در این پایان نامه در ادامه کار هون هانگ که برای اولین بار رفتار پایه های گروبنر در سال ????بررسی کرد رفتار پایه های ساگبی - گروبنر تحت عمل ترکیب را بررسی می کنیم.در واقع به این سوال جواب می دهیم که چه زمانی محاسبات پایه های ساگبی - گروبنر تحت عمل ترکیب جابجا می شود؟

ارتباط بین جبر خطی و و پایه گروبنر توسط دانیل لازارد مطرح شد. او توانست محاسبات پایه گروبنر را با استفاده از روش حذف گوس روی ماتریس مخصوصی به نام مکولی در مدت زمان کمتری انجام دهد. در این پایان نامه، همان تکنیک را برای محاسبه پایه ساگبی گروبنر در حلقه های پایا به کار برده و با استفاده از محک ساده f5 الگوریتم جدیدی را ارائه می کنیم که با به کار بردن آن مدت زمان انجام محاسبات پایه ساگبی-گروبنر کاهش می یابد.

در این پایان نامه، الگوریتم های جدید و موثری برای تجزیه چندجمله ای های چندمتغیره از درجه دلخواه ارائه می دهیم.مفهومی از تجزیه که در اینجا مورد نظر ماست عکس عمل ترکیب می باشدکه ایده اصلی آن از کاربرد هایش در علم رمزنگاری نشأت گرفته است. در حقیقت، ما روش هایی موثر برای حل مسئله معروف تجزیه تابعی(fdp) شرح می دهیم.این الگوریتم ها اولین روش کلی برای تجزیه چندجمله ای ها(از هر درجه و هر تعداد چندجمله ای) می باشند. همچنین به عنوان یک نتیجه فرعی می توان ایده آل i را از k امین توان آن بدست آورد. در فصل اول این پایان نامه به شرح مختصری از حلقه چندجمله ای ها و سپس به معرفی پایه گروبنر ایده آل های این حلقه می پردازیم. در فصل دوم الگوریتمی برای تجزیه چندجمله ای های تک متغیره ارائه می دهیم، همچنین شرط لازم و کافی برای تجزیه پذیری چندجمله ای های تک متغیره را بررسی می کنیم. در فصل سوم با شرح مسئله fdp ، به دو روش الگوریتم های جدید و موثری برای تجزیه چندجمله ای های چندمتغیره ارائه می دهیم.

در طی سال های اخیر محاسبه ی پایه ی گروبنر پیشرفت قابل توجهی از لحاظ ساختمان داده، بهینه سازی اجرای الگوریتم ها، محک های مفید و همچنین الگوریتم ها ی جدید ی نظیر الگوریتم ها ی تغییر‎‎ پایه ی گروبنر ‎fglm‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ و ‎gw‎ و مشتقات الگوریتم های بو خبرگر و هیلبرت و فوجر داشته است. اما علیرغم استفاده از روش ها ی فوق هنوز از نظر نظری پیچیدگی الگوریتم محاسبه ی پایه ی گروبنر بهبود چندانی نیافته است. مثال های زیادی وجود دارد که در آن ورودی، یک دستگاه چندجمله ای از چندجمله ای های کوچک (به لحاظ تعداد متغیر، ضرایب و درجه ی آن ها) است اما حافظه ی مورد استفاده در طول محاسبه ی پایه ی گروبنر برای دستگاه به صورت غیرمنتظره ای بزرگ می شود و این در حالی است که خروجی الگوریتم نیز چندجمله ای های کوچکی هستند. خوشبختانه مطالعه ی محاسبه ی پایه ی گروبنر با الگوریتم های مزبور نشان می دهد که بیشترین حجم محاسبه مربوط به محاسبه ی فرم نرمال چندجمله ای هایی است که در روند محاسبه ی الگوریتم بوخبرگر به آن ها نیازی نیست. در این پایان نامه سعی خواهد شد تا با الهام گرفتن از الگوریتم ها ی فوجر الگوریتمی جدید به نام ‎slimgb‎ برای محاسبه ی پایه ی گروبنر دستگاه های متشکل از چندجمله ای های اسلیم ارائه شود.‎الگوریتم توصیف شده در این پایان نامه در نسخه ی‎ 3-0-0 یا نسخه های بالاتر نرم افزار ‎singular‎ قابل اجراست. در فصل اول مقدمات مربوط به پایه ی گروبنر آورده شده است، فصل دوم به مفاهیمی اساسی در مورد مدول ها می پردازد و فصل سوم معیار ‎‎$‎t$‎‎-زنجیر و معیار حاصل ضرب تعمیم یافته و الگوریتم ‎slimgb‎ را شرح می دهد.

پایه گروبنر یکی از ابزارهای محاسباتی قوی در زمینه ی جبر و هندسه ی جبری محاسباتی است که اولین بار توسط بوخبرگر در سال ‎1965‎ معرفی شد. کاربردهای گوناگون پایه گروبنر، منجر به طراحی الگوریتم سریع و مناسب برای محاسبه ی این پایه شده است. در سال ‎2002‎، فوژر الگوریتم سریع f5‎ را ارائه نمود، که تاکنون مناسب ترین الگوریتم محاسبه ی پایه گروبنر به شمار می آید. در این پایان نامه، پس از معرفی این الگوریتم، به بررسی ساختار و اجرای الگوریتم ‎g2v‎ می پردازیم که به عنوان صورت تغییریافته ای از الگوریتم ‎f5‎ توسط گائو و همکارانش در سال ‎2010‎ مطرح شده است. %این الگوریتم دارای فهم ساده تر و اجرای راحت تری نسبت به ‎f5‎ می باشد. همچنین از ساختار الگوریتم ‎g2v‎ استفاده نموده و الگوریتم سریعی برای محاسبه ی پایه ساگبی-گروبنر در حلقه های پایا طراحی می کنیم و در پایان با مقایسه ی این الگوریتم و جدیدترین الگوریتم موجود در این زمینه، اهمیت آن را نشان می دهیم.

پایه های گروبنر اربرد فراوانی در ریاضی کاربردی-هندسه-مهندسی و فیزیک دارد و ما کاربرد پایه گروبنر در طراحی دست یک ربات که به کمک جبرهای کلیفرد فرمول بندی شده و منحنی های متساوری الفاصله از یک سهمی که در مکانیسم بادامک ماشین کاربرد دارد و بررسی منحنی های فرما و مکعب بزییر که در طراحی اجزا در مهندسی مکانیک برای ساخت اشکال پیچیده کاربرد دارد پرداختیم و نیز به یافتن روابط متقارن سازها در تابع شکل در المان محدود دست زدیم و روش آنزاتز را که در مکانیک کوانتمی غیر نسبیتی کاربرد داشت را با پایه گروبنر پیوند داده و محاسبه کردیم و در اخر به اثبات برخی قضایای هندسه مقدماتی با پایه های گروبنر پرداخته و نیز الگوریتم های محاسباتی را اجرا کردیم

حل دستگاه های چندجمله ای چندمتغیره توسط پایه گروبنر، از قسمت های اساسی جبر محاسباتی است که توسط بوخ برگر در سال ‎1965‎ با ارائه در تز دکترایش وارد عرصه علمی شد. طی چند سال اخیر‎‎ ‎الگوریتم های مختلفی برای محاسبه ی پایه گروبنر ارائه شد که یکی از قویترین و کاراترین الگوریتم های موجود، الگوریتم ‎f5‎ است. این الگوریتم با داشتن محک های قوی، از محاسبات غیر ضروری (با حذف زوج های غیر مفید) جلوگیری می کند. اما گونه ی اصلی آن برای درک و فهم کمی مشکل است. سان و وانگ دربا ارائه ی گونه ی جدیدی از الگوریتمf5‎این مفهوم را ساده کردند، به طوری که الگوریتم جدید معادل گونه اصلی آن نیز می باشد. سپس اثبات درستی آن را ارائه دادند. در این پایان نامه پس از ارائه ی الگوریتم‎f5b ‎،اثبات درستی آن که همچنین اثباتی برای درستی گونه ی اصلی الگوریتمf5‎است را مورد بررسی قرار می دهیم.

پایه گروبنر یکی از ابزارهای محاسباتی قوی در زمینه ی جبر و هندسه ی جبری محاسباتی است که اولین بار توسط بوخبرگر در سال ‎1965‎ معرفی شد. یکی از کاربرد های پایه گروبنر، حل دستگاه های معادلات چند جمله ای می باشد. در این پایان نامه مسئله سیستم هایی از معادلات مطرح می شود که روی گروه جایگشت ها متقارن هستند.‎ ‎‎ هدف اصلی پیدا کردن یک پایه برای‎‎‎‎ فضای برداری متشکل از چند جمله ای های پایا تحت گروه متقارن به پیمانه چند جمله ای های پایا تحت همان گروه، بدون به دست آوردن یک پایه گروبنر برای ایده آل تولید شده توسط دستگاه مورد نظر ‎در‎ حلقه ی پایا‎‎ می باشد. در این راستا الگوریتمی سریع برای محاسبه ی جواب این سیستم ها‎‎ ارائه و در پایان با مقایسه این الگوریتم و الگوریتم های موجود در این زمینه، اهمیت آن را نشان می دهیم.

الگوریتم f5‎ فوژر یکی از مشهورترین الگوریتم های شناخته شده برای محاسبه ی پایه ی گروبنر است. تاکنون فقط محک ‎ f5 ‎از آن ثابت شده است. در این پایان نامه دومین محک موثر، یعنی محک بازنویسی مورد بررسی قرار گرفته و اثباتی از آن ارائه خواهد شد. همچنین ارتباط محک های اول و دوم با مدولهای متقارن ساز نشان داده می شود. درپایان با استفاده از مثال های بیان شده توسط فوژر برای محاسبه ی پایه گروبنر، نحوه عملکرد محک ها را بررسی خواهیم کرد.

تعیین کردن پایه گروبنر یک ایده ال از چندجمله ای هایی که ،ضرایبشان وابسته به پارامترها هستند، ضروری است. مشکل اصلی در این زمینه، بدست آوردن پایه گروبنر کاهش یافته برای تمام مقادیر ممکن است. یکی از روش های مستقیم برای رسیدگی به این مشکل، به کار گرفتن پایه گروبنر جامع است. ما در این پایان نامه سعی برآن داریم با ار کردن روی برخی الگوریتم ها، پایه گروبنر کاهش یافته پارامتریک را، مشخص کنیم.

در این پایان نامه، یک الگوریتم جدید برای محاسبه پایه گروبنر پارامتریک ‎ از ایده آل چندجمله ای ها با ضرایب پارامتریک ارائه می دهیم. ‎مفهوم پایه گروبنر پارامتریک را می توان یک تعمیمی از پایه گروبنر چندجمله ای ها روی حلقه چندجمله ای ها با ضرایب پارامتریک در نظر گرفت.‎ این تعمیم نقش مهمی را در کاربردها ایفا می کند، مانند هندسه جبری، رباتیک، شبکه های الکتریکی، اثبات قضایای هندسی و غیره‎.‎ مزیت اصلی این الگوریتم این است که، تعداد شاخه کمتری نسبت به الگوریتم ساتو و سوزوکی‎، تولید می کند. نقطه شروع این الگوریتم جدید، الگوریتم ساتو و سوزوکی است، ابتدا قبل از اجرای هرگونه محدودیت روی پارامترها، یک پایه گروبنر برای ایده آل مذکور روی حلقه چندجمله ای ها با ضرایب غیر پارامتریک نسبت به ترتیب تک جمله ای محاسبه می کن‎‎د. این الگوریتم بر اساس قضیه کالکبرنر‎ بنیان شده است.

یکی از روش های حل سیستم های معادلات پارامتریک ،پایه گروبنر فراگیر است. در این پایان نامه الگوریتم پایه گروبنر فراگیر را برای حل سیستم های معادلات چندجمله ای با ضرایب بازه ای گسترش می دهیم. یکی از کاربردهای این الگوریتم، در علوم مختلف از جمله در علوم مهندسی و نظریه کنترل و فیزیک نجومی می باشد‎.‎ ایده اصلی برای حل این سیستم ها، تبدیل معادلات بازه ای به معادلات پارامتریک می باشد که با استفاده از الگوریتم پایه گروبنر فراگیر، جواب این سیستم ها را به دست می آ وریم‎.

پایه ی گروبنر یکی از ابزارهای قوی در زمینه ی جبر وهندسه ی جبری است که کاربردهای آن در شاخه های مختلف ریاضیات و علوم مهندسی هر روز نمایان تر میشود.آنچه در این ژایان نامه بررسی میشود، استفاده از پایه ی گروبنر در علم رمزنگاری به خصوص aes-128 می باشد. برای این کار با داشتن اطلاعاتی از متنم رمز شده و متن اولیه، سیستم رمزنگاری aes-128 را به صورت یک دستگاه معادلات چند جمله ای نوشته و سپس با استفاده از ژایه ی گروبنر سعی خواهیم کرد جوابهای این دستگاه را محاسبه کنیم و به این ترتیب مقادیر مربوط به کلید را به دست آورده و متن خروجی را رمزگشایی کنیم.

‎برای جلوگیری از فاش شدن اطلاعات با ارزش مردم و کشورها، امنیت روش های انتقال اطلاعات امری لازم و ضروری به نظر می ‎رسد، از این رو آشنایی با یک سیستم رمزنگاری و رمزگشایی و همچنین میزان امنیت آن هر چند به طور موردی می تواند به عنوان یکی از نیازهای روز کشور باشد. در این پایان نامه به ایجاد و تحلیل رمزهای ‎‎feistel‎‎ و ‎‎spn‎‎‎‎‎ می‎ پردازیم که در برابر حمله های خطی و دیفرانسیلی‏، شگردهای خاصی دارند‏، اما فرآیند رمز کردن در آنها را می‎ توان به وسیله معادلات چندجمله‎ ‎ای خیلی ساده بیان کرد. برای یک بلوک و کلید با اندازه 128 بیت، رمزهایی را ارائه می‎ دهیم که در آنها حملات پایه گروبنر به طور عملی می‎ تواند با کمترین تعداد جفت، متن اصلی و متن رمز شده، کلید را بازیابی کند. همچنین نشان می‎ دهیم که پایه گروبنر برای یک زیرمجموعه از این رمزها چگونه می‎‎‎‎ ‎تواند به وسیله محاسبات الگوریتمی ناچیز ‎‎به‎ دست آید‎. این مساله‏، بازیابی کلید را به مساله تغییر ترتیب در پایه گروبنر تبدیل می‎ کند. با محدود کردن زمان اجرای الگوریتم تغییر ترتیب در پایه گروبنر(مثلا الگوریتم ‎‎‎fglm‎‎ درحالتی که بعد صفر است) نشان می‎ دهیم که این رمزهای بلوکی در برابر کشف رمز خطی و دیفرانسیلی مقاومند اما در برابر حملات پایه گروبنر آسیب‎‎ پذیر هستند.

دستگاههای معادلات جبری که ضرایب آنها بازه ها هستند در علوم مهندسی کاربردهای زیادی دارند.محاسبه جواب های چنین دستگاههایی یک مساله اساسی برای محققینی است که به دنبال رده بندی متغیرهای مربوط به چنین دستگاههایی هستند می باشد.در این پایان نامه ابتدا معرفی کوتاهی از آنالیز بازه ها وکاربردهای آن ارائه خواهیم کرد.سپس الگوریتم ها و برنامه های موجود درمحاسبات بازه ای را بررسی می کنیم. درادامه به بررسی جواب های دستگاههای معادلات جبری که ضرایب آنها بازه ها هستند خواهیم پرداخت.

پدیده های زیادی در طبیعت و علوم مختلف وجود دارند که می توان آنها را به وسیله معادلات پارامتریک مدل سازی کرد حل دستگاه هایی به شکل پارامتریک ضرورتی اجتناب ناپذیر است. همچنین روش زیادی برای حل معادلات غیر پارامتریک وجود دارد که با بهره گیری از برخی از آن ها می توان روش هایی برای حل معادلات پارامتریک یافت. در واقع هدف بدست آوردن جواب به ازای مقادیر مشخصی از پارامترهاست. روش شرح داده شده در این پایان نامه روشی بر اساس پایه گروبنر پارامتریک می باشد که این روش با تعدادی مثال روشن شده است.

در این پایان نامه سعی می کنیم تا تعامل مفیدی بین طرح آزمایش (doe) از یک سو و جبر جابجایی، هندسه جبری و جبر محاسباتی از سوی دیگر شرح دهیم. doe یک شاخه از آمار و روشی برای ‏طراحی و دریافت اطلاعات از آزمایشات است. این موضوع می تواند اطلاعات را به دست آورده و آن را برای بررسی هدف مورد نظر به کار گیرد. به عنوان نمونه می توان به آشکار کردن شکست ها در یک دستگاه پیچیده یا یافتن ترکیب صحیح مواد موجود در یک فرآیند شیمی اشاره کرد. ویژگی خوب این مثال ها این است که همه ی آن ها می توانند به روش مشابهی مدل بندی شوند. این مثال ها با یک مجموعه متناهی از تفسیر آزمایشات یا نقاطی بیان می شوند که با مختصاتشان توضیح داده شده اند.

در این پایان نامه، الگوریتمی برای حل مسائل برنامه ریزی صحیح مطرح می نماییم. هم چنین یک روش که مسئله بهینه سازی چندجمله ایی (مسائل چندهدفه) را به یک یا چندین دستگاه از معادلات چندجمله ایی تبدیل نموده و با استفاده از یک پایه گروبنرمشخص مسئله را حل می کند، ارائه می دهیم. این تبدیل های متفاوت روش های متفاوتی نیز به دست می دهد که به طور کلی توضیح خواهیم داد و در نهایت با برخی از مسائل آزمونی نتایج حاصل از الگوریتم های معرفی شده را مقایسه می کنیم.

محاسبه پایه های گروبنر ‏با کمک الگوریتم بوخبرگر هنگامی که ضرایب اعداد گویا باشند، رشد ضرایب متغیرها یک مشکل شناخته شده است. یکی از روش های پیشنهادی برای حل این مشکل استفاده از روش های پی-ادیک و پیمانه ای است که برای محدود کردن رشد ضرایب متغیرها به کار می رود. به ویژه این روش ها در الگوریتم اقلیدسی برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک چندجمله ای های یک متغیره مفید هستند. در این پایان نامه به معرفی دو الگوریتم پیمانه ای پرداخته می شود که از آنها برای محاسبه پایه گروبنر با ضرایب گویا استفاده خواهد شد. این الگوریتم ها بر مبنای بزرگترین مقسوم علیه مشترک پیمانه ای تعمیم داده می شود و روش های پیمانه ای پیشنهاد شده قبلی برای محاسبه پایه های گروبنر را بهبود می بخشند. این الگوریتم ها اعداد اول را قبل از ترفیع بررسی کرده، سپس از الگوریتمی برای بررسی درست بودن نتیجه استفاده می کنند. در این پایان نامه مشخصات کاملی از اعداد اول بد شانس نیز ارایه می شود. سرانجام مثال هایی ارایه می شود که در آن به بررسی ضرایب متغیرها پرداخته می شود

هدف از ارائه این ‏پایان نامه‎‎‎‎‎‎‎ محاسبه مجموعه مولد هسته مشتق مرتبه بالا از یک‎‎‎‎-r‎‎جبر و سپس ارائه الگوریتمی برای محاسبه این مجموعه مولد است که در محاسبه مجموعه مولد هسته مشتق مرتبه بالا از پایه گروبنر بر روی دامنه ایده آل اصلی ‎‏‎‎ ‎(pid)‎‎‎استفاده شده است. بدین منظور ابتدا پایه گروبنر بر روی دامنه ایده آل اصلی و الگوریتم مربوط به آن بیان شده و پس ازآن الگوریتم محاسبه مجموعه مولد هسته مشتق مرتبه بالا ارائه شده و در پایان کاربردی از محاسبه مجموعه مولد هسته مشتق مرتبه بالا در هندسه منیفلد بیان گردیده است.

در این پایان نامه پایه گروبنر ایده آل ها در حلقه ی چندجمله ای مطالعه و بررسی خواهد شد و دو الگوریتم بهبود یافته برای محاسبه پایه گروبنر یک ایده آل که تحت جایگشت خاصی از حلقه ی چندجمله ای ها پایا می باشد، ارائه می دهیم. الگوریتم اول کارآیی مهمی در میدان های متناهی دارد و با استفاده از تقارن و محاسبات پیمانه ای بدست می آید. الگوریتم دوم نیز در واقع الگوریتمی تصادفی است که نسخه ی اصلاح شده ای از الگوریتم های ارائه شده توسط ادریس‏ و همکارانش می باشد‎.‎ سپس الگوریتم های ارائه شده را در نرم افزار ریاضی سینگولار پیاده سازی و اجرا خواهیم کرد. به ویژه پایه گروبنری برای مسئله ی معروف ایده آل ?-دوری‎‎، البته به صورت الگوریتم تصادفی، محاسبه خواهد شد.

در این پایان نامه با معرفی برخی از توزیع ها و مدل های آماری و توابع توزیع آن ها و یک سری از روش ها و تکنیک های جبری و هندسی، کاربرد آن ها در علم آمار را بررسی خواهیم کرد‎.‎ در جریان این پروسه، ‎«ایده آل ها»‎ و ‎«‎پایه گروبنر و مقدمات آن‎»‎ را به عنوان ابزاری قدرتمند برای حل دستگاه معادلات معرفی می کنیم. هم چنین نحوه استفاده آن ها در برخی از مدل های آماری را نشان می دهیم.

?در این رساله، الگوریتم جدید برای محاسبه پایه های ساگبی گروبنر برای ایده آلها در حلقه های پایا نسبت به? گروه های ماتریس متناهی ارائه می شود که به نوبه خود دارای نقش اساس در حل دستگاه معادلات چندجمله ای? با ساختار پایا می باشند. همچنین با بدست آوردن تخمین از پیچیدگی محاسبات از نظر عملیات محاسبات،? فاکتورهایی از نظر تئوری، در برتری این الگوریتم نسبت به الگوریتم f5?پایا بیان می گردد. سپس، با اجرای? الگوریتم ارائه شده در نرم افزارهای میپل و سیج، برتری الگوریتم جدید نسبت به الگوریتم موجود به صورت? تجربی، طی چندین مثال، نشان داده می شود. در ادامه، دو الگوریتم ، بر پایه الگوریتم وو، برای یافتن جواب های? ?دستگاه معادلات چندجمله ای فازی و دستگاه معادلات چندجمله ای تماماَ فازی دوگان، که ضرائب و متغیرهای? فازی مثلث می یاشند، ارائه می گردد. به کم? ?این الگوریتمها، حل دستگاه های مورد بحث، منجر به حل دستگاه? ?معادلات چندجمله ای از مجموعه های مشخصه می شود که واریته آنها با جایگذاری برگشتی به سادگی قابل? حل است. بزرگترین مزیت این روش در این است که می توان بدون نیاز به هیچ نقطه آغازین، همه جواب ها را? به طور دقیق و هم زمان بدست آورد. علاوه بر این، وجود یا عدم وجود جواب نیز قابل تشخیص است و هیچ? نیازی به جداسازی جوابها بر اساس مقدار پارامتر نیست.?

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

الگوریتم lll، الگوریتمی برای تغییر ترتیب پایه گروبنر در حالت دو متغیره می باشد. در این پایان نامه این الگوریتم بیان و درستی آن بررسی می شود. سپس این الگوریتم برای چندجمله ای های nمتغیره، تعمیم داده می شود.

در این پایان نامه ما چند هدف عوده را دنبال می کنیم در بخش 1 مطالبی از جبر جا به جایی بیان می کنیم. در بخش 2 به تعریف پایه گرونبر می پردازیم و بعضی از کاربردهای پایه گرونبر را بیان می کنیم. در بخش 3 گروه پیکار د را تعریف می کنیم و در بخش 4 مختصری از رمزنگاری را بیان می کنیم و به کاربرد خم های بیضوی در رمزنگاری اشاره می کنیم. در بخش 5 خم های c3,4 را تعریف می کنیم و به بان محاسبات روی این خم ها می پردازیم. در بخش 6 الگوریتم آریتا را برای محاسبه جمع بیان می کنیم.