در این پژوهش، مقدماتی از روش آنالیز هوموتوپی را بیان و آن را برای حل مسائل مقدار اولیه به کار می بریم و با استفاده از چند جمله ای های چبیشف آن را بهبودمی دهیم. در ادامه برای اولین بار روش آنالیز هوموتوپی را برای حل دستگاه معادلات غیرخطی جبری توسعه می دهیم و الگوریتمی کارا برای حل این گونه از مسائل غیرخطی پیشنهاد می کنیم که در مقایسه با دیگر روشهای موجود سرعت و دقت همگرایی مناسبتری دارد.

این پایان نامه شامل 4 فصل می باشد:در فصل اول، تعاریف و مفاهیم پایه،معادلات انتگرال و معادلات دیفرانسیل و نیز توابع پایه ای شعاعی را تعریف کرده و مباحثی در مورد درونیابی با استفاده از این توابع را ذکر کرده ایم. در فصل دوم که به حل عددی معادلات انتگرال با استفاده از این توابع اشاره دارد، معادلات انتگرال ولترا و فردهلم نوع اول را با این توابع و همچنین مشتقات آنها حل کرده ودر زمینه بررسی افزایش نقاط درونیابی نتایج جالبی را مشاهده کردیم.حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی موضوع فصل سوم می باشد که در این فصل به حل یک مساله ی معکوس با پارامتر کنترل منبع اشاره داریم. در فصل آخر نیز حل عددی معادله ی تلگراف سهموی یک بعدی با استفاده ازتوابع پایه ای شعاعی و با کمک نقاط هم محلی انجام شده است

در این پایان نامه ابتدا به معرفی معادله کلاین - گورون پرداخته و در ادامه پس از بیان تعاریف و مفاهیم لازم درباره توابع پایه ای شعاعی به حل معادله کلاین گوردون با استفاده از اسپلاین صفحه نازک پرداخته شده است. در پایان پس از بیان تعاریف لازم در مورد توابع مقیاس و موجکها به حل معادله کلاین گوردون با استفاده از تابع مقیاس بی اسپلاین مکعبی می پردازیم.

در این پایان نامه، ابتدا معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی وانواع آن و شرایط مرزی و اولیه برای یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی بیان شده است. سپس تحلیل روش های tanh و tanh-cothو چگونگی حل معادلات غیر خطی با مشتقات جزئی با این روش ها ارائه شده است. جهت روشن شدن مطلب، معادلات غیر خطی kdv، گرما، معادله ی موج و ... با این روش ها حل شده است. در نهایت این موضوع که با استفاده از روش های tanh و tanh-coth می توان به تمامی دسته جواب های یک معادله ی غیر خطی با مشتقات جزئی دست پیدا کرد، مورد بررسی قرار گرفته است.

در این پایان نامه مقدماتی از روش های تکرار وردشی، اختلال هوموتوپی و آنالیز هوموتوپی که از آن ها به عنوان روش های نیمه تحلیلی یاد می شود بیان شده و برای حل دستگاه معادلات kdv هیروتا-ساتسومای تعمیم یافته به کار رفته و سپس جواب های به دست آمده با هم مقایسه شده اند. از روش اختلال هوموتوپی نیز برای یافتن جواب های تناوبی ژاکوبی و تناوبی سالیتون دستگاه معادلات kdv شرودینگر استفاده شده است.هم چنین در ادامه بهبودی از روش تکرار وردشی با استفاده از چندجمله ای های آدومیان ارائه شده و برای حل دستگاه معادلات kdv و دستگاه معادلات هیروتا-ساتسومای تعمیم یافته به کار رفته است و در پایان نقاط قوت و ضعف مربوط به هر روش در حل معادلات kdv بیان شده است.

معادلات دیفرانسیل - جبری عادی و جزیی در مدل بندی بسیاری از مسائل فیزیکی ظاهر می شوند و دارای کاربردهای وسیعی در شاخه های مختلف علوم و مهندسی می باشند. در سال های اخیر یافتن روش های مناسب برای حل این معادلات مورد توجه بسیاری از پژوهشگران بوده است. در این رساله، روش های نیمه تحلیلی شامل روش شبه طیفی، تکرار وردشی، اختلال هموتوپی برای حل معادلات دیفرانسیل - جبری عادی و جزیی و جبری خطی و غیر خطی به کار برده می شوند. بدین منظور ابتدا از روش کاهش اندیس برای معادلات به شکل نیمه صریح هسنبرگ استفاده نموده، سپس دستگاه بدست آمده، به طور مناسبی با استفاده از این روش ها حل می شود. روش شبه طیفی به دنباله ای از توابع منجر می شود که همگرا به جواب دقیق مسئله هستند. روش تکرار وردشی نیز منجر به دنباله ای از توابع می شود که همگرا به جواب دقیق مسئله هستند روش اختلال هموتوپی نیز مجموع یک سری نامتناهی و همگرا به جواب مساله را تولید می کند که می توان جملات آن را به راحتی محاسبه نمود .نتایج عددی حاصل از حل مثال های مختلف معادلات دیفرانسیل - جبری با اندیس بالا با استفاده از روش های نیمه تحلیلی، توانایی و مناسب بودن این روش ها را نشان می دهند. لذا روش های پیشنهادی می توانند به عنوان ابزارهایی قوی برای حل معادلات دیفرانسیل - جبری و معادلات دیفرانسیل جزیی - جبری بکار گرفته شوند. همچنین هر دو مدل خطی و غیر خطی این معادلات می توانند به طور موفقیت آمیزی با این روش ها حل شوند.

در این پایان نامه، ابتدا برخی تعاریف و مفاهیم اولیه ی مربوط به روش اختلال هموتوپی را بیان و معادلات دیفرانسیل را معرفی می کنیم، پس از آن روش اختلال هموتوپی و اصلاحات آن را برای معادلات دیفرانسیل معمولی به کار می بریم. در ادامه یک روش اختلال هموتوپی اصلاح شده را برای معادلات ساین - گوردون بیان کرده و پس از آن معادلات دیفرانسیل تاخیری و چگونگی استفاده از روش اختلال هموتوپی استاندارد و اصلاح شده را برای حل این نوع معادلات مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه، چند اصلاح از روش تکرار وردشی برای دسته های مختلف از معادلات تابعی بیان شده و این روش ها به صورت عددی با روش تکرار وردشی مقایسه شده اند. در پایان کارایی روش های اصلاح شده تکرار وردشی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل جزئی و معادلات انتگرال مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است.

مطالعات مربوط به چندجمله ای های متعامد از اواخر قرن نوزدهم میلادی آغاز گردید. توابع متعامد کسر‎ی‎‏،‎‎‎‎ اولین بار در اواخر دهه ‎‎‎‎1960‎‎ توسط ریاضیدان ارمنی‎،‎ دیرباشیان‎‎‎‎‎‎ به کار برده شد‎‎‎‎. مقالات‎‎ وی ‎به زبان روسی انتشار یافت و پس از مدتی به انگلیسی ترجمه شد و در اختیار علاقه مندان قرار گرفت. ‎ همان گونه که چندجمله ای های متعامد‏‎‎ به ابزار‎ی‎ ضروری در تحلیل‎‎ مسائل اساسی در ریاضیات و مهندسی تبدیل شده اند‏، اخیراً توابع متعامد کسری نیز برای حل برخی مسائل در مهندسی الکترونیک‏، مهم تلقی می شوند. مطالعه توابع متعامد کسری در مقایسه با چندجمله ای های متعامد بسیار جوان است. این پایان نامه ‏، برای اولین بار در کشور‏، به مطالعه و بررسی توابع متعامد کسری پرداخته و علاوه بر تعاریف کلی برای روشن شدن موضوع‏، یک روش محاسبه ی ضرایب بازگشتی برای توابع متعامد کسری روی یک بازه از خط حقیقی را ارائه می دهد.‎ ‎این پایان نامه مشتمل بر چهار فصل است. در فصل اول به معرفی تعاریف و پیش نیازهای لازم برای فصل های بعدی می پردازیم. ‎‎در فصل دوم‏‏، توابع متعامد و خانواده ی توابع متعامد را تعریف کرده و در ادامه ویژگی های چندجمله ای های متعامد‏ را بیان می کنیم.‎ در فصل سوم‏، نخست به معرفی نمادهایی که در ادامه ی این پایان نامه به کار برده خواهند شد‏، پرداخته و در ادامه توابع متعامد کسری را روی یک بازه و دایره ی واحد تعریف کرده و به بیان بعضی ویژگی های آن ها می پردازیم.‎‎ در فصل چهارم‏، به محاسبه ی ضرایب بازگشتی توابع متعامد کسری با استفاده از تقریب ضرب های داخلی پرداخته و کران های خطا را بیان می کنیم. ‎

مفاهیم ولایت، امامت و خلافت از آن دسته مفاهیمی هستند که استعمال آن در قرآن شایع بوده و همواره زوایای مختلف آن خصوصاً در میان متفکران معاصر مورد بحث و نظر بوده است. بررسی این واژگان می تواند در دو زمینه صورت پذیرد: الف: به لحاظ مفهومی. ب: به لحاظ مصداقی. در مفهوم، ولایت عبارت از قرب و نزدیکی بین دو چیز، امامت پیشوایی و مقتدا بودن، خلافت جانشینی و نیابت خواهد بود. در مصداق امامت سه نمود دارد: رهبری اجتماع، مرجعیت دینی و هدایت باطنی. بالاترین مرتبه امامت، ظهور هدایت باطنی است. صاحب ولایت باطنی در مصداق همان امام و خلیفه است. تفاوت خلیفه و امام از دیدگاه برخی متفکرین اعتبار است، یعنی یک فرد در قیاس با رتبه پیشین، خلیفه و در قیاس با رتبه آینده، امام نامیده می شود.

در این پایان نامه پایداری نمایی دستگاه های لوتکا-ولترای رقابتی با تأخیرات گسسته بررسی شده است. با ساختن توابع لیاپونوف مناسب و روش بهینه سازی نامعادله مخطی ماتریسی(lmi) برخی معیارهای کافی به دست می آید که بااستفاده از این معیارهاپایداری نمایی دستگاه های لوتکا-ولترای رقابتیدو گونه ای باتأخیرات گسسته بررسی می شود.

در این رساله ابتدا روش هایی مبتنی بر تجزی? دامنه‏، برای حل عددی معادلات دیفرانسیل بر روی دامنه های بزرگ ارائه شده است. همچنین از آنجا که تعیین مناسب پارامتر شکل نقش مهمی در تأمین دقت مطلوب روش های مبتنی بر توابع پایه ای شعاعی ایفا می کند، الگوریتمی بر اساس بهینه سازی ژنتیک برای رسیدن به این مهم معرفی شده و مورد بررسی قرار گرفته است در بخشی از این رساله بر حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی بر روی دامنه های بزرگ‏ که در بخش هایی از دامنه محاسباتی خود‏، به صورت موضعی‏، دارای رفتارهای شبه تکین هستند‏، تمرکز شده است. به این منظور الگوریتمی ارائه شده که ناحیه یا نواحی دارای تغییرات سریع را شناسایی نموده و به علاوه الگوی تولید چیدمان های انطباق یافته را تنها در نواحی بد رفتار اِعمال می نماید. همچنین این الگوریتم قادر است عدد شرطی و حافظه به کار رفته در الگوریتم را نیز تحت کنترل داشته باشد. در پایان یک روش بدون شبکه تحت عنوان روش کمترین مربعات وزن دار پویا به منظور تقریب کمترین مربعات مسائلی که در بخش یا بخش هایی از دامنه با داده های مختل شده مواجه اند ارائه‏ شده، وجود و یکتایی جواب بررسی شده و در پایان روش پیشنهادی مورد تجزیه و تحلیل عددی قرار گرفته است.

در این پایان نامه روش توابع دورگه ی لژاندر- ضربه ای قطعه ای برای حل عددی معادلات انتگرال ولترا و فردهلم نوع دوم بیان ‎شد‎ه است‎.‎‎‎‎‎ این روش یک روش عملگری برای حل معادلات انتگرال است که با استفاده از ماتریس های عملگری انتگرالی و ضربی‏، معادلات انتگرال را به یک دستگاه معادلات جبری حل پذیر تبدیل می کند. در ادامه چند روش دیگر که اساس کار آنها نیز استفاده از ماتریس های عملگری است‏، برای حل عددی این دسته از معادلات انتگرال مطرح شده است. به علاوه با انجام یک مقایسه ی عددی کارآیی این روش ها مورد بررسی قرار گرفته است.

این پایان نامه، مشتمل بر سه فصل و با موضوعات کاملاً مجزا ارائه می گردد. در فصل اول به ارائه روش های تکراری دایره برای ریشه یابی توابع مختلط می پردازیم و این روش را با بعضی از روش های دیگر مقایسه می کنیم. فصل دوم به معرفی یک روش تکراری برای مینیمم یابی و ماکزیمم یابی توابع چند متغیره اختصاص دارد. فصل سوم که به معادلات انتگرال اختصاص دارد، در خصوص یک روش عددی برای حل معادلات انتگرال فردهلم جدایی پذیر که جواب های آنها توابعی یک و چند متغیره هستند، بحث می شود. به علاوه در این فصل روشی تحلیلی برای یافتن جواب های دقیق معادلات انتگرال خطی و معادلات انتگرال - دیفرانسیل خطی، ارائه می گردد.

در سال 2005 پنگ وهمکاران یک روش تکراری برای یافتن جواب متقارن از معادله ماتریسی axb=c ارائه داده اند. هانگ و همکاران نیز یک روش تکراری جدید برای حل معادلات ماتریسی خطی axb=c برای ماتریس پادمتقارن x ارائه کرده اند. در سال 2008 دهقان و حجاریان شرایط لازم وکافی برای قابل حل بودن معادلات ماتریسی a_1xb_1=d1,a_1x=c_1,xb_2=c_2وa_1x=c_1,xb_2=c_2,a_3x=c_3,xb_4=c_4روی ماتریس بازتابی یا غیر بازتابی x پیشنهاد دادند وشکل کلی جواب را برای این نوع معادلات بدست آوردند. همچنین دهقان وحجاریان در سال 2008 یک روش تکراری را برای حل معادلات زوج سیلوستر تعمیم یافته روی ماتریس های بازتابی تعریف کرده اند. پنگ نیز یک روش تکراری تکراری را برای حل مسئله ی مانده با کمترین نرم فروبینیوس ||axb-c||با ماتریس متقارن مجهول x ارائه داده است. علاوه بر این لی و وو تعیین جواب های متقارن و پاد متقارن برای معادلات ماتریسی a_1x=c_1,xb_3=c_3را مورد مطالعه قرار داده اند. همچنین وانگ و همکاران یک روش تکراری را برای حل معادلات ماتریسی axb+cx^t d=e معرفی کرده اند. به علاوه ژو و همکاران و چو حل معادلات ماتریسی خطی a_1 x_1 b_1+a_2 x_2 b_2=cبا ماتریس های مجهول x_1,x_2(حقیقی یا مختلط) را مورد بررسی قرار داده اند. همچنین دهقان وحجاریان یک روش تکراری برای حل جفت معادلات ماتریسی ayb=eو cyd=f روی ماتریس های متقارن مرکزی تعمیم یافته را معرفی کرده اند.

درونیابی به وسیله چند جممله ای ها یا دیگر توابع، یک روش نسبتا قدیمی در ریاضیات کاربردی است که اولین بار توسط جی والیس در سال 1655 مطرح شد. درونیابی به وسیله توابع چندمتغیره موضوع نسبتا جدید و جذابی است که در چند دهه اخیر مورد توجه قرار گرفته است، چرا که وجود جواب و یگانگی آن به سادگی تضمین نمی شود و علاوه بر تعداد نقاط ، نحوه قرار گیری آن ها نیز در این امر دخیل است. در سال 1977، چانگ و یاو یک توصیف هندسی از درونیابی لاگرانژ چند متغیره ارائه کردند و پس از آن اشخاص دیگری به این سمت روی آوردند و روش های مختلفی از جمله درونیابی هرمیت چند متغیره، نیوتن چند متغیره را معرفی کردند. همچنین افراد زیادی از شکل های مختلف درونیابی در کارهایی چون پیش بینی سیل، شمارش سنگریزه و نظایر آن استفاده کرده اند. اگر تابع رباضی یک پدیده به طور کامل در اختیار باشد قطعا قضاوت ها و تصمیم گیری های بعدی در مورد آن پدیده دقیق تر و کامل تر خواهد بود. رسیدن از داده های گسسته محدود به تابع پیوسته یک پدیده را درونیابی آن پدیده گویند از این رو در بسیاری از پیش بینی ها، برآوردها, تقریب ها و آزمایش ها می توان از درونیابی استفاده کرد.

در این پایان نامه، ابتدا مسائل مقدار مرزی را معرفی خواهیم کرد. سپس به بیان مسائل مقدار مرزی با شرایط ضد متناوب، تعاریف و قضایای مورد نیاز می پردازیم. مسائل مقدار مرزی مرتبه اول و دوم را تعریف و به بیان قضایای وجود و یگانگی جواب و همچنین به معرفی جفت جواب های بالا و پایین برای این گونه مسائل خواهیم پرداخت. ادامه بحث را به بیان روش های تیراندازی و تفاضل متناهی از روش های حل عددی برای مسائل مقدار مرزی اختصاص خواهیم داد. همچنین در پایان هر بخش چند مثال عددی ارائه شده است.

در این پایان نامه، ابتدا به معرفی انواع مختلف معادلات انتگرال و توابع پایه ای شعاعی می پردازیم. سپس از توابع پایه ای شعاعی و روش هم محلی برای حل تقریبی این نوع معادلات استفاده می کنیم. در ادامه بحث، انواع معادلات انتگرال دوبعدی فردهلم، ولترا و ولترا- فردهلم را مورد بررسی قرار می دهیم. در واقع هدف اصلی پایان نامه حل عددی انواع معادلات انتگرال روی نواحی مستطیلی در ابعاد بالاتر از یک و روی نواحی غیرمستطیلی به کمک توابع پایه ای شعاعی می باشد. در پایان، مثال های عددی و نتایج آن ها که قابلیت و کارایی روش را بیان می نمایند، آورده شده اند.

معادلات دیفرانسیل جزیی- جبری در مدل بندی بسیاری از مسائل فیزیکی ظاهر می شوند و دارای کاربردهای وسیعی در شاخه های مختلف علوم و مهندسی هستند. در این پایان نامه ابتدا با استفاده از روش نیمه گسسته سازی افقی‏، ‎‎اندیس مشتق زمان برای معادلات دیفرانسیل جزیی - جبری خطی ‎تعیین شده اند. با استفاده از گسسته سازی زمانی‏، اندیس مشتق مکان را برای ‎ pdaes‎خطی تعیین کرده ایم. سپس معادلات دیفرانسیل جزیی- جبری نیمه خطی در نظر گرفته شده و برای این معادلات نیز با استفاده از روش های گسسته سازی افقی و عمودی اندیس مشتق زمان و مکان به ترتیب تعیین گردد.‎‎ به علاوه اندیس مشتق مکان و زمان را برای معادلات دیفرانسیل جزیی- جبری خطی‏، با استفاده از تبدیلات لاپلاس و فوریه نیز به دست آورده ایم.در پایان‎ اشاره ای به کاربرد ‎معادلات دیفرانسیل جزیی- جبری‎‎‎ در شبیه سازی مدارهای الکتریکی شده و همچنین فرمول بندی جدیدی برای شرایط مرزی ‎ pdaes‎‎خطی شرح داده شده است.‎

بسیاری از پدیده های موجود در علوم ریاضی، فیزیک ، مهندسی و دیگر علوم، توسط معادلات دیفرانسیل غیرخطی مدل سازی می شوند.از این جهت جستجوی راه هایی برای بیان جواب های دقیق این معادلات، در زمینه ی مطالعه و درک پدیده های فیزیکی و پیچیده ی غیرخطی بسیار با اهمیت است. موضوع اصلی در این پایان نامه یافتن شکل عمومی رده ای از معادلات دیفرانسیل عادی غیرخطی مرتبه دوم، سوم و چهارم است که می توانیم جواب های دقیق آن ها را به یک روش بسط جدید تعیین کنیم.

در این پایان نامه حل مسائل‎ برنامه ر یزی درجه دوم محدب مورد نظر است. در ابتدا به بیان روش هایی برای حل مسائل برنامه ر یزی درجه دوم با قیدهای تساوی می پردازیم‏ و در ادامه‏، پنج الگوریتم مبتنی بر روش های مجموعه-فعال‏، نقطه درونی‏ و‎ لاگرانژی افزوده برای حل مسائل برنامه ر یزی درجه دوم محدب در حالت کلی مطرح می شود. اشاره خواهیم کرد که هریک از این الگوریتم ها در حالت های خاصی کاربرد مفیدتر و همگرایی سریع تری خواهند داشت و درصورتی که الگوریتم در غیر از این حالت خاص پیشنهاد شده مورد استفاده قرار گیرد با سختی های عددی و افزایش تعداد تکرارها تا رسیدن به جواب مساله روبرو خواهیم شد‎. چون یکی از اهمیت های مسائل برنامه ریزی درجه دوم در حل مسائل مقید غیرخطی به کمک روش sqp می باشد، با استفاده از این روش و الگوریتم لاگرانژ افزوده، به حل مسائل غیرخطی مقید می پردازیم و سپس تحلیلی درباره چگونگی حساسیت این الگوریتم نسبت به پارامترهای ورودی بیان می شود و پیشنهادهای درباره مقدار این پارامترهای ارائه شده است.

مسأله ی بهینه سازی زیر را در نظر می گیریم: min f(x), s.t: , (6) , , که در آن و توابع هموار و حقیقی مقدار روی هستند. تابع لاگرانژ برای این مسأله به صورت زیر تعریف می شود: (7) , تابع لاگرانژ بالا، از تابع هدف مسأله و یک جمله به همراه یک ضریب برای هر قید، تشکیل شده است. شرایط لازم مرتبه اول برای بدست آوردن و این تابع، به شرایط معروف است. حال روش لاگرانژ افزوده را معرفی می کنیم. الگوریتم این روش مرتبط با تابع جریمه برای مسئله (2) است اما امکان بد وضعی را با معرفی تخمین ضرایب لاگرانژ تابع مینیمم شده- که آن را تابع لاگرانژ افزوده می نامیم- کاهش می دهد. برای مسأله ی (2) تابع لاگرانژ افزوده به فرم زیر تعریف می شود: (8) . همانطور که مشاهده می شود، تابع لاگرانژ افزوده شامل تابع هدف مسأله و دو جمله با ضرایب و برای هر قید است. از برای نشان دادن تقریب مینیمم استفاده کرده و با استفاده از فرمول زیر، مقدار را در هر گام به روزآوری می کنیم. (9) ,

در زمینه های علوم و مهندسی مسائلی وجود دارند که روی بازه های بی کران مطرح می شوند. روش های متفاوتی برای حل این گونه مسائل پیشنهاد شده اند که روش رایج در این زمینه، استفاده از توابع متعامد لاگر و هرمیت می باشد. یکی از روش های کارا برای حل این گونه مسائل، استفاده از روش های طیفی و به خصوص روش شبه طیفی با استفاده از توابع پایه ای متعامد کسری می باشد. در این پایان نامه برآنیم که چگونگی حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از توابع متعامد کسری را ارائه کنیم. برای این کار به معرفی توابع متعامد می پردازیم. هم چنین چرایی استفاده از این توابع در روش های طیفی را مطرح می کنیم. سپس به معرفی روش های طیفی و به خصوص روش شبه طیفی، می پردازیم. در ادامه، توابع متعامد کسری و تقریب با استفاده از این توابع مورد بررسی قرار خواهد گرفت. در پایان نیز، سه مسأله مهم لین-امدن، ناگامو و کاماسا-هلم، که در بازه نیمه متناهی روی می دهند را با استفاده از توابع متعامد کسری حل کرده و نتایج حاصل را مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه به بررسی روش های عددی برای حل مسائل بهینه سازی غیر خطی نامقید با رویکرد جستجوی خطی می پردازیم. در فصل اول مفاهیم اولیه را بیان می کنیم. در فصل دوم به بیان ویژگی های اساسی بهینه سازی نامقید می پردازیم و روش های سریع ترین کاهش، نیوتن، شبه نیوتن و گرادیان مزدوج را معرفی می کنیم. بررسی دقیق تر روش های سریع ترین کاهش، نیوتن، نیوتن اصلاح شده و شبه نیوتن و همچنین همگرایی این روش ها در فصل سوم انجام می شود. در فصل چهارم، دو الگوریتم نزولی کارا برای حل مسائل بهینه سازی نامقید بدون جستجوی خطی معرفی و مقایسه می شوند.

روش نقاط مرزی بدون شبکه گالرکین براساس فرمول بندی ضعیف می باشد . فرضیات مسئله در این روش معادلات دیفرانسیل با شرائط مرزی مخلوط می باشد.در این روش ابتدا با استفاده از قضیه گرین و با استفاده از شرائط مرزی داده شده معادله دیفرانسیل با مشتقات حزئی به یک معادله انتگرال مرزی تبدیل می شود.در مرحله بعد با استفاده از روش کلاسیک گالرکین مسئله به مسئله معادل تبدیل کرده و در نهایت با استفاده از روش تقریب کمترین مربعات متحرک که یکی از انواع روش های بدون شبکه مرزی می باشد مجهولات مرزی را به دست می آوریم . در مثال های عددی مشاهده می شود که استفاده از این روش ابعاد محاسباتی مسئله را کاهش می دهد .آنالیز خطا نیز مشخص می کند که خطای تابع محهول با مشتقات متوالیش از مرتبه یکسانی برخوردار است و همکرایی این روش بسیار مناسب است و لین روش یک روش پایدار عددی می باشد.

در این پایان نامه، ابتدا به معرفی مجموعه اعداد فازی می پردازیم. سپس روش های انتگرال گیری عددی مانند نیوتن- کاتس، رامبرگ و روش های انتگرال گیری گاوس را بر روی توابع فازی با ارائه مثال های مختلف مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین روش های ذکر شده را برای انتگرال های چندگانه بیان کرده و کران خطای هر کدام از این روش ها را محاسبه می نماییم. در آخر نیز درونیابی فازی را معرفی کرده و انواع درونیابی لاگرانژ و اسپلاین را بر روی داده های فازی مورد بحث و بررسی قرار می دهیم.

مدل بندی بسیاری از پدیده ها و مسائل طبیعی غالباً به حل معادلات غیرخطی منجر می شود. مشکلات موجود در مسیر حل این مسائل و به دست آوردن یک جواب تحلیلی باعث می شود تا از روش های عددی استفاده کنیم. هدف از این پژوهش، بررسی و حل انواع معادلات دیفرانسیل پدید آمده در الکترودینامیک و مکانیک سیالات روی دامنه های بزرگ به دلیل کاربرد های مهندسی و صنعتی می باشد. در این رساله، ابتدا شرح مختصری از روش باقی مانده های وزنی به عنوان یک روش کلی و بسیار قدرتمند برای به دست آوردن جواب تقریبی معادلات دیفرانسیل ارائه شده است. سپس توابع کاردینال چبیشف را معرفی کرده و عملگرهای ماتریسی انتگرال، ضرب و تأخیر را برای این توابع محاسبه می کنیم. هم چنین با استفاده از این عملگرها به حل معادلات انتگرال- دیفرانسیل فردهلم- ولترا، معادلات دیفرانسیل تأخیری پدید آمده در الکترودینامیک و نوسان گر هارمونیک دافینگ می پردازیم. پس از آن، یک روش عددی بر اساس ترکیبی از روش شبه طیفی با یک پارامتر مقیاس گر مثبت و برونیابی برای حل برخی از مسائل در مکانیک سیالات معرفی شده است. این روش به حل مسائل روی دامنه های نیمه متناهی بدون برش آن به یک دامنه ی متناهی می پردازد. در ادامه یک روش عددی مبتنی بر چندجمله ای های برنشتاین و روش تاو برای حل مسأله ی جریان ایستای خارج از مرکز روی یک دیسک دوار بیان شده است. پس از آن یک روش کلی بر اساس چندجمله ای های برنشتاین و نگاشت نمایی برای تولید توابع پایه ای متعامد جدیدی روی بازه ی نیمه متناهی ارائه می شود. هم چنین، این توابع برای شبیه سازی جواب مسأله ی انتقال حرارت از یک سیال میکرو قطبی به واسطه ی یک محیط متخلخل با تابش استفاده می شوند. در پایان نیز یک بهبود جدید از روش تکرار وردشی برای حل معادله ی همرفتی - تابشی غیرخطی ناپایدار و نوسان گرهای به شدت غیرخطی درنظر گرفته شده است.

روش تجزیه آدومیان یک روش مفید برای محاسبه جواب های تقریبی دسته ای از معادلات دیفرانسیل است. در این پایان نامه بر اساس تعریف جدیدی از چندجمله ای های آدومیان و روش تجزیه دوگان، یک الگوریتم جدید برای محاسبه تقریبات معادلات دیفرانسیل غیر خطی با شرایط مرزی معرفی شده است. به علاوه یک بسته نرم افزاری برای به کار بردن الگوریتم پیشنهادی ارائه شده است که کارآمد و کاربرپسند است. چند مثال مختلف غیر خطی نیز آورده شده تا حیطه عمل این نرم افزار عددی را شرح داده و توانمندی آن را ، مخصوصا برای حل مسائل مقدار مرزی چند نقطه ای و چنددستوری، مورد بررسی عددی قرار دهد.

این پایان نامه به معرفی روش های گروه لی و برخی کاربردهای آن در حل عددی معادلات دیفرانسیل می پردازد.

در این پایان نامه، به بررسی معادلات دیفرانسیل تصادفی دارای تاخیر همراه با جهش پرداخته شده و کاربرد آن در حل مسئله انتخاب پورتفوی بهینه ارائه می گردد. در این تحقیق، کنترل بهینه تصادفی با تاخیر و از نوع میدان میانگین بررسی شده که در آن فرایند تحت کنترل، توسط یک معادله دیفرانسیل پرش انتشاری میدان میانگین تاخیری تصادفی ارائه شده و اصل ماکزیمم برای چنین معادلات دیفرانسیلی بیان شده است. با استفاده از نتایج حاصل، برای مسئله پورتفوی میانگین واریانس و مصرف بهینه و هم چنین نوع پورتفوی در نمونه های یک بازار مالی تاخیری جهش دار یک راه حل صریح و دقیق ارائه گردیده است.