دراین پایان نامه روشهایی مبتنی بر توابع قطعه ای ثابت برای حل معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم و معادلات انتگرال ولترا نوع اول ارائه می شود. مقایسه عددی این روشها با روشهای عددی موجود مزایای استفاده از این روش جدید را بیشتر نشان می دهد. در فصل اول با توابع بلوک-پالس که یکی از توابع قطعه ای ثابت می باشند، آشنا می شویم و در فصل دوم به معرفی توابع متعامد مثلثی که از توابع بلوک-پالس ساخته می شوند، می-پردازیم. در فصل سوم روش جدیدی مبتنی بر توابع بلوک-پالس و توابع متعامد مثلثی برای حل معادلات انتگرال فردهلم خطی نوع دوم ارائه می شود و در فصل چهارم روشی برای حل معادلات انتگرال ولترا خطی نوع اول توسط روش بلوک-پالس بیان می شود و جواب تقریبی برای سیستم های کنترلی siso با استفاده از توابع بلوک-پالس و توابع متعامد مثلثی بدست می آوریم.

تحلیل پایداری انواع سیستم های غیرخطی، حتی سیستم های غیرخطی مستقل از زمان در اغلب موارد بسیار مشکل و یا حتی غیر ممکن است. در این پایان نامه، تحلیل پایداری نقاط تعادل سیستم های خطی و غیر خطی مستقل از زمان به روش لیاپانف ارائه شده است. در ادامه تحلیل پایداری نقاط تعادل تومورخود محدود شونده به روش خطی سازی لیاپانف انجام شده است. پایدارسازی نقاط تعادل ناپایدار سیستم های دینامیکی موضوع بسیار مهمی است. در اینجا پایدارسازی سیستم های دینامیکی غیر خطی مستقل از زمان به دو روش لیاپانف و کنترل لغزشی ارائه شده است. در انتها نقاط تعادل ناپایدار سیستم تومورخود محدود شونده به وسیله این دو روش پایدارسازی شده اند.

بسیاری از مسائل مهم فیزیکی و مکانیکی به معادلات انتگرال منجر می شوند، ولی در عمل تعداد کمی از این معادلا ت را می توان به روش تحلیلی حل کرد و جواب دقیق آنها را بدست آورد. بنابراین از روش های عددی برای محاسبه جواب تقریبی آنها استفاده می کنیم. پایان نامه مشتمل بر سه فصل است که به صورت زیر مرتب شده است. در فصل اول مقدمه ای کوتاه در مورد موجک ها، معادلات انتگرال و معادلات دیفرانسیل کسری و مفاهیم پایه آورده شده است. در فصل دوم روش های موجک هار و چبیشف مورد بررسی قرار گرفته و سپس این روش ها برای حل عددی معادلات انتگرال فردهلم و ولترا به کار گرفته شده است. در فصل سوم ماتریس های عملیاتی انتگرال کسری موجک هار و چبیشف را بدست آورده و از آن برای حل معادلات انتگرال کسری خطی و غیر خطی استفاده شده است. در نهایت چند مثال عددی نیز برای نشان دادن کارایی روش آورده شده است.

تحقیات بسیار وسیعی درمورد سیستم های کنترلی که از یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی تبعیت می کند انجام شده است ولی در عمل تعداد کمی از معادلات را می توان به روش تحلیلی حل کردوجواب دقیق ان هارا به دست اورد.قصد داریم از روشی به نام نظریه اندازه برای به دست آوردن کنترل بهینه برای معادله حرارت استفاده کنیم. این پایان نامه مشتمل بر چهار فصل است که به صورت زیر مرتب شده است. در فصل اول مقدمات وتعاریف مورد نیاز آورده شده است. در فصل دوم روش نظریه اندازه در مسائل کنترل بهینه کلاسیک معرفی شده است. در فصل سوم با استفاده از این روش معادله حرارت را حل کرده ونشان می دهیم که کنترل بهینه به صورت قطعه ای ثابت به دست می آید. در فصل چهارم نشان می دهیم که معادله حرارت تحت شرایطی خاص از خاصیت بنگ-بنگ بودن پیروی می کند

در این پایان نامه‏، ‎‎یک نوع محورگیری کامل برای نسخه ی پیمایش چپ پیش شرط ‎‎‎‎ainv‎‎‎‎ 3]] و ‎همچنین برای نسخه های پیمایش راست و چپ‎‎ پیش شرط ‎‎‎rif ارائه شده است [1]‎‎‎‎.‎ پیش شرط ‎ainv تجزیه ای ارائه می دهد که ‎‎‎z‎ وw ماتریس های بالا مثلثی واحد و‎‎ ‎‎‎d‎ یک ماتریس قطری است. این پیش شرط‏، دارای دو نسخه ی‎ پیمایش راست و ‎چپ ‎می باشد ‎که‎‎‎‎‎‎‎ تفاوت این دو نسخه در نحوه ی تولید عامل های بالا مثلثی ‎‎‎z‎‎ و‎‎‎‎ ‎‎‎w ‎‎ می باشد.در سال 2002‏‎ ، بولهوفر و سعد با توجه به نسخه‎ی‎ ‎‎‎‎ijk فرآیند حذفی گوس و ارتباط آن با نسخه‎ی‎ پیمایش‎ راست پیش شرط ‎ainv‎ ‎‎‎‏، یک نوع محورگیری کامل برای نسخه‎ی‎‎ ‎‎پیمایش راست پیش شرط ainv‎ ارائه دادند[4] ‎‎.در این پایان نامه، همین روش برای محورگیری در مورد نسخه‎ی‎ پیمایش چپ پیش شرط ‎ainv هم توسعه داده شده است. پیش شرط‎‎ rif‎‎‎ به عنوان محصول فرعی پیش شرط ‎‎‎‎ainv‎‎‎ تجزیه ای تولید می کند که در آن ‎u‎‎ ماتریس ‎‎‎ بالا مثلثی واحد و l ماتریس پایین مثلثی واحد و ‎‎‎‎d یک ماتریس قطری است. این پیش شرط همانند پیش شرط ‎‎ ‎ainv‎‎‎ دارای دو نسخه‎ی‎ پیمایش راست و چپ ‎می باشد و ‎چون‎ محصول فرعی پیش شرط ‎‎‎‎ainv‎ محسوب می شود‏، ‎‎می توان محورگیری کامل پیش شرط ‎‎‎‎ainv‎‎ را برای نسخه ها‎ی‎‎‎ پیمایش راست و چپ پیش شرط ‎ ‎‎‎rif‎‎ بسط داد. هدف اصلی از انجام این پایان نامه‏، بررسی تاثیر محورگیری بر کیفیت نسخه ‎‎‎ها‎ی‎ پیمایش راست و چپ پیش شرط ‎‎‎rif‎ و نسخه ی‎ پیمایش چپ پیش شرط ainv می باشد.

بسیاری از مسائل در علوم و مهندسی به معادلات دیفرانسیل جزئی کسری منجر می شوند. ولی در عمل تعداد کمی از این معادلات را می توان به روش های تحلیلی حل کرد و جواب دقیق آن ها را به دست آورد. بنابراین از روش های عددی برای محاسبه جواب تقریبی آن ها استفاده می کنیم.در این پایان نامه از دو روش آنالیز هموتوپی(ham) و روش آشفتگی هموتوپی(hpm) برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی کسری استفاده می کنیم. فصل اول به ارائه تعاریف مقدماتی و مفاهیم و قضایای اساسی اختصاص دارد. در فصل دوم به معرفی روش آنالیز هموتوپی و کاربرد آن برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی کسری و حل دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی کسری پرداخته شده است. در فصل سوم از روش آشفتگی هموتوپی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی کسری و حل دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی کسری استفاده شده و چند مثال برای بیان موثر بودن این روش آورده شده است.

حل عددی معادلات پواسون و دو همساز مس‍‍أله مهمی در آنالیز عددی به شمار می رود. همچنین معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی کاربرد های زیادی در علوم و مهندسی دارند. در این پایان نامه دو روش عددی مبتنی بر موجک های هار و موجک های لژاندر برای به دست آوردن جواب معادله دیفرانسیل جزئی بیضوی ارائه می شود. ابتدا به ارائه تعاریف مقدماتی و مفاهیم اساسی می پردازیم. سپس یک روش محاسباتی برای حل معادلات پواسون و دو همساز بر پایه استفاده از موجک های هار ارائه می کنیم. در آخر از روش های هم محلی بر اساس موجک های هار و موجک های لژاندر برای حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی دو بعدی استفاده می کنیم. در خلال هر فصل مثال هایی برای نشان دادن کارایی روش آورده شده است.

نام خانوادگی دانشجو: جغتایی نام: ماهمنظر ش دانشجویی:8913132035 استاد راهنما: دکتر محمدتقی خداداد استاد مشاور: دکتر مهدی زعفرانیه دانشکده: ریاضی و علوم کامپیوتر رشته: ریاضی کاربردی گرایش: آنالیز عددی مقطع: کارشناسی ارشد تاریخ دفاع: 14/7/92 تعداد صفحات: 111 عنوان پایان نامه: استفاده از موجک لژاندر و چندجملهایهای بسل در حل معادلات دیفرانسیل کسری و معادلات انتگرو - دیفرانسیل کلیدواژه ها: موجک لژاندر، تابع بسل، نقاط هممحلی، ماتریس عملیاتی چکیده پایان نامه مشتمل بر سه فصل است که به صورت زیر مرتب شده است. در فصل اول مقدمهای کوتاه در مورد موجکها،‎ چندجمله ای های بسل، معادلات انتگرو-دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل کسری و یک سری مفاهیم پایه آورده شده است. در فصل دوم حل عددی دستگاه معادلات انتگرو-دیفرانسیل فردهلم خطی از مرتبه ی بالا بررسی شده که بدین منظور با استفاده از روابط ماتریسی بین چندجمله ای های بسل نوع اول و مشتقات آن ها با روش ماتریسی به حل این دستگاه معادلات می پردازیم. در فصل سوم ماتریس عملیاتی انتگرال کسری موجک لژاندر و ماتریس عملیاتی دیفرانسیل کسری کپوتوی چندجمله ای های لژاندر انتقال یافته را بدست آورده و از آن برای حل معادلات دیفرانسیل کسری خطی و غیرخطی استفاده شده است. در نهایت در پایان هر فصل چند مثال عددی نیز برای نشان دادن کارایی روش ها آورده شده است.

معادلات دیفرانسیل جزیی کسری در بسیاری از زمینه ها چون بیولوژی ، فیزیک و مهندسی به کار می رود. بنابراین تلاش فراوانی برای حل این معادلات صورت گرفته است.بسیاری از این معادلات جواب دقیقی ندارند؛ به همین دلیل از روشهای عددی و تقریبی برای محاسبه جواب تقریبی آنها استفاده می شود. این پایان نامه مشتمل بر سه فصل است: در فصل اول تاریخچه ای از معادلات دیفرانسیل کسری ، معرفی برخی از توابع خاص وهمچنین برخی از مشتقات کسری آورده شده است. در فصل دوم روش تبدیل دیفرانسیل تعمیم یافته مورد بررسی قرار گرفته و سپس روش مذکور برای حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی از مرتبه کسری به کار گرفته شده است. در فصل سوم به حل معادله پخش از مرتبه کسری با استفاده از چند جمله های چبیشف پرداخته شده است. در پایان هر فصل نیز چند مثال عددی برای نشان دادن کارایی روش ها آورده شده است.

در این رساله ما ابتدا مشتقات تعمیم یافته توابع ناهموار و شرایط بهینگی تعمیم یافته برای مسائل حساب تغییرات را بررسی می کنیم. و بعد از آن یک مشتق تعمیم یافته کاربردی برای توابع ناهموار یک و چند متغیره معرفی میکنیم و به وسیله این مشتق تعمیم یافته معادله اویلر- لاگرانژ را در حساب تغییرات ناهموار تعمیم داده و آن را برای حل تقریبی مسائلی از حساب تغییرات ناهموار مورد استفاده قرار می دهیم.

معادلات دیفرانسیل فازی یکی از ابزارهای ریاضی است که در مدل و فرآیندهای بیولوژیکی ، مهندسی ، ... به کار رفته است ومعمولا یکی از ابزارهائی که ارتباط بین ریاضیات محض وعلوم فیزیکی ومهندسی را برای دانشجویان میسر می سازد معادلات دیفرانسیل است. در اکثرا شاخه های علوم مخصوصا علوم کاربردی مانند رشته های مهندسی ، فیزیک، اقتصاد، شیمی ، وغیره گاهی به مسائلی برخورد می کنیم که وقتی آنها را به صورت الگوی ریاضی تبدیل می کنیم معادله حاصل می شود که یک تابع مجهول ومشتقات تابع نسبت به متغیرهای مستقل می باشد. این گونه معادلات را معادلات دیفرانسیل می گوییم. اهمیت این گونه معادلات از آنجا ناشی می شود که مساله بهینه سازی مانند بدست آوردن تابع مینیمم هزینه، ماکزیمم سود، نقطه تعادل عرضه و تقاضا وغیره عموماً به معادلات دیفرانسیل فازی ختم می شود. در این پایان نامه روشهای عددی برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه n با شرایط آغازین فازی معرفی شده است. فصل اول این پایان نامه به تعاریف اساسی استفاده شده در این پایان نامه پرداخته می شود. در فصل دوم دو روش برای حل مساله مقدار اولیه فازی با ضرایب ثابت معرفی شده است. واولین روش بسیار مفید است چون همیشه جواب روی بازه i وجود دارد. درفصل سوم یک روش تقریبی برای حل معادلات دیفرانسیل فازی معرفی شده است، سپس روش پیشنهاد شده با حل چند مثال توضیح داده شده است. درفصل چهارم جواب یک دستگاه معادلات دیفرانسیل فازی x(t)=ax(t)+bx(t) با شرایط اولیهx(0)=x0 مطرح شده است. که در آن a وb ماتریس حقیقی n*n وx0 یک بردار n بعدی از اعداد فازی است. و در انتهای فصل یک روش تقریبی برای حل معادلات دیفرانسیل فازی خطی مرتبه nام با ضرایب ثابت بوسیله ماتریس ها معرفی شده است .

در بسیاری از مدل های سیستم های دینامیکی استفاده از یک معادله ی دیفرانسیل فازی می تواند به حل بهتر مسایل کمک کند. در این پایان نامه معادلات دیفرانسیل فازی را با استفاده از برخی روش های عددی حل می کنیم. در فصل اول این پایان نامه با مفاهیم مقدماتی و برخی روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل فازی و کاربرد آن ها آشنا می شویم. در فصل دوم معادلات دیفرانسیل فازی مرتبه ی اول را با استفاده از رو ش های تیلور و رانگ- کوتای مرتبه ی چهارم حل کرده و قضیه ی همگرایی هر روش را بیان و اثبات می کنیم . همچنین مثال هایی را با استفاده از این روش ها حل می کنیم. سرانجام در فصل سوم معادلات دیفرانسیل فازی مراتب بالاتر را با روش تیلور، روش 3- گامی خطی و روش پیشگو- اصلاح گر حل می کنیم. همچنین پس از اثبات قضیه ی همگرایی هر روش، به ارائه ی چند مثال می پردازیم.