معادلات لینارد کلاسیک، میدان های برداری دوبعدی روی صفحه ی فاز مرتبط با معادلات دیفرانسیل اسکالر x ?+ f(x) x ?+x=0 هستند. در این رساله فرض می کنیم f یک چندجمله ای از درجه ی 2l-1 باشد به طوری که l یک عدد طبیعی دلخواه ولی ثابت است، در این صورت معادله ی لینارد متناظر از درجه ی 2l خواهد بود. نشان خواهیم داد که اگر f را به مجموعه ی فشرده ای از چندجمله ای ها با درجه ی دقیقا n=2l-1 محدود کنیم، تعداد سیکل های حدی معادله ی لینارد متناظر به طور یکنواخت کراندار می شود. مساله ی اصلی شامل مطالعه ی سیکل های حدی با دامنه ی بزرگ است که نشان می دهیم تعداد آن ها حداکثر l است.

نظریه فرم نرمال یکی از اساسی ترین و موثرترین روش ها برای تجزیه و تحلیل رفتار دینامیکی دستگاه های دینامیکی می باشد. فرم نرمال مرتبه اول (فرم نرمال کلاسیک) ساده ترین فرم نرمال برای دستگاه های دینامیکی نمی باشد، لذا با توجه به اهمیتی که فرم نرمال در تحلیل دینامیکی دستگاه ها دارد، یافتن ساده ترین فرم نرمال یکی از مسائل روز تحقیقاتی می باشد. در این رساله فرم نرمال مرتبه اول و مراتب n ام دستگاه های دینامیکی را بررسی می کنیم . یکی از مهم ترین دستگاه های دینامیکی صفر-هاپف می باشد، در این رساله ساده ترین فرم نرمال این گونه از دستگاه ها را تحلیل می کنیم و تمام نتایج که در ارتباط با ساده ترین فرم نرمال این دستگاه ها ، بدست آورده ایم مورد مطالعه قرار می دهیم و هم چنین انشعابات سه پارامتری از دستگاه صفر- هاپف را نیز بررسی می کنیم. یکی از مهم ترین روش ها برای تحلیل دستگاه های دینامیکی نظریه فرم نرمال می باشد و ساده ترین فرم نرمال از نظرکاربردی در علوم مهندسی کاربرد زیادی دارد

مطالعه و بررسی سیستم های معادلات تفاضلی به دلیل کاربرد فراوان در مسائل گوناگون و مدل سازی رفتارهای دینامیکی سیستم های طبیعی و اقتصادی، از اهمیت ویژه ای برخوردار هستند. یک خانواده مهم از سیستم های معادلات تفاضلی که در دهه های اخیر مورد بحث و بررسی قرار گرفته اند، سیستم های به فرم گویا می باشند. این سیستم ها به این دلیل که شامل انواع زیادی می باشند، بخش زیادی از مطالعات این عرصه را به خود اختصاص داده اند. اندک زمانی است که بررسی سیستم های معادله تفاضلی به فرم گویا در صفحه به طور رسمی شروع شده است. در این پایان نامه ابتدا به بیان تعاریف و قضایای مقدماتی از سیستم های معادلات تفاضلی می پردازیم. سپس همه حالت های یک معادله تفاضلی گویا در صفحه را به طور کامل دسته بندی کرده و از دیدگاه رقابتی و مشارکتی بودن، این سیستم ها را بررسی خواهیم کرد. در ادامه به بررسی خواص دینامیکی سیستم ها هم از لحاظ موضعی و هم از دید سراسری از جمله خاصیت کرانداری و یکنوایی جواب های آنها خواهیم پرداخت. همچنین به بررسی دینامیکی نقاط تعادل این سیستم ها نیز در ادامه پرداخته خواهد شد. در آخر نیز بعضی نتایج روی رفتار های دینامیکی چند سیستم خاص بیان و بررسی می شوند.

برخورد انشعاب هاپف با انشعاب هم بعد‎-?‎ کاسپ، انشعاب هم بعد‎-?‎ با دینامیک کامل تری ایجاد می کند. مطالعه ی جامعی از انشعاب کاسپ-هاپف روی منیفلد مرکزی سه بعدی، بر اساس فرم نرمال قطع شده ارائه می شود. تقارن انتقال-حالت ‎ s1 این فرم نرمال را به سیستم مسطح کاهش می دهد. ‏ تغییر متغیر های بیشتر استفاده می شود تا ضرایب غیر خطی ساده شوند و حالت های تحت برسی کاهش یابند. مجموعه های پایای فرم نرمال دو بعدی شامل نقاط تعادل و مدارهای تناوبی مشخص شده اند. انواع انشعاب ها، نماهای فاز نمایش داده می شود. این انشعاب علاوه بر چهار حالت موجود در انشعاب فولد-هاپف، شامل هم زیستی نقاط تعادل، مدارهای تناوبی، چنبره های پایا، انفجار نوسان ها و انشعاب فولد-هتروکلینیک نیز است. انشعاب فولد-هتروکلینیک در بعد سه موجب انفجار نوسان ها می شود که شبیه سازی عددی پیش بینی وقوع انفجار نوسان های حاصل از تحلیل این انشعاب را تایید می کند. اگر جملات مرتبه ی بالاتر را به سیستم بیافزاییم؛ تقارن سیستم می شکند. بنابراین دینامیک هایی که از لحاظ ساختاری پایدار نیستند؛ رفتار متفاوتی دارند. این نقض تقارن ممکن است سیستم را به دینامیک آشوبی هدایت می کند.

بسیاری از مسائل مطرح در جهان واقعی را می توان در قالب سیستم های دینامیکی مدل سازی کرد و سپس به کمک ابزار های آنالیز انشعاب و روش های عددی به بررسی رفتار های دینامیکی آن ها پرداخت. نرم افزار های انشعاب، وسیله ای برای مطالعه ی رفتار های دینامیکی سیستم و آنالیز انشعاب های آن است. در این پایان نامه ابتدامروری بر نرم افزارهای انشعاب، تاریخچه ی آن ها و نیز جعبه ابزار matcont داریم. سپس از آن جایی که هدف ما در این مطالعه، آنالیز عددی انشعاب های نقاط تعادل و سیکل های حدی با استفاده از جعبه ابزار matcont است، مختصری درباره روش های عددی برای دستیابی به نقاط تعادل، سیکل های حدی وامتداد آن ها می پردازیم. همچنین انشعاب های هم بعد- 1 نقاط تعادل و امتداد آن ها تحت تغییر دو پارامتر و نیز محاسبه تمام نقاط انشعاب هم بعد- 2 بر روی این منحنی ها را بررسی کرده ایم. به طور مشابه انشعاب های هم بعد- 1 یک سیکل حدی و امتداد آن ها نیز معرفی شده است. در آخر با مطرح کردن چندین مثال در matcont ، به پیاده سازی الگوریتم های عددی و آنالیز انشعاب های موجود در این سیستم ها می پردازیم.

اگر فضای متری x در فضای متری y چگال باشد، آنگاه فضای y را یک گسترش متری از x گوییم. اگر t_1 و t_2 دو گسترش متری از x باشند و نگاشتی پیوسته از t_2 به t_1 وجود داشته باشد بطوریکه روی x همانی باشد، می نویسیم t_1?t_2. اگر x یک فضای متری نافشرده باشد، آنگاه (m(x),?) مجموعه ی همه ی (کلاس های هم ارزی) گسترش های متری x را مشخص می کند، که در آن t_1 و t_2 معادلند هرگاه t_1?t_2 و t_2?t_1، یعنی اگر یک همان سانی از t_1 به t_2 وجود داشته باشد بطوریکه روی x همانی باشد. تحقیق روی مجموعه ی مرتب جزئی m(x) برای اولین بار توسط بلنوف آغاز شد. در این پایان نامه، مجموعه ی مرتب جزئی e(x) از گسترش های متری تک نقطه ای یک فضای متری فشرده ی موضعی x را مورد بررسی قرار می دهیم. این گسترش ها، گسترش هایی تک نقطه ای از x همراه با یک متر سازگار هستند. اگر x یک فضای متری جدایی پذیر باشد، آنگاه این مجموعه ی مرتب جزئی ساختاری شبیه به مجموعه ی مرتب جزئی فشرده سازی های یک فضای فشرده ی موضعی خواهد داشت. برای یک فضای تیخونف x، فرض کنید x^*= ?x-x. هم چنین فرض کنید که z(x) مجموعه ی مرتب جزئی صفرمجموعه های x را مشخص کند، که با رابطه ی شمول مرتب شده باشد. ثابت می کنیم که اگر x و y دو فضای متری جدایی پذیر فشرده ی موضعی باشند، آنگاه e(x) و e(y) بطور ترتیبی یکریخت هستند اگر و تنها اگر z(x^*) و z(y^*) بطور ترتیبی یکریخت باشند، اگر و تنها اگر x^* و y^* همان سان باشند. در این پایان نامه، تابع دوسویی حافظ ترتیب ?? e(x)?z(x^*) را ارائه می دهیم و ثابت می کنیم که گسترش تک نقطه ای y?e(x) فشرده ی موضعی است اگر و تنها اگر ?(y) در x^* هم باز و هم بسته باشد. هم چنین بعضی از نتایج را به فضاهای جدایی ناپذیر گسترش خواهیم داد.

در این رساله، از یک طرف به بررسی نامساوی بین مقادیر ویژه ی لاپلاسین دیریکله و مقادیر ویژه ی عملگر استوکس در صفحه می پردازیم و از طرف دیگر نامساوی بین مقادیر ویژه ی لاپلاسین دیریکله و لاپلاسین نویمان را بررسی می کنیم. نشان می دهیم که k-امین مقدار ویژه ی لاپلاسین دیریکله اکیداً کوچکتر از k-امین مقدار ویژه ی عملگرکلاسیک استوکس(به طور معادل، مسأله ی لوحه محکم نگه داشته شده با قلاب) برای یک دامنه ی کراندار در صفحه ی دارای مرزc1 است. برای یک مرزc2 نشان می دهیم مقادیر ویژه ی عملگر استوکس با شرایط مرزی لغزشی ناوی به صورت متصل بین مقادیر ویژه لاپلاسین دیریکله و عملگر شناخته شده ی استوکس درونیابی می کند. برای اثبات رابطه ی بین این دو نوع مقدار ویژه از روش فیلونوف که در اثبات نامساوی بین مقادیر ویژه ی لاپلاسین با شرایط مرزی نویمان و دیریکله به کار رفته است، استفاده می کنیم. واژه های کلیدی: لاپلاسین دیریکله، عملگر استوکس، شرایط مرزی لغزشی ناوی

دستگاه های چندجمله ای مرتبه دوم در صفحه با حداقل یک مرکز همیشه انتگرال پذیر هستند که می توان آنها را به چهار رده: همیلتونی q_3^h، برگشت پذیر q_3^r‎، همبعد چهار q_4‎، لاتکا-ولترای تعمیم یافته q_3^lv، دسته بندی کرد. یک مسئله طبیعی بررسی تعداد سیکل های حدی منشعب شده از طوق تناوبی این چهار رده از دستگاه ها تحت اختلال های کوچک از درجه دو است. در این پایان نامه قصد داریم حالت هایی از دستگاه های رده دوم یعنی برگشت پذیر را تحت اختلال درجه دو مورد بررسی قرار دهیم. حالت اول دستگاه های برگشت پذیر از درجه دو با دو مرکز است که در هر ناحیه ی فشرده از طوق تناوبی می توانند حداکثر چهار سیکل حدی داشته باشند. اگر چهار سیکل حدی وجود داشته باشد آنگاه توزیع آنها ‎(3,1) است، به این معنی که سه سیکل حدی به صورت تو در تو یک مرکز را احاطه می کنند و سیکل حدی دیگر مرکز متفاوت را احاطه می کند. حالت دیگر از دستگاه های برگشت پذیر درجه دو که مورد مطالعه قرار می گیرد یک دستگاه دارای یک مرکز و یک حلقه ی هموکلینیک است. این دستگاه در هر ناحیه ی فشرده از طوق تناوبی می تواند حداکثر سه سیکل حدی داشته باشد.

در این پایان نامه، ویژگی جالبی از فضاهای متری به نام کشسان پذیری را بررسی خواهیم کرد. فضاهای متری کشسانی را می توان به انواع انبساطی-انقباضی، غیر انبساطی-انقباضی و انقباضی-انبساطی تقسیم بندی کرد. فضاهای کشسان انبساطی-انقباضی دارای این ویژگی هستند که هر تابع دو سویی و غیر انقباضی از این فضا به خودش، طولپایی است. فضاهای متری را که انبساطی-انقباضی نیستند، فضاهای کشسان غیر انبساطی-انقباضی می نامیم. فضاهای کشسان انقباضی-انبساطی نیز فضا ها یی هستند که هر تابع پوشا و غیر انبساطی از این فضا به خودش، طولپایی باشد. در این پایان نامه، به روی فضاهای کشسان انبساطی-انقباضی متمرکز خواهیم شد و البته فضاهای کشسان غیر انبساطی-انقباضی نیز در کنار آن پوشش داده خواهند شد؛ چرا که انگیزه ی تعریف موضوع در این پایان نامه به فضاهای انبساطی-انقباضی مربوط می شود. در پایان مباحث دیگری از جمله « خواصّ کشسان پذیری در مجموعه ها» و «فضاهای کشسان انبساطی-انقباضی موروثی» نیز بررسی خواهند شد

در این پایان نامه به کمک مقاله فوق و با تعریف یک اتوماتای تصادفی انتشار ویروس را تحلیل خواهیم کرد. در ابتدا مفاهیم زیستی مورد نیاز را بیان خواهیم کرد. آشنایی با دستگاه ایمنی بدن و چرخه زندگی ویروسو همچنین نحوه تقابل آن با سلول های سیستم دفاعی بدن، ما را در بررسی و تحلیل مدل یاری خواهد کرد. سپسچندین مدل مختلف را به طور مختصر بررسی می کنیم. در ادامه به تعریف اتوماتای سلولی و ویژگی های آن خواهیم پرداخت. در فصل ? با مفهوم اتوماتای سلولی تصادفی آشنا خواهیم شد. در واقع مدل بندی انتشار ویروس به کمک این مفهوم صورت می گیرد. در این فصل دینامیک های مختلف نیز شرح داده می شوند. در فصل ? پس از انجام مدل بندی به کمک اتوماتای سلولی، نتایج حاصل را نیز برای پارامتر های زیستی مختلف بدست خواهیم آورد. در فصل ? خواصدینامیکی مطرح شده در فصل ? را برای مدل ایجاد شده، بررسی می کنیم. خواهیم دید که این خواص دینامیکی در واقع برخی اتفاقات زیستی را توجیه خواهند کرد. با وارد شدن به مرحله نهایی انتشار ویروس که مصادف با شروع بیماری ایدز است درمی یابیم که نتایج زیستی کمی تصادفی تر از نتایج حاصل از به کارگیری اتوماتاست. لذا در این مرحله به تصحیح مدل خواهیم پرداخت. در واقع در این مرحله از اتوماتای مارکف بهره خواهیم گرفت. همچنین به کمک این اتوماتا نحوه تاثیر دارو بر مدل را مشاهده خواهیم کرد. بنابراین از آنجایی که مدل مطرح شده با دقت بسیارخوبی نحوه انتشار ویروس را در مراحل مختلف به نمایشمی گذارد می تواند در روند درمان مورد استفاده قرار گیرد.

در این پایان نامه به فشرده سازی و تکین زدایی معادلات چندجمله ای لیینارد از نوع (m,n) می پردازیم. به عبارت دیگر، میدان های برداری مسطح مربوط به یک معادله دیفرانسیل اسکالر مرتبه دوم مانند x ?+f(x) x ?+g(x)=0 را در نظر می گیریم که در آن f و g به ترتیب چندجمله ای هایی از درجه ی m و n (بر حسب متغیر x) هستند. علاوه بر فشرده سازی صفحه ی فاز یا همان صفحه ی لیینارد، نشان داده می شود که فضای معادلات لیینارد از نوع (m,n) را نیز می توان به ازای هر (m,n) به طور جداگانه، فشرده ساخت و تکین زدایی نمود. این کار هم به وسیله ی افزودن مسائل اختلال تکین و هم به وسیله ی افزودن مسائل اختلال همیلتونی انجام می شود.

تک جمله ای ‎ø را انتگرال اول معادله دیفرانسیل ẋ=f(x) می نامیم هرگاه ‎ ‎xf(ø)=0. در این پایان نامه به بررسی وجود انتگرال های اول، تعداد و شکل آن ها برای یک معادله دیفرانسیل غیرخطی خودگردان با استفاده از فرم نرمال پوانکاره-دولاک خواهیم پرداخت.‎‏ هم چنین مواردی که حداکثر تعداد انتگرال اول قسمت خطی برای معادله ‏دیفرانسیل حفظ شود را بررسی کرده و در انتها کاربرد فرم نرمال در محاسبه انتگرال های اول را بیان می کنیم.‎

کی از نظریه های اساسی در رابطه با سیستم های همیلتونی، قضیه کلاسیک kam است که از نظریه های اساسی در جهت مطالعه خواص سیستم های همیلتونی نزدیک به سیستم های همیلتونی انتگرال پذیر است. نخست تعمیمی از این قضیه که به قضیه kam ضعیف مشهور است را بیان می کنیم. در ادامه از نظریه اندازه ها برای مطالعه معادلات همیلتون-ژاکوبی استفاده می کنیم. اندازه های مطرح شده، در واقع جواب های یک معادله دیفرانسیل جزیی هستند. ایده معرفی این معادله دیفرانسیل، حاصل از شناخت نظریه kam ضعیف است. هم چنین با معرفی اندازه های مختلف قادربه تحلیل رفتارهای جواب معادله و رسیدن به یک فرمول نمایشی برای جواب های چسبنده معادله همیلتون-ژاکوبی خواهیم بود. این فرمول نمایشی تعمیم فرمول های هاپف در حالت محدب است. سپس معادله خم های مشخصه را بررسی می کنیم. ازآنجاییکه در مسایل کاربردی مخصوصأ نظریه دیفرانسیلی بازی ها عملأ با توابع غیر هموار روبرو هستیم، خم های مشخصع بصورت سراسری وجود ندارند. در واقع رویه هایی وجود دارند که جواب های معادله در نزدیکی این رویه ها دچار جهش می گردند این رویه ها دسته بندی های مختلفی دارند. نوع خاصی از این رویه ها را معرفی و نحوه ی ساختن آن را شرح می دهیم.

در این پایان نامه اثباتی تحلیلی از وجود یک مدار تناوبی پایدار موجود در منطقه ی همزیستی سه گونه از یک زنجیره ی غذایی سه تغذیه ای را ارائه می دهیم. روش مورد استفاده شامل تجزیه و تحلیل یک انشعاب هاپف سه گانه است. برای برخی مقادیر پارامترها سه سیکل حدی از طریق این انشعاب بوجود می آید, یکی در صفحه ای موجود است که در آن ابر-شکارچی وجود ندارد, دیگری در دامنه ی دلخواهی که تمام متغیرهای آن مثبت هستند وجود دارد. سومین آن جایی را در بر می گیرد که همزیستی سه گونه وجود دار‎د‎. تکنیک های اثبات این نتایج بر اساس نظریه معدل گیری از مرتبه دوم است که در ابتدا به معرفی این نظریه و نتایج آن پرداخته می شود و در نهایت بوسیله ی این نظریه ارتباط بین وجود انشعاب هاپف در سیستم معدل گیری شده و سیستم اولیه عنوان می شود. وجود این انشعاب هاپف سه گانه به طور عددی توسط کوایج و همکارانش کشف شده است. همچنین برای چنین سیستم هایی ابتدا انشعاب شلنیکُف مورد بررسی قرار گرفته شده است و بعد از آن به معرفی انشعاب بلیاکُف که حاصل از گذار بین حالت انشعاب با مقادیرویژه حقیقی به انشعاب با مقادیرویژه مختلط (انشعاب شلنیکُف) است را معرفی می کنیم و نشان می دهیم که هر نقطه بلیاکف (‎‎نقطه انشعاب هموکلینیک همبُعد-2) مبدأ سه خانواده نامتناهی از منحنی های انشعاب کمکی است که این انشعابات شامل انشعاب مضاعف ساز دوره تناوب, انشعاب مماسی(گره زینی) و انشعاب هموکلینیک است.

بسیاری از مسائل مربوط به فیزیک، شیمی، مهندسی و غیره با یک دستگاه غیرخطی مدل سازی می شوند. در بیشتر موارد دستگاه های غیر خطی ساختار پیچیده ای دارند و تجزیه و تحلیل دینامیک آن ها دشوار می باشد. نظریه فرم نرمال یکی از موثرترین راه ها برای تجزیه و تحلیل موضعی در اطراف نقطه تعادل یا جواب های تناوبی می باشد. فرم نرمال مرتبه ی اول، ساده ترین فرم نرمال نمی باشد. لذا مفهوم فرم نرمال مداری مطرح می شود. ایده اصلی در فرم نرمال مرتبه اول، اعمال تغییر متغیر حالت نزدیک به همانی است، به طوریکه سیستم ثانویه بسیاری از خواص دستگاه اصلی را دارا باشد[?]. در صورتیکه در فرم نرمال مداری علاوه بر تغییر متغیر حالت از تغییر متغیر زمان مناسب نیز استفاده می شود. ساده ترین فرم نرمال انفراد هاپف – صفر در یک حالت خاص در سال 2001 ، توسط یو و یوان به کمک نرم افزار میپل و با استفاده از روش کار آمد محاسباتی ، مورد مطالعه قرار گرفت . در سال 1998، الگابا و گامرو فرم نرمال یک میدان برداری هاپف – صفر را با یک شرط عام روی قسمت مرتبه دوم وهمچنین یک شرط عام روی قسمت مرتبه سوم به دست آوردند و در سال 2005 چن و ونگ? و یانگ? فرم نرمال مداری این میدان برداری را در یک حالت خاص با یک شرط عام روی قسمت مرتبه دوم مطالعه کردند. از جمله ابزار های قدرتمند در محاسبه فرم نرمال، ساختار جبری sl(2) است. در این روش فضای تمام میدان های برداری، که قسمت خطی آن ها پوچ توان هستند (انفراد بوگدانف تاکنز)، به زیر فضاهای تجزیه ناپذیر و پایا که از نظر دینامیکی معنا دار هستند، تجزیه می شود و به واسطه این تجزیه یک پایه جدید برای فضا معرفی می شود. از مزیت های این روش، تسهیل در به کارگیری ابزارهایی مانند تابع ملنیکوف برای بررسی انشعابات سراسری در سیستم های غیر خطی، تسهیل در یافتن انتگرال اول سیستم (درصورت وجود) و افزایش کارآمدی ابزار های حل معادلات دیفرانسیل معمولی می باشد. از طرف دیگر مطالعه دینامیک هر یک از این زیرفضاها، مطالعه دینامیک کل سیستم را ساده تر خواهد کرد. این ایده در سال (????) توسط گازر و مختاری برای انفراد هاپف-صفر تعمیم داده شد. آن ها در مقاله خود فضای میدان های برداری منفرد هاپف صفر را به زیر فضاهای تجزیه ناپذیر و پایای شبه اویلرین و همیلتونی تجزیه و به کمک این ساختار ساده ترین فرم نرمال را برای آن محاسبه کردند. اما تا کنون هیچ نتیجه تحقیقاتی در زمینه فرم نرمال مداری انفراد هاپف-صفر منتشر نشده است. ما در این مقاله مبتنی بر ساختار (sl2)، با اعمال تغییر متغیر زمان مناسب، فرم نرمال مداری را برای خانواده ای از این سیستم ها به دو روش محاسبه می کنیم. در روش اول اولویت با حذف ترم های پاستیار و در روش دوم اولویت با حذف ترم های ناپاستیار از سیستم می باشد. هم چنین به کمک نرم افزار میپل، برنامه ای تنظیم کرده ایم که نتایج به دست آمده را اثبات می کند. در این پایان نامه، فرم نرمال مرتب? اول دستگاه های دینامیکی منفرد هاپف و فرم نرمال مداری دستگاه های دینامیکی منفرد هاپف-صفر را مورد بررسی قرار می دهیم. هم چنین به یکی از جدیدترین مدل های درمان ایدز، یعنی تزریق یک ویروس به طور ژنتیکی تغییر یافته به بدن مبتلایان، یک پارامتر ثابت به منظور نمایش سرعت تزریق اضافه و به کمک فرم نرمال، دینامیک آن را بررسی خواهیم کرد.

این پایان نامه، به بررسی رفتار دینامیکی مدل هایی از اپیدمیولوژی و اکولوژی می پردازد. در حقیقت هدف ما پرداختن به مدل زمان ‎شکار-شکارچی زمان گسسته ریکاردو-مالتوس و مدل اپیدمی ‎sis‎ زمان گسسته است. ابتدا مدل ریکاردو-مالتوس را در نظر می گیریم. نقطه تعادل مثبت، بررسی انشعاب ‎های مضاعف و نیمارک-ساکر و انشعاب های ‎همبعد ?‎، ‎تشدید ?:?‎ و تشدید ‎?:?‎ و معرفی فرم های نرمال‎، از جمله مواردی هستند، که به آن ها می پردازیم. سپس مدل اپیدمی ‎sis‎ را در نظر می گیریم و به طور مشابه پایداری نقاط تعادل، بررسی انشعاب های همبعد ‎?‎، تشدید قوی ‎?:?‎ و ‎?:?‎ را با استفاده از محاسبه مستقیم فرم های نرمال مورد بررسی قرار می دهیم. نمایش نمودارهای انشعاب و مدارهای این مدل به ازای بعضی مقادیر پارامترها، در نشان دادن این ویژگی ها به ما کمک می کنند. هم چنین وجود دینامیک آشوبی را با استفاده از محاسبه نمای های لیاپانوف خواهیم دید. قسمت اعظمی از ریاضیات زیستی به بررسی دینامیک های مدل های جمعیتی اکولوژی و اپیدمی می پردازد. در این بین می توان به مدل های شکار-شکارچی، انگل-میزبان و مدل های اپیدمی اشاره نمود‎.‎ یکی از مفاهیم مهمی که در طبیعت و در میان گونه های مختلف مطرح می شود، مفهوم ‎ {رقابت}‎ است. رقابت، تعامل بین گونه هاست که باعث کاهش تناسب یک گونه به دلیل وجود گونه دیگر می شود. کاهش منابع نظیر آب و غذا و قلمرو زندگی از جمله اثرات رقابت بر محیط زیست است. رقابت ها می توانند درون گونه ای و برون گونه ای باشند. به رقابت میان اعضای یک گونه، رقابت درون گونه ای و به رقابت میان اعضای گونه های مختلف، رقابت برون گونه ای گویند. بر اساس اصول رقابتی، افرادی که کمتر در موقعیت های رقابتی قرار می گیرند، یا باید با شرایط کنار بیایند و یا کشته شوند. از جمله رقابت های درون گونه ای می توان به رقابت میان درختان نزدیک به هم اشاره کرد که برای بدست آوردن نور یا آب و یا مواد معدنی موجود در خاک با هم رقابت می کنند. هم چنین از رقابت های برون گونه ای می توان به رقابت میان حیوانات گوشت خوار مختلف برای بدست آوردن شکار اشاره کرد‎.‎ساده ترین مدل جمعیتی رقابتی زمان {continuous}‎ اولین بار به وسیله ورهالست ‎ معرفی شد که نرخ رشد جمعیت گونه های تنها را توصیف می کرد {16}‎. لوتکا و ولترا‎ اولین کسانی هستند که تعامل شکار-شکارچی را در سال ‎1926‎ با معرفی مدل زمان پیوسته شکار-شکارچی لوتکا-ولترای مشهور توصیف کردند. اشکال مدل لوتکا-ولترا که این مدل را غیر واقعی می سازد آن است که، شکارچی هرگز سیر نمی شود. اپیدمیولوژی نقش مهمی در پیشرفت و بقای جامعه بشری بازی می کند. اخیرا مدل های اپیدمی زمان گسسته تعریف شده اند تا سیر تکامل دینامیک های اپیدمی را توصیف کنند. کاستیلو -چاوز و یاکوب مدل ا پیدمی ‎sis‎ گسسته را پیشنهاد کردند و دینامیک های پیچیده آن را مطالعه کردند . بعضی مدل های اپیدمی نوع ‎sis‎ , ‎sir‎ و ‎si‎ زمان گسسته بوسیله آلن معرفی شد ‎. آلن و برگین به مقایسه ی دینامیک های جبری و تصادفی ‎sis‎ زمان گسسته و مدل اپیدمی ‎sir‎ پرداختند ‎. ژو و فرگولا مدل ‎sis‎ اپیدمی ساختار-سنی گسسته را مطالعه کردند و فهمیدند که اساس تعداد مولد و آستانه وجود و انقراض بیماری ها است . ‎‎ مطالعه دینامیکی مدل های اکولوژی و اپیدمیولوژی از اهمیت ویژه ای برخوردار هستند. در این پایان نامه به بررسی پایداری، انشعاب ها و{chaos}‎ سیستم های گسسته فوق می پردازیم‎.‎ آشوب واژه ای است که رفتار به ظاهر پیچیده ای را در سیستم هایی که خوش رفتار و ساده به نظر می رسند، توصیف می کند. رفتار آشوبناک در نگاه اول بی نظم و تصادفی به نظر می رسد. مانند رفتار سیستم های پیچیده که درجه آزادی بسیار زیادی دارند. بسیاری آشوب را یک رفتار طولانی مدت و غیر تناوبی تعریف می کنند که وابستگی بسیار به شرایط اولیه دارد و در سیستم های معین یعنی سیستم هایی رخ می دهد که دارای پارامترها یا ورودی های تصادفی نیستند و این رفتار بی نظم سیستم ها را ناشی از غیر خطی بودن آن ها می دانند‎.‎

در این پایان نامه مدل انتشار ویروس کامپیوتری با تأخیر دوگانه و ضدویروس های با حالت چندگانه در نظرگرفته شده است. با استفاده از قضیه پایداری و انشعاب،ثابت شده است که یک مقدار بحرانی تأخیر برای پایداری شیوع ویروس وجود دارد. زمانی که تأخیر بیش از مقدار بحرانی باشد، سیستم پایداری خود را از دست می دهد و انشعاب هاپف رخ می دهد. علاوه براین فرمول صریح تعیین پایداری و جهت انشعاب های تناوبی با کاربرد قضیه منیفلد مرکزی بدست می آید. در نهایت برخی شبیه ساری عددی برای بررسی آنالیز نظری انجام شده است. نتیجه گیری می تواند به اصول نظری بهتر برای درک عمل دراز مدت شیوع ویروس کمک کند.

وجود مدارهای تناوبی در یک کلاس از سیستم های قطعه ای خطی از بعد سه را در نظر می گیریم. ابتدا، رفتار دینامیکی سیستم قطعه ای خطی تباهیده که دو نقطه تعادل و یک منیفلد پایای دو بعدی ‏افراز شده توسط مدارهای تناوبی دارد را توصیف می کنیم. هدف این کار مطالعه مدارهای تناوبی پیوستار است که تحت یک اختلال قطعه ای خطی از سیستم باقی می مانند. برای بررسی این موقعیت یک تابع حقیقی از متغیرهای حقیقی می سازیم به طوری که صفرهای آن به سیکل های حدی باقی مانده تحت اختلال وابسته است. به وسیله این تابع‏، بعضی نتایج در مورد وجود و پایداری سیکل های حدی در سیستم مختل شده و هم چنین نتایجی درباره انشعاب های سیکل های حدی بیان می کنیم. تکنیک های ارائه شده مشابه با نظریه ملنیکف برای سیستم های هموار و روش معدل گیری است.

جبر دیفرانسیلی یکی از موضوعات جالب توجه برای استفاده از روش های جبری در تحلیل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است. یکی از الگوریتم های مهم در این شاخه الگوریتم رزنفیلد-گربنر است. این الگوریتم رادیکال ایده آل دیفرانسیلی تولید شده توسط دستگاهی شامل چندجمله ای های دیفرانسیلی را به صورت اشتراک تعداد متناهی دستگاه دیفرانسیلی, که شامل معادلات و نامعادلات دیفرانسیلی است نمایش می دهد. هدف از این پایان نامه علاوه بر مطالعه ی مقدمات لازم از جبر دیفرانسیلی, اجرای الگوریتم رزنفیلد-گربنر و زیرالگوریتم های مورد نیاز است. همچنین سه قضیه ی مهم با عنوان قضیه صفرها, لم لازارد و لم رزنفیلد را اثبات خواهیم کرد که در ساختار الگوریتم رزنفیلد-گربنر نقش اساسی ایفا می کنند. به علاوه با معرفی حالت دیفرانسیلی محک های اول و دوم بوخبرگر شکل بهبود یافته ی این الگوریتم را معرفی می کنیم. در پایان به عنوان کار جدید تعمیم حالت دیفرانسیلی محک اول بوخبرگر را مطرح می کنیم.