الگوریتم های کوانتومی در سالهای اخیر توجه زیادی را به خود جلب کرداند .چرا که برخی از الگوریتم های کوانتومی ? کارایی محاسبات را به مقدار زیادی افزایش داده اند بطور مثال :الگوریتم شُر ? الگوریتم گرور و ... اخیراً نمونه ی جدیدی از محاسبات برپایه ی تحول آدیاباتیک پیشنهاد شده است . در الگوریتم آدیاباتیک کوانتومی حالت حافظه ی کوانتومی تحت یک هامیلتونین بطور پیوسته و به آرامی تغییر می کند ? تحول می یابد . در شروع ?حالت سیستم در حالت پایه ی هامیلتونین اولیه است اگر هامیلتونین سیستم به اندازه ی کافی به آرامی متحول شود ؛ نظریه ی آدیاباتیک تضمین می کند که حالت نهایی سیستم ? حالت پایه ی هامیلتونین نهایی است . اگر ما جواب را در حالت پایه ی هامیلتونین نهایی رمزنگاری کنیم بعد از تحول آدیاباتیک کوانتومی با اندازه گیری ?حالت نهایی سیستم به احتمال بالا به جواب می رسیم . برخی از الگوریتم های کوانتومی ?با تحول آدیاباتیک مجدداً تولید شده اند.

در هم تنیدگی یکی از شگفت انگیزترین جنبه های مکانیک کوانتومی است. تشخیص حالت های کوانتومی درهم تنیده و تعیین میزان در هم تنیدگی آنها از مهمترین مباحث نظریه اطلاعات کوانتومی است. برای این منظور، سه رهیافت مهم وجود دارد. رهیافت اول، استفاده از معیارهایی است که به صورت کیفی و گاهی نیز به صورت کمی، درهم تنیدگی یک حالت کوانتومی را مشخص می کنند. از میان معیارهای موجود، در این پایان نامه معیارهای پرز، هورودکی، برد، کاهش، بازآرایی ماتریسی و بی نظمی را مورد مطالعه قرار می دهیم و با اعمال هر کدام از این معیارها بر حالت های کوانتومی مهمی همچون حالت های ورنر و حالت های بیشینه درهم تنیده بل، نقاط ضعف و قوت هر کدام از آنها را بررسی می کنیم. رهیافت دوم که کمّی تر است و میزان در هم تنیدگی یک حالت را مشخص می کند، استفاده از مفهوم سنجه درهم تنیدگی است. سنجه های مهمی چون سنجه درهم تنیدگی شکل یابی، سنجه توافق، سنجه منفی بودن و سنجه هندسی در هم تنیدگی، توابعی ریاضی اند که با اثر کردن بر روی یک حالت کوانتومی(ماتریس چگالی)، میزان درهم تنیدگی آن حالت را معین می کنند. اعمال این سنجه ها بر برخی حالت های کوانتومی و بررسی ویژگیهای آنها و نیز ارتباط آنها با یکدیگر، نتایج جالبی را در مورد کارآیی و اهمیت مفهوم سنجه درهم تنیدگی به دست می دهد. گرچه تلاش برای یافتن معیارها و سنجه های جدید همچنان ادامه دارد، اما به طور قطع و یقین نمی توان گفت کدام معیار یا سنجه، کارآیی و جامعیت بیشتری دارد زیرا هرکدام از آنها در بررسی رده خاصی از حالت ها مفید است. رهیافت سوم برای تشخیص حالت های در هم تنیده، استفاده از مفهوم شاهد درهم تنیدگی است. شاهد درهم تنیدگی عملگری هرمیتی است که مقدار چشمداشتی آن با ماتریس چگالی حالت مورد مطالعه، آزمون کارآمدی برای تعیین درهم تنیدگی است. چه بنا به قضیه هان-باناخ، یافتن شاهدی که مقدار چشمداشتی آن با ماتریس چگالی مورد نظر منفی است، نشان دهنده درهم تنیده بودن حالت مذکور است. اما آنچه که برای ما اهمیت دارد، ساختن شاهدهایی است که چنین خصوصیتی داشته باشند. در این پایان نامه دو روش مهم ساختن شاهد یعنی استفاده از عملگرهای موضعی متعامد) loo ( و بهینه سازی به روش برنامه ریزی خطی را مورد مطالعه قرار داده و با استفاده از آن تلاش می کنیم تا برای یک حالت کوانتومی نمونه، شاهدی بسازیم که حدود درهم تنیدگی آن را مشخص کند.

مقدمه یکی از همبستگی های کوانتومی درهم تنیدگی و ناسازگاری کوانتومی است، که اهمیت بزرگی در نظریه اطلاعات کوانتومی دارند. درهم تنیدگی کوانتومی یکی از مباحث مکانیک کوانتومی است [62]. حالتهای کوانتومی دو سیستم که از لحاظ فیزیکی جدا از هم می باشند و در گذشته با هم اندرکنش داشته اند می-توانند در پاسخگویی به بسیاری از سوالات در خصوص پیامدهای اندازه گیری موضعی کارساز باشند. حالتهای کوانتومی خالص درهم تنیده آنتروپی صفر دارند، اما به نظر می رسد وقتی که فرد مشاهده کننده تنها به یکی از زیرسیستم ها دسترسی دارد، این حالتها می توانند آنتروپی بیشینه داشته باشند. در مدل های کلاسیکی، وجود هرگونه رابطه-ای بین اندازه گیری های موضعی روی سیستم های جدا از هم ممنوع است. اما در مدل های کوانتومی، اندازه گیری های موضعی روی سیستم های کوانتومی جدا از هم تا حدود معینی می توانند با هم رابطه داشته باشند. نامساوی های بل این حدود را مشخص می کنند [63] و نقض نامساوی های بل مستلزم درهم تنیدگی است. برای مورد حالتهای خالص تعیین شرط درهم تنیدگی بسیار ساده است. زیرا مبتنی بر خواص تجزیه اشمیت یا به طور معادل مرتبه-ی ماتریس های چگالی کاهیده است، که به صورت سرراست محاسبه می شود. اما برای مورد حالت های دو قسمتی آمیخته هیچ روش منحصربه فردی یافته نشده است که به طور تضمینی بتواند درهم-تنیدگی هرحالت در هم تنیده را تشخیص دهد. از همبستگی های کوانتومی دیگر ناسازگاری کوانتومی است که به درهم تنیدگی ارجحیت دارد [1-2]، که می تواند همبستگی اش بیشتر از در هم تنیدگی باشد. ناسازگاری کوانتومی در سال 2001 توسط الیور و زورک مطرح شد به طور مستقل هندرسون و ودرال در این زمینه کار کردند [1-2]. الیور و زورک همبستگی های کوانتومی را اندازه گیری کردند. از کار این دو گروه پژوهشی آن است که همبستگی های کوانتومی در حالت های جدای آمیخته حتمی می تواند وجود داشته باشد. ناسازگاری کوانتومی می تواند بیشتر حالت های کوانتومی را چه درهم تنیده باشد و چه نباشد را اندازه گیری کند همچنین آن حالت-هایی که درهم تنیدگی قادر به تشخیص همبستگی کوانتومی حالت ها نیست می تواند تشخیص دهد. چنین همبستگی هایی به طور آزمایشی در دمای اتاق در سیستم رزونانس مغناطیس هسته ای با استفاده از کلروفرم برای سیستم کوانتومی دو کیوبیتی می تواند اثبات شود. ناسازگاری پایه ای برای انجام محاسبات کوانتومی سیستم های کوانتومی حالت آمیخته است. ناسازگاری برای محیط های اتلافی نسبت به درهم تنیدگی انعطاف پذیرتر می باشد که با مقایسه دینامیک آن با تلاقی مشاهده می کنیم ناسازگاری برای محیط های مارکو و محیط های غیرمارکو یکسان است. کارایی ناسازگاری کوانتومی برای یک کامپیوتر کوانتومی مناسب تر است که هم به-طور نظری [3] و هم به طور آزمایشی [4] تایید شده است. مطالعه ناسازگاری کوانتومی می تواند کاربردهای صنعتی داشته باشد. آن می تواند در فرایندهای اطلاعات کوانتومی مانند ترابرد کوانتومی ، رمزنگاری کوانتومی ، محاسبات کوانتوی و مخابرات کوانتومی استفاده شود. ناسازگاری کوانتومی یک معیار کمی غیرکلاسیکی برای تشخیص همبستگی سیستم های دو قسمتی می باشد. مطالعه زیادی در مورد ناسازگاری کوانتومی انجام گرفته است. با وجود این سعی و تلاش، بدست آوردن نتیجه تحلیلی ناسازگاری کوانتومی از روش بهینه سازی برای حالتهای دو-قسمتی دلخواه آسان نیست. حتی برای سیستم های دو کیوبیتی نتیجه تحلیلی برای حالت های محدود شناخته شده است [5-11] و فاقد یک روش کلی است. یک روش برای تجزیه تحلیلی استفاده از معیار هندسی ناسازگاری کوانتومی(gmqd) است و می تواند یک روش برای همبستگی-های گوناگون در شرایط یکسان استفاده شود. معیار هندسی ناسازگاری کوانتومی مشابه معیار هندسی درهم تنیدگی است [28] و برای نزدیک ترین فاصله بین حالت داده شده و مجموعه حالت-هایی با ناسازگاری صفر تعریف شده است که در اینجا برای فاصله بین حالت ها از نرم هیلبرت- اشمیت استفاده می کنیم. زیرا برای سیستم های دو کیوبیتی کمینه سازی فاصله بین حالت داده شده و حالت هایی با ناسازگاری صفر در فضای هیلبرت–اشمیت به طور تحلیلی بررسی شده است. [19] ناسازگاری کوانتومی روی آنتروپی وان نویمن پایه گذاری می-شود در حالی که معیار هندسی آن روی فاصله هندسی پایه گذاری شده که رفتارشان ممکن است متفاوت باشد. رفتارهای معیار هندسی ناسازگاری کوانتومی (gmqd)تحت ناهمدوسی را بررسی می-کنیم و آن را با ناسازگاری کوانتومی مقایسه می کنیم. این بررسی برای معیار هندسی ناسازگاری کوانتومی تحت ناهمدوسی است که ما در اینجا برای ناهمدوسی سه نوع کانال ناهمدوسی مطرح می کنیم که عبارتند از کانال میرایی فاز (dpc)، کانال واقطبنده (pdc)و کانال میرایی دامنه (adc) و نتیجه تحلیلی آن را به دست می آوریم. نشان می دهیم که (gmqd) نسبت به ناسازگاری کوانتومی غیرکاهشی است و ممکن است ناسازگاری کوانتومی ثابت نگه داشته شود در حالی که آن کاهش می یابد. نشان می دهیم که در بعضی حالت ها تغییر ناگهانی در سرعت واپاشی هر دو مورد در یک زمان صورت می گیرد. البته این همیشه درست نیست. همواره تغییرناگهانی در سرعت واپاشی (gmqd) باعث تغییر ناگهانی در سرعت واپاشی ناسازگاری کوانتومی نمی شود و برعکس. هر حالت را به وسیله مثال هایی اثبات می کنیم، همچنین یک تحلیل کلی برای تغییرناگهانی سرعت واپاشی هر دو مورد ارائه می دهیم. نشان می دهیم که کمترین مقدار برای حالت های قطری بل می باشد که تغییر ناگهانی در سرعت واپاشی هر دو به طور هم زمان اتفاق می افتد. همچنین خواص معیار هندسی ناسازگاری کوانتومی را بررسی می کنیم که این بررسی برای حالتهای ورنر و (mems) می باشد. با بررسی سیستماتیک روی فضای حالتهای دو کیوبیت اثبات می-کنیم که معیار هندسی برای نشان دادن ناسازگاری کوانتومی است. همچنین در مورد بستگی ناسازگاری کوانتومی به میزان آمیختگی حالت های دو قسمتی بحث می کنیم. در فصل اول این پایان نامه پس از ارائه ی تعاریف ضروری و لازم مربوط انواع آنتروپی ها، آنتروپی شانون، آنتروپی وان نویمن، آنتروپی الحاقی و آنتروپی شرطی را بیان کرده ایم سپس مبحث ناهمدوسی و انواع کانال های ناهمدوسی مطرح شده است. در فصل دوم به همبستگی های کوانتومی، درهم تنیدگی و ناسازگاری کوانتومی پرداخته ایم. در قسمت اول این فصل درهم-تنیدگی را تعریف می کنیم و از شرط های درهم تنیدگی شرط پِرز و از سنجه های درهم تنیدگی سنجه آنتروپی وان نویمن و سنجه ی تلاقی را بیان می کنیم. در قسمت دوم این فصل ناسازگاری کوانتومی را تعریف کرده و ویژگی های آن را بیان می کنیم. از ویژگیهای ناسازگاری کوانتومی این است که متقارن بوده و همیشه مثبت است. در فصل سوم ابتدا معیار هندسی ناسازگاری کوانتومی را مطرح کرده و نشان می دهیم که معیار هندسی ناسازگاری کوانتومی یک حالت دو کیوبیتی مربوط به مقدارهای منفرد یک ماتریس 3×4 است. همچنین یک روش کلی برای به دست آوردن معیار هندسی ناسازگاری کوانتومی تحت کانال های ناهمدوسی کوانتومی بیان کرده و نیز یک نتیجه تحلیلی برای سه نوع کانال ناهمدوسی کوانتومی ارائه می دهیم. تغییر ناگهانی درسرعت واپاشی معیار هندسی ناسازگاری کوانتومی را تحقیق کرده و آن را با حالت ناسازگاری کوانتومی مقایسه می کنیم و یک تحلیل کلی روی اختلاف بین سرعت واپاشی معیار هندسی ناسازگاری کوانتومی و ناسازگاری کوانتومی بیان می کنیم. درفصل چهارم ویژگی های گوناگون معیار هندسی ناسازگاری کوانتومی و روابطش با درجه آمیختگی حالت کوانتومی یک سیستم چندقسمتی بررسی می شود.

محاسبات کوانتومی بی دررو مدل جذابی از محاسبات کوانتومی است که مبتنی بر روش هامیلتونینی است. در این نوع محاسبات، مساله محاسباتی در یک سیستم فیزیکی مناسب کدگذاری می شود به طوری که حالت پایه، جواب مساله مورد نظر باشد. با در نظر گرفتن یک سیستم isingبا تعداد نه کیوبیت که به محیط اهمی جفت شده است، ما تحول زمانی یک کامپیوتر کوانتومی بی دررو را در حضور این محیط در نظر می گیریم. ثابت می کنیم که زمان محاسبه نظیر زمان محاسبه برای یک سیستم ایزوله است و توسط زمان ناهمدوسی تک کیوبیته محدود نمی شود. برای گاف انرژی کوچک، سیستم مورد نظر می تواند بوسیله مدل دوحالته موثر که بصورت طولی به محیط جفت شده است در نظر گرفته شود.

در این پایان نامه شاهدهای درهم تنیدگی خطی را بررسی وسپس به منظور این که مجموعه حالت های جداپذیر را بهتر تقریب بزنیم ارتقا شاهد های خطی را توسط جملات غیرخطی به روش های تکرار ، ماتریس هموردا و شاهد درهم تنیدگی غیر خطی دسترس پذیرمطالعه کردیم. پی بردیم که شاهدهای غیرخطی درمقایسه با شاهدهای خطی متناظر حالت های درهم تنیده به مراتب بیشتری را تشخیص می-دهند. در همه مثال هایی که در مقالات علمی در نظر گرفته شده است ، شاهد های در هم تنیدگی خطی ، تجزیه پذیر و حالت های درهم تنیده دارای ترانهاد جزئی غیر مثبت هستند . یکی از کارهایی که درآینده می توان انجام داد بررسی ارتقاء شاهدهای خطی تجزیه ناپذیر به شاهد های غیرخطی است که می توانند حالت های درهم تنیده دارای ترانهاد جزئی مثبت را تشخیص دهند .

امروزه پژوهشگران ایده های زیادی برای ساخت کامپیوتر های کوانتومی ارایه داده اند. باتوجه به مطالبی که در مورد کاربرد های در همتنیدگی مطرح شده است همبستگی کوانتومی دیگری به جز درهمتنیدگی پیدا شده که ادعا بر این است که کارآیی آن بهتر از درهمتنیدگی است و حتی در مواردی که درهمتنیدگی در سیستم صفر می باشد باز ناسازگاری کوانتومی وجود دارد. ما در این پایان نامه دو همبستگی کلاسیکی و کوانتومی را تعریف کرده و نحوه ی محاسبه ی آن ها را مورد بررسی قرار خواهیم داد سپس با تعریف بعضی از معیارهای درهمتنیدگی آشنا خواهیم شد. در ادامه ناسازگاری کوانتومی را تعریف کرده و مشکل محاسبه ی آن را مطرح خواهیم کرد و در نهایت به تفاوت های ناسازگاری کوانتومی و درهمتنیدگی و همبستگی کلاسیکی خواهیم پرداخت. باتوجه به نموداری که بر حسب ناسازگاری کوانتومی و میزان درهمتنیدگی رسم گردیده است می بینیم که در حالت کلی ناسازگاری کوانتومی با درهمتنیدگی در حال افزایش است تا اینکه برای حالات خالص مقادیر یکسانی پیدا می کنند و مرزهای این نمودار توسط حالات و مشخص می گردد. در نموداری که بر حسب ناسازگاری کوانتومی و آنتروپی خطی رسم شده است دیده می شود که حالت و حالات با بیشترین درهمتنیدگی (mems) هر دو زیری از حالات دو پارامتری هستند.

طی این کار، راهکارهایی جهت یافتن سنجه هندسی متقارنی برای همبستگی کوانتومی ارائه میگردد که بصورت فاصله hs میان حالت معلوم و حالت منزوی micc ( که از اثر عملگر تصویر روی حالت دوجزئی حاصل می شود) تعریف می شود. همچنین سیستم های دو کیوبیتی با روش ساده ای بهینه خواهند شد که از آن جمله کاهش بهینه دو طرفه به یکطرفه است و نیز نتایجی تحلیلی برای برخی از کلاسهای ویژ? حالات دو کیوبیتی ارائه خواهند شد. برای ناسازگاری نیز طبق مرجع اعلام شده با روشی مستقیما آن را برا ی هردو مثال داده شده حل کرده و در انتها دینامیک همبستگی کوانتومی و ناسازگاری کوانتومی را تحت اثر کانال ad بررسی کرده و جنبه های نه چندان بی اهمیت مربوط به همبستگی را ذکر خواهیم کرد که از آن جمله: 1: همبستگی کوانتومی میتواند افزایش یابد، 2: همبستگی کوانتومی میتواند یطور ناگهانی تغییر یابد. و چنتنچه که گفته خواهد شد، همبستگی کوانتومی مربوط به محیطها با صفر شروع شده و افزایش میابند و بطور مجانبی به مقدار همبستگی کوانتومی اولی? سیستم ها تبدیل میشوند. همچنین این دیدگاه را بدست می آوریم که اگر مینیمم فاصله هیلبرت اشمیت راجع به micc و یا بطور کلی راجع به cc باشد، سنجه ما یک سنجه جهتدار خواهد بود.

درهمتنیدگی و ناهمخوانی کوانتومی دو نوع مهم همبستگی کوانتومی هستند که بیشتر محاسبات کوانتومی بر پایه ی آن ها می باشد. ناهمخوانی کوانتومی مفهومی کلی تر از درهمتنیدگی است چراکه ناهمخوانی برای بعضی حالت های جداپذیر با درهمتنیدگی صفر می تواند وجود داشته باشد. این همبستگی های کوانتومی نقش بسزایی در افزایش سرعت انتقال اطلاعات در سیستم های کوانتومی ایفا می کنند. ما در این پایان نامه گیت های کوانتومی ای را معرفی می کنیم که باعث تولید درهمتنیدگی و ناهمخوانی کوانتومی می شوند. بدین منظور درهمتنیده کننده های کامل و کامل ویژه را موردبررسی قرار می دهیم، یعنی گیت هایی که با تأثیر روی حالت های جداپذیر حالت هایی با حداکثر درهم تنیدگی را تولید می کنند. همچنین گیت هایی وجود دارند که با تأثیر روی حالت های کلاسیک-کلاسیک با خلوص معین، می توانند ناهمخوانی بیشینه را تولید کنند که به این گیت ها بهترین ناهمخوانی کننده می گویند و نیز ماتریس های چگالی با رتبه های 3،2و4 را موردبررسی قرار می دهیم طوری که گیت های کوانتومی را روی آن ها اثر می دهیم تا ببینیم کدام گیت می تواند حالت های mdms (حالت های آمیخته با ناهمخوانی بیشینه) را تولید کنند. درنهایت دیده خواهد شد که گیت قدرتی جادویی دارد چراکه هم بهترین ناهمخوانی کننده و هم درهمتنیده کننده کامل است و با تأثیر روی ماتریس های چگالی با رتبه های مختلف، می تواند حالت های mdms را تولید کند.

در مدل jayns-cumming یک اتم دو ترازه با میدان کاواک را در نظر می گیریم که اتم دو ترازه در حالت اولیّه، حالت تعادل گرمایی است و میدان کاواک در حالت اولیّه، n فوتون فوک است. نتیجه ای که از این مدل می گیریم این است که به رفتارهای نوسانی ناهم خوانی کوانتومی پی می بریم و همچنین اگر تعداد فوتون در کاواک افزایش یابد فرکانس نوسانی نیز افزایش می یابد. و مدل دیگری که در نظر گرفته ایم مدل tavis-cumming است که در این مدل دو کاواک داریم که در هر کاواک دو اتم قرار دارد در حالی که در مدل قبلی فقط یک اتم داشتیم که در این مدل علاوه بر، بررسی تحول ناهم خوانی کوانتومی، از طریق تلاقی به بررسی تحول درهمتنیدگی نیز می پردازیم. که دو اتم در حالت اولیه، درهمتنیده هستند و دو اتم دیگر در حالت اولیّه، در حالت پای? خود قرار دارند و مد کاواک نیز در حالت اولیّه در خلأ قرار دارد و نتیجه ای که از این مدل می گیریم در تحول زمانی ناهم خوانی کوانتومی تنها به صورت حدّی صفر می شود در حالی که درهمتنیدگی به صورت ناگهانی صفر می شود. مدل های دیگری از جمله دو اتم که با یک کاواک پراکنده کننده اندرکنش دارند و همچنین یک مد کاواک با n اتم یکسان دو ترازه که ترازهای حالت برانگیخته و حالت پایه است را مطالعه خواهیم کرد.

روشی را برای تخمین و تعیین پارامترهای مدل آیزینگ حلقه ای در یک میدان عرضی محلی با اندازه گیری روی ذره ی اول ارائه می دهیم.