منحنی ها وسطوح بزیر د گرافیک کامپیوتری ،مدل های هندسی و حل معادلات دیفرانسیل کاربردهای بسیاری دارند.هدف ما معرفی منحنی ها وسطوح بزیر و کاربرد این منحنی ها در معادلات دیفرانسیل و همچنین کاربرد سطوح بزیر در طراحی دماغه کشتی می باشد.

در این پایان نامه چندجمله ایهای برنشتاین برای تقریب جواب برخی معادلات انتگرالی فردهولم ومسایل با مقدار مرزی استفاده می شود.هردونوع معادلات انتگرالی نوع اول ودوم با هسته منظم وهسته منفرد درنظرگرفته شده اند.هم چنین یک روش عددی پایدار جدید براساس چندجمله ایهای برنشتاین نرمال شده برای حل معادلات انتگرالی منفرد آبل ارائه می شود.

در این پایان نامه به معرفی روش تفاضلات متناهی غیراستاندارد که توسط میکنز ارائه شده است می پردازیم. روش تفاضلات متناهی غیراستاندارد تعمیم روش تفاضلات متناهی استاندارد است، به این معنی که تقریب در نظر گرفته شده در روش غیراستاندارد را با توجه به ساختار دستگاهی که می خواهیم بررسی کنیم، درنظر می گیریم. یکی از برهم کنش های ساده ولی بسیار مهم، برهم کنش بین دو گونه شکار و شکارچی می باشد که به صورت دستگاه معادلات زیر معروف به دستگاه لوتکا-ولترا قابل بیان است: dx/dt=ax-bxy dy/dt=-cy+dxy که درآن a، b، c و d اعداد حقیقی و مثبت می باشند. معمولاً روش های تفاضلات متناهی استاندارد برای این دستگاه معادلات جواب های متناوب و پایداری ارائه نمی دهند، بنابراین روش تفاضلات متناهی غیراستاندارد را به کار می بریم و نشان می دهیم که این روش تناوبی بودن جواب ها را حفظ می کند.

در سالهای اخیر بسیاری از مسائل در علوم از قبیل فیزیک، شیمی و مهندسی به شکل معادلات دیفرانسیل کسری معمولی و معادلات دیفرانسیل کسری با مشتقات جزئی مدل بندی شده اند ، لذا روشهای حل اینگونه از معادلات به ویژه در حالت غیرخطی توجه بسیاری از محققان را به خود جلب کرده است. مهمترین هدف محققان برای حل این قبیل از معادلات این بوده است که روشی را برای حل آنها ارائه دهند که آن روش دارای کمترین خطای ممکن باشد. روشی را که برای حل معادلات دیفرانسیل کسری در این پایان نامه می خواهیم مورد بررسی قرار دهیم، روش تکرار تغییراتی میباشد. ابتدا انتگرال و مشتقات کسری، معادلات دیفرانسیل کسری و خواص اساسی آنها را مورد مطالعه قرار خواهیم داد، سپس شکل کلی این معادلات را در حالت غیر خطی در نظر گرفته و به معرفی روش تکرار تغییراتی که به منظور حل معادلات یاد شده بکار خواهد رفت، می پردازیم. در ادامه به پیاده کردن این روش برای بدست آوردن جواب تقریبی معادله ی دیفرانسیل کسری شبه موج و شبه گرما در حالت سه بعدی پرداخته و با ارائه مثال-هایی نشان خواهیم داد که این روش دارای جوابهایی نزدیک تر به جوابهای دقیق نسبت به روشهای موجود می باشد. بالاخره همگرایی این روش را برای حل معادله ی دیفرانسیل کسری چند مرتبه ای مورد بررسی قرار خواهیم داد.

در این پایان نامه ابتدا یک تقریب هموار برای تابع مثبت ارائه می دهیم و در ادامه با استفاده از این تقریب ارائه شده تابع تصویر را هموار می کنیم و در انتها با استفاده از تقریب هموار ارائه شده یک شبکه عصبی برای حل مسائل بهینه سازی محدب ارائه می دهیم.

در این پایان نامه روشهای عددی برای حل معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری را بررسی می کنیم. تمرکز ما روی روشهای چندگامی کسری از هر دو نوع صریح و ضمنی است. استفاده از روشهای صریح در حل عددی معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری موضوعی است که هنوز عمیقاً تحقیق نشده است. در اینجا خواص پایداری برخی روشهای چندگامی از نوع صریح مورد مطالعه قرار گرفته و روشهای جدید با بازه های پایداری بزرگتر پیشنهاد شده است. همچنین مثال های عددی به منظور اعتبار نتایج نظری ارائه شده است. در نهایت نیز از میان روشهای ضمنی فقط به دسته ای از روشهای چندگامی خطی آدامز-مولتن خواهیم پرداخت و روی خاصیت پایداری آنها تمرکز خواهیم کرد.

در دهه های اخیر معادلات حرکتی غیرخطی به طور گسترده ای برای توصیف بسیاری از پدیده های مهم و فرآیند های دینامیکی در فیزیک، ریاضی، بیولوژی و غیره مورد استفاده قرار گرفته است. جی هوآن هی در سال 2006 یک روش کارا که به روش تابع نمایی معروف شد را برای بدست آوردن جواب های منفرد و جواب های متناوب معادلات حرکتی غیرخطی پیشنهاد کرد. مراحلی از این روش به کمک نرم افزار میپل انجام می گیرد و این به سادگی روش می افزاید، لذا این روش را به آسانی می توان برای حل انواع معادلات حرکتی غیرخطی گسترش داد. در این پایان نامه روش های از نوع تابع نمایی، توسعه و تعمیم داده می شود، که این هدف با ارائه یک الگوریتم محاسباتی مناسب برای پیدا کردن ساختار جواب معادلات دیفرانسیل غیرخطی دنبال می گردد. این الگوریتم نیاز برای حدس زدن این که، ساختار جواب به چه شکلی است را رفع می کند و همچنین ساختار جواب را به طور خودکار تشخیص می دهد. این الگوریتم در مقابل روش های از نوع تابع نمایی می باشد که در آن ساختار جواب در ابتدا حدس زده می شود و سپس محاسبات نمادین برای تعیین پارامترها به کار برده می شود. همچنین نشان خواهیم داد که لازم نیست جواب معادله لیوویل که با روش تابع نمایی بدست آمده است، معادله دیفرانسیل اصلی را برای هر شرط اولیه ای صدق کند.

هدف اول در این پایان نامه این است که خواننده های مختلفی از جمله ریاضیدانان،فیزیکدانان، مهندسان و... را با ویژگی های جواب معادلات دیفرانسیل تاخیری و روش‎های عددی برای حل این نوع از معادلات آشنا سازد. هدف دوم در این پایان نامه این است که بین روش های گسسته و پیوسته برای حل معادلات دیفرانسیل تاخیری ارتباط برقرار سازد و بوسیله الگوریتم ها و فنون توسعه یافته روش هایی را برای حل این نوع از معادلات ایجاد کرده و همگرایی آن ها مورد بررسی قرار می گیرد.

یکی از معمول ترین مدل های ریاضی در زیست شناسی، مدل شکار ـ شکارچی می باشد که در آن تعامل بین دو گونه از موجودات، که یکی شکار ودیگری شکارچی نامیده می شود، مدل سازی می گردد. مدل دیگری که مورد توجه بسیاری از محققان واقع شده است، مدل شیوع بیماری مسری در یک گونه ی جمعیتی است. که در آن تأثیرات شیوع بیماری بر رشد یک گونه ی جمعیتی مورد مطالعه قرار می گیرد. با تلفیق مدل ریاضی یک بیماری اپیدمیک با مدل شکار ـ شکارچی، مدلی حاصل می شودکه تأثیر شیوع بیماری در یکی از دو گونه را بر تعاملات هر دوگونه توصیف می کند. این مدل به مدل اکواپیدمیکی معروف است. بر اساس مشاهدات طبیــعی می توان دریافت که تأخیر زمانی، در اغلب پدیـده های طبیعی وجود دارد. بنابراین جنبه ی مهم دیگری که در هنگام مدل سازی باید در نظر گرفته شود فاصله ی زمانی موجود برای تولید مثل شکارچی بعد از شکار است. که این زمان ممکن است برای رسیدن شکارچی به سن بلوغ و دوران بارداری باشد. ما در این پایان نامه یک نمونه از مدل های اکواپیدمیک تأخیری را ارائه می نماییم. با در نظر گرفتن تأخیر به عنوان پارامتر انشعاب، پایداری نقطه تعادل مثبت و انشعاب هاف را بررسی می کنیم. به علاوه، جهت انشعاب هاف و پایداری جواب های دوره ای انشعابی با به کارگیری فرم نرمال و قضیه ی منیفلد مرکزی برای معادلات دیفرانسیل تابعی، تعیین می شود. در پایان برای بررسی فرمول های به دست آمده یک مثال عددی ارائه می گردد.

: دراین پایان نامه دستگاه خطی معادلات ماتریسی ax=b،xc=d ویک حالت کلی تر ازآن یعنی axb=e، cxd=f رابدون قید و همراه باقیدهایی چون تقارن،تعامد،خودتوانی وترکیبی از آنهامورد مطالعه وتجزیه وتحلیل قرار می دهیم. جوابهای مشترک وکمترین توانهای دوم آنهارا بررسی کرده وبه حل مسأله مجاورت ماتریسی متناظرشان خواهیم پرداخت. برای حل مسأله مذکور از روشهای مستقیم وتکراری استفاده می کنیم،همچنین توسط مثالهای عددی کارایی روشهای ارائه شده را مورد ارزیابی قرار خواهیم داد.

مدل های دینامیکی برای مدلسازی بیماری های عفونی از جمله آنفولانزا شامل ساختار کوپه ای بر اساس حالت بیماری افراد جامعه است. به منظور بررسی مکانیسم ویروس آنفولانزای a، مدل معادلات دیفرانسیل معمولی (sir) را مطالعه و گسترش دادیم و با استفاده از بررسی نقاط ساکن و انشعاب های سیستم و رسم نمودارهای آن، نشان دادیم که چگونه مدل های ساده می توانند به ما در تفسیر داده های بیماری عفونی آنفولانزا کمک کنند و با شناسایی پارامترهای مهم تر و حساس تر سیستم، طراحی برنامه ی کنترل عفونت را ساده تر و قابل اعتمادتر می کنند. گروه جدید (v) را به منظور اعمال واکسیناسیون به مدل اضافه و مدل جدید (svir) را ایجاد کردیم و با استفاده از اصل بیشینه پونتریاگین یک مدل کنترل بهینه برای سیستم معرفی کرده و اثرات آنرا بررسی کرده ایم.

در این پایان نامه حل دستگاه خطی ax=b را در نظر می گیریم که در آن a یک ماتریس نامنفرد معلوم، b یک بردار معلوم و x یک بردار مجهول می باشند. در سال های اخیر، به منظور بهبود سرعت همگرایی طرح های تکراری کلاسیک (ژاکوبی، گاوس- سایدل)، مقالات بسیاری به تغییرات و اصلاحات رده ای از پیش شرط ها برای دستگاه هایی اختصاص داده شده اند که ماتریس ضرایب آن ها یک m- ماتریس یا یک h- ماتریس می باشند. در این پایان نامه به بررسی و مقایسه روش های ژاکوبی و گاوس- سایدل پیش شرط شده می پردازیم و یک پیش شرط جدید برای حل دستگاه خطی m-ماتریس ها ارائه می دهیم. همگرایی روش پیشنهاد شده مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد. مثال های عددی نیز برای نشان دادن بهبود سرعت همگرایی روش های ژاکوبی و گاوس- سایدل ارائه خواهند شد.

در این پایان نامه، ما سه روش حجم متناهی را برای حل برخی از معادلات بیضوی و هم چنین دو روش حجم متناهی را برای حل برخی از معادلات سهموی به کار برده ایم. سپس تخمین خطا و همگرایی جواب های تقریبی حاصل شده توسط طرح حجم متناهی اثبات یا به کمک نتایج عددی بررسی شده است.

‏در این پایان نامه ‏هدف یافتن جواب تقریبی رده ای از معادلات انتگرالی خطی با روش عناصر متناهی می باشد.‏ برای این منظور از چندجمله ای های لاگرانژ به عنوان توابع پایه ای استفاده می کنیم. در ابتدا مقدمات روش را توضیح خواهیم داد‏، و سپس شکل کلی هر یک از انواع معادلات انتگرالی نوع دوم را در نظر می گیریم و شرایط وجود و یکتایی جواب را در مورد هر یک از آن ها بررسی خواهیم کرد. سپس به پیاده سازی روش بر روی هر یک از انواع معادلات انتگرالی می پردازیم‏، و با ارائه مثال هایی نشان خواهیم داد که این روش دارای جواب هایی نزدیک به جواب های دقیق می باشد. در ادامه نیز تحلیل خطای روش ذکر شده‏، مورد بررسی قرار می گیرد.

در این پایان نامه به بررسی وجود جواب برای معادله انتگرالی دوبعدی غیرخطی فردهولم نوع دوم پرداختیم و وجود جواب را برای دو حالت معادله با هسته ی پیوسته مورد بررسی قرار دادیم. معادله ی انتگرالی فردهولم با هسته ی پیوسته را با روش تباهیدگی و همین معادله را با هسته ی ناپیوسته با روش ماتریس توپلیتز حل نموده ایم. برای حل این معادلات مبنای کار بر این اساس قرار دادیم که معادله را به یک دستگاه معادلات جبری خطی یا غیر خطی تبدیل کرده و سپس از حل دستگاه, جواب معادله را بیابیم, بدین منظور از توابع دو بعدی گویای هار و توابع شعاعی پایه ای که توابع متعامد یکه هستند استفاده کرده ایم و معادله را در یک دسته از نقاط، درونیابی کرده و آن را به یک دستگاه معادلات جبری خطی یا غیر خطی تبدیل نموده ایم. بالاخره برای بدست آوردن جواب معادله انتگرالی مورد نظر دستگاه معادلات را حل کرده ایم

در این ‎رساله‏، ‎به ‎نقش و ‎‎?‎جایگاه ‎قضیه ‎نقطه ‎ثابت ‎در ‎‏حل معادلات ‎انتگرالی ‏ولترای‎ نوع دوم پرداخته ‎می ‎شود. ‎قصد ‎داریم‏، ‎از‎ قضیه ‎نقطه ‎ثابت در دو حوزه متفاوت‏، وجود جوابها و همچنین تحلیل خطا در روشهای عددی استفاده کنیم. ‎ ابتدا با ارائه چهار شرط انقباضی مختلف برای هسته‏، وجود و منحصر به فردی جوابها برای معادلات انتگرالی از نوع ولترا را بررسی می کنیم. یکی از اهداف مهم این قسمت‏، بحث وجود و یکتایی جواب در معادلات انتگرالی منفرد است. این گونه معادلات به دلیل داشتن نقاط ناپیوستگی در هسته‏، از شرایط حادتری نسبت به معادلات دیگر برخوردارند. از موضوعات دیگری که در این رساله بدان پرداخته شده‏، بحث پایداری هایرز-اولام برای معادلات انتگرالی است. نشان می دهیم که این دسته از معادلات انتگرالی تحت شرایط انقباضی تعریف شده‏، دارای این نوع پایداری است.‎ چگونگی استفا‏ده از قضیه نقطه ثابت برای اثبات همگرایی و بدست آوردن کران بالای خطا‏، در حل تقریبی معادلات انتگرالی ولترای غیرخطی‏، یکی از موضوعات پرداخته شده در این رساله است. در ابتدا پس از معرفی و بررسی خواص موجک های هار گویا‏، الگوریتمی تکراری برای حل عددی معادلات ولترای غیرخطی با استفاده از این توابع‏، ارائه می دهیم. به دلیل داشتن خواص ماتریسی موجک های هار‏، محاسبات لازم به سهولت انجام می پذیرد. بحث تحلیل خطا از موضوعات مهم هر روش عددی است. برای تحلیل خطا و همگرایی روش‏ از قضیه نقطه ثابت استفاده می کنیم. سعی بر این بوده که با دقت و وسواس بیشتری به بحث تحلیل خطای روش بپردازیم. با ارائه مثالهای مختلف به ارزیابی روش پرداخته و با روشهای موجود برای حل معادلات ولترای غیرخطی‏، مقایسه شده اند. از مزایای روش ارائه شده سادگی و دقت نسبتا خوب جوابها است.

چکیده پایان نامه :دراین پایان نامه یک روش هم محلی متحرک برای حل معادلات با مشتقات جزئی کسری وابسته زمانی بیان و بررسی می شود. روش با نوشتن معادله دیفرانسیل کسری به شکل یک معادله تفاضلی زمانی حاصل می شود. این روش یک روش پایدار و دارای همگرایی مرتبه سه نسبت به مکان و همگرایی مرتبه یک نسبت به زمان می باشد. در انتها نیز نتایج عددی به منظور اعتبار نتایج نظری ارائه شده است.

‏ معادلات دیفرانسیل و انتگرال نقش مهمی در علوم مختلف از جمله ریاضی‏، فیزیک و مهندسی دارند. بنابراین بحث در رفتار جواب آنها یک مسئله ی مهم محسوب می شود‎‏‎‎‎‎. در این ‏پایان نامه به بررسی ‏برخی از نامعادلات انتگرالی و قضیه های مربوط به آنها می پردازیم که با استفاده از این نامعادلات ‏انتگرالی در مورد پایداری و کرانداری جواب معادلات دیفرانسیل و معادلات دیفرانسیل-انتگرال بحث می کنیم. همچنین در این پایان نامه تعیین جواب تقریبی یک مساله ی نامعادله ی دیفرانسیل ارائه می شود. برای این منظور ابتدا مساله ی نامعادله ی دیفرانسیل داده شده را به یک معادله ی دیفرانسیل غیر خطی تبدیل می کنیم، و نشان می دهیم که جواب معادله ی دیفرانسیل حاصل تحت شرایط مناسبی به جواب مساله ی نامعادله ی دیفرانسیل اولیه میل می کند. سپس معادله دیفرانسیل را با استفاده از روشهای عددی حل می کنیم و در مورد همگرایی جواب بحث می کنیم. در پایان با ارایه ی چند مثال، کارایی روش بحث شده نشان داده شده است.

معادلات دیفرانسیل کسری چند مرتبه ای وتک مرتبه ای معرفی وقضایای وجود و یکتایی جواب آن ها بیان و اثبات می شود. مشتق کاپوتو در نظر گرفته شده .روش تبدیل معادلات دیفرانسیل کسری چند مرتبه ای به دستگاه معادلات تک مرتبه ای مطرح گردیده است . روش پیشگو اصلاحگر آدامز برای حل معادلات دیفرانسیل کسری چند مرتبه ای وتک مرتبه ای بیان می گردد.

حساب دیفرانسیل کسری در ابتدا به عنوان یک نظریه ریاضی محض در اواسط قرن نوزدهم معرفی و سپس توسعه یافت. حدود ‎100‎ سال بعد, مهندسان و فیزیکدانان کاربردهایی برای این مفاهیم در زمینه های مختلف دریافتند. مشتقات کسری یک ابزار مناسب برای توصیف خواص ذاتی و ذهنی از موضاعات مختلف و فرایندها فراهم می کند. در بعضی از موارد مدل های مرتبه کسری از دستگاه های خطی نسبت به مدل های مرتبه صحیح مناسب ترند. لذا, در دهه های اخیر حوزه ی حساب دیفرانسیل کسری علاقه ی خیلی از محققان را در زمینه های دیگر از فیزیک, شیمی, مهندسی و حتی علوم مالی و اجتماعی جذب کرده است. ‎ ewline‎ در این پایان نامه به حل عددی معادلات دیفرانسیل کسری با استفاده از چندجمله ای های متعامد کلاسیک می پردازیم, همچنین یک تکنیک محاسباتی را بر اساس روش هم محلی و چندجمله ای های مونتس-لژاندر برای حل این معادلات ارائه می دهیم که مزیت عمده ی ارائه ی این روش دقت بالای آن است. بنابراین می توانیم نتایج خوبی را با استفاده از تعداد کمتری از نقاط هم محلی بدست آوریم. دقت و عملکرد روش پیشنهادی به وسیله ی تعدادی از مثال های عددی بررسی و با چندجمله ای های متعامد کلاسیک مقایسه می شود.

در این پایان به بررسی معادلات دیفرانسیل جبری و حل آن با روشهای عددی می پردازیم. این نوع دستگاهها شامل معادلات دیفرانسیل معمولی و محدودیت جبری می باشد. همچنین از روشهای عددی برای حل معادلات دیفرانسیل جبری همچون روش های رانگ گوتا، چند گامی، تکرار تغییراتی، هم محلی سینوسی و آدومین استفاده می کنیم. با معرفی کردن شاخص و در صورت لزوم کاهش شاخص به جواب تقریبی دستگاه می پردازیم. در پایان چند مثال ارائه می دهیم.

مسأله ی حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل تأخیری، یکی از موضوعات مهم در آنالیز عددی به شمار می رود. برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل روش های مختلفی وجود دارد. با اینکه روش های طیفی در حل معادلات دیفرانسیلی به طور قابل ملاحظه ای مورد توجه قرار گرفته اند، تجربه ی اندکی در بکار بردن این روش ها برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل تأخیری موجود است‎. در این پایان نامه روش طیفی هم محلی را برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل تأخیری ولترای خطی بکار می بریم. پایان نامه با مروری بر معادلات انتگرالی و مفاهیم مقدماتی روش های طیفی آغاز می شود، سپس نشان می دهیم که روش طیفی هم محلی مبتنی بر چندجمله ای های لژاندر، منجر به یک روش عددی کارا و بسیار دقیق برای تقریب جواب های معادلات انتگرال-دیفرانسیل با تأخیرات متناسب می شود. نتایج عددی به دست آمده توسط برنامه نویسی میپل نشان داده که روش، از دقت بالایی برخوردار است.

در این پژوهش مجموعه ای از توابع مثلثی متعامد متمم را معرفی نموده ایم که از مجموعه توابع بلاک پالس بدست آمده اند. سپس ماتریس عملگر انتگرال در دامنه توابع مثلثی متعامد محاسبه شده و روابط آن ها با ماتریس عملگر انتگرال دامنه توابع بلاک پالس نشان داده شده است. از توابع مثلثی متعامد برای بدست آوردن جواب معادلات انتگرالی فردهلم خطی نوع دوم و معادلات انتگرالی ولترا - فردهلم غیر خطی استفاده شده است. با استفاده از ماتریس عملگر انتگرال, ضرب دو تابع مثلثی و بعضی از روابط برای محاسبه انتگرال معین مربوط به این توابع مثلثی , معادلات انتگرالی به معادلات جبری تبدیل می شوند که با حل این معادلات جبری می توان جواب معادلات انتگرالی را تخمین زد. چون این روش نیازی به انتگرال گیری ندارد همه محاسبات به آسانی انجام می شوند.

در این رساله، دو الگوریتم بلوکی برای حل دستگاه های خطی نامتقارن با چند طرف ثانی ارائه می شوند. این الگوریتم ها بر مبنای روش حداقل مانده ی کمترین توان های دومlsmr)‎) و فرآیند دوقطری سازی بلوکی 1 ‎block bidiagonalization1)‎)می باشند‎.الگوریتم های ‎bl-lsmr1‎و‎bl-lsmr2‎ به ترتیب با استفاده از می نیمم سازی نرم-2 ی هر ستون از معادله ی نرمال و می نیمم سازی نرم فروبنیوس ماتریس مانده ی معادله ی نرمال نتیجه می شوند. یک صورت جامع از الگوریتم ‎lsmr که آن را الگوریتم حداقل مانده ی کمترین توان های دوم جامع‎(gl-lsmr)‎می نامیم برای حل دستگاه خطی با چند طرف ثانی ارائه می دهیم. این الگوریتم مبتنی بر فرآیند دوقطری سازی جامع1(global bidiagonalization1)می باشد و از می نیمم سازی نرم فروبنیوس ماتریس مانده ی معادله ی نرمال نتیجه می شود.با گسترش ایده ی روش ‎lsmr یک روش تکراری به نام روش حداقل مانده ی کمترین توان های دوم ماتریسی (lsmr-m)برای حل معادلات ماتریسی جفت شده ی کلی با شرایطی بر روی گروه های ماتریسی نظیر متقارن، دومتقارن تعمیم یافته و(r,s)-متقارن، ارائه می دهیم. به علاوه همگرایی الگوریتم های بیان شده مورد مطالعه قرار می گیرند و نتایج عددی کارایی این روش ها را نسبت به روش های تکراری شناخته شده، نشان می دهند.

تصادفات ترافیکی یکی از عوامل بسیار مهم مرگ و میر و صدمات جانی و مالی بوده و آثار سنگین اجتماعی، فرهنگی و اقتصادی آن، به شدت جوامع بشری را تحت تاثیر قرار داده است. به نظر می رسد میزان تخلفات رانندگی، به عنوان یکی از مهم ترین دلایل کاهش ایمنی، ایجاد نابسامانی وضعیت ترافیک و بروز تصادفات رانندگی، با جریمه های راهنمایی و رانندگی مرتبط است. تخلفات رانندگی می تواند در بین افراد جامعه شیوع پیدا کند، به این صورت که انجام تخلف رانندگی توسط یک فرد می تواند روی دیگران نیز تأثیر بگدارد و سایر افراد را به انجام تخلف ترغیب نماید. از این رو در این پایان نامه تخلفات رانندگی به عنوان یک موضوع همه گیر در نظر گرفته شده و سعی شده است تا یک مدل ریاضی همه گیر شناسی برای تعیین میزان تأثیر افزایش جریمه های راهنمایی و رانندگی بر تخلفات رانندگی ارائه گردد. پارامترها و داده های این تحقیق از طریق نمونه گیری آماری به روش تصادفی با مراجعه به اداره کل راهنمایی و رانندگی مشهد به دست آمده اند. هدف از انجام این تحقیق ساخت یک مدل ریاضی می باشد که می تواند میزان تخلفات رانندگی را در سال های آینده پیش بینی کند.

خطی سازی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیر خطی را مورد بررسی قرار می دهیم و روش های تعیین جواب های دقیق معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیر خطی مانند روش متغیر تابعی‏‏،روش تانژانت هیپربولیک‏‏،... که دارای محدودیت های برای تعیین جواب می باشند را تعمیم می دهیم و سپس اشکالات وارده بر روش های فوق را رفع خواهیم کرد. هم چنین همه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرخطی که به روش های مختلف خطی سازی حل می شوند دسته بندی کرده و روش های فوق با هم مقایسه و اهمیت هر یک در تعیین جواب ها را مورد بررسی قرار خواهیم داد.

در این ‏رساله یک روش محاسباتی برای حل معادلات انتگرال فردهلم- ولترا و معادلات انتگرال-دیفرانسیل و رده ای از معادلات انتگرال دوبعدی ولترای غیر خطی معرفی نموده ایم. از موجک های هار به عنوان توابع پا?ه ای در تقر?ب جواب معاد?ت انتگرال استفاده می کنیم. برای این منظور با معرفی یک عملگر مناسب جوابهای تقریبی را به دست می آوریم. با استفاده از قضیه نقطه ثابت نشان می دهیم که تحت شرایط مشخص این عملگر دارای یک جواب منحصر به فرد می باشد. علاوه بر آن یک عملگر تصویر تعریف می کنیم که با استفاده از آن و خواص درون یابی یک ماتریس عملگری به دست می آوریم که این ماتریس در تعیین جواب تقریبی استفاده می شود. همچنین همگرا?? و دقت جواب را مورد بحث و بررس? قرار می دهیم و ?ک کران با? برای روش ارائه شده با استفاده از قضیه نقطه ثابت به دست م? آور?م‏، ‏چندین مثال عددی برای ارائه توانایی های روش از مراجع مختلف ذکر می نماییم.

نظریه یکی از زیباترین شاخه های ریاضیات می باشد که در بسیاری از مسائل راهگشا می باشد. در رساله حاضر کاربرد این نظریه را در دو شاخه مهم از ریاضیات نشان می دهیم. این رساله مشتمل بر 3 فصل اول مقدماتی در مورد مسائل معادلات دیفرانسیل و همچنین مسائل حساب تغییرات آمده است . در ادامه آن کلیه تعاریف و مفاهیمی که در این رساله به آنها نیاز داریم ارائه شده است . در فصل دوم روشی جدید جهت حل مسائل معادلات دیفرانسیل ارائه شده است . در این روش ، که نظریه اندازه نقش اساسی را دارا می باشد. فضای توابع مساله را به فضای اندازه ها انتقال داده و سپس در آن فضا، یک مساله بهینه سازی که جواب آن منجر به تعیین جواب معادله دیفرانسیل می شود، بدست می آوریم. سپس با استفاده از روشهای تقریبی مساله بهینه سازی را به یک مساله برنامه ریزی خطی تبدیل کرده و با استفاده از جواب بهینه آن، جواب تقریبی پیوسته ای برای معادله دیفرانسیل اولیه بدست می آوریم. در فصل سوم با روشی مشابه روش بیان شده در فصل دوم مسائلی از حساب تغییرات که بهینه سازی مسائل مدلهای انتگرالی با قید و بدون قید می باشد را مورد بررسی قرار می دهیم. در این روش جواب تقریبی بطور قطعه قطعه ثابت ، برای مساله بدست می آوریم.