دراین پایان نامه پس ازمعرفی رسته توابع جزئی ‎$p{set}$,‎ به مطالعه وجود ضرب‎,‎ معادلساز و عقب بر دراین رسته پرداخته ایم‎.‎ وجودضرب ومعادلساز دراین رسته را با بدست آوردن آنها ثابت نموده ایم‎.‎ همچنین عقب بر را در این رسته محاسبه نموده ایم‎.‎ نهایتا وجود حد را در این رسته نتیجه گرفته و این بدان معنی است که رسته توابع جزئی رسته کامل می باشد

در این پایان نامه ابتدا به معرفی رسته ی نوکدار ، ?_* ، رسته ی t – جبر ، ?^t وابسته به رسته ? و رسته ی ایلنبرگ- مر یا t – جبر های ?^t مربوط به یک موند داده شده پرداخته ایم . سپس با معرفی رسته ?_r^t که زیر رسته پر از رسته ?^t است یکریختی بین رسته های ?_* و ?_r^t را نشان داده ایم وبه بررسی چند مثال پرداخته ایم همچنین با ارائه یک قضیه شرایط لازم برای وجود الحاق بین دو رسته ?_* و ?^tرا بررسی کرده ایم.موند مربوط به این زوج الحاقی را نیز معرفی کرده و به بررسی چند مثال پرداخته ایم . در انتها یک زوج الحاقی بین رسته های ?_r^t و ?^t بدست آورده ایم.

در این پایان نامه شرایطی بر رسته ی دلخواه هعمال شده است که تحت آن شرایط، رسته ی ریخت های جزی وابسته به آن دارای ضرب باشد.

در این پایان نامه برای یک کلاس،m‎، از ریخت ها در رستهx ‎، به بررسی خواصی چون، دارای عقب بر (ضعیف)، خوش توانی ‎(ضعیف)‎ و (به طور پایا) موضعا کامل، پرداخته و به کلاس خاصی از ریخت ها، غربال-پیش بافه ای را متناظر می نماییم، که مقادیر آن در شبه رسته،‎prcls‎، از کلاس های جزئاً مرتب است. سپس بین کلاس هایی از ریخت ها با شرایط خاص تر و غربال-پیش بافه هایی که مقادیر آنها در زیر ‎(شبه)‎ رسته هایی از شبه رسته ی کلاس های جزئاً مرتب است، تناظر برقرار می نماییم. بعد از آن به معرفی کنش-تابعگون ها و خواص خیز پذیری و ترتیب پذیری آنها می پردازیم و رابطه بین کنش-تابعگون های خیز پذیر و ترتیب پذیر و رسته ی غربال-پیش بافه ها روی x را بررسی می نماییم. هم چنین کنش تابعگون های مکان شناس را معرفی کرده و با استفاده از خواص آن ها تناظری بین این کنش تابعگون ها و رسته ی غربال-پیش بافه ها روی x‎برقرار می نماییم. سپس ثابت می کنیم که می توان تابعگون های مکان شناس را به عنوان کنش-تابعگون های مکان شناس در نظر گرفت. در پایان پس از معرفی عملگر های بستاری، رابطه ی بین رسته ی عملگرهای بستاری و رسته ی تابعگون های مکان شناس را بیان می نماییم. همچنین به معرفی تعمیمی از سیستم های بستاری و رابطه بین آن ها و پیش بافه های ضعیف می پردازیم. کلمات کلیدی:‎ غربال-پیش بافه (ضعیف)، کنش-تابعگون (خیز پذیر، ترتیب پذیر)، تابعگون مکان شناس، عملگر بستاری، سیستم بستاری

پایان نامه ای که پیش رو دارید در زمینه نظریه رسته و به طور خاص در رابطه با ارتباط چند مفهوم اساسی از جمله ریخت کلاس، توپولوژی گروتندیک، توپولوژی لاویر-تیرنی و عمل بستاری جهانی می باشد، که در حیطه نظریه توپوس تناظر بین سه مفهوم آخر در آورده شده است. هدف این پایان نامه بدست آوردن ارتباط دو طرفه بین هر چهار مفهوم بالا در چندین حالت ضعیف شده می باشد. بدین منظور از رسته هائی استفاده شده که اشیاء آن ها از این مفاهیم ضعیف شده بدست آمده و ریخت ها به ترتیب عملگرهای بستاری، تبدیل ها و در دو مورد آخر توابعی خاص می باشند. این پایان نامه از پنج فصل تشکیل شده است که فصل اول آن شامل پیش نیازها و برخی مقدمات رسته ای می باشد. در فصل دوم ابتدا رسته هائی را معرفی می کنیم که اشیاء آن ها ریخت کلاس های خاصی از ریخت های رسته $mc x$ (که در کل پایان نامه ثابت است) می باشند و ریخت های آن ها عملگرهای بین این ریخت کلاس ها هستند که بنابر خواصی که این عملگرها می توانند داشته باشند تعداد رسته ها به هفت رسیده است. این هفت رسته را با نماد کلی $mc {cl}$ (هر کدام با اندیس خاصی) نشان داده ایم. سپس هفت رسته که اشیاء آن ها زیرپیش بافه های $omega$ (رده بندی کننده زیرشیء در $set^{mc x^{op}}$) و ریخت های آن ها تبدیل ها با خواص گوناگون می باشند را می سازیم. این رسته ها با نماد کلی $mc s$ (هر کدام با اندیس خاصی) نشان داده شده اند. نهایتا ً ارتباط رسته های $mc {cl}$ را با رسته های $mc s$ توسط تابعگون هائی با نماد کلی $f$ (هر کدام با اندیس خاصی) بررسی نموده ایم. در فصل سوم ابتدا هفت رسته که اشیاء آن ها خودریختی های روی $omega$ و ریخت ها توابع خاصی می باشند را معرفی می کنیم. این رسته ها با نماد کلی $mc l$ (هر کدام با اندیس خاصی) نشان داده شده اند. سپس ارتباط رسته های $mc {s}$ را با رسته های $mc l$ توسط تابعگون هائی با نماد کلی $g$ (هر کدام با اندیس خاصی) بررسی نموده ایم. در فصل چهارم ابتدا هفت رسته با اشیاء عمل های جهانی در $set^{mc x^{op}}$ و ریخت ها توابعی خاص، ساخته شده که آن ها را با نماد کلی $mc c$ (هر کدام با اندیس خاصی) نشان داده ایم. سپس ارتباط رسته های $mc {l}$ را با رسته های $mc c$ توسط تابعگون هائی با نماد کلی $h$ (هر کدام با اندیس خاصی) بررسی نموده ایم. در فصل آخر؛ یعنی فصل پنجم ارتباط بین چهار دسته رسته ای را، که در فصل های دوم، سوم و چهارم معرفی شده اند، بررسی کرده که به یافتن تناظری بین آن ها انجامیده است. در یک حالت خاص این تناظر به تناظر آشنای توپولوژی های گروتندیک، توپولوژی های لاویر-تیرنی و عمل های بستاری جهانی همگرا می شود.

در این پایان نامه‏،‎‎‎‎‎‎‎‎ ابتدا به معرفی مفاهیم موند روی یک رسته و شیء مونوئیدی در یک رسته ‎‎‏پرداخته ایم. سپس نشان داده ایم رسته موندها و رسته اشیاء مونوئیدی دارای ضرب متناهی می باشند. با معرفی تابعگونی از رسته اشیاء مونوئیدی به رسته موندها‏، ثابت کرده ایم ‏که هر شیء مونوئیدی یک موند به دست می دهد. ‎ در ادامه‏، موندهای ساختاریافته همراه با ریخت های ساختاریافته تعریف شده و نشان داده ایم این اشیاء و ریخت ها یک رسته تشکیل می دهند. تابعگون هایی بین رسته اشیاء مونوئیدی و رسته موندهای ساختاریافته معرفی شده و به بررسی این تابعگون ها ‎پرداخته‎ ایم.

در این پایان نامه ابتدا به معرفی رسته ی فضاهای توپولوژی و رسته ی رابطه ها می پردازیم و نشان می دهیم الحاقی بین این دو رسته وجود دارد. ‏سپس با در نظر گرفتن زیر رسته هایی از رسته ی فضاهای توپولوژیکی و رسته ی رابطه ها نشان می دهیم الحاق بالا بین این رست ها تحدید می شود. در نهایت ثابت می کنیم الحاق بین رسته ی فضاهای توپولوژیکی الکساندروف و رسته ی روابط پیش مرتب یک یکریختی است.

در این پایان نامه ، ابتدا از هر ریخت کلا‏س روی یک رسته، دو نوع پیش بافه ر‏وی آن رسته بدست آورده ایم. سپس در هر دو حالت نشان داده ایم تحت چه شرایطی این پیش بافه ها یک پیش بافه مجزا، نیم-بافه، تقریباً بافه و یا بافه اند.

در این پایان نامه، ابتدا تعریفی از توپولوژی روی اشیاء و پیوستگی روی ریخت های یک رسته ی دلخواه بیان کرده ایم. همچنین نشان داده ایم این تعاریف شامل تعاریف توپولوژی و پیوستگی استاندارد می باشند. سپس مثال های متعددی از جمله مثال هایی از توپولوژی فازی را بیان کرده ایم و ثابت می کنیم که این توپولوژی های فازی همگی حالت خاصی از توپولوژی در رسته می باشند. در انتهاء توپولوژی القائی در رسته را تعریف کرده و مثالی در این زمینه آورده ایم.

در این پایان نامه توپولوژی زاریسکی را به مجموعه های رابطه ای تعمیم داده و آن را توپولوژی زاریسکی بر مبنای رابطه نامیده ایم.