مرجع اصلی این پایان نامه مرجع [12] است و بر اساس آن خانواده ای از درونیاب های گویای گرانیگاهی معرفی و مزایای این درونیاب ها بررسی میشود، که قسمت عمده این مطالب در فصل سوم پایان نامه آورده شده است. از آنجا که پیش آن نیاز به بیان مطالبی مقدماتی میباشد، در فصل اول، تعاریف و مقدمات اولیه را بیان کرده، در فصل دوم، درونیاب لاگرانژ اصلاح شده و گرانیگاهی معرفی شده اند، که نقطه شروع درونیابهای گرانیگاهی میباشند و درمورد پایداری این روشها نیز بحث میشود. در فصل سوم درونیابهای گویای کلاسیک معرفی میشوند و بعد از آن درونیابهای گویای گرانیگاهی و در ادامه یک خانواده از این درونیاب ها نیز بطور کامل معرفی میشوند. درفصل آخر برروی وزنهای درونیابهای گویای گرانیگاهی متمرکز شده که همراه با قضایایی ارائه میگردد. در انتها، درونیاب گویای گرانیگاهی جدیدی را که با حل یک مساله بهینه سازی بدست می آید معرفی نموده که همراه با نتایج عددی مربوطه آورده شده است.

در این پایان نامه درونیاب (0;1) پال مورد مطالعه قرار می گیرد. در اینجا منظور از (0;1) این است که اطلاعاتی که تابع در دست است شامل مقادیر تابع (مشتق صفرم) و مقادیر مشتق اول تابع روی دو مجموعه جداگانه از نقاط می باشد. علت انتخاب این درونیاب به عنوان موضوع پایان نامه این است که که این حالت، جزو معدود حالات درونیابی بیرخوف است که فرم صریح درونیاب به ازای هر مجموعه دلخواه از نقاط گرهی در دست است. این درونیاب (درونیاب بیرخوف) به طور وسیعی در انتگرال ها با نوسان زیاد کاربرد دارد. در این پایان نامه ابتدا قضیه وجود درونیاب به همراه یکتایی درونیاب ارائه می شود. سپس همگرایی درونیاب روی گره های خاص هرمیت و لژاندر بررسی می شود. در هر حالت برای تضمین یکتایی یک سری شرایط جدید به شرایط اولیه اضافه می شود. در این حالت شرایط تحمیل شده به درونیاب تا حد ممکن کم می شوند. این کار ابتدا روی گره های ژاکوبی و سپس به ازای هر مجموعه دلخواه از گره ها انجام می شود. در فصل آخر نیز به بررسی دو حالت دیگر درونیاب بیرخوف می پردازیم. حالت اول یکی از حالات درونیابی بیرخوف است که توسط نگارندگان مطرح شده است و حالت دوم، مسئله ای در رابطه با درونیاب پال معروف به مسئله زیلی است، که در این فصل سعی می شود این دو مسئله حل شوند. واژه های کلیدی: درونیابی بیرخوف، درونیاب پال، چندجمله ای های متعامد، چندجمله ای درونیاب

در حالت کلی معادلات حاکم بر یک مدل ریاضی از مخزن را نمی توان بوسیله روشهای تحلیلی حل کرد، در حالیکه یک مدل عددی می تواند بوسیله کامپیوتر جوابی تقریبی ارائه دهد. در این پایان نامه، یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی توسط گسسته-سازی معادله حاکم بر جریان شعاعی تک فازی نفت بسمت یک چاه (معادله چاه آزمایی) به دست آمده است. این سیستم شامل محاسبه تابع ماتریسی (exp(ka است که در آن k گام زمانی و a ماتریس 5-قطری بزرگ مقیاسی می باشد. در این پژوهش مدل ریاضی عددی بر پایه تقریب پد ارائه می دهیم. در معادله چاه آزمایی برای حالت دو فاز (نفت-گاز) با یک سیستم کوپل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی غیرخطی مواجه هستیم. در این مورد از رویکرد فشار ضمنی-اشباع صریح استفاده کرده و سیستم را حل می کنیم. در فصل چهارم کارهای جدید ارائه شده است. مقاله اصلی مورد استفاده در این پایان نامه مقاله (g. b. savioli, m. s. bidner, simulation of the oil and gas flow toward a well-a stability analysis. journal of petroleum science and engineering 48 (2005) 53– 69.) می باشد.

ریو یک زبان هماهنگی خارجی برای توصیف اتصال دهنده های نرم افزاری است. آتوماتای محدودیت به عنوان روشی برای توصیف رفتار و جریان داده ی ممکن در سامانه های هماهنگی و به عنوان معناشناسی ریو ارائه شده و‎‎‎ به بستری برای اثبات صحت مکانیسم های هماهنگی منجر شده است. در این رساله، آتوماتای محدودیت را اصلاح کرده و آتوماتای محدودیت حساس به ورودی و خروجی (به طور خلاصه ioca ) ارائه شده که تفاوت بین برخی از مدارهای ریو را، که دارای مدل یکسانی با استفاده از آتوماتای محدودیت هستند، آشکار می کند. آن گاه معناشناسی ioca بر مبنای رشته هایی نامتناهی از رکوردها تعریف می شود. معناشناسی مبتنی بر جریان های رکوردها در مقایسه با جریان های داده ی زمان دار متعارف تر هستند. همچنین عملگرهای مورد نیاز برای ترکیب اتصال دهنده ها که عملیات ترکیب ioca و مخفی سازی پورت ها را ممکن می سازند ارائه می شوند. در ادامه، به تعریف آتوماتای محدودیت حساس به ورودی و خروجی پارامتری شده پرداخته خواهد شد. این آتوماتا قادر است مدارهای ریو را با انتزاع داده مدل کند. همچنین روابط تساوی و شامل بودن، دو شبیه سازی و شبیه سازی، را برای این آتوماتا ارائه می شوند. این روابط و همچنین انتزاع داده از این جهت حائز اهمیت هستند که ما را قادر به تولید مدل های بسیار کوچکی (مدل هایی با فضای حالت کوچک) از مدارهای ریو و در نتیجه اجتناب از انفجار حالت می کنند. در ادامه، پس از استفاده از این آتوماتای محدودیت حساس به ورودی و خروجی برای مدل کردن مدار ریوی متناظر با برخی مسائل کلاسیک و کاربردی و نشان دادن توانایی آن در این زمینه، به مقایسه آن و سایر مدل های موجود و بیان نقاط ضعف و قدرت آن پرداخته خواهد شد.

بسیاری از پدیده ها در علوم و مهندسی به صورت معادلات دیفرانسیل معمولی یا معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی مدل می شوند و عموما حل تحلیلی و دقیق این معادلات امکان پذیر نمی باشد. از این جهت استفاده از روشهای عددی کارا برای حل این معادلات از اهمیت بسزایی در علوم کاربردی برخوردار است. روشهای تفاضلات متناهی ,المان های محدود ,حجم های محدود و ... از جمله این روشها می باشند . [1,2,3,4]روشهای طیفی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و با مشتقات جزیی ,خطی و غیرخطی ,در سال های اخیر به دلیل دقت بالا برای تقریب جواب عددی معادلات دیفرانسیل مورد استفاده قرار گرفته اند. تجربه عددی نشان داده است که برای مسایلی با جواب هموار این روشها بسیار سریع تر از روشهای دیگر به جوا ب مسئله همگرا می شوند. دسته وسیعی از معادلات دیفرانسیل که توصیفگر فیزیک مسئله هستند روی دامنه نامتناهی تعریف می شوند, اما از طرفی دسته وسیعی از روشهای طیفی براساس چندجمله ای های ژاکوبی و روی بازه متناهی[-1,1] تعریف می شوند. لذا برای استفاده از روشهای طیفی روی بازه های نامتناهی باید از روش های مناسبی استفاده کرد. روش برش دامنه تغییر متغیر و ... از جمله این روش ها می باشند. در این پایان نامه به ارائه روشهای طیفی بر پایه خانواده ژاکوبی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی پرداخته و به طور خاص به پیاده سازی روشهای طیفی برای حل معادله صفحه mhd جریان های نامتقرن در نزدیکی نقطه ایستایی که یک مسیله فیزیکی است می پردازیم [ 19,20].

در این پایان نامه , مسئله سطح آزاد آب در دو فاز حل شده است. در فاز اول با روش المان مرزی, یک بعد از ابعاد مسئله را با استفاده از اتحاد دوم گرین کاهش داده ایم. با بیان حل اساسی برای مسئله, هسته های انتگرال به صورت تحلیلی محاسبه می شود. از آنجایی که محاسبه این انتگرال روی هر مرز به صورت تحلیلی تقریبا غیر ممکن است, با تقسیم مرز و تعریف المان های محلی به صورت توابع لاگرانژ انتگرال روی المان ها تقسیم شده است. تعداد نقاط استفاده شده در هر المان نشان دهنده مرتبه آن المان است. ما در این پایان نامه از المان های مرتبه اول, مرتبه دوم, مرتبه سوم و مرتبه چهارم استفاده نموده ایم. همچنین تئوری های المان مرزی b-اسپلاین را بیان کرده ایم. برای الحاق فاز اول مسئله به فاز دوم آن از روشی ماتریسی که از فرم فشرده انتگرال مرزی نتیجه می شود استفاده نموده ایم. در فاز دوم برای حل معادله سطح آزاد آب, روش های پیشبرد زمانی از جمله روش ضمنی اویلر, روش صریح-ضمنی ترکیبی اویلر و روش رانگ-کوتا از مراتب 1, 2, 3 و 4 را مطرح و با یکدیگر به صورت تحلیلی و با تعریف اپراتور پیشرو مقایسه نموده ایم. در نهایت با توجه به دقت بالای روش رانگ-کوتا مرتبه4 از این روش برای بدست آوردن نتایج عددی استفاده کرده ایم.

در این پایان نامه جواب عددی معادلات انتگرال – دیفرانسیل را بوسیله چند جمله ای های لژاندر بدست آورده و ضرایب را چنان محاسبه می کنیم که تقریبی برای باشد که این روش معادلات انتگرال را به یک دستگاه معادلات خطی تبدیل می کند این روش یک جواب تقریبی برای معادلات – انتگرال – دیفرانسیل خطی به دست می دهد و قادر به حل معادلات انتگرال – دیفرانسیل غیر خطی نیز هست. در فصل اول این پایان نامه تاریخچه و تعریفی از معادلات انتگرال می آوریم در فصل دوم چند جمله ای های متعامد را تعریف می کنیم در فصل سوم انواع معادلات انتگرال و قضایایی در باره وجود و یکتایی جواب و روشهای عددی حل آنها و برخی مثالهای عددی بیان می کنیم و نهایتا در فصل چهارم به کاربرد معادلات انتگرال می پردازیم.

هدف از ارائه این پایان نامه استفاده از روش طیفی هم مکانی برای حل معادلات تفاضلی انتگرال-دیفرانسیل خطی فردهلم-ولترا با ضرایب متغیر همراه با شرایط مرزی، در پایه چندجمله ایهای ژاکوبی انتقال یافته است. استفاده از روش های طیفی هم مکانی برای حل معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال-دیفرانسیل به دلیل دقت بالا در جوابهای این معادلات گسترش زیادی پیدا کرده اند. یک رده مهم از توابع پایه ای متعامد که در روش های طیفی استفاده می شوند چندجمله ایهای ژاکوبی هستند. بعنوان مثال چندجمله ای های فوق کروی، ، جزء خانواده بسیار مهم از این چندجمله ای ها بشمار می آیند. در این پایان نامه به توضیح یک روش عددی جدید برای حل معادله انتگرال ولترا به کمک روش طیفی می پردازیم. در نهایت یک روش عددی معرفی می کنیم که جواب تقریبی معادله بر پایه چندجمله ایهای ژاکوبی انتقال یافته با ضرایب مجهول در نظر گرفته شده است. سپس معادله مطرح شده را به شکل ماتریسی تبدیل می کنیم، برای این منظور عملگرهای ماتریسی برای چندجمله ایهای ژاکوبی انتقال یافته می سازیم. در نهایت، مثالهای عددی همراه با جدول خطای مطلق مربوطه را ارائه می شود.

حل تحلیلی معادلات دیفرانسیل و معادلات تفاضلی و به دست آوردن جواب دقیق برای این معادلات معمولا دشوار است. با توجه به اینکه اغلب پدیده های فیزیکی توسط این معادلات مدل سازی می شوند نیازمند روش های عددی هستیم که بتوانند جواب معادلات دیفرانسیل و تفاضلی را تقریب بزنند. تفاضلات متناهی، عناصر متناهی و روش های طیفی روش های عددی هستند که برای حل تقریبی این معادلات مورد استفاده قرار می گیرند. به دلیل دقت بالا و سرعت همگرایی روش های طیفی به دیگر روش ها ترجیح داده می شوند. در روش های طیفی برای حل یک مسئله، جواب را به صورت یک سری قطع شده از توابع هموار تقریب می زنند و سعی دارند خطای تقریب را کنترل نمایند. روش های طیفی به سه گروه روش گالرکین، روش تاو و روش هم مکانی تقسیم می شوند که در آنها سعی می شود با استفاده از چند جمله ای ها متعامد باقیمانده حاصل از جایگذاری سری قطع شده در معادله مفروض حداقل شود. در روش هم مکانی برای پیدا کردن مجهولات مسئله، نقاط مجزایی به نام نقاط هم مکانی انتخاب می نماییم و سپس جواب عددی را طوری می یابیم که باقیمانده در نقاط هم مکانی صفر شود. در این پایان نامه حل ماتریسی معادلات تفاضلی خطی مرتبه m ام با ضرایب متغیر در نقاط هم مکانی ژاکوبی روی بازه [a,b] مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین نتایج عددی، نمودارها، جداول ارائه شده است و به مقایسه این نتایج با نتایج عددی حاصل از برخی مراجع می پردازیم.

این پایان نامه به بررسی مسئله ی کنترل بهینه ی مقید به معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی هذلولوی پایستار می پردازد. یک نمونه از این مسائل، مسأله ی کنترل مرزی و توزیعی معادله ی موج شبه خطی است. در این جا با استفاده از تقریب تفاضلات متناهی و روش پرتابی این مسأله را حل می کنیم. ‎‎ نمونه ای دیگر از مسائل کنترل بهینه ی مقید به معادلات پایستاری‏، مسئله ی کنترل شار ورودی در سیستم های تولیدی است که به صورت پیوسته مدل بندی می شو‎ند. در این پایان نامه تابعک هزینه را توصیف کرده و با اِعمال تغییراتی روی آن و با استفاده از شرایط بهینگی، مسئله را به صورت مسئله ی مقدار مرزی اولیه-نهایی تبدیل می کنیم. سپس این مسأله را با روش های صریح و مستقیم مانند روش پرتابی (ساده و مرکب) حل می کنیم. با مثالی عددی نشان می دهیم که در نقطه ی گسستگی تابع تقاضا، تابع کنترل (شار ورودی) رفتار غیر قابل قبول شوک مانند دارد که پس از ‏افزودن یک پارامتر ‏تنظیم کننده این مشکل را رفع خواهیم نمود.

معادلات دیفرانسیل کسری کاربرد زیادی در مدل سازی پدیده های فیزیکی و فرآیند های شیمیایی دارند، اما حل دقیق این معادلات به خصوص در حالت غیر خطی عموما امکان پذیر نمی باشد. در نتیجه استفاده از روش های عددی کار آمد برای حل این دسته از معادلات اهمیت زیادی ‎‎دارد. تا کنون روش های عددی زیادی برای حل این گونه معادلات استفاده شده است. یکی از پرکاربردترینِ این روش ها روش های طیفی می باشند که به دلیل دقت بالا برای حل عددی این معادلات مورد توجه می باشند. در این پایان نامه در فصل اول به ارائه ی مقدماتی در مورد محاسبات کسری شامل تعریف مشتق ها و انتگرال های مرتبه کسری، خواص آن ها و ... می پردازیم. در فصل دوم به ارائه ی تعاریف و مقدماتی در مورد روش های طیفی می پردازیم که شامل معرفی روش های طیفی، ارائه ی ابزارهایی جهت بررسی همگرایی و پایداری روش های طیفی و ... می باشد. در فصل سوم روش گالرکین را برای حل معادله ی انتشار مرتبه کسری پیاده سازی می کنیم و نشان می دهیم این روش برای حل این دسته از معادلات همگراست. هم چنین در این فصل ابزارهایی را جهت پیاده سازی عددی این روش معرفی می کنیم. در فصل چهارم از روش هم مکانی جهت حل دسته ای از معادلات انتگرال مرتبه کسری غیر خطی استفاده می کنیم و نشان می دهیم این روش برای حل دسته ای خاص اما غیر خطی از این معادلات همگرا و پایدار است. در فصل پنجم دو دسته از معادلات انتشار-وزش مرتبه کسری غیر خطی معرفی شده اند‎ . برای حل عددی این معادلات از روش هم مکانی استفاده شده است و همگرایی و پایداری این روش برای این دسته از معادلات مورد بحث قرار گرفته است. در فصل ششم نیز با استفاده از روش هم مکانی روش جدیدی برای بدست آوردن ریشه های توابع پیوسته ارائه شده است. ضمنا نتایج عددی را می توان در پایان فصل های چهارم و پنجم و ششم ملاحظه نمود.

این رساله شامل دو بخش اصلی است. در بخش نخست (فصول دوم، سوم،و چهارم)، با تاکید بر مفهوم دقت انتگرال گیری، فرمول های جدید انتگرال گیری به صورت تحلیلی و عددی به دست آورده شده است که مزایای این فرمول ها به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است. در بخش دوم این رساله (فصول پنجم و ششم) به مسیله بهترین تقریب در فضای lm پرداخته و با اثبات برخی از قضایا و روابط علاوه بر تعمیم این مسیله، بهترین تقریب یکنواخت از کلاس های توابع گویا به طور صریح به دست آمده است. مثال های ارایه شده در هر بخش کارایی روش های جدید را نشان می دهد. در پایان به کارهایی که در این زمینه در آینده می توان انجام داد اشاره خواهیم کرد.

بنا به قضیه شانون مادامی که نرخ ارسال اطلاعات کمتر از ظرفیت کانال باشد‏، خطای ناشی از حضور پارازیت را می توان با ارایه ساختارهایی مناسب به مقداردلخواه کاهش داد. در میان کدهای تصحیح کننده خطا‎ کدهای شبه دوری با ماتریس بررسی توازن خلوت ‏جزء کدهای بلوکی خطی هستند. عملکرد برخی از کدهای این خانواده بسیار نزدیک به حد شانون است ‏و در حال حاضر از نظر عملکرد بهترین ساختار شناخته شده می باشند. ساخت کدهای ‎qc-ldpc ‎‎ ‏معادل با تشکیل ماتریس بررسی توازن خلوت است‏. برای تشکیل و بررسی رتبه ماتریس بررسی توازن از روش هایی مبتنی برمیدان های متناهی‏ و مربعات لاتین‏‏ و هندسه های متناهی و روش های کامپیوتری‎‎ استفاده شده است‏‏. در این پایان نامه با انتقال فوریه ای گسسته به تحلیل رتبه و ساخت کدهای qc-ldpc می پردا‎‏زیم.‎ ‎‏‎‏این انتقال هر ماتریس بررسی توازن را با یک ماتریس قطری متناظر می کند و رویکردی جدید برای ساخت کد با استفاده از ماتریس پایه ارائه‎ می دهد. پس از ارائه این رویکرد ماتریسی به تشکیل و بررسی رتبه ماتریس بررسی توازن دو نوع کلی از کدهای با ساختار جبری و ترکیبیاتی می پردازیم.‎‎ سپس عملکرد آن ها را بر روی کانال ‎ awgn ‏به دست آورده و با حد شانون مقایسه می کنیم. رویکرد ‎‏ماتریسی این پایان نامه موجب ارائه‎ چهارچوبی جامع برای بیشتر کدهای ساختاری ‎ qc-ldpc ‏می شود و ساخت کد و محاسبه رتبه را ‏تسهیل می سازد

توابع پایه ای شعاعی ابزاری بسیار قدرتمند برای درونیابی در بعدهای بالاتر می باشند، که می توانند دارای دقت نمایی باشند. زمانی که توابع پایه ای شعاعی هموارتر می شوند، خطای درونیابی کاهش می یابد تا اینکه پدیده رانگ اتفاق بیفتد. برای غلبه بر بدوضعی حاصل از کوچک شدن پارامتر شکل دو روش کانتور-پده وrbf-qr وجود دارد. در روش کانتور-پده تعداد نقاط دارای محدودیت بوده و برای نقاط گره ای زیاد، کارایی لازم را ندارد. اما روشrbf-qr چنین مشکلی را نداشته و برای پارامتر شکل کوچک، دارای پایداری خوبی می باشد. در روشrbf-qr ابتدا برای نقاط گره ای واقع در روی کره واحد ارائه شده، سپس تنها برای تابع شعاعی گاوسین به ابعاد یک و دو توسعه داده شد. در این پایان نامه دو تابع پایه ای معرفی شده اند که برای درونیابی برخلاف روشrbf‎ تابع به صورت شعاعی به نقاط وابسته نمی شوند. درونیابی با این توابع دارای دقت قابل قبولی می باشد. از طرفی روش متناظر با روشrbf-qr‎ به راحتی روی این توابع در ابعاد بالاتر قابل اجرا می باشد.

کدهای ‎ ldpc ‎ که ماتریس بررسی توازن آن ها، ‎ h ‎، دارای وزن ستونی ثابت ‎j=2‎ می باشد را کدهای حلقوی می نامیم. کدهای حلقوی دارای نقاط قوتی می باشند، از جمله این که کدگذاری و کدگشایی آن ها از پیچیدگی کمتری برخوردار بوده و در ذخیره سازی کاربرد بیشتری دارند. همچنین تأثیر کمر بالا روی کارایی کد در این کدها بهتر به نظر می رسد و نیز در حالت بلوکی از احتمال خطای کمتری برخوردارند. کدهای حلقوی روی میدان ‎fq زمانی که ‎q‎ بزرگ می شود می توانند یک کارایی نزدیک به حد شانون داشته باشند. در این جا با استفاده از تحلیل گراف ها و روش های جبری ساختار معادلی برای ماتریس بررسی توازن کدهای حلقوی ارائه داده می شود که این ساختار معادل موجب کاهش پیچیدگی کدگشایی می شود. در پایان با استفاده از ترکیبیات و میدان متناهی کدهای ‎ldpc‎ جدید ساخته می شود که دارای دور از طول چهار نمی باشند.

معادلات دیفرانسیل و معادلات تفاضلی در بسیاری از زمینه های علوم و مهندسی پیش بینی هوا و مدلسازی پیش می آیند و عموما حل تحلیلی و دقیق معادلات دیفرانسیل و معادلات تفاضلی ممکن نمیباشد.در نتیجه استفاده از روشهای عددی کارا برای حل این معادلات دارای اهمیت بسیاری است. در سالهای اخیر روشهای بدون شبکه به عنوان ابزاری مناسب برای حل انواع معادلات دیفرانسیل موضوع بسیاری از تحقیقات بوده است. در این پایان نامه از توابع پایه ای شعاعی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل استفاده شده و نتایج ارائه شده است.

معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در مدل سازی بسیاری از پدیده ها در علوم مختلف، از اهمیت بالایی برخوردارند اما در اغلب موارد حل دقیق این معادلات امکان پذیر نمی باشد. به همین جهت ضروری است که با استفاده از روش های عددی کارآمد، برای این دسته از معادلات جواب های تقریبی مناسبی فراهم آورد.در این پایان نامه به یکی از این روش های عددی تحت عنوان "روش های طیفی" پرداخته می شود. از جمله روش های عددی که برای حل این معادلات استفاده شده است، می توان به روش های تفاضلات متناهی، المان های محدود و حجم های محدود اشاره کرد‎. در چند دهه ی گذشته روش های طیفی به دلیل دقت بالایشان در تقریب عددی جواب معادلات، مورد توجه قرار گرفته اند و به سرعت توسعه یافته اند. بسیاری از روش‏ های طیفی بر اساس چند-جمله ای های ژاکوبی و روی بازه‏ های متناهی ‎دسته بندی شده اند. از طرف دیگر، بسیاری از مسائل برآمده از دینامیک سیالات، نجوم، ریاضیات مالی و سایر زمینه ها در دامنه های نامتناهی تعریف می شوند. بنابراین برای استفاده از روش های طیفی روی چنین دامنه هایی باید راهکارهای مناسبی اتخاذ نمود. در این پایان نامه به بررسی یکی از این راهکارها با توجه به مراجع ذکر شده در آن،پرداخته می شود.

در این پایان نامه هدف معرفی دو دنباله ی نامتناهی از توابع است که جواب معادله ای از نوع اشتورم-لیوویل می باشد. هر دنباله از این توابع را ژاکوبی یا لاگور توسعه یافته می نامیم. نشان می دهیم که با ضرب داخلی معین مثبت به ترتیب روی بازه ی فشرده ی [-1,1] یا بازه ی نیم باز (∞,0] متعامدند و برای فضای هیلبرت l2 مربوطه پایه هستند. علاوه بر این در این پایان نامه‏، با آوردن مثال های متفاوت نشان می دهیم که اگر از این توابع به عنوان توابع کوششی در روش هم مکانی استفاده کنیم‏، ممکن است تقریب بهتری برای معادله به دست آوریم. البته در اینجا پایه را با توجه به شرایط مسئله انتخاب می کنیم.

در این پایان نامه، به حل مسئله کمترین مربعات مقید برای منحنیهای بزیه گویا توسط یک منحنی بزیه چندجملهای میپردازیم. برای این منظور، از دوگان توابع پایهای مقید استفاده میکنیم و پس از آن به یافتن دوگان هر مجموعه مستقل خطی میپردازیم. ساخت چنین توابعی میتواند در حل بسیاری از مسائل آنالیز عددی و طراحی هندسی به ویژه یافتن دوگان توابع بی-اسپلاین برای حل مسئله کمترین مربعات منحنیهای بی-اسپلاین مفید باشد