در این پایان نامه ساختار گراف مقسوم علیه صفر حلقه اعداد صحیح گاوسی به پیمانه n را مورد بررسی قرار می دهیم. برای هر عدد صحیح و مثبت n تعداد رئوس، قطر و کمر این گراف را می یابیم و ویژگی های کامل این گراف را برای هر n مورد بررسی قرار می دهیم و به تحقیق ددر مورد کامل بودن ، کامل دو بخشی بودن ، مسطح بودن ، منتظم بودن و یا اویلری بودن گراف می پردازیم.

مونوئید m را در نظر می گیریم و برای آن حلقه های m - شبه آرمنداریز را به عنوان تعمیمی از حلقه های شبه آرمنداریز معرفی می کنیم. و بعضی از ویژگی های آن را بررسی می کنیم. نشان می دهیم که رده حلقه های m - شبه آرمنداریز، تحت بعضی از انواع حلقه های ماتریس های بالا مثلثی، بسته است . همچنین نشان می دهیم که هر حلقه نیمه اول، برای هر مونوئید مرتب کلی اکید یا u.p- مونوئید یک حلقه m - شبه آرمنداریز است. در ادامه رابطه بین ویژگی شبه بئر حلقه r و ویژگی شبه بئر حلقه مونوئیدی [r[m را بررسی می کنیم. و نشان می دهیم که اگر m یک u.p- مونوئید یا یک مونوئید مرتب کلی اکید باشد، آن گاه حلقه شبه بئر r یک حلقه m - شبه آرمنداریز است. کلمات کلیدی: مونوئید - u.p - مونوئید - مونوئید مرتب کلی اکید – حلقه کاهشی - حلقه نیمه اول - حلقه m - شبه آرمنداریز – حلقه شبه بئر.

درپایان نامه حلقه rراشرکت پذیر و یکدار درنظرمی گیریم.ابتداحلقه های آرمنداریزرامعرفی می کنیم سپس به تعمیم دیگری ازاین حلقه هایعنی حلقه های شبه آرمنداریز راتعریف وساختارآنهارابررسی می کنیم. درادامه ،تعاریف آرمنداریزوشبه آرمنداریزرابه ایده آل ها توسیع می دهیم. ایده آل شبه آرمنداریز را تعریف کردیم. ثابت شده است. ارتباط بین ایده آل های آرمنداریز ضعیف و ایده آل های شبه آرمنداریز را بررسی و اشاره کردیم. اگر i ایده آل شبه آرمنداریز باشد و [i[x خاصیت ifp داشته باشد، آنگاه iایده آل آرمنداریز ضعیف است. درادامه ثابت کردیم اگر iایده آل اول و با خاصبت ifp باشد آنگاه رادیکال ایده آل i شبه آرمنداریز است.

دراین پایان نامه ابتدا ایده آل قویاً تحویل ناپذیر تعریف می شود و در حلقه های مختلف مورد بررسی قرار می گیرد. هم چنین خصوصیاتی از ایده آل های قویاً تحویل ناپذیر و رابطه ی بین ایده آل های قویاً تحویل ناپذیر از یک حلقه و ایده آل های قویاً تحویل ناپذیر از موضعی سازی آن حلقه را مطالعه می کنیم. به علاوه ارتباط میان ایده آل های تحویل ناپذیر و ایده آل های قویاً تحویل ناپذیر و ایده آل های اول از یک حلقه جابه جایی را بررسی خواهیم کرد. هم چنین،تعریف را به مدول توسیع داده و زیرمدول های قویاً تحویل ناپذیر از مدول ها را تعریف کرده و رابطه ی زیرمدول های ابتدایی و اول را با زیرمدول های قویاً تحویل ناپذیر و تحویل ناپذیر بررسی می کنیم.

? در این پایان نامه ما خواص حلقه های آرمنداریز خطی و همچنین ارتباط آنها را با حلقه های آرمنداریز، آرمنداریز ضعیف، فروکاسته و نیم جابه جایی را بررسی می کنیم. ما ثابت می کنیم که حلقه اور راست ?? آرمنداریز خطی است اگر و تنها اگر ?? آرمنداریز خطی باشد، که ?? حلقه خارج قسمت کلاسیک است. با کمک این نتایج نشان می دهیم که یک حلقه گولدی راست نیم اول ?? آرمنداریز خطی است اگر و تنها اگر ?? آرمنداریز اگر و تنها اگر ?? فروکاسته اگر و تنها اگر ?? نیم جابه جایی و اگر و تنها اگر ?? حاصلضرب مستقیم متناهی از حلقه های تقسیم باشد. در ادامه مثال های بیشتری از حلقه های آرمنداریز خطی می آوریم. در نهایت حلقه های آرمنداریز ضعیف را که تعمیم حلقه های نیم جابه جایی و آرمنداریز می باشند را معرفی و خواص آنها را بررسی می کنیم. به علاوه ثابت می کنیم ?? آرمنداریز ضعیف است اگر وتنها اگر حلقه ماتریس های بالا مثلثی آن آرمنداریز ضعیف باشد.

فرض کنید یک حلقه جابجایی و یکدار و یک - مدول یکانی باشد. فرض کنید مجموعه مقسوم علیه صفر حلقه باشد. گراف ساده با مجموعه رئوس در سال 1999 توسط اندرسون و لیوینگستون تعریف شده است که در آن هر دو راًس متمایز و مجاورند اگر وتنها اگر این گراف را گراف مقسوم علیه صفر حلقه می نامند. ما در این رساله تعریف گراف مقسوم علیه حلقه را به گراف تابدار وابسته به مدول تعمیم می دهیم. فرض کنید مجموعه عناصر تابدار - مدول باشد. گراف ساده را با مجموعه رئوس تعریف می کنیم که در آن هر دو راًس متمایز و مجاورند اگر وتنها اگر این گراف را گراف تابدار وابسته به مدول می نامیم. روشن است که تعریف گراف تابدار وابسته به مدول توسیع تعریف گراف گراف مقسوم علیه صفر حلقه است. ما در این رساله ارتباط بین برخی از گزاره های نظریه مدول و نظریه گراف را تحقیق خواهیم کرد و معتقدیم این تحقیقات به شناخت ساختار مدول به خصوص عناصر تابدار آن کمک بسزایی خواهد کرد. علاوه بر این با بررسی ارتبااط بین قطر گراف مقسوم علیه صفر و گراف تابدار وابسته به چند نتیجه جالب در مورد زیر مدول های اول مینیمال مدول های ضربی روی حلقه منظم فون نویمان بدست آورده ایم. در نهایت به مطالعه بزرگترین زیر گراف همبند گراف تابدار وابسته به مدول های ضربی می پردازیم.

دراین پایان نامه ابتدا زیر مدول های اول و زیر مدول های اول ضعیف از مدول های آرتینی را دسته بندی می کنیم. سپس بعضی نتایج ارزشمند روی مدول های اول را تعمیم می دهیم.

فرض کنید r حلقه ای جابه جایی و یکدار باشد. در این صورت r-مدول m را ضربی (هم ضربی) گویند هرگاه به ازای هر زیر مدول n از m، ایده آل i از r وجود داشته باشد به طوری که n=im(n=(0:i)). مدول های ضربی و هم ضربی دارای خواص مهمی هستند که برخی از آن ها مانند زیر مدول های اول و ماکسیمال آن ها در این پایان نامه بررسی می شود. هم چنین مدول های ضربی وفادار و متناهی مولد را بیان کرده و ارتباط بین آن ها نیز بررسی می شود. در ادامه نیز چند قضیه و نتیجه مربوط به مدول های هم ضربی وفادار مطرح و مورد تحقیق قرار می گیرد.

در این پایان نامه ابتدا مفهوم حلقه های آرمنداریز که توسط رگ و چاوچاریا در سال 1997 معرفی شد را ارائه می دهیم. سپس به بررسی چند کلاس از حلقه ها که تعمیمی از حلقه های آرمنداریز و شبه آرمنداریز هستند می پردازیم. نشان می دهیم برای درون ریختی از حلقه r، r، - صلب است اگروتنهااگر برای هر و عدد صحیح مثبت n، ، آن گاه اگروتنهااگر کاهشی اگروتنهااگر یک به یک، r کاهشی و -آرمنداریز کج اگروتنهااگر r کاهشی و -آرمنداریز اگروتنهااگر t(r, r)، -آرمنداریز کج اگروتنهااگر برای ، v_n(r)، -آرمنداریز کج اگروتنهااگر ، -آرمنداریز کج باشد. هم چنین نشان داده شده است اگر حلقه r نیم اول باشد، آن گاه برای ، s_n (r) و v_n(r)، شبه آرمنداریز ضعیف هستند.

دراین‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ تحقیق‏، ‎r ‏یک حلقه جابه جایی ‏است . همچنین ‎‎‎‎z(r)‎‎‏ ‎‎مجموعه مقسوم علیه های صفر ‎‎‎‎r‎‎‏ و ‎‎‎u(r)‎‎ ‏‏ مجموعه عناصر وارون پذیر ‎‎‎‎r‎‎‏‏ و ‎‎‎‎nil(r)‎‎‏ مجموعه عناصر پوچتوان ‎‎‎‎r‎‎‏ می باشند.‏ ‏‎ ‎‎ در فصل ? نشان می دهیم که گراف مقسوم علیه صفر از یک حلقه‏، همبند است. ‎‎‎‎‎ در فصل ? ‏نشان می دهیم که ‎‎‎‎‎gamma‎(r)‎‎‏ به طور منحصربه فرد متمم شده است اگروتنهااگر ‎‎‎‎r‎‏ کاهشی نباشد و ‎gamma‎‎(r)‎‎‏ ‎‏یک گراف ستاره باشد یا ‎‎‎‎r‎‎‏ کاهشی باشد و ‎‎t‎‎(r)‎‏ ‎‏منظم فون نویمان باشد‎‏.‎ ‎ در فصل ? نشان می دهیم که اگر ‎r‎‎‏ یک حلقه بول باشد آنگاه اتم های ‎‎‎‎b(r)‎‎‏ دقیقا عناصر ‎‎‎‎v(gamma(r))‎‎‏ هستند که مجاور به رأس انتهایی می باشند. همچنین نشان می دهیم که هر رأس از گراف مقسوم علیه صفر یک حلقه بول (که با ‎ z_2‎‏ ایزومورف نیست) دارای یک متمم منحصربه فرد ا‎‎‎‎‎‎ست . ‎‎ در فصل ? به معرفی ‎‎عناصری از ‎‎‎‎q(r)‎‏ می پردازیم که ‏عضو ‎‎‎‎r‎‎‏ نیستند هرگاه ‎‎‎‎r‎‎‏ یک حلقه بول باشد که به طورگویا کامل نیست. همچنین نشان می دهیم یک حلقه به طورگویا کامل و کاهشی‏ دارای این ویژگی است که‎‎ هر ایده آل i‎‏ ‎‏ شامل یک عنصر با متمم هایی در ‎gamma‎(r)‎‎‏ است که ‎‎‎‎i‎‏ را صفر می کند و این شرط کافی است برای این که هر حلقه بول‏‏، به طورگویا کامل باشد.‎ ‎ در فصل ? ‎‎مشاهده می کنیم که گراف مقسوم علیه صفر دارای یک زیرگراف کامل است که هر رأس آن به ‏یک رأس انتهایی مجاور است. همچنین یک لیست از حلقه هایی که گراف مقسوم علیه صفر آن ها دارای این ویژگی است که هر رأس یک رأس انتهایی است یا مجاور به رأس انتهایی است‏، ‎‏ارائه می دهیم.

این پایان نامه شامل 4 فصل میباشد، در فصل اول تعاریف و مفاهیم مورد نیاز در فصول بعدی یادآوری شده، فصل دوم درباره همبندی، قطر و کمر گراف اشتراکیست. فصل سوم درمورد عدد رنگی و عدد خوشه ای گراف اشتراکی و ارتباط این دو با زیرمدولهای یک مدول میباشد و سرانجام در فصل آخر پایان نامه گراف هم ماکسیمال مدول را بررسی میکنیم.

در این پایان نامه، گراف اشتراک (g(r را که رئوس آن ایده آلهای چپ حلقه r است، بررسی می کنیم و در ادامه حلقه های r را مشخص می کنیم که، گراف (g(r همبند باشد، همچنین چند شرط لازم و کافی روی حلقه r برای کامل بودن بدست می آوریم. برای حلقه جابجایی و یکدار r نشان می دهیم که، (g(r کامل است اگر و تنها اگر ([g(r[x کامل باشد. در حالت خاص مشخص می کنیم برای چه مقادیری از n، گراف (g(z_n همبند، کامل، دو بخشی یا مسطح است و یا دارای دور می باشد. سپس گراف های متناهی که از گراف اشتراک z_n بدست می آیند را مشخص می کنیم و مجموعه تمام گراف های غیریکریخت با گراف z_n برای تعداد رئوس داده شده را بدست می آوریم. در آخر مقادیری از n را مشخص می کنیم که (g(z_n اویلری و یا همیلتنی باشد.

هدف ما در این پایان نامه مطالعه زیرنیم مدول های نیم اول و نتایج وابسته به آن است.در ادامه به بررسی زیرمدول های 2-جذبی و مقایسه این دو با هم خواهیم پرداخت.