هدف ما در این پایان نامه این است که نشان دهیم اگر vt یک چندگونای سگره از p1 ×· · ·×p1 به توی pn باشد در این صورت s-امین چندگونای متقاطع از چندگونای سگره دارای بعد امید می باشد. سپس نشان می دهیم که برای t=4 و s=3, سومین چندگونای متقاطع بعد امید مورد نظر را ندارد و ثابت می کنیم که این تنها مثال نقض در این خانواده نامتناهی می باشد.

حدس پوشش یکدست اولین بار توسط ادگار ایناکس در رستهِ مدولها و رستهِ بافهای o_x-مدولی به ترتیب در سالهای 1980 و 2002 مطرح گردید. هدف از این پایان نامه معرفی مفهوم پوشش یکدست و اثبات این حدس در رستهِبافه های شبه منسجم و بررسی اهمیت این موضوع می باشد. همچنین نشان خواهیم داد که با به کار بردن پوشش یکدستی که از این روش به دست می آید، می توانیم نوعی کوهومولوژی در رستهبافه های شبه منسجم تعریف نمائیم.

هندسه جبری مطالعه ریشه های مطالعات چندجمله ای در n-فضای آفین یا تصویری است. یکی از ابزارهای بسیار مهم در این زمینه پایه گروبنر می باشد که در سال 1965 توسط بوخبرگر برای ایده آل های حلقه چندجمله ای ها با ضرایب در یک میدان مطرح شد. در مقاله ای در سال 1992 مفهومی جدید به نام پایه ی گروبنر فراگیر توسط وایزفنینگ مطرح شد که در آن ایده آل های ارامتری مورد بررسی قرار گرفتند. در بررسی این ایده آل ها مفهومی به نام سیستم های گروبنر فراگیر بیان شد که در حقیقت قطعه های این سیستم یک تجزیه از فضای پارامتری بدست می دهند. در همان مقاله وایزفنینگ ثابت کرد که هر نگاشت تخصیص را می توان با یک ایده آل اول از فضای پارامتری متناظر کرد و بر عکس. در این پایان نامه سعی می کنیم یک تجزیه متفاوت از فضای پارامتری بر حسب مجموعه های پارامتری و ایده آل های ائل خوش یمن ارائه دهیم که منجر به بهبود الگوریتم محاسبه ی پایه ی گروبنر فراگیر خواهد شد.

ابتدا یک نظزیه جامع در مورد هموستارها ارائه می دهیم که برای مطالعات بعدی استفاده خواهد شد. نشان می دهیم که در صورت وجود یک هموستار روی کلاف برداری باناخ (p,e,m) می توان دو قضیه ی شکافت برای بیان نمود. سپس با استفاده از مفهوم توازیپذیری، روشی براز مطالعه ی معادلات دیفرانسیل معمولی روی کلاف ها و خمینه های باناخ معرفی می کنیم که زمینه ی مناسب برای مطالعات در حالت غیرباناخ را نیز به وجود می آورد. علیرغم وجود مشلات ذاتی برای کلاف ها و خمینه-هایی که روی فضاهای غیرباناخ مدل شده اند، قضایای شکافت را برای کلاف های غیرباناخ نیز اثبات می کنیم. به علاوه حالت مناسبی از قضیه ی وجود و یکتایی جواب برای معادلات دیفرانیسیل معمولی روی این کلاف ها ارائه می کنیم. در ادامه برای کلاف برداری p نشان می دهیم که (s, te, m) یک ساختار کلاف برداری اختیار می کند اگر و تنها اگر یک هموستار خطی روی p داشته باشیم. پس از آن مفهوم هموستار مرتبه دوم روی خمینه ها را معرفی می کنیم که در مطالعه کلاف شتاب ها نقش اساسی خواهد داشت. در حقیقت با استفاده از ساختار کلافی ایجاد شده روی ttm، ابزارهای هندسی مانند مشتق جهتی مرتبه دوم، خم های خود متوازی مرتبه اول و دوم، نگاشت نمایی و براکت لی مرتبه دوم را برای کلاف شتاب ها معرفی می نماییم. سرانجام نشان می دهیم که برای هر هموستار روی خمینه m می توان یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم متناظر کرد که ابزار مناسبی برای یررسی ژئودزی ها روی خمینه های باناخ و غیرباناخ است.

section{introduction} the concept of {sl cartan geometry} appeared at the beginning of the twentieth century, when {e}lie cartan was working on the so-called {sl equivalence problem}, the aim of which is to determine whether two given geometric structures can be mapped bijectively onto each other by some diffeomorphism. this problem can be considered in many different contexts, such as equivalences of submanifolds, of differential equations, of frames, of coframes and of other geometric structures. in the specific case of local real analytic hypersurfaces in $bbb c^2$, poincare (1907) initiated the study of the {sl cauchy-riemann} (cr for short) equivalence problem under biholomorphic transformations. later, in 1932, this problem was solved in an essentially complete way by cartan cite{cartan}. in general, cartan also developed appropriate concepts and showed that one can reformulate several,,---,,somewhat hard,,---,,initial equivalence questions ({em see}~cite{olver1}) in terms of equivalences of coframes. granted this, he devised an algorithm to decide whether two given manifolds $m_1$ and $m_2$ equipped with certain specific geometric structures encoded by means of coframes are equivalent. the main thrust is to construct two principal bundles ${cal g}_1$ and ${cal g}_2$ over $m_1$ and $m_2$ having the same structure group together with two coframes $omega^1:={omega_1^1,ldots,omega_1^n}$ on ${cal g}_1$ and $omega^2:={omega_2^1,ldots,omega_2^n}$ on ${cal g}_2$, such that $m_1$ and $m_2$ are equivalent if and only if there exists a diffeomorphism $phi:{cal g}_1 o {cal g}_2$ commuting with projections, which sends $omega^1$ to $omega^2$, i.e.: [ phi^ast(omega_2^i) = omega_1^i, scriptstyle{(i,=,1,,ldots,,n)}. ] this also motivated cartan to introduce new elegant geometries, that he called {sl espaces g{e}n{e}ralis{e}s} and that are nowadays defined as follows. egin{definition} label{cartanconnecdefini} let $g$ be a lie group with a closed subgroup $h$, and let $frak g$ and $frak h$ be the corresponding lie algebras. a {sl cartan geometry of type $(g,h)$} on a manifold $m$ is a principal $h$-bundle: [ pi:{cal g}longrightarrow m ] together with a $frak g$-valued $1$-form $omega$, called the corresponding {sl cartan connection}, on $cal g$ subjected to the following three conditions: smallskipegin{itemize} item[ extbf{(i)}] $omega_p:t_p{cal g}longrightarrowfrak g$ is an isomorphism at every point $pincal g$; smallskip item[ extbf{(ii)}] if $r_h(p):=ph$ is the right translation on $cal g$ by $hin h$, then for any such $h$: [ r^ast_homega={ m ad}(h^{-1})circomega; ] smallskipitem[ extbf{(iii)}] $omega(h^dag)={sf h}$ for every ${sf h}infrak h$, where: [ h^dag|_p := extstyle{frac{d}{dt}}ig|_0ig((r_{exp(t sf h)}(p)ig) ] is the left-invariant vector field on $cal g$ corresponding to $sf h$. end{itemize} oindent end{definition} underlying a cartan geometry, there always is a homogeneous space, namely $g/h$. in fact, among the cartan geometries of type $(g,h)$, the most symmetric one, called {sl klein geometry of type $(g,h)$}, arises when $m=g/h$, when $pi colon g ightarrow g/h$ is the projection onto left-cosets, and when $omega=omega_{mc} colon tg o frak g$ is the {sl maurer-cartan form} on $g$ ({em see} cite{sharpe}). generally, cartan geometries are a generalization of klein geometries and also, are a generalization of {sl riemannian geometries}. while the geometries of klein present perfect homogeneity and while the ones of riemann can be regarded as inhomogeneous types of euclidean geometry, cartan devised a broad synthesis between these two seemingly incompatible types of geometry. in general, with a cartan connection $omega$ as above, if we associate the vector field $widehat{x}:=omega^{-1}({sf x})$ on $cal g$ to an arbitrary element ${sf x}$ of $frak g$, then the infinitesimal version of condition extbf{(ii)} reads as: [ [widehat{x},widehat{y}] = widehat{[{sf x},{sf y}]_{frak g}}, ] whenever {sf y} belongs to $frak h$. but in the special case of klein geometries, this equality holds moreover for any arbitrary element $sf y$ of $frak g$. this difference motivates one to define the {sl curvature function}: [ kappa colon {cal g} longrightarrow { m hom} ig( lambda^2 (frak g/frak h),frak g ig) ] associated to the cartan connection $omega$ by: [ kappa_p({sf x},{sf y}) := omega_pig([widehat{x}, widehat{y}]ig)-[{sf x},{sf y}]_{frak g} {scriptstyle{(p,in,mathcal{g}, {sf x},,{sf y},in,frak {g/h})}}. ] in a way, the curvature function measures how far a cartan geometry is from its corresponding klein geometry. in particular, a cartan geometry is locally equivalent to its corresponding klein geometry if and only if its curvature function vanishes identically ({em see} cite{sharpe}). section{theoretical background} in this thesis, we aim to effectively build the cartan geometry of real hypersurfaces in $bbb c^2$. after cartan himself in 1932, several other mathematicians reconstructed and developed this geometry, especially, chern-moser cite{chernmoser} and tanaka cite{tanaka}, who presented some alternative methods which enable one to construct the cartan geometries in higher dimension. the powerful methods of tanaka have been used widely in the important class of so-called {sl parabolic geometries}, which are a specific, rich type of cartan geometries; {em see} the recent extensive monograph cite{cap,cap-slovak} by v{c}ap and slovak. recently, ezhov, mclaughlin and schmalz published the article cite{ems} in the {em notices of the american mathematical society}, the purpose of which is to reconstruct cartans eight-dimensional coframe within tanakas framework. in this excellent expository paper, which in fact inspired us to prepare the current work, they computed again the cartan curvatures of the mentioned real hypersurfaces in $bbb c^2$, taking account of the corresponding lie algebra second cohomology space. contrary to what is sometimes believed, neither cartans computations (cite{ cartan}), nor cherns computations (cite{ chernmoser, jacobowitz, isaev}) are really effective, though, {em potentially}, they should be so after some (hard) work. ezhov, mclaughlin and schmalz (cite{ ems}) made a normalization of an initial frame for $tm$ which requires an application of the cauchy-kowalewski theorem, hence requires real analyticity of $m$ ({em cf.}~cite{ jacobowitz, merkerporten} for some {sc pde} aspects of cr geometry). by performing an alternative choice ${ h_1, h_2, t}$ of an initial frame for $tm$ which is explicit in terms of a local graphing function $varphi ( x, y, u)$ for $m$, we deviate from the normalization made in~cite{ ems} (with a more geometric-minded approach), our computational objective being to provide a cartan-tanaka connection all elements of which are completely effective in terms of $varphi (x, y, u)$,,---,,assuming only ${cal c}^6$-smoothness of $m$. one important obstacle on the way to performing completely explicit computations is that one has to divide by a complicated levi-form factor $upsilon$ ({em see} below) and then to execute several further differentiations of algebraic expressions involving $upsilon$, {em see} the functions $a_i$, $a_{ i, k_1}$, $a_{ i, k_1, k_2}$, $a_{ i, k_1, k_2, k_3}$ below whose full expansion costs hundreds of lines to maple. section{results and discussion} let $m^3subsetbbb c^2$ be a local levi-nondegenerate real 3-dimensional hypersurface passing through the origin, represented in coordinates $(z,w)=(x+iy,u+iv)$ as a graph: [ v = varphi(x,y,u) = x^2+y^2+{ m o}(3), ] for a certain real-valued ${cal c}^6$-smooth graphing function $varphi$ defined in a neighborhood of the origin in $bbb r^3$. throughout the paper, ${cal c}^6$-smoothness will be regularly assumed, because all objects (curvatures, frames, coframes) will happen to depend upon partial derivatives of order $leqslant 6$ of $varphi$. in this thesis, our intention is to reformulate cartans results in terms of the graphing function $varphi$, which is the initial, single datum of this study. the goal is to build the cartan geometry of such hypersurfaces $m^3$ and to characterize explicitly when they are locally biholomorphic to the distinguished {sl heisenberg sphere} $bbb h^3$ defined by the simplest equation having no ${ m o} ( 3)$ remainder: [ v = x^2+y^2 { m or equivalently:} w-overline{w} = 2i,zoverline{z}. ] to do this, we use tanakas powerful methods in several steps. at first, we compute the lie algebra $frak{hol}(bbb h^3)$ of infinitesimal cr automorphisms of the heisenberg sphere, namely the $bbb r$-linear space of all $(1,0)$-vector fields: [ {sf x}=z(z,w)frac{partial}{partial z}+w(z,w)frac{partial}{partial w} ] having holomorphic coefficients $z$ and $w$, whose real part is tangent to $bbb h^3$, {em i.e.}: [ ig({sf x}+overline {sf x}ig)|_{bbb h^3}equiv 0. ] easy computations yield at first some standard, known generators: egin{proposition} label{8-dim} the lie algebra $frak{hol}(bbb h^3)$ of infinitesimal cr automorphisms of the heisenberg sphere $bbb h^3$ in $bbb c^2$ is of dimension $8$ and is generated by the following eight $bbb r$-linearly independent fields: egin{eqnarray*} & {sf h}_1& := partial_z+2iz,partial_w {sf h}_2 := i, partial_z+2z,partial_w, {sf i}_1 := (w+2iz^2),partial_z+2izw,partial_w, & {sf i}_2 &:= (iw+2z^2),partial_z+2zw, {sf t} := partial_w, {sf d} := z,partial_z+2w,partial_w, & {sf j} &:= zw,partial_z+w^2,partial_w, {sf r} := iz,partial_z. end{eqnarray*} end{proposition} this lie algebra is two-graded of the form: [ frak{hol}(bbb h^3)=underbrace{frak l_{-2}oplusfrak l_{-1}}_{frak l_-}oplusfrak l_{0}oplusfrak l_{1}oplusfrak l_2, ] where: $frak {l}_{-2} = bbb{ r} , {sf t}$; $frak {l}_{ -1} = bbb{r}, {sf h}_1 oplus bbb{r}, {sf h}_2$; $frak { l}_0 = bbb{r}, {sf d} oplus bbb{r}, {sf r}$; $frak { l}_1 = bbb{r}, {sf i}_2 oplus bbb{r}, {sf i}_2$; $frak {l}_{ 2} = bbb{r} , {sf j}$. it is known ({em see} cite{beloshapka2}) that $frak l_-$ is in fact the levi-tanaka symbol algebra of every levi nondegenerate real hypersurface $m^3subsetbbb c^2$, up to isomorphism. as for the second step, we apply the tanaka prolongation procedure to the nilpotent lie algebra $frak l_-$ just above, which we rename $frak { g}_- = frak { g}_{ -2} oplus frak { g}_{ -1}$, and we recover an eight-dimensional two-graded algebra: [ frak g=underbrace{frak g_{-2}oplusfrak g_{-1}}_{frak g_-}oplusfrak g_{0}oplusfrak g_{1}oplusfrak g_2 ] which is isomorphic to $frak{hol} (bbb h^3)$ {em via} a trivial map: [ {sf t} ightarrow{sf t}, {sf h}_1 ightarrow{sf h}_1, {sf h}_2 ightarrow{sf h}_2, {sf d} ightarrow{sf d}, {sf r} ightarrow{sf r}, {sf i}_1 ightarrow{sf i}_1, {sf i}_2 ightarrow{sf i}_2, {sf j} ightarrow{sf j}. ] where ${sf t},{sf h}_1,{sf h}_2,{sf r},{sf d},{sf i}_1,{sf i}_2$, ${sf j}$ are the eight generators of $frak g$ we construct. knowing that, generally speaking, the lie algebra of infinitesimal automorphisms of a non-holonomic homogeneous distribution is isomorphic to the tanaka prolongation of its nilpotent $frak h_-$-part (cite{tanaka, yamaguchi}), our computations verify this fact in the specific case of levi-nondegenerate real hypersurfaces $m^3subsetbbb c^2$ ({em cf.} also~cite{ems}) . afterward, we compute the second cohomology of the obtained pair of graded tanaka-type lie algebras $(frak { g}_-, frak { g})$. this enables us to find in advance some significant algebraic properties of the desired curvature function $kappa$ before starting the main computations in order to construct the sought $frak g$-valued connection. for example, we can find the homogeneity of the first nonzero homogeneous component of this curvature function, and also, we can find in advance how many essential curvature components there are. to compute the cohomology space, we have used the implementation of an algorithm provided in cite{aams} which is workable within the maple software. the last section of this thesis is devoted to introduce this algorithm which is prepared in the more general case of {sl lie (super) algebras}. next, we start the computation of an initial frame for any hypersurface $m^3$ in $bbb c^2$. at first we construct two basis elements $h_1$ and $h_2$ for the complex tangent bundle $t^cm$ in terms of the defining function $varphi$ and we get: egin{lemma} for any local ${cal c}^6$-smooth hypersurface $m^3$ of $bbb c^2$ which is represented as a graph: [ v = varphi(x,y,u) ] in coordinates $(z, w) = ( x + iy, , u + iv)$, the complex tangent bundle $t^cm = { m re}, t^{ 0, 1}m$ is generated by the two explicit vector fields: egin{eqnarray*} left{ egin{array}{c} h_1 := frac{partial}{partial x} + igg( frac{varphi_y-varphi_x,varphi_u}{1+varphi_u^2} igg) frac{partial}{partial u}, h_2 := frac{partial}{partial y} + igg( frac{-varphi_x-varphi_y,varphi_u}{1+varphi_u^2} igg) frac{partial}{partial u}. end{array} ight. end{eqnarray*} end{lemma} oindent next, assuming that $m$ is furthermore levi nondegenerate, we also compute the lie bracket $t:=frac{1}{4}[h_1,h_2]$ in terms of the defining function. for each hypersurface $m^3$ defined as the graph of the function $varphi$, the associated vector fields $h_1,h_2$ and $t$ constitute a local frame on $m$, which will be what we call the {sl initial frame}. for later use, we also compute the two length-three brackets $[h_1,t]$ and $[h_2,t]$ and, fortunately, we see that both of them are certain multiples of $t$: egin{lemma} label{h-t-brackets} allowing the two notational coincidences: $x_1equiv x$ and $x_2equiv y$, one has: [ [h_1,t]=phi_1,t { m and} [h_2,t]=phi_2,t, ] where the two rational functions $phi_1$ and $phi_2$ of the variables $(x_1,x_2,u)$ are of the form: [ phi_1=frac{a_1}{delta^2upsilon} { m and} phi_2=frac{a_2}{delta^2upsilon}, ] in which the two functions $delta$ and $upsilon$ (the levi-form factor, nonzero by assumption) have the explicit expressions: egin{eqnarray*} delta & = & 1+varphi_u^2, upsilon & = & -varphi_{xx}-varphi_{yy} - 2,varphi_y,varphi_{xu} - varphi_x^2,varphi_{uu} + 2,varphi_x,varphi_{yu} - varphi_y^2,varphi_{uu} + && + 2,varphi_y,varphi_u,varphi_{yu} + 2,varphi_x,varphi_u,varphi_{xu} - varphi_u^2,varphi_{xx} - varphi_u^2,varphi_{yy}. end{eqnarray*} and in which the two numerators are given by: [ a_i := delta^2,upsilon_{x_i} + delta ig( -2,delta_{x_i},upsilon + lambda_i,upsilon_u - upsilon,lambda_{i,u} ig) - lambda_i,upsilon,delta_u {scriptstyle{(i,=,1,,2)}}, ] where we set: [ lambda_1 := varphi_y - varphi_x,varphi_u, lambda_2 := -,varphi_x - varphi_y,varphi_u. ] end{lemma} from now on, we are using a different normalization than ezhov, mclaughlin and schmalz (cite{ ems}), so that the computations begin to be substantially distinct. one should notice here that the two functions $phi_1$ and $phi_2$ which encode the lie structure of the initial frame $ig{ h_1, h_2, t ig}$ already necessitate a division by the complicated function $upsilon$, which coincides, in the real coordinates $(x, y, u)$, with the levi determinant of $m$, of course of size $1 imes 1$, because ${ m crdim}(m) = 1$. then the $a_i$ require differentiations of $upsilon$, and furthermore, higher order invariants of the normal tanaka connection we will construct,,---,,which corresponds to a known, basic parabolic geometry,,---,,will require further partial differentiations of $upsilon$ up to order $4$. this will make computations really explode when expressing back everything in terms of partial derivatives of the graphing function $varphi ( x, y, u)$ of order $leqslant 6$. in particular, we shall have to introduce furthermore the $h_k$-iterated derivatives of the functions $phi_i$ up to order $3$, where $i, k_1, k_2, k_3 = 1, 2$: [ h_{k_1}(phi_i) = { extstyle{frac{a_{i,k_1}}{delta^4,upsilon^2}}}, h_{k_2}(h_{k_1}(phi_i)) = frac{a_{i,k_1,k_2}}{delta^6,upsilon^3}, h_{k_3}(h_{k_2}(h_{k_1}(phi_i))) = { extstyle{frac{a_{i,k_1,k_2,k_3}}{delta^8,upsilon^4}}}. ] smallskip egin{proposition} label{aikkk} all the numerators appearing above are explicitly given by: egin{eqnarray*} scriptsize a_i & := &delta^2,upsilon_{x_i} + delta ig( -2,delta_{x_i},upsilon + lambda_i,upsilon_u - upsilon,lambda_{i,u} ig) - lambda_i,upsilon,delta_u, a_{i,k_1} & :=& delta^2 ig( upsilon,a_{i,x_{k_1}} - upsilon_{x_{k_1}},a_i ig) + delta ig( -2,delta_{x_{k_1}},upsilon,a_i + upsilon,lambda_{k_1},a_{i,u} - upsilon_u,lambda_{k_1},a_i ig) - 2,delta_u,upsilon,lambda_{k_1},a_i, a_{i,k_1,k_2} & := & delta^2 ig( upsilon,a_{i,k_1,x_{k_2}} - 2,upsilon_{x_{k_2}},a_{i,k_1} ig) + delta ig( -4,delta_{x_{k_2}},upsilon,a_{i,k_1} + upsilon,lambda_{k_2},a_{i,k_1,u} - 2,upsilon_u,lambda_{k_2},a_{i,k_1} ig) - & & - 4,delta_u,upsilon,lambda_{k_2},a_{i,k_1}, a_{i,k_1,k_2,k_3} & := &delta^2 ig( upsilon,a_{i,k_1,k_2,x_{k_3}} - 3,upsilon_{x_{k_3}},a_{i,k_1,k_2} ig) + delta ig( -6,delta_{x_{k_3}},upsilon,a_{i,k_1,k_2} + upsilon,lambda_{k_3},a_{i,k_1,k_2,u} - && -3,upsilon_u,lambda_{k_3},a_{i,k_1,k_2} ig) - 6,delta_u,upsilon,lambda_{k_3},a_{i,k_1,k_2}. end{eqnarray*} furthermore, these iterated derivatives identically satisfy: [ h_2(phi_1) equiv h_1(phi_2) ] and also: egin{eqnarray*} scriptsize 0 & equiv & -,h_1(h_2(h_1(phi_2))) + 2,h_2(h_1(h_1(phi_2))) - h_2(h_2(h_1(phi_1))) - phi_2,h_1(h_2(phi_1)) + phi_2,h_2(h_1(phi_1)), & equiv & -,h_2(h_1(h_1(phi_2))) + 2,h_1(h_2(h_1(phi_2))) - h_1(h_1(h_2(phi_2))) - phi_1,h_2(h_1(phi_2)) + phi_1,h_1(h_2(phi_2)), & equiv & -,h_1(h_1(h_1(phi_2))) + 2,h_1(h_2(h_1(phi_1))) - h_2(h_1(h_1(phi_1))) + phi_1,h_1(h_1(phi_2)) - phi_1,h_2(h_1(phi_1)), & equiv & -,h_2(h_2(h_1(phi_2))) + 2,h_2(h_1(h_2(phi_2))) - h_1(h_2(h_2(phi_2))) + phi_2,h_2(h_1(phi_2)) - phi_2,h_1(h_2(phi_2)). end{eqnarray*} end{proposition} the latter statement corresponds to an observation which seems to be new in the subject, seemingly absent in the papers~cite{cartan, chernmoser, jacobowitz, nurowskisparling, le, ems, isaev}. section{conclusions} subsequently, we will be able to start the main computations of the curvature function $kappa$. we compute in fact {sl curvature coefficients} $kappa^{p_{j_1}p_{j_2}}_{q_j}$, which, by definition, are the coefficients of the basis elements: [ {sf p}_{j_1}^astwedge{sf p}_{j_2}^astotimes{sf q}_j,,,,,,, {scriptstyle{({sf p}_{j_1},,{sf p}_{j_2},in,frak g_-, ,,,, {sf q}_j,in,frak g)}} ] of the vector space ${ m linig(lambda^2frak g_-,frak gig)}$, in the expression of $kappa$. here is our main result. egin{theorem} associated to any ${cal c}^6$-smooth levi-nondegenerate real $3$-dimensional hypersurface $m^3 subset bbb{ c}^2$, represented in coordinate $(z,w):=(x+iy,u+iv)$ as a graph: [ v=varphi(x,y,u)=x^2+y^2+{ m o}(3), ] there is a unique $frak { g}$-valued cartan connection which is normal and regular in the sense of tanaka. its curvature function reduces to: egin{eqnarray*} kappa(p) & = & kappa^{h_1t}_{i_1}(p), {sf h}_1^astwedge{sf t}^ast otimes {sf i}_1 + kappa^{h_1t}_{i_2}(p), {sf h}_1^astwedge{sf t}^ast otimes {sf i}_2 + kappa^{h_2t}_{i_1}(p), {sf h}_2^astwedge{sf t}^ast otimes {sf i}_1 + && + kappa^{h_2t}_{i_2}(p), {sf h}_2^astwedge{sf t}^ast otimes {sf i}_2 + kappa^{h_1t}_j(p), {sf h}_1^astwedge{sf t}^ast otimes {sf j} + kappa^{h_2t}_j(p), {sf h}_2^astwedge{sf t}^ast otimes {sf j}, end{eqnarray*} where the two main curvature coefficients, having homogeneity $4$, are of the form: egin{eqnarray*} footnotesize kappa_{i_1}^{h_1t}(p) & = & -,mathbf{delta_1},c^4 - 2,mathbf{delta_4},c^3d - 2,mathbf{delta_4},cd^3 + mathbf{delta_1},d^4, kappa_{i_2}^{h_1t}(p) & = & -,mathbf{delta_4},c^4 + 2,mathbf{delta_1},c^3d + 2,mathbf{delta_1},cd^3 + mathbf{delta_4},d^4, end{eqnarray*} in which the two functions $mathbf{ delta_1}$ and $mathbf{ delta_4}$ of only the three variables $(x, y, u)$ are {em explicitly} given by: egin{eqnarray*} scriptsize mathbf{delta_1} & =& { extstyle{frac{1}{384}}} ig[ h_1(h_1(h_1(phi_1))) - h_2(h_2(h_2(phi_2))) + 11,h_1(h_2(h_1(phi_2))) - 11,h_2(h_1(h_2(phi_1))) + && + 6,phi_2,h_2(h_1(phi_1)) - 6,phi_1,h_1(h_2(phi_2)) - 3,phi_2,h_1(h_1(phi_2)) + 3,phi_1,h_2(h_2(phi_1)) - & & - 3,phi_1,h_1(h_1(phi_1)) + 3,phi_2,h_2(h_2(phi_2)) - ig[h_1(phi_1)ig]^2 + ig[h_2(phi_2)ig]^2 - && -,2,(phi_2)^2,h_1(phi_1) + 2,(phi_1)^2,h_2(phi_2) - 2,(phi_2)^2,h_2(phi_2) + 2,(phi_1)^2,h_1(phi_1) ig], mathbf{delta_4} & = & { extstyle{frac{1}{384}}} ig[ -,3,h_2(h_1(h_2(phi_2))) - 3,h_1(h_2(h_1(phi_1))) + 5,h_1(h_2(h_2(phi_2))) + 5,h_2(h_1(h_1(phi_1))) + && +4,phi_1,h_1(h_1(phi_2)) + 4,phi_2,h_2(h_1(phi_2)) - 3,phi_2,h_1(h_1(phi_1)) - 3,phi_1,h_2(h_2(phi_2)) - && -,7,phi_2,h_1(h_2(phi_2)) - 7,phi_1,h_2(h_1(phi_1)) - 2,h_1(phi_1),h_1(phi_2) - 2,h_2(phi_2),h_2(phi_1) + && +4,phi_1phi_2,h_1(phi_1) + 4,phi_1phi_2,h_2(phi_2) ig], end{eqnarray*} and where the remaining four secondary curvature coefficients are given by: egin{eqnarray*} kappa_{i_1}^{h_2t} & =& kappa_{i_2}^{h_1t}, kappa_{i_2}^{h_2t} & =& -,kappa_{i_1}^{h_1t}, kappa^{h_1t}_j & =& widehat{h}_1ig(kappa^{h_2t}_{i_2}ig) - widehat{h}_2ig(kappa^{h_1t}_{i_2}ig), kappa^{h_2t}_j & = &-widehat{h}_1ig(kappa^{h_2t}_{i_1}ig) + widehat{h}_2ig(kappa^{h_1t}_{i_1}ig). end{eqnarray*} end{theorem} egin{corollary} a ${cal c}^6$-smooth levi nondegenerate local hypersurface $m^3 subset bbb{ c}^2$ is biholomorphic to $bbb{ h}^3$, namely is {sl spherical}, if and only if $0 equiv mathbf{ delta_1} equiv mathbf{ delta_4}$, identically as functions of $(x, y, u)$. end{corollary} the proof is just an application of the frobenius theorem (cite{ sharpe}), real analyticity of $m$ being forced by these two zero curvature equations.

قانون کسینوس های هذلولوی یکی از نتایج هندسه با قدمتی بیش از یک قرن است. ریشه ی اصلی این قانون جمع نسبیتی سرعت های مجاز است که در مقاله ی معروف آلبرت اینشتین در زمینه ی نظریه ی نسبیت(1905)مطرح شد. این مطلب به وسیله ی زومرفیلد در سال 1909 بر حسب توابع مثلثاتی هذلولوی به عنوان نتیجه ای از قانون جمع سرعت های مجاز(کمتر از سرعت نور) بیان شد. پس از وی وارچاک در سال 1912 تعبیر نتایج زومرفیلد را برای مدل کلاسیک هندسه هذلولوی(مدل بلترامی-کلاین)بیان کرد. این تعبیر نخستین مطلب در مورد رابطه ی هندسه ی هذلولوی و نسبیت اینشتین است. در این پایان نامه بر اساس کارهای دو ریاضیدان برجسته ی معاصر، پروفسور هلموت کارتسل و پرفسور آبراهام اونگار با روشی نو چشم اندازهای جدیدی از هندسه ی هذلولوی به کمک جایرو فضای برداری گشوده می شود. این رهیافت شباهت های عمیقی با رهیافت معمولی فضای برداری در هندسه ی اقلیدسی دارد. این شباهت ها به ما امکان می دهد که دانش مربوط به هندسه ی اقلیدسی و فیزیک کلاسیک نیوتنی وابسته به آن را به شکل شهودی به هندسه ی هذلولوی و فیزیک نسبیتی مربوط کنیم. بردارهای جایرو که همان بردارهای سرعت نسبیتی اینشتین هستند، بردارهای هذلولوی به حساب می آیند و قانون جمع جایرو همان قانون جمع سرعت نسبیتی خواهد بود. بردارهای هذلولوی(جایرو بردار) به عنوان کلاس های هم ارزی از پاره خط های جهت دار هذلولوی مطرح می شوند که جمع آن ها بر اساس قانون جمع متوازی الاضلاع هذلولوی به دست می آید، همان گونه که بردارهای معمولی در فضای اقلیدسی کلاس های هم ارزی از پاره خط های جهت دار هستند که بر اساس قانون متوازی الاضلاع اقلیدسی جمع می شوند.

چکیده : در این پایان نامه نظریه موضی رویه ها در فضای اقلیدسی چهاربعدی بررسی می شود. با تعریف یک نگاشت خطی روی فضای مماس رویه با نام نگاشت وینگارتن ثابت می شود که این نگاشت به تقریب علامت یک ناوردای هندسی رویه است. دترمینان و اثر ماتریس متناظر به این نگاشت خطی را به عنوان ناورداهای جدید رویه در نظر می گیریم و بر حسب این دو کمیت نقاط روی رویه به چهارنوع تخت، بیضوی، هذلولوی و سهموی تقسیم بندی می شوند. سپس رویه های مینیمال و رویه های دارای التصاق قائم تخت بر حسب این دو کمیت مشخص خواهند شد. در ادامه دو ساختار دیگر برای مشخص کردن شکل رویه ارائه شده و ارتباط نقاط تخت، بیضوی، هذلولوی و سهموی ورویه های مینیمال و رویه های دارای التصاق قائم تخت با این دو ساختار بیان می شوند. در روش اول در هر نقطه از فضای مماس رویه یک خم جبری درجه دوم با نام شاخص مماسی تعریف شده و در روش دوم در فضای قائم بر هر نقطه از رویه یک بیضی با نام بیضی انحنای قائم معرفی می شود. پس از آن در هر نقطه از رویه میدان کنجی متعامد یکه یگانه ای انتخاب شده و هشت ناوردای جدید از رویه بدست می آید. آنگاه معادلات مشتق رویه را بر حسب این ناورداها نوشته و دو رده از رویه های تخت بر حسب آنها مشخص خواهند شد. در ادامه قضیه ای ثابت می شود که بنابر آن وجود رویه یکتایی را برای مجموعه ای از ناورداها تضمین می کند. واژه های کلیدی : رویه ها در فضای چهار بعدی اقلیدسی ، نگاشت وینگارتن، بیضی انحنای قائم، قضیه اساسی از نوع بونه

این پایان نامه مشتمل بر تعمیم نظریه ی رویه های دوار از فضای اقلیدسی سه بعدی به فضای اقلیدسی چهار بعدی است. بنابراین لازم است تعریف مناسبی از این رویه ها در e^4 ارائه شود. از جمله ابزار بکار رفته در این تعریف ها مبحث w-خم ها است که معرفی می گردد و مثال هایی برای آن مطرح می شود. همچنین نوع خاصی از رویه های دوار تعمیم یافته با نام ورونیس ارائه می شود. سپس انحنای گاوسی و انحنای میانگین آن محاسبه خواهد شد. در ادامه اثبات می شود که هر رویه ی دوار تعمیم یافته در e^4 رویه ی چن است. بعلاوه چند مثال از رویه های دوار تعمیم یافته در فضای اقلیدسی چهار بعدی جهت ملموس کردن مطالب مورد نظر در ادامه خواهد آمد. در انتها به محاسبه ی بیضی انحنای رویه های چن پرداخته می شود.

حل یک دستگاه از چند جمله ایها همواره یکی از مسایل مهم در ریاضیات و به ویژه در جبر و هندسه جبری محاسباتی بوده است. نظریه حذف یکی از روشهای مهم در حل دستگاه چند جمله ایها است. یکی از شاخه های مهم در نظریه حذف منتج است. منتج اولین بار توسط بزو وایلر در سال 1764 معرفی گردید و پس از آن در سال 1840 توسط سیلومتر روشی برای محاسبه منتج دو چند جمله ای یک متغیره مطرح شد. سپس ریاضی دانان روسی یک منتج جدید به نام منتج چنبری را معرفی کردند. ولی منتج های بیان شده در برخی موارد حالت تباهیده دارند. در این پایان نامه توسیعی از منتج n+1 چند جمله ای n متغیره معرفی و وجود آن روی یک چند گونای یکسو گویا اثبات می شود. سپس با توسیع کاربزو و ایلریک ماتریکس به نام ماتریس بزویی تعریف می شود که کهادهای ماکزیمال آن مضربی از منتج می باشند.

در این پایان نامه به بررسی خصوصیات هندسی خمینه های گراسمان و استیفل، که در ارتباط با فضاهای تغییرات نوع اسلاتر در نظریه ی هارتری-فوک چند ذره ای و پیرامون آن بدست می آید خواهیم پرداخت .در حالت خاص، ثابت می کنیم که خمینه های گراسمان و استیفل، فضاهای همگن تحلیلی و زیر خمینه هایی از فضای عملگرهای کراندار روی فضای هیلبرت تک ذره ای می باشند و در خاتمه به عنوان یک نتیجه بیان می کنیم که آنها، خمینه های فینسلر تام هستند. این خصوصیات هندسی بیان شده در واقع تأکیدی هستند بر وجود جواب برای معادلات نوع هارتری-فوک. لازم به ذکر است که، انگیزه ی اصلی برای وجود جواب برای معادلات نوع هارتری فوک مبتنی بر نظریه ی نقطه ی بحرانی است و هدف اصلی این پایان نامه بررسی خصوصیات هندسی و ساختار خمینه هایی از این نوع با استفاده از روش نظریه ی عملگرها می باشد.

فرض کنید s یک زیرمجموعه دلخواه از گروه جمعی و متناهی g باشد. گراف جمعی کیلی ?=cays(g,s) گرافی با مجموعه رئوس g است. در این گراف دو راس a و bمجاورند اگر وتنها اگر a+b?s. فولرین های (0,3,6) نوعی گراف 3 - منظم هستند که شامل شش ضلعی ها، مثلث ها و نیم یال می باشند. در این پایان نامه با استفاده از فرمول اویلر تعداد هر یک از وجه ها و درجه رئوس را محاسبه می کنیم و نشان می دهیم که این نوع از فولرین ها گراف های جمعی کیلی هستند. در ادامه الگوریتمی معرفی می کنیم که همه ی فولرین های (0,3,6) را می سازد. سپس با استفاده از این الگوریتم و گراف جمعی کیلی که که با هر فولرین یکریخت شده است، مقادیر ویژه آن فولرین را به دست می آوریم. مجموعه ی مقادیر ویژه هر گراف به سه زیر مجموعه تقسیم می شود که عبارت است از l ، -l و m. دو زیر مجموعه ی l و –l قرینه هستند. اگر گراف g هیچ نیم یالی نداشته باشد، آن گاه m={3,-1,-1,-1}. همچنین در این پایان نامه گراف های جمعی را که زیرمجموعه ای از گراف های جمعی کیلی محسوب می شوند معرفی نموده و برخی خواص آن ها را بررسی می کنیم. مراجع [?] و [?] از منابع اصلی این پایان نامه هستند.

در مرجع [?] مفاهیم مربوط به ساختارهای مرتبه دوم روی خمینه ها، ساختارهای عسته ای و اسپری ها مورد بررسی قرار گرفته اند و ثابت شده است که هر کدام از این ساختارها توسط التصاق متقارن به طور یکتا مشخص می شوند، که در این میان ساختار کریستوفل نقش مهمی را ایفا می کند. ما در این پایان نامه این مفاهیم را به خمینه های باناخ تعمیم می دهیم. همچنین ساختارهای هسته ای مرتبه n را روی خمینه ها معرفی کرده و به مطالعه آنها می پردازیم. به خصوص برای n=3 یک تناظر یک به یک بین ساختارهای هسته ای مرتبه سوم و التصاق ها روی کلاف مماس مرتبه دوم برقرار می کنیم. همچنین نشان می دهیم یک التصاق روی کلاف مماس یک خمینه، یک التصاق روی کلاف مماس مرتبه دوم القا می کند. به علاوه ژیودزی های مرتبه دوم را تعریف می کنیم و سرانجام همه این مفاهیم را به خمینه های فرشه تعمیم می دهیم.

حل دستگاه های چندجمله ای اخیرا به یکی از مباحث مهم در هندسه ی جبری و جبرکامپیوتری تبدیل شده است که کاربردهای فراوانی در علوم فنی و مهندسی دارد. یکی از ابزارهای جبری برای حل این دستگاه ها، پایه ی گربنر است.ولی از نظر نظری و عملی محدودیت برای استفاده از این پایه وجود دارد. در این پایان نامه ابزار دیگری به نام تجزیه مثلثی را معرفی میکنیم. به دلیل جذابیت نظری و عملی این مفهوم، اخیرا توجه ریاضیدانان زیادی به آن جلب شده و مقالات زیادی در این زمینه منتشر شده است.لازم به ذکر است که تابع solve در نرم افزار میپل با استفاده از تجزیه مثلثی یک دستگاه چندجمله ای را حل می کند. در این پایان نامه پس از معرفی مقدمات مورد نیاز، تجزیه مثلثی را معرفی و با ارایه یک مثال با روند اجرای این الگوریتم آشنا می شویم.

در این پایان نامه به بررسی رویه های خط کشی شده می پردازیم که در فضای اقلیدسی با بعد چهار نشانده شده اند. برای این منظور انحنای گاوسی و انحنای متوسط یک رویه پارامتری شده در فضای اقلیدسی با بعد چهار محاسبه و مثال ویژه ای از رویه خط کشی شده در e^4‎ ارائه خواهد شد. بعلاوه نشان داده می شود که تنها رویه های خط کشی شده مینیمال در ‎ e^4 همان تعمیم رویه های خط کشی شده در ‎e^4‎، یعنی رویه های مارپیچی راستگرد هستند. در ادامه کنج فرنه در فضای ‎e^4‎ مشخص و انحنای گاوسی برای چند رویه ی پارامتری شده محاسبه می شود. همچنین روابطی بیان خواهند شد که توسط آنها تعیین می شود که نقطه ی ‎ p ‎ از رویه ی خط کشی شده در ‎e^4‎ داخل، خارج و یا روی بیضی انحنا قرار دارد. به علاوه باتوجه به تعریف بیضی انحنا تعریفی برای رویه های ابرهمدیس ارائه می شود و شرط لازم و کافی برای اینکه رویه ی پارامتری شده، ابرهمدیس باشد اثبات خواهد شد. همچنین شرط لازم و کافی برای اینکه رویه خط کشی شده در (n>3)‎‎ ‎e^(n )‎ یک رویه چن باشد بیان می شود. در انتها شرط دیگری ارائه می شود که در آن بیضی انحنا دایره شود و یک رویه ابر همدیس مشخص

در سری مقالات (4)و (5) و (6) و (7)، کارتان تلاش کرد که ابررویه های هم محیط را دسته بندی کند، اما موفق به دسته بندی کامل آن ها نشد. در واقع فرمول های اساسی کارتان اطلاعات کافی برای مشخص کردن تعداد انحناهای اصلی ممکن را برای ابررویه های نمی دهند. بعدها مانر با روش های توپولوژی جبری نشان داد که تعداد انحناهای اصلی ممکن را برای ابررویه های نمی دهد. بعدها مانژنر با روش های توپولوژی جبری نشان داد که تعداد انحناهای اصلی مجزا ابررویه های هم محیط برابر 1، 2، 3، 4، و یا 6 است. کارتان ابررویه های هم محیط با حد اکثر 3 انحنای اصلی مجزا را دسته بندی کرد و نشان داد که این ابررویه ها همگن هستند. یک حالت خاص از این ابررویه ها با معادله ی مشخص در داخل ، با نام ابررویه کارتان، یکسان با فضای همگن su(3)/so(3) است. شرط لازم و کافی برای اینکه ابررویه هم محیط در داخل s4، تبدیل به ابررویه کارتان شود این است که دارای انحناهای اصلی صفر، و - باشد. چن زیر خمینه های غوطه ور در s4 را همراه با شرایطی معرفی می کند که معادله ابررویه کارتان شوند و در واقع دسته بندی جدیدی از ابررویه کارتان ارائه می دهد.

در سال 1990، وینستین و کرانت ساختارهای دیراک را به منظور یکی کردن منیفلدهای پواسن و منیفلدهای پیش همتافته معرفی نمودند. یپی ساختارهای مختلط تعمیم یافته توسط هیتچین مطرح شدند و جوالتری در رساله دکتری خود به استفاده از آن در جهت یکی کردن هندسه و همتافته هندسه مختلط پرداخت. در این پایان نامه ساختارهای مختلط قانونمند روی کلاف مماس تعمیم یافته tm t*m از منیفلد هموار m و رابطه آن با متر ریمانی m را بیان می نماییم. همچنین به بیان شرایط انتگرال پذیری از ساختارهای مختلط خواهیم پرداخت. بعدا نشان می دهیم که شرایط انتگرال پذیری از ساختارهای مختلط قانونمند در رابطه ای نزدیک با وجود تانسور کدازی روی m قرار دارن و خواهیم دید که اگر l1 و l2 دو زیر کلاف لاکرانژ وابسته به ساختار مختلط قانونمند j باشند، آنگاه j انتگرال پذیر است اگر و تنها اگر l1 و l2 جبر گونه های لی باشند. سر انجام مثال هایی از این ساختار را در مورد r و زیر منیفلدهای دلخواهی از یک منیفلد بیان می نماییم.

مطالعه ی خواص هندسی فضاهای همگن و گروه های لی یکی از زمینه های تحقیقاتی پرجاذبه در هندسه ی دیفرانسیل است که از جمله ی این خواص می توان به مطالعه ی ژئودزی های همگن, ساختارهای مختلط و اتصالی پایا, سولیتن ریچی پایا و غیره اشاره نمود که دارای کاربردهای متعددی در فیزیک و مکانیک هستند. از این رو در این رساله ابتدا یک کلاس از گروه های لی حل پذیر ‎$m^{2n+1}$‎ را در نظر می گیریم که در سال ‎1980‎ توسط ‎ بزک ‎ ‎‎‏‎footnote{bozek{ مطرح شده اند و شکل دقیقی از همه ی ساختارهای همگن و نوع آن ها را در دو حالت ریمان و لوران بر روی این فضاها بیان می کنیم. سپس به بررسی تابع انرژی یک میدان برداری دلخواه پایای چپ از این فضاها می پردازیم و در حالت لوران ثابت می کنیم که هیچ کدام از میدان های برداری زمان گون بر روی این فضاها نقطه ی بحرانی برای تابع انرژی فضاگون نیستند. هم چنین شکل دقیقی از ابررویه های کاملاً ژئودزی, توازی پذیر و نیمه توازی پذیر را روی این فضاها معرفی کرده و ثابت می کنیم که روی این فضاها ساختارهای اتصالی پایا, سولیتن یامابی و سولیتن ریچی پایای چپ وجود ندارند. در ادامه با توجه به اهمیت مترهای فینسلر و به طور خاص مترهای رندرز در فیزیک, فضاهای همگن را در نظر می گیریم که به مترهای رندرز مجهز شده اند و به معرفی و رده بندی یک ساختار هندسی روی گروه های لی می پردازیم که به یک متر رندرز از نوع بروالد مجهز شده اند. سرانجام با استفاده از مطالعه ی ویژگی های هندسی این فضاها یک قضیه برای فضاهای همگن رندرز تحویل پذیر را بهبود داده و دو نتیجه برای مترهای رندرز از نوع داگلاس بر روی این فضاها را تعمیم می دهیم.

دراین پایان نامه، هدف تمرکز بر روی ابررویه های خاص با نام وینگارتن خطی در فضافرم های مختلف است. برخی نتایج مهم این ابررویه ها با انحنای میانگین ثابت و انحنای عددی ثابت به دست می آیند. درجهت دسته بندی این ابررویه ها، قضیه ای به نام قضیه ی ماکزیمم ضعیف مطرح می شود. برای ابرررویه های کروی واحد که انحنای مقطعی نامنفی دارند و انحنای عددی نرمال شده ی آن ها ثابت، بزرگتر یا مساوی یک است، دو امکان وجود دارد: یا تماماَ نافی هستند یا یک چنبره ی کلیفورد خواهند بود. با این یادآوری دسته بندی نهایی در موردخمینه های مورد نظر این پایان نامه یکی از سه مورد استوانه ی کروی،استوانه ی هذلولوی و یا چنبره ی کلیفورد خواهد بود.

در این پایان نامه خواص التصاق های همورد تعریف شده در کلاف مماس تعمیم یافته از یک خمینه ی ریمانی و پایا نسبت به ساختار مختلط تعمیم یافته مورد بحث قرار می گیرد که توسط تبدیلات ‎ -b ‎میدان تولید شده اند. این موضوع در مورد خمینه های کیلری با جزییات بیشتری بررسی خواهد شد. در پایان یک تعمیم از مفهوم ساختار آماری به هندسه ی تعمیم یافته معرفی می شود و مثالی در این زمینه ارائه می گردد‎