ابتدا یک زیردیفرانسیل جدید برای توابع موضعاً لیپ شیتز معرفی می گردد. بر مبنای این زیردیفرانسیل روشهای نیوتن و روشهای شبه نیوتن برای حل دستگاه معادلات غیرهموار و دستگاه معادلات ترکیبی بیان می گردد. همچنین روش نیوتن برای پیدا کردن نقطه منفرد از یک میدان برداری روی خمینه های ریمانی به کار برده می شود و قضیه کانتروویچ در روش نیوتن روی خمینه های ریمانی گسترش داده می شود.

توابع شبه محدب کلاسی از توابع هستند که دارای قدمت بیش از پنجاه سال می باشند و بسیار بزرگتر از کلاس توابع محدب هستند. این کلاس از توابع نقش بسیار مهمی در زمینه های مختلف ریاضی و اقتصاد ایفا می کنند. در سی سال اخیر چندین مفهوم از زیردیفرانسیل برای توابع شبه محدب مطرح شده است. قدیمیترین آنها زیر دیفرانسیل گرینبرگ- پی یرسکالا و زیر دیفرانسیل مماسی می باشد. این زیر دیرانسیل ها به اندازه کافی بزرگ هستند و میتوانند اطلاعات لازم را در اختیار ما قرار دهند. هدف از این پایان نامه معرفی و مطالعه ی زیردیفرانسیل هایی برای توابع شبه محدب می باشد یکی از آنها ماهیتی قابل استفاده برای آنالیز غیر هموار دارد دیگری به گونه ای است که برای تمام توابع تعریف گردیده و یکی دیگر از آنها زیردیفرانسیل تغییراتی است.

در این تحقیق ما ابتدا مسائل نیمه نا متناهی (sip) غیر همواری را در نظر می گیریم که شامل قید های نا مساوی هستند . چندین قید تعریفی برای این مسائل معرفی نموده وپس از ارائه نمودن روابط بین آن ها چندین شرط لازم وکافی برای بهینگی یک نقطه ارائه خواهیم داد. همچنین ما sip هایی را در نظر خواهیم گرفت که مجموعه ی موجه آن ها توسط تعدادی نامتناهی از قید های مساوی و نامساوی و یک مجموعه ی مقید کننده تشکیل شده است . به منظور به دست آوردن شرایط بهینگی برای این مسائل ، ابتدا چندین قضیه ی تناوبی اثبات خو اهیم کرد ، و پس از معرفی چند قید تعریفی متناسب با آن ها ، شرایط لازم و کافی kkt را ثابت می نماییم . در انتها ، توجه خود را به مسئله ی نیمه نا متناهی تعمیم یافته ی غیر هموار معطوف خواهیم کرد و بدون استفاده از هیچ گونه قید تعریفی ، شرط لازم fj را برای آن ثابت می نماییم . هدف اصلی این تحقیق ، کنار گذاشتن دو شرطی است که همه ی پیشنیان استفاده کرده اند : تحدب و مشتق پذیری.

در این پایان نامه پس از بیان یک سری تعاریف و مفاهیم اولیه و هم چنین مفاهیم آنالیز محدب که دانستن آن ها در بخشهای مختلف پایان نامه نیاز است، در فصل دوم آن به معرفی برنامه ریزی آرمانی خطی می پردازیم و سپس بعد از بیان یک روش ساده برای ساختن مدل برنامه ریزی آرمانی الفبایی،یک نوع از الگوریتم های برنامه ریزی آرمانی خطی الفبایی که از سیمپلکس چندفازی استفاده می کند،معرفی میشود.دراین فصل همچنین دوگان و تحلیل حساسیت این مدل نیز بررسی میشود.در فصل سوم نیز مساله برنامه ریزی آرمانی و دوگانش تحت فرض اینکه ناحیه شدنی،مخروطی مجانبی باشد،بررسی میشود.درنهایت مساله موردبررسی تحت فرض های درنظرگرفته شده رابه گونه ای تبدیل میکنیم که میتواند به وسیله انواع مختلف روشهای نقطه درونی حل شوند.در آخر هم به دو نمونه از کاربردهای برنامه ریزی آرمانی به طور مختصر بیان میشود.

در این تحقیق جنبه های مختلف برنامه ریزی نیمه معین مورد بررسی قرار خواهیم داد. برنامه ریزی نیمه معین، یک برنامه ریزی روی ماتریس های نیمه معین مثبت است. در ابتدا مفاهیم و پیش نیازها را بیان کرده و سپس برنامه ریزی نیمه معین خطی را مطالعه می کنیم، آنگاه برنامه ریزی نیمه معین غیرخطی را بررسی کرده و شرایط لازم مرتبه اول و دوم را برای بهینگی آن بیان خواهیم کرد. نهایتا قضایای تفکیک پذیری را در فضای ماتریس های نیمه معین مثبت مورد بحث قرار داده و قضایای دوگانگی را اثبات خواهیم نمود.

در این پایان نامه به بررسی نگاشت های مجموعه مقدار بر روی خمینه های ریمانی می پردازیم. تعاریف ونتایجی را ارائه می دهیم که ما را در یافتن صفرها و نقاط ثابت نگاشت های مجموعه مقدار بر روی خمینه های ریمانی یاری می رساند. به علاوه یک اصل تغییراتی هموار مرتبه دوم را برای توابع تعریف شده بر روی خمینه های ریمانی (می توانند از بعد نامتناهی نیز باشند) که به طور یکنواخت موضعاً محدب، دارای شعاع القائی اکیداً مثبت و خمیدگی برشی کران دار هستند، ارائه می کنیم

در این پایان نامه گرادیان های تعمیم یافته یا زیر دیفرانسیل ها از توابع غیر مشتق پذیر، تعریف شده روی خمینه های ریمانی مورد بررسی قرار می گیرند و حساب زیر دیفرانسیل متناظر به زیر دیفرانسیل کلارک، بویژه قضیه مقدار میانی لی بورگ و قاعده زنجیری، اثبات می شوند. سپس مخروط های نرمال و مماس به زیر مجموعه های بسته از خمینه های ریمانی، معرفی می شوند و مشخصه سازی هایی از این مخروط ها ذکر می شوند. در ادامه زیر جت مرتبه دوم و زیر جت حدی مرتبه دوم برای توابع نیم پیوسته پایینی تعریف شده روی خمینه های ریمانی، هم چنین حساب زیر جت متناظر به آن ها بررسی می شوند. به عنوان کاربردهای آنالیز غیر هموار روی خمینه های ریمانی، سه زیر مجموعه از خمینه های ریمانی با نام های اپی-لیپ شیتز، p-محدب و تقریباً منظم معرفی می شوند. این مجموعه ها از اهمیت ویژه ای برخوردارند، چون کلاس اول شامل زیر مجموعه های محدب بسته با درون غیر تهی می باشد و کلاس دوم و سوم شامل مجموعه های بسته محدب اند. مشخصه سازی ای از مجموعه های اپی-لیپ شیتز ارائه می گردد و خواص مخروط های مماس و نرمال کلارک متناظر به این مجموعه ها بررسی می شوند. هم چنین به بررسی خواص تابع فاصله و تصویر متریکی متناظر به زیر مجموعه های p-محدب و تقریباً منظم از خمینه های ریمانی خواهیم پرداخت. در ادامه به بیان کاربردهای آنالیز غیر هموار در نظریه مورس می پردازیم. با توجه به مشخصه سازی ای که از مجموعه های اپی-لیپ شیتز داریم، ثابت می کنیم مجموعه های اپی-لیپ شیتز در خمینه های ریمانی کامل، همسایگی های درون بر هستند. سپس تعمیم نا همواری از اصل باریکه نابحرانی برای نظریه مورس را ثابت می کنیم. در پایان، با استفاده از مفهوم جدید درجه توپولوژیکی، برای نگاشت های مجموعه مقدار تعریف شده روی خمینه های ریمانی از بعد متناهی به کلاف مماس، مشخصه اویلر متناظر به زیر مجموعه های اپی-لیپ شیتز از خمینه های ریمانی توازی پذیر کامل، را تعریف می کنیم. شرط کافی برای یک بودن مشخصه اویلر متناظر به زیر مجموعه های اپی-لیپ شیتز را بیان کرده و با استفاده از نتایج به دست آمده، به حل مسائل نظریه تعادل می پردازیم.

در این رساله شرایط بهینگی کان-تاکر قوی را بررسی می کنیم. در حالتی که مسا‎‎‏یل بهینه سازی به صورت تک هدفه در نظر گرفته می شوند، شرایط لازم کاروش-کان-تاکر ‏طوری ‏بیان می شوند که ضریب متناظر با تابع هدف مثبت باشد. برای مساله ی بهینه سازی چندهدفه این شرایط، که اینجا شرایط کان-تاکر خوانده می شوند، به گونه ای هستند که بردار متناظر به تابع هدف مخالف صفر است و در نتیجه ممکن است که برخی از مولفه های تابع هدف در مساله ی بهینه سازی اهمیت خود را از دست بدهند. برای جلوگیری از این پدیده از شرایط کان-تاکر قوی استفاده می کنیم که در آن همه ی درایه های بردار متناظر به تابع هدف مقادیر مثبت دارند. برای بررسی این گونه شرایط‏، مساله ی بهینه سازی را در حالت ناهموار در نظر می گیریم، یعنی فرض می کنیم که توابعی که در مساله وجود دارند الزاماً مشتق پذیر و یا محدب نیستند. برای دستیابی به شرایط لازم نیازمند توصیف قیدی هستیم. از این رو‏، برخی از توصیف های قیدی متداول را به حالت ناهموار تعمیم می دهیم و روابط میان آنها را بررسی می کنیم. همچنین‏، از نوع تحدب تعمیم یافته توابع بهره می بریم و با استفاده از آنها به این پرسش پاسخ می دهیم که اگر یک نقطه شرایط لازم بهینگی را داشته باشد آنگاه تحت چه شرایطی این نقطه الزاماً یک نقطه ی بهینه است. در حالت خاص مساله ی دوگان متناظر با مساله ی اولیه را تعریف و قضایای دوگانی را بررسی می کنیم.

برای حل مسائل چند منبعه ی وبر هر تکرار از الگوریتم مکان یابی-تخصیص شامل یک فاز مکان یابی و یک فاز تخصیص است. وظیفه فاز مکان یابی حل تعداد متناهی از مسائل تک منبعه ی وبر است که از نزدیک ترین کلاس بندی مرکزی مجدد برای مشتری ها از فاز تخصیص قبلی نتیجه شده است. این تحقیق، حالت خاص و تعمیم یافته از مسئله ی چند منبعه ی وبر با قیود را در نظر می گیرد. به ویژه، یک رهیافت نابرابری تغییراتی برای حل مسئله ی تک منبعه ی تعمیم یافته ی وبر شرکت داده می شود. همچنین الگوریتم های نوینی برای حل مسائل وبر فراهم شده است. درنهایت یک سوال باز براساس مسئله ی تعمیم یافته ی وبر ارائه می شود.

مسائل برنامه ریزی دوسطحی نوع خاصی از مسائل بهینه سازی ریاضی هستند که در آن ها مجموعه ی متغیرها به دو قسمت ‎(x,y)‎ تقسیم می شوند، به طوری که متغیر ‎y‎، جواب بهینه ی یک مسئله ی بهینه سازی پارامتریک بر حسب متغیر ‎x‎ است؛ لذا یک مسئله ی برنامه ریزی دوسطحی، در مفهوم سلسله مراتبی به شمار می رود که برخی از قیود آن، توسط یک مسئله ی بهینه سازی دیگر تعریف می شوند. کاربرد گسترده ی مسائل برنامه ریزی دوسطحی در اقتصاد، مهندسی، پزشکی و زیست شناسی و ‎...‎، ریاضی دانان را به بررسی مدل های ریاضی جدید، و طراحی روش های حل آن ها ترغیب نموده است. اهمیت این دسته از مسائل باعث شده است که محو‎ر‎ این مطالعه قرار گیرند؛ لذا در این جا، به بررسی مطالب زیر پرداخته می شود: ابتدا مفاهیم پایه ای بهینه سازی و تاریخچه ی مختصری از مسائل برنامه ریزی دوسطحی در فصل ‎1‎، بیان می شود. سپس در فصل ‎2‎، کاربردی از مسائل برنامه ریزی دوسطحی گسسته در مسئله ی حداقل نمودن جریمه ی نقدی حمل ونقل گاز طبیعی معرفی شده که منجر به ارائه ی یک مدل ریاضی برای حل این مسئله می شود؛ آن گاه با انجام تغییراتی مجاز در مسئله ی مفروض، حل مدل گسسته ی ارائه شده توسط دو مسئله ی کمکی خطی امکان پذیر می شود و بدین صورت با رهایی از دشواری های حل مسائل برنامه ریزی دوسطحی گسسته، رویکری برای حل مسئله ی اولیه ارائه می شود. در فصل ‎3‎، یک مسئله ی برنامه ریزی دوسطحی خطی در ساده ترین شکل ممکن، یعنی در غیاب قیود سطح بالا، با اِعمال شرایط بهینگی‎ کان ناکر‎ بر مسئله ی سطح پایین، به یک مسئله ی تک سطحی تبدیل می شود؛ سپس قیود تعریفی مکمل کمبود، به صورت مضربی از یک پارامتر جریمه به تابع هدف مسئله ی سطح بالا الحاق می گردند؛ بدین ترتیب، یک مسئله ی تک سطحی با قیود خطی و تابع هدف غیرخطی به دست می آید و آن گاه با افزودن مفروضاتی متعادل به مسئله، الگوریتمی کاربردی برای حل آن پیشنهاد می شود. در آخر هم برای صحت بخشیدن به الگوریتم پیشنهادی، مثالی عددی ارائه می شود. اما روش‎ کان ناکر،‎ با وجود کاربرد قابل توجه آن در حل مسائل برنامه ریزی دوسطحی خطی، دارای نقاط ضعفی نیز می باشد که از آن جمله می توان به عملکرد نامناسب آن در مواقعی که قیود در سطح بالا از شکل خطی خاصی برخوردارند، نام برد. در فصل ‎4، با معرفی اصول علمی این روش و اصلاح تعریف جواب مسائل برنامه ریزی دوسطحی خطی، نوع توسعه یافته ای از روش ‎کان ناکر‎ جهت حل طیف گسترده تری از این مسائل ارائه می شود. در فصل ‎5‎ نیز که آمیخته ای از دو فصل قبلی است، با استفاده از روش‎ کان ناکر‎ توسعه یافته، الگوریتم پیشنهادی در فصل ‎3‎، برای حل مسائل برنامه ریزی دوسطحی خطی در شکل کامل آن ها، یعنی در حضور همه ی قیود سطح بالا و پایین، توسعه داده می شود. سرانجام با ارائه ی مثالی، این فصل نیز خاتمه می یابد. برنامه هایی نیز جهت حل مثال های ذکر شده در فصول قبلی، به همراه خروجی آن ها، در ‎پیوست ضمیمه شده اند.

مکانیک کلاسیک با کارهای پیشروانه ریاضی فیزیکدانان اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم، دارای یک صورت بندی هندسی روی فضاهای همتافته شد. از طرف دیگر مکانیک کوانتومی به طور مشخص دارای ساختار محدود به فضاهای اقلیدسی ندارد. از همان دوران شروع مکانیک کوانتومی تلاش هایی صورت می گرفت که این ضعف مکانیک کوانتومی مرتفع و نظریه دارای ساختار مستقل از مختصات خاص شود. کوانتش یعنی با آگاهی از توصیف کلاسیک یک ساختار فیزیکی، توصیف کلاسیکی آن را بازسازی کنیم. برای توصیف سامانه هایی که به علت داشتن نوعی تقارن، دارای درجات آزادی کمتری هستند مجبور به کاهش دادن فضای فاز آن ها هستیم و همچنین سامانه هایی که فضای فاز آن ها خمینه باشد ما را برآن می دارد که به دنبال روشی برای کوانتش باشیم که مکانیک کوانتومی را روی فضای فاز کلاسیک با هندسه ای اختیاری بنا کند. به این ترتیب ساختا مکانیک کلاسیک در مکانیک کوانتومی بازتاب یابد. در واقع به دنبال ارائه ی صورت بندی هندسی مکانیک کوانتومی هستیم که در همه ی دستگاه های مختصات سازگار باشد.

مفهوم‎ یکنوایی بیشین در فضاهای باناخ‏، به خمینه های ریمانی با خمیدگی برشی نامثبت‏، خمینه های هادامار‏، تعمیم می یابد و ثابت می شود که با مفهوم نیم پیوسته بالایی معادل است. و یک روش نقطه تقریبی برای جواب عمومی مسئله ارائه می دهیم‏، که تعمیمی از الگوریتم نقطه تقریبی شناخته شده در فضاهای اقلیدسی است. نشان می دهیم دنباله ی تولید شده توسط الگوریتم نقطه تقریبی خوش تعریف است و همگرا به تکین میدان برداری یکنوای بیشین است. همچنین‏، کاربردهایی در مسائل مینیمم سازی مقید‏، مسائل مینیمم سازی‏ و مسائل نابرابری تغییراتی‏، در غالب خمینه های هادامار ارائه می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا به تعریف مفهوم مینیمم های دقیق ضعیف روی خمینه های ریمانی می پردازیم‏.‏ سپس انواع مختلف این مفهوم شامل مینیمم های شارپ ضعیف موضعی‏، مینیمم های دقیق ضعیف کراندار و مینیمم های دقیق ضعیف سرتاسری را برای مسائل محدب روی خمینه های ریمانی از بعد متناهی مشخصه سازی می کنیم. در ادامه با فرض اینکه خمینه ی مورد نظر هادامار باشد‎‏؛ مشخصه سازی های دیگری را نیز به آنچه در حالت کلی خمینه‎های‎ ریمانی بدست آوردیم می افزاییم. در پایان‏، با ارائه ی مثال هایی کاربرد مشخصه سازی های به دست آمده را در فضایی ملموس نشان می دهیم.

در این پایان نامه با معرفی سیستم فارکاش-مینکوفسکی، سیستم موضعا فارکاش- مینکوفسکی شرط تعمیم شرط اسلیتر، شرایط بهینگی را برای مسایل برنامه ریزی نیم-نامتناهی بررسی می کنیم. مسیله برنامه ریزی نیم-نامتناهی یک مسیله بهینه سازی با تعداد متناهی متغیر و تعداد نامتناهی قید است. این کاربردهایی در زمینه های متفاوت از ریاضیات اقتصاد و مهندسی دارد.

در این پایان نامه به مطالعه خمینه های زیر ریمانی می پردازیم،این خمینه ها توسط متری به نام متر زیر ریمانی معرفی میشوند. متر زیر ریمانی همانند حالت ریمانی تعریف میشود با این تفاوت کهدو فرم هموار ومعین مثبت روی زیر کلاف مولد کروشه لز کلاف مماستعریف میشود.با استفاده ازاین متر طول خم و ژئودوزی های نرمال برای خم های طویل یا خم های افقیتعریف می شوند و سپس با استفاده از جواب معادلات همیلتون-ژاکوبی ژئودوزی موردنزر بدست می آید. همچنین به تعریف نگاشت نمایی پرداخته و خواص این نگاشت رابرای خمینه های زیر ریمانی بررسی می کنیم.

در این تحقیق مسئله ی نابرابری های تغییراتی را روی خمینه ی ریمانی مطرح می کنیم و پس از آن به بررسی وجود و یکتایی جواب برای مسئله ی نابرابری های تغییراتی روی خمینه های ریمانی می پردازیم و مسئله ی باز مطرح شده در این زمینه را مورد بررسی قرار می دهیم. هم چنین ارتباط بین مسئله ی نابرابری تغییراتی و مسئله ی بهینه سازی مقید را بیان می کنیم. مفاهیم افزایندگی و یکنوایی را روی خمینه های ریمانی تعریف نموده و ارتباط بین این دو مفهوم را مطالعه می کنیم. سپس ثابت می کنیم که هر دو مفهوم در خمینه های هادامار معادل می باشند. هم چنین به هم ارزی بین تحدب قوی توابع و یکنوایی قوی زیر دیفرانسیل هایش روی خمینه های ریمانی می پردازیم.

در این کار پژوهشی به بررسی رده ی خاصی از خمینه های اینشتین همگن می پردازیم که فضاهای بوگینو-دامک-ریچی نامیده می شوند. برای این منظور انحنای برشی این گونه فضاها را مورد مطالعه قرار داده و رابطه ای صریح برای انحنای برشی و همچنین تبدیل ریچی آن ها ارائه می دهیم. در ادامه یک شرط کافی برای این که فضاهای بوگینو-دامک-ریچی انحنای برشی نامثبت داشته باشد را به دست آورده و به ساخت فضاهای اینشتین از نوع بوگینو-دامک-ریچی می پردازیم طوری که فضاهای اینشتین از نوع دامک-ریچی نباشند. همچنین نشان می دهیم فضاهای اینشتین از نوع بوگینو-دامک-ریچی نامتقارن با انحنای برشی منفی وجود دارند.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.