هدف اساسی ما از این پایان نامه معرفی دو رده از دامنه های صحیح تحت عنوان دامنه های شبه تقریبا ارزیابی و دامنه های تقریبا شبه ارزیابی، مطالعه ساختارهای ایده الی آنها و بررسی ارتباط بین آنهاست. همچنین ارتباط بین این دو رده ز دامنه های صحیح با دامنه های ارزیابی، دامنه های شبه ارزیابی و دامنه های تقریبا ارزیابی مورد بررسی قرار می گیرد. سرانجام به بررسی حلقه هایی که شامل این دو رده از دامنه های صحیح می باشند، می پردازیم.در انتها نشان می دهیم که تحت چه شرایطی حلقه هایی که شامل این دو رده از دامنه های صحیح هستند، خود نیز از همین رده می باشند.

در این پایان نامه نوعی از حلقه ها منسوب به حلقه های ارزیابی را بررسی کرده و در ادامه زیرحلقه های ارزیابی و شبه ارزیابی را مورد مطالعه قرار می دهیم.

در این پایان نامه به مطالعه حلقه های مدرج و مدول های مدرج پرداخته شده و ویژگی های ایده الی های مدرج را در حلقه های مدرج بررسی شده است. سپس ایده ال های ابتدایی مدرج از یک حلقه مدرج مطالعه شده و ویژگی های تجزیه ابتدایی از یک ایده ال مدرج بررسی می شود. به معرفی ایده آل های ضربی مدرج بعضی ویژگی های این ایده ال ها در یک حلقه مدرج مطالعه شده و در ادامه هنگامی که p یک ایده ال ضربی مدرج است مجموعه ایده ال های p- ابتدایی مدرج از r مشخص می شود.

در این رساله که در پنج فصل تنظیم شده، تعمیم های دیگری از مفاهیم ایده آل های اولیه و شبه اولیه به مدول ها ارائه شده و خواص آنها مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین ارتباط بین مفاهیم جدید و مفاهیم قبلی بررسی می شود. در فصل اول مقدماتی از نظریه مدول ها بیان شده که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرند. در فصل دوم با استفاده از نوعی ضرب تعریف شده بین عناصر مدول های ضربی در [4]، امکان گسترش برخی از ساختارهای حلقه های تعویض پذیر به مدول ها مورد بررسی قرار می گیرد. در این فصل مفاهیم جدید تقسیم زیرمدول ها و مقسوم علیه صفر عناصر در یک مدول و همچنین زیرمدول اولیه ضعیف تعریف شده اند. فصا های سوم، جهارم و پنجم به معرفی و بررسی خواص زیرمدول های اولیه کلاسیک، شبه اولیه کلاسیک و شبه اولیه اختصاص دارد. در این فصول علاوه بر ارائه شرایط معادل متعددی برای اولیه کلایسک و شبه اولیه کلاسیک بودن یک زیرمدول، برخی از خواص این زیرمدول ها تحت موضعی سازی به دست می آید. همچنین به بررسی مدول ها و حلقه های اولیه سازگار و شبه اولیه سازگار پرداخته می شود. بر اساس تعریف مدول m اولیه سازگار (شبه اولیه سازگار) نامیده می شود درصورتی که مفاهیم زیرمدول اولیه و اولیه کلاسیک (شبه اولیه و شبه اولیه کلاسیک) در آن یکسان باشد. همچنین حلقه r اولیه سازگار (شبه اولیه سازگار) نامیده می شود هرگاه هر r-مدول، اولیه سازگار (شبه اولیه سازگار) باشد. بالاخره تجزیه زیرمدول ها به اشتراک تعداد متناهی زیرمدول اولیه کلاسیک، شبه اولیه کلاسیک و همچنین شبه اولیه روی مدول ها مورد بررسی قرار گرفته و قضایای یکتایی این تجزیه ها اثبات می شود. ضمن اینکه امکان تجزیه زیرمدول ها به زیرمدول های شبه اولیه؛ برخلاف بحث تجزیه مدول ها به زیرمدول های اولیه کلاسیک و شبه اولیه کلاسیک؛ روی حلقه های غیرنویتری مورد بررسی قرار گرفته و یکتایی چنین تجزیه هایی اثبات می شود. واژگان کلیدی: زیرمدول اول، زیرمدول اولیه، زیرمدول شبه اولیه، زیرمدول اولیه کلاسیک، زیرمدول شبه اولیه کلاسیک، تجزیه زیرمدول ها.

در این پایان نامه به بررسی حلقه های خوش ترکیب خواهیم پرداخت. به عبارت دیگر حلقه هایی را مطالعه می کنیم که در آنها هر عنصر به صورت جمع یک عنصر خودتوان و یک عنصر یکال نوشته می شود. حلقه های با بعد صفر و حلقه های شبه موضعی مثالهایی از این حلقه ها هستند. سپس حلقه های منحصرا خوش ترکیب را تعریف می کنیم و مثالهایی از آن ارائه می دهیم و گزاره هایی را بیان و اثبات می کنیم. در خاتمه نیز حلقه منحصرا قویا خوش ترکیب معرفی می شود.

چکیده فرض کنید r یک حلقه و g یک گراف باشد که مجموعه رئوس آن عناصر حلقه r هستند و دو رأس x,y در g مجاورند هر گاه x+y ?z(r). در این صورت گراف g را گراف کلی می نامیم. در این پایان نامه گراف کلی را روی حلقه جابجایی و یکدار r و برخی زیر مجموعه های آن از جمله z(r) و reg (r) مورد بررسی قرار می دهیم. اساساً بررسی گراف کلی به دو دسته تقسیم شده است که این تقسیم بندی به ایده آل بودن و یا نبودن z(r) بستگی دارد. همچنین در سیر این مطالب گراف کلی روی حلقه های متعددی از جمله r[x] ، حلقه حاصل ضربی، ایده آل سازی شده و نوتری را بررسی می کنیم و در پایان نشان می دهیم که گراف کلی روی حلقه هایی ویژه، گرافی هامیلتونی است. کلمات کلیدی: حلقه جابجایی، مقسوم علیه صفر منظم، گراف کلی، کمر، قطر.

در این پایان نامه به بررسی گراف متباین حلقه ها می پردازیم. فرض می کنیم r یک حلقه یکدار (نه لزوماً جابه جایی) باشد. یک گراف روی r را با ?_0 (r) و رأس هایی از عناصر r نشان می دهیم که دو رأس a و b مجاورند اگر و تنها اگر ra+rb=r. همچنین?(r) گرافی است که رئوس آن عناصر غیر یکال حلقه r است. خصوصیت های این گراف ها روی حلقه های جابه جایی و غیرجابه جایی بررسی می کنیم. گزاره هایی در مورد همبندی و ناهمبندی، کمر و قطر آنها اثبات می کنیم. در خاتمه این گراف ها را روی حلقه ماتریس ها بررسی می کنیم و به این نتیجه می رسیم که اگر r و r دو حلقه جابه جایی متناهی باشند، r حلقه ای تقلیل یافته و ?(m_n (r))??(m_m (r^ )) که m,n?2، آنگاه n=m و r?r.

در این پایان نامه به بررسی ایده آل های اولیه یکنواخت و ایده آل های قویاً اولیه نوتر و موری می پردازیم. همچنین برخی از ویژگی های آنها را بیان و رابطه بین این نوع از ایده آل ها را با یکدیگر بررسی می کنیم. در ادامه با ایده آل های متناهیاً اولیه و همچنین حلقه های متناهیاً اولیه آشنا می شویم. سپس بررسی می کنیم که اگر r یک حلقه متناهیاً اولیه باشد، تحت چه شرایطی r[x] و r[[x]] نیز متناهیاً اولیه هستند. همچنین با یک مثال نشان می دهیم که یک ایده آل اولیه متناهی تولید شده لزوماً ایده آل اولیه یکنواخت نیست. مهمترین نتیجه مطرح شده این است که در حلقه- های نوتری، ایده آل های اولیه یکنواخت، ایده آل های قویاً اولیه و ایده آل های اولیه معادل اند. علاوه بر آن زیرمدول های اولیه یکنواخت را معرفی و ویژگی های آنها را ذکر می کنیم. سپس با بیان قضایا و نتایج زیرمدول های اولیه یکنواخت از یک مدول ضربی را بررسی می کنیم. در انتها نیز با حلقه قویاً لاسکرین و u- حلقه آشنا می شویم.

در این پایان نامه یک شرط زنجیری جدید روی حلقه ها تحت عنوان شرط زنجیر متناهی تعریف می کنیم و به بررسی حالت هایی می پردازیم که هر زنجیر دلخواه از حلقه های میانی بین دو حلقه همواره متناهی طول شوند. همچنین محمل دو حلقه را تعریف می کنیم و یک کران بالا برای تعداد حلقه های میانی ارائه می دهیم.

در این پایان نامه بیان می شود که چه شروطی نیاز است تا اینکه یک حلقه بتواند در یک حلقه با بعد صفر نشانده شود. فصل اول این پایان نامه که تحت عنوان پیش نیاز ارائه شده است، به بیان مطالب مورد نیاز در فصل های بعد می پردازد. در فصل های دوم و سوم این پایان نامه تعاریف و قضایای اصلی پایان نامه بیان می شوند.

در این پایان نامه به معرفی حلقه های هنزلی غیر جابجایی پرداخته و بعضی از ویژگی های اساسی ان ها را مورد بحث قرار می دهیم. نشان می دهیم یک حلقه شبه موضعی که در توپولوژی تعریف شده توسط ایدآل ماکسیمالش کامل باشد هنزلی است.

در این پایان نامه به بررسی گراف مقسوم علیه های صفر یک حلقه می پردازیم. فرض کنید r یک حلقه باشد. در ابتدا گراف مقسوم علیه صفر را نسبت به یک ایدآل بررسی می کنیم سپس گراف مقسوم علیه های صفر را برای مجموع مستقیمی از حلقه ها و حلقه های غیر تعویضپذیر و حلقه های سری توانی و چند جمله ای بررسی می کنیم.

پایان نامه یکتایی تجزیه به ایده آل ها روی حلقه های نوتری و تقلیل یافته بررسی می شود. به عبارت دیگر با این ویژگی مورد مطالعه قرار می گیرند که اگر دو تجزیه به جمع مستقیمی از r حلقه های نوتری و تقلیل یافته ی ایده آل های تجزیه ناپذیر آن یکریخت باشد. آنگاه تعداد ایده آل های حاضر در دو یکریختی برابر و بعد از مرتب کردن اندیس ها، ایده آل ها نیز دو به دو یکریخت باشند.

در این پایان نامه به مطالعه حلقه های مدرج و مدول های مدرج می پردازیم و ویژگی های ایده آل های مدرج در یک حلقه مدرج را بررسی می کنیم.سپس با معرفی دامنه های نوتری مدرج و دامنه کرول مدرج شرایط لازم برای دامنه کرول مدرج بودن بستار صحیح یک دامنه صحیح مدرج را بیان می کنیم.

دراین پایان نامه مفهوم مدول های هم ضربی را که مفهومی مناسب برای دوگان مدول های ضربی می باشد، معرفی می کنیم و به مطالعه خواص آن ها می پردازیم. به علاوه یک شرط لازم و کافی برای هم ضربی بودن یک مدول بیان می کنیم. همچنین مفاهیمی چون مدول های هم ضربی ضعیف، حلقه های هم ضربی، مدول های هم ضربی بسته و ... را معرفی می کنیم.

این رساله دارای چهار فصل است: فصل 1-مقدماتی از جبر جابجایی را بیان کرده و همچنین مباحثی را به حلقه کسرها و ایده الهای کسری می پردازد. در فصل دوم، دوگان ایده آل در حوزه های پروفر بحث می شود. در فصل سوم ، حوزه های صحیح با شرط ‏‎tpp‎‏ و ‏‎rtp‎‏ . در فصل چهارم ، حوزه های صحیح با خاصیت ‏‎(#)‎‏ و ‏‎(##)‎‏

در این پایان نامه ‏‎a‎‏ را حلقه ای نوتری و ‏‎i‎‏ را ایده آلی از ‏‎a‎‏ در نظر می گیریم. براساس ‏‎i‎‏ ایده آل موضعی با مقطع کامل را تعریف کرده و سپس بستار صحیح این نوع ایده آل ها را مطالعه می کنیم و خواصی که ایده آل ها را در حلقه های نوتری دارند را بررسی می کنیم. سپس ایده آل های ‏‎-m‎‏ کامل و بعضی خواص آنها در حلقه های نوتری را بررسی می کنیم.

دراین پایان نامه ابتدا به مفاهیم هافین و کوهافین روی رسته های مختلف از جمله رسته حلقه ها، رسته ‏‎-r‎‏ مدولهای چپ و همینطور ‏‎-r‎‏ مدولهای راست، رسته فضاهای توپولوژیک و رسته جبرها می پردازد.نشان خواهیم داد که وابسته به هر حلقه بولی مانند ‏‎a‎‏ فضایی فشرده ، هاسدورف و کاملا ناهمبند مانند ‏‎x‎‏ وجود دارد به طوریکه گردایه متشکل از زیرمجموعه های هم باز و هم بسته آن که با ‏‎b(x)‎‏ نشان داده می شود با ‏‎a‎‏ یکریخت است. همچنین خواهیم دید که ‏‎a‎‏ حلقه هافین (کوهافین) است اگر و تنها اگر ‏‎x‎‏ فضایی کوهافین (هافین ) باشد. همچنین نشان می دهیم که اگر ‏‎x‎‏ فضایی فشرده و هاسدورف باشد، ‏‎cir(x)‎‏ متشکل از توابع پیوسته حقیقی روی ‏‎x‎‏ یک ‏‎-r‎‏ جبر هافین (کوهافین) است اگر و تنها اگر ‏‎x‎‏ فضایی کوهافین(هافین) باشد.علاوه بر این خواهیم دید که اگر ‏‎r‎‏ حلقه ای بولی و هافین باشد حلقه چندجمله ای ها ‏‎r[x]‎‏ نیز هافین است و در خاتمه نشان می دهیم که اگر ‏‎r‎‏ و ‏‎s‎‏ حلقه هایی هافین باشد که ‏‎0‎‏ و ‏‎‏‎1‎‏ تنها عناصر خودتوان مرکزی ‏‎s‎‏ باشند و ‏‎s‎‏ تصویر همریخت ‏‎r‎‏ نباشد ، آنگاه ‏‎s‎‏*‏‎r‎‏ حلقه ای هافین است.