در این پایان نامه، درباره خم های ماکسیمال و مینیمال بر روی میدان متناهی k بحث می کنیم. روش ما آن است که خم را روی بستار جبری k در نظر بگیریم و به بسیاری از شناسه های خم که نسبت به توسیع های میدان ثابت، تغییر ناپذیرند توجه کنیم. برای نمونه می توان به چندضلعی نیوتن p- ادیک، ماتریس هسه- ویت و p- مرتبه خم اشاره نمود. با به کار بردن این شناسه ها، بسیاری از خم های ماکسیمال و مینیمال کلاسیک همانند خم های فرما، خم های آرتین- شرایر و همچنین خم های ابربیضوی را توصیف می کنیم.

در ابتدا خم جبری تکین و تحویل ناپذیر گاما با گونای g و تعریف شده روی میدان متناهی با q عنصر را در نظر می گیریم. سپس با معرفی مفاهیمی از قبیل بخشیاب ها و سری های خطی روی خم ها و با استفاده از قضایای مختلف از جمله قضیه مهم ریمان-رخ، دنباله مرتبه وایرشتراس متناظر با سری خطی متناظر با خم را می یابیم. سپس با استفاده از این دنباله، کران بالایی برای تعداد نقاط گویای خم یافته و در نهایت با استفاده از این کران و با در نظر گرفتن یک سری خطی مناسب، اثباتی هندسی برای فرض ریمان به دست خواهیم آورد.

چکیده ندارد.

ابتدا یک خم ماکسیمال روی یک میدان متناهی با q^2 عنصر را در نظر می گیریم. گونای خم ماکسیمال روی این میدان دارای کران بالاست که با توجه به این کران به دسته بندی خم های ماکسیمال در مشخصه فرد و زوج می پردازیم. در مشخصه فرد خم ماکسیمال با بزرگترین گونا، خم منحصربفرد 2/(y^q+y=x^(q+1 است. در این پایان نامه با استفاده از مفاهیمی مانند سری های خطی و نقطه های وایرشتراس به دسته بندی خم های ماکسیمال با بزرگترین گونا در مشخصه زوج می پردازیم.

هدف اصلی این پایان نامه معرفی بردارهای ویت می باشد. با استفاده از این بردارها میتوان یک میدان با مشخصه را به یک میدان با مشخصه صفر تبدیل کرد. همانطور که می دانیم مطالعه ی میدان های از مشخصه صفر بسیار ساده تر از مطالعه ی میدان های از مشخصه ی می باشد. بنابراین با استفاده از بردارهای ویت مطالعه ی میدان های از مشخصه آسانتر خواهد شد. همچنین بردارهای ویت نقش بسیار مهمی درمطالعه ی میدان ها ، بخصوص توسیع های دوری از درجه ی ایفا می کنند. پس از معرفی بردارهای ویت، طرح گروهی ویت را نیز بیان خواهیم کرد، و در آخر برخی از خواص فانکتور ویت تودرتو را نشان خواهیم داد.

در این پایان نامه به مطالعه معادلات تعریف کننده ی یک اسکرول می پردازیم.

ابتدا مفاهیم اولیه از خم های جبری با مشخصه مثبت را مطالعه می کنیم .عملگر کارتیر را تعریف می کنیم و خواص آن را بیان و اثبات می کنیم سپس یک تعریف جامع از عملگر کارتیر روی خم های جبری ارائه می دهیم . -p مرتبه یک خم را تعریف می کنیم و ارتباط –pمرتبه خم را با عملگر کارتیر مورد بررسی قرار می دهیم . در صورتی که گونای یک خم با –pمرتبه آن برابر باشد خم فوق را یک خم عادی می نامیم .تابع زتا را تعریف می کنیم و ارتباط تابع زتا با –pمرتبه خم را بیان می کنیم .تعریفی از خم های آرتین –شرایر ارائه می دهیم و با استفاده از عملگر کارتیر خم های آرتین –شرایر عادی را شناسایی می کنیم و همچنین مثالهایی از خم های آرتین –شرایر عادی بیان می کنیم . در انتها ویژگی خم های بیضوی را برشمرده و تعریفی از خم های بیضوی عادی و ابرتکین ارائه می دهیم و در نهایت مثال هایی از خم های بیضوی عادی و ابرتکین بیان می کنیم .

هدف این پایان نامه، معرفی و بررسی خوریختی های کدهای هندسه جبری و ارتباط آن با خودریختی های میدان توابع جبری است. از آنجا که از دید رسته ای میدان توابع جبری هم ارز با برخی ساختارهای جبری دیگر نظیر سطوح ریمان هستند، یافتن ارتباط بین این دو دسته خودریختی می تواند کمک زیادی در شناسایی خودریختی های کدها و در نتیجه رده ی بزرگی از کدها شامل کدهای دوری باشد. لذا در این پایان نامه پس از معرفی کد، میدان تابع و کدهای هندسه جبری، خودریختی کدهای هندسه جبری و یکریختی آن با خودریختی های رده ی خاصی از میدان توابع جبری مطالعه خواهند شد.

در سال ????، گوپا یک کلاس جدید از کدهای خطی به دست آمده از خم های جبری روی میدان های متناهی با عنوان کدهای گوپای هندسی یا کدهای هندسه جبری را معرفی کرد. ایده ی اصلی او وابسته کردن کدهای خطی به بخش یاب ها و خم های جبری بود. یک کد خطی یک زیر فضای خطی از f_q است که f_qیک میدان میدان با q= p^n (p اول) عضو است. مساله ی محاسبه ی کوتاه ترین فاصله ی کدهای گوپای هندسی تحقیق روی کدهای mds، به دست آمده از خم های جبری را هدایت کرد. یک کد خطی از طول n، بعد k و کوتاه ترین فاصله ی d، mds است اگر و تنها اگر d=n-k+1. نامساوی d ?n-k+1 به عنوان کران منفرده شناخته شده است. از آن جا که mds کدها بزرگترین، کوتاه ترین فاصله ی ممکن برای n و k داده شده را دارند کدهای قوی ای به نظر می رسند. از آن جا که میدان توابع و بخش یاب ها به طور دل خواه انتخاب می شوند، کلاس کدهای گوپای هندسی یک کلاس قوی از کدهای خطی می باشد. هدف از این پایان نامه مطالعه ی نوع خاصی از کدهای هندسه جبری به نام کدهای بیضوی است. برای این کدها داریم d=n-k+1 یا d=n-k. بنابراین این کدها اگر mds نباشند آن گاه d=n-k. سه ساختار از این کدها را معرفی و مورد بررسی قرار خواهیم داد و شرایطی را بررسی می کنیم که این کدها به یک mds-کد منتج می شوند.

از آنجا که می دانیم سامانه های زیادی نظیر الجمال، خم های بیضوی و ابر بیضوی،‎xtr، ‎luc‎‎‎و سامانه چنبره بنیاد‎(celidh)‎‎را می توان با زبان ژاکوبی تعمیم یافته به عنوان گروه جبری، بیان کرد لذا انگیزه کافی برای مطالعه ژاکوبی تعمیم یافته فراهم شده است. این تغییر ظاهر سامانه ها توانایی بیشتری در بررسی نظری و همچنین در پیاده سازی عملی فراهم می سازد چرا که گروه های جبری چنانکه از نام شان بر می آید هم گروه هستند و هم چندگونای جبری. ساختار گروهی کاربر را قادر می سازد ضرب بین عناصر و توان رسانی را انجام دهد و از سوی دیگر با ساختار چندگونا تمام عناصر و عملیات بین آنها را بر اساس چندجمله ای ها بیان کند و این باعث کارایی بیشتر در رایانه می شود.