل این کاربردهای گسترده و به دلیل اهمیت آن در درک بهتر پدیده های فیزیکی و مفاهیم ریاضی، تلاشهای بسیاری در جهت تعمیم دادن آن صورت گرفته است که به عنوان مثال به یافتن پاراابرتقارن ‏‎[20]‎‏ ، اورتوابرتقارن ‏‎[27]‎‏ و ابر تقارن کسری ‏‎[53,52,28]‎‏ منجر شده است. در این پایان نامه ما دسته ای از تقارن ها را در مکانیک کوانتمی به عنوان تعمیمهایی از ابر تقارن تعریف می کنیم و آنها را تقارن های توپولوژیک می نامیم. ساختار جبری حاکم بر سیستم های دارای این تقارن ها را به دست می آوریم. تقارن های توپولوژیک از آن جهت که شامل تعدادی ناوردای توپولوژیک هستند (همانند شاخص وینن در ابر تقارن ‏‎[16]‎‏ تعمیم ابرتقارن به حساب می آیند.هر تقارن توپولوژیک با یک عدد درست ‏‎‎‏1 <‏‎n‎‏ که خواص درجه بندی ‏‎(grading)‎‏ آن را مشخص می کند و یک ‏‎n‎‏ تایی از اعداد درست ‏‎(m1, m2, ...mn)‎‏ که ساختار واگنی آن را مشخص می کند تعریف می شود. ما ضمن به دست آوردن روابط جبری حاکم بر تقارن های توپولوژیک، تعبیر ریاضی ناورداهای توپولوژیک و محتوای آماری تقارن های توپولوژیک را نیز مورد بررسی قرار خواهیم داد.