برای حلقه یکدار r ? گراف هم ماکسیمال حلقه r ? که با ?(r) نشان داده می شود، گرافی ساده است که رأس های آن همه ی عناصر r بوده و دو رأس متمایز x و y مجاور هستند، اگر و تنها اگر rx+ry=r . هدف از مطالعه ی گراف هم ماکسیمال، ایجاد ارتباط بین نظریه ی گراف و نظریه ی حلقه می باشد. این پایان نامه در دو مرحله انجام ?می شود. مرحله اول: ابتدا زیرگراف? ?(r)? از گراف ?(r) که وابسته به عناصر غیر یکه r است را معرفی می کنیم و در حالی که r حلقه جابجایی باشد، همبند بودن و قطر این گراف را بررسی کرده و به طور کامل قطر گراف j(r) ?(r)? ، به طوری کهj(r) ??رادیکال جیکبسن حلقه r است، ?را توصیف می نمائیم. به ویژه، شرط لازم و کافی بین یکریختی دو گراف و یکریخت بودن حلقه هایشان را بررسی خواهیم کرد و ثابت می کنیم اگر r و s دو حلقه نیم موضعی متناهی باشند، به طوری که r تحویل یافته است، آن گاه??(r)??(s) می باشد، اگر و تنها اگر r?s . مرحله دوم: فرض می کنیم r یک حلقه ( نه لزوما جابجایی) باشد و نشان می دهیم اگر r حلقه ی آرتینی چپ باشد آن گاه j(r) ?(r)? همبند است و اگر j(r) ?(r)? ?جنگل در نظر گرفته شود، آن گاه j(r) ?(r)? گراف ستاره می باشد. سپس ثابت های عددی از ?(m?_n (f_q))2?، مانند درجه مینیمال، درجه ماکسیمال، عدد همبندی، خوشه ای و رنگی را محاسبه می کنیم. در آخر، به این سئوال پاسخ می دهیم که اگر ?(s)? ? ?(r)?، آیا می توان در حالت کلی r?s را نتیجه گرفت و با مثال نقضی حالت کلی را رد می کنیم. اما ثابت می کنیم که اگر r ، حلقه ای یکدار و f_q? میدان متناهی با q ?عنصر بوده و?2? n? باشد به طوری که ?(m?_n (f_q))2? ? ?(r)? ، آن گاه r?m_n (f_q) و هم چنین اگر r و r دو حلقه جابجایی متناهی یکدار و r تحویل یافته بوده ?و به ازای 2 n,m? ، ?(m?_m (r^))2? ? ?(m?_n (r))2? باشند، آن گاه n=m ? و r?r .

برای حلقه ی جابجایی و یکدار r، گراف مقسوم علیه های صفر حلقه ی r، که با (r) ? نشان داده می شود، گرافی ساده است که رأس های آن همه ی مقسوم علیه های صفر نابدیهی r، هستند و دو رأس متمایز x و y مجاور هستند، اگر و تنها اگر xy = 0 . در این پایان نامه نشان داده شده است که برای عدد صحیح ثابت و مثبت g، تعداد کلاس های یکریختی حلقه هایی با گراف مقسوم علیه صفر از گونای g، متناهی است. برهان این قضیه را می توان برای دست یابی به نتایجی قابل مقایسه برای گونای جهت ناپذیر، تغییر داد.

برای حلقه های ناجابجایی، گراف مقسوم علیه صفر حلقه ی r که با نماد(?(r نشان داده می شود، گرافی است که رأس های آن همه ی مقسوم علیه های صفر ناصفر از r هستند که برای هردو رأس مجزای x و y, داریم x?y یک یال است اگروفقط اگر xy=0. هدف از مطالعه گراف مقسوم علیه صفر بررسی بین ویژگی های جبری حلقه ی r و ترکیبیاتی گراف (?(rاست. در این پایان نامه بررسی می کنیم که گراف مقسوم علیه صفر کدام حلقه هایک گراف دوبخشی، یک گراف کامل و یا یک گراف منتظم است. ثابت می کنیم که برای هر میدان متناهی f و عدد طبیعی n>2, اگر ?(r) ? ?(mn(f آن گاهr ? mn(f. هم چنین تحقیق می کنیم تحت چه شرایطی یکریختی گرافی ?(r) ? ?(s یکریختی حلقه ای r ? s را نتیجه می دهد. هم چنین در مورد عدد غالب گراف مقسوم علیه صفر به دست می آوریم.

فرض کنید r یک حلقه ی جابجایی و یکدار باشد. z(r) را مجموعه ی مقسوم علیه های صفر و nil(r) را عناصر پوچتوان آن در نظر می گیریم. گراف مقسوم علیه های صفر r را روی مجموعه ی رئوس(r ) = z(r) /{0} z* با (r) ? نشان می-دهیم. دو راس متمایز x و y مجاور هستند اگرو تنها اگر xy=0. در این پایان نامه به مطالعه ی (r) ? برای حلقه هایی چون r می پردازیم که مقسوم علیه های صفر غیر بدیهی r در شرایط بخش پذیری معینی بین عضوهای r صدق می کند یا در شرط های مقایسه پذیری بین ایده آل ها یا ایده آل های اول r صدق می کنند. این حلقه ها شامل حلقه های زنجیره ای، حلقه هایی که ایده آل های اول مشمول در z(r ) مرتب خطی اند و هم چنین شامل حلقه های rای است که در z(r ) ، 0?nil(r) zr ، برای هر? z(r ) nil(r) z

در این پایان نامه دو مفهوم ترکیبیاتی در ارتباط با جابه جایی بودن حلقه ها را مطالعه می کنیم. اولین مفهوم، تعریف بعدی است: حلقه ی rرا متعدی- جابجایی می نامند هرگاه برای هر عنصر غیر مرکزی c ? r وb وa، اگر ab=ba وbc=cb، آنگاه ac=ca. فرض کنید r یک حلقه ی یکدار متعدی– جابه جایی متناهی باشد. اگر r تحویل ناپذیر باشد، آنگاه r موضعی است یا یکریخت با حلقه ی ماتریسی 2*2 روی یک میدان است. دومین مفهوم مطالعه شده در این پایان نامه تعریف بعدی می باشد: فرض کنید 2 ?k حلقه ی rرا یک b_k-حلقه می نامند اگر برای هر زیر مجموعه ی k عنصری k از r مجذور k بزرگتر یا مساوی k(k+1)/2باشد. واضح است که هر حلقه ی جابجایی به ازای 2 ? k یک b_k-حلقه است. بنابراین این پرسش طبیعی است که آیا b_k-حلقه ها جابجایی هستند؟ در این پایان نامه ثابت می کنیم که برای 2وk=3 هر b_k-حلقه ی یکدار جابجایی است. لازم به یادآوری است که هر دو مفهوم بالا ابتدا برای گروه ها تعریف شده اند. در این پایان نامه قضایایی در مورد b_k-گروه ها بیان کرده ایم.

سه مسئله کلی درباره کوهمولوِی از یک جبر لی پوچتوان را مطرح می کنیم. ابتدا تعیین دقیق اعداد بتی سپس تعیین توزیع اعداد بتی و سرانجام تعیین کران های پایین خوب برای این اعداد.برای توسیع های یک بعدی از جبر لی هایزنبرگ اعداد بتی را دقیقا تععیین می کنیم.سپس نشان می دهیم برخی خانواده ها در این رده یک توسیع عدد بتی m-شکلی دارند.

فرض کنید r یک حلقه بوده و??i(r)?^* مجموعه ی تمام ایده آل های چپ غیربدیهی از r? باشد. گراف اشتراکی ایده آل های? rکه با??g(r)نشان داده می شود، گرافی است با مجموعه ی رئوس ??i(r)?^*و دو رأس i و ? jمجاور هستند اگر و تنها اگرi?j? و?i?j?? . هدف از این مطالعه، بررسی روابط بین خواص گرافی گراف اشتراکی و برخی خواص جبری حلقه ها می باشد. در این پایان نامه همه ی حلقه هایی را مشخص می کنیم که گراف اشتراکی آن ها همبند است و چندین شرط لازم و کافی را روی حلقه ی r به گونه ای به دست می آوریم که گراف ? g(r)کامل باشد. در حالت خاص تعیین می کنیم به ازای چه مقادیری از n گراف ??g(z_n)،همبند، کامل، دوبخشی، مسطح، اویلری، همیلتنی یا شامل یک دور است. همچنین همه ی حلقه هایی را مشخص می کنیم که عدد خوشه ای ?g(r) متناهی باشدآنگاه عدد رنگی آن نیز متناهی است. مطالعه ی خود را با بررسی گراف اشتراکی زیرمدول های یک مدول ادامه می دهیم

فرض کنیمgیک گراف ساده و a(g) ماتریس مجاورت آن باشد. گراف g را صحیح گویند، هرگاه تمام مقادیر ویژه a(g) صحیح باشند. گراف g را دوری گویند، هرگاه a(g)یک ماتریس دوری باشد. انرژیg ، برابر مجموع قدرمطلق مقادیر ویژه a(g) تعریف می¬شود. در این پایان نامه گراف¬های دوری صحیح و انرژی آن ها را مطالعه می¬کنیم. به ویژه به اثبات نتیجه زیر می پردازیم: گراف n راسی و دوریg صحیح است اگر و تنها اگر gیک icg(n,d) باشد و منظور از icg(n,d) گرافی است که رئوس آن اعضای گروه z_n است و یال های آن مجموعه {{a,b}:a,b?z_n,gcd?(a-b,n)?d}میباشد و d مجموعه¬ای از مقسوم علیه¬های مثبت عدد صحیح n است. این دسته از گراف¬ها را گراف¬های ب.م.م می نامیم. سپس انرژی گراف¬های ب.م.م را مطالعه می¬کنیم. به ویژه مقادیر بیشینه و کمینه آن¬ها را در حالتی که n توانی از یک عدد اول و یا اینکه dیک مجموعه بخشی ضربی باشد، تعیین می¬کنیم. تعیین این مقادیر فرینه، ارتباط نزدیکی با بخش¬هایی از نظریه اعداد به ویژه با مجموع¬های رامانوجان و خواص آن¬ها دارد.