در این پژوهش گروههای جمعی r^+ را از حلقه هایی تحت عنوان حلقه های مربع صفر r ((zero square ring که در آن بازای هر x?r، x^2=0 ولی r^2?{0} را مطالعه می کنیم. چنین گروههایی را گروهای مربع صفر می نامیم. اگر روی گروه آبلیg نتوان حلقه مربع صفر تعریف کرد آنگاهg را گروه مربع ناصفر می نامیم . گروههای مربع ناصفر را از بین گروههای آبلی تابدار، بخشپذیر و بطور کامل تجزیه پذیر شناسایی می کنیم. همچنین در مورد گروههای مربع صفر پوچ (مربع ناصفر) آمیخته نیز چند قضیه بیان می شود. در این پایان نامه گروههای مربع صفر با استفاده از حلقه های درونریختی گروهها ساخته می شوند. در نتیجه ثابت می شود که تعداد زیادی گروههای مربعی صفر قویاً تجزیه ناپذیر بدون تاب از رتبه متناهی وجود دارد.

مفاهیم اوکاوآکو برای ایده آلهایدرحلقه ی جابجایی اولین بار توسط لم وریز درسال2008 معرفی شدند.

مقالات متعددی وجود دارند که محتوی آنها بیانگر ارتباط قوی بین ساختار یک گروه متناهی مانند g با مجموعه ی طولهای کلاسهای تزویج g است. در این پایان نامه که بر اساس مرجع [2] تنظیم خواهد شد ساختار گروههای متناهی از رتبه ی تزویج 2 مورد مطالعه و بررسی قرار می گیرد.

در سال ‎1962‎، جبرئیل ‎ltrfootnote{gabriel}‎ در مرجع ‎cite{0}‎ ثابت کرد که یک ایزومورفیسم شبکه ی بین مجموعه? همه? زیرکاتگوری های ‎ extbf{‎‎ سر} از کاتگوری‎$r~$-مدول ‎های متناهی مولد و مجموعه? همه? زیرمجموعه هایی از ‎${ m spec}(r)$‎که تحت ویژگی سازی بسته هستند وجود دارد‎.‎ در این پایاننامه هدف ما بدست آوردن معیاری برای ‎ extbf{سر}‎ کاتگوری بودن ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ است، که در آنها ‎$mathcal{s}_{1}~$‎ و‎$mathcal{s}_{2}~$‎ دو زیر کاتگوری ‎ extbf{سر}‎ از کاتگوری ‎$r~$-‎مدول ها و‎$r~$-همومورفیسم ‎ها است‎.‎ فرض کنیم‎$r~$‎ یک حلقه? جابجایی و نوتری باشد. کاتگوری ‎$r~$-‎مدول ها و‎$r~$-همومورفیسم ‎ها را با علامت‎$mathcal{c}(r)~$‎ و زیرکاتگوری تام، ‎$r~$-‎مدول ها ی متناهی مولد را با علامت ‎$rmathrm{-mod}$‎ نشان می دهیم‎.‎ در مرجع ‎cite{0}‎، ثابت شده است که یک ایزومورفیسم شبکه ی بین مجموعه? همه? زیرکاتگوری های ‎ extbf{سر}‎ از‎$mathcal{c}(r)~$‎ و زیرمجموعه هایی از ‎${ m spec}(r)~$‎ که تحت ویژگی سازی بسته هستند وجود دارد. ‎‎ از طرفی نیمان ‎ltrfootnote{ neeman}‎ در مرجع ‎cite{8}‎، وجود یک ایزومورفیسم شبکه ی بین مجموعه? همه? زیرکاتگوری های پرس شده‎ltrfootnote{ smashing subcategories}‎، از کاتگوری مشتق شده ‎$mathcal{c}(r)~$‎ و مجموعه? همه? زیرمجموعه هایی از ‎${ m spec}(r)~$‎ که تحت ویژگی سازی بسته هستند را نشان داد‎.‎ سپس تاکاهاشی‎ltrfootnote{takahashi}‎ یک تفسیر مدولی از قضیه? نیمان را بنا نهاد، که قضیه? جبرئیل را در مرجع ‎cite{6}‎ القا می کند‎.‎ یک extbf{زیرکاتگوری سر} از یک کاتگوری آبلی عبارتست از یک زیرکاتگوری تام که تحت زیرشی ها، اشیای خارج قسمت و توسیع ها بسته است‎.‎ اخیراً تعدادی از ریاضی دانان مفهوم زیرکاتگوری‎ extbf{‎‎ سر} را نه تنها در نظریه? کاتگوری، بلکه در نظریه? کوهمولوژی موضعی نیز مورد مطالعه قرار داده اند. (بعنوان مثال رجوع شود به مرجع ‎cite{9}.) ‎ به کمک نتیجه جبرئیل در بالا، می توانیم تمام زیرکاتگوری های ‎ extbf{سر}‎ از ‎$rmathrm{-mod}$‎ را توسط مجموعه هایی از ‎${ m spec}(r)~$‎ که تحت ویژگی سازی بسته هستند را ارائه دهیم. با این وجود، می خواهیم راه دیگری برای مطالعه? زیرکاتگوری های extbf{سر ‎}از$mathcal{c}(r)~$‎ به کمک نظریه? کوهمولوژی موضعی ارائه دهیم‎.‎ برای این منظور یکی از اهداف اصلی در این پایاننامه ارائه چنین روشی با در نظر گرفتن زیرکاتگوری های متشکل از توسیع مدول ها در دو زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ است‎.‎ فرض کنیم ‎$mathcal{s}_{1}~$‎ و‎$mathcal{s}_{2}~$‎ دو زیر کاتگوری ‎ extbf{سر}‎ از‎$mathcal{c}(r)~$‎ باشند. زیرکاتگوری متشکل از توسیع مدول ها در‎$mathcal{s}_{1}~$‎ توسط ‎$mathcal{s}_{2}~$‎ را با علامت ‎$(mathcal{s}_{1}‎, ‎mathcal{s}_{2}) $‎ نشان داده و تعریف می کنیم: $$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})={minmathcal{c}(r)|s_{1}inmathcal{s}_{1},s_{2}inmathcal{s}_{2}, ext{وجود دارد},0 ‎ ightarrow s_{1} ightarrow m ightarrow s_{2} ightarrow 0, ext{دنباله? دقیق}}.$$ یکی از اهداف اصلی این پایاننامه که بر اساس مرجع ‎cite{12}‎ تدوین شده است، یافتن یک شرط لازم و کافی برای ‎ extbf{سر}‎ بودن زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ می باشد. برای مثال، زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{{ m f.g.}},mathcal{s}_{{ m artin}})~$‎ را در نظر می گیریم که در آن ‎$mathcal{s}_{{ m f.g.}}~$‎ زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ متشکل از ‎$r~$-‎مدول های متناهی مولد و ‎$mathcal{s}_{{ m artin}}~$‎ زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ متشکل از ‎$r~$-‎مدول های آرتینی است. ایده? اصلی مرجع ‎cite{12}‎، قضیه? نقی پور و بهمن پور در مرجع ‎cite{10}‎ است که نشان دادند زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{{ m f.g.}},mathcal{s}_{{ m artin}})~$‎، یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ است. با این وجود یک زیرکاتگوری مانند ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ لزوماً زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ نیست. در حقیقت یک زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{{ m artin}},mathcal{s}_{{ m f.g.}})~$‎ یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ نیست. ‎‎ لذا در این پایاننامه برای اینکه زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ باشد، یک شرط لازم و کافی بدست می آوریم و مثال های متعددی از زیرکاتگوری های ‎ extbf{سر} $(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ را ارائه خواهیم کرد‎.‎ به ویژه، خواهیم دید که زیرکاتگوری های ذیل، زیرکاتگوری های extbf{سر } هستند: ‎(1)‎ یک زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{1}‎, ‎mathcal{s}_{2}) $‎ برای زیرکاتگوری ‎ extbf{سر} $~mathcal{s}_{1}$‎و ‎$mathcal{s}_{2}$‎ از کاتگوری ‎$r$-‎مدول های متناهی مولد‎;‎ ‎(2)‎ یک زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{{ m f.g.}},mathcal{s})$‎ برای یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر} $mathcal{s}$‎ از ‎$mathcal{c}(r)$;‎ ‎(3)‎ یک زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s},mathcal{s}_{{ m artin}})$‎ برای یک زیرکاتگوری extbf{سر ‎}$mathcal{s}$‎ از ‎$mathcal{c}(r)$.‎ در این پایاننامه تمام حلقه ها نوتری، جابجایی و یکدار و تمام مدول ها یکانی هستند. اگر‎$r~$‎ یک حلقه باشد آنگاه کاتگوری همه ‎$r$-‎مدول ها و ‎$r$-‎همومورفیسم ها را با علامت ‎$mathcal{c}(r)~$‎ نشان می دهیم. همچنین این پایاننامه در پنج فصل به ترتیب زیر تنظیم شده است‎.‎ در فصل اول، تعاریف و مفاهیم مقدماتی از جبرجابجایی که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرند، آورده شده است.در فصل دوم، مفهوم زیرکاتگوری های ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ از توسیع مدول های مربوط به زیرکاتگوری های ‎ extbf{سر} $mathcal{s}_{1}$‎و ‎$mathcal{s}_{2}$‎ از ‎$mathcal{c}(r)~$‎ و خواص اساسی آنها مورد مطالعه قرار می گیرد‎.‎ در فصل سوم، زیرکاتگوری های extbf{سر ‎}‎از ‎$r~$-‎مدول های متناهی مولد را مورد بحث قرار خواهیم داد. به ویژه نشان می دهیم که مثال ‎$(1)$‎ بالا یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ از ‎$r~$-‎مدول های متناهی مولد است‎.‎ در فصل چهارم، یک شرط لازم و کافی را برای ‎ extbf{سر}‎ بودن زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ بدست می آوریم‎.‎ در فصل پنجم، نتایج خود را در نظریه? مدول های کوهمولوژی موضعی که در شرط ‎$(c_{i})~$‎ صدق می کند، بکار می بریم.