یک نمایش هم پیوسته‏، ضعیف-پیوسته‏، از یک نیم گروه نیم توپولوژیک s‎‏ روی فضای برداری توپولوژیکی موضعاً محدب ‎x، یک خانواده از فشرده سازی های عملگری نیم گروهی روی ‎s می دهد به طوری که هر کدام از این فشرده سازی ها مربوط به زیر فضاهای پایا از ‎ ‎x‎ ‎‏ می باشند.‎ در این پایان نامه زیر فضاهای پایایی از ‎ ‎x‎ ‎‏ را که فشرده سازی عملگری نیم گروهی آنها نسبت خاصیتی ماکسیمال هستند را مورد بررسی قرار می دهیم. کلمات کلیدی: {‏نیم گروه نیم توپولوژیک‏، فشرده سازی چپ-توپولوژیکی‏، نمایش‏، تقریباً متناوب ضعیف.}

در این پایان نامه فیلترهای پایین گذر تعمیم یافته و قاب موجکهای پارسوال (pfw) را در l2(rn) با اتساع ماتریسی به شکل (df)(x)=?2f(ax) توصیف می کنیم. ماتریس a در اینجا یک ماتریس توسیعی n*n دلخواه با درایه های صحیح است بطوریکه |deta|=2 در ابتدا تابع شبه مقیاس، فیلتر پایین گذر تعمیم یافته و آنالیز چند ریزه ساز قاب موجکهای پارسوال (mrapfw) را مطالعه و بعضی ویژگیهای مهم آنها را مشخص می کنیم. سپس کلاس ضرایب متناظر با قاب موجکهای پارسوال در l2(rn) را شرح می دهیم. و یک مثال برای شرح این نظریه ارایه می دهیم.

در این پایان نامه ‏به بررسی‏ برخی قضایای نقطه ثابت می پردازیم. برای این منظور ابتدا قضیه نقطه ثابت براور را روی r بیان نموده و آن را به فضای ?r تعمیم می دهیم. سپس قضیه نقطه ثابت کاکوتانی را روی یک تناظر اثبات می کنیم. در ادامه قضایای نقطه ثابت نگاشت انقباضی و تارسکی را اثبات می کنیم. در پایان به مطالعه ی قضایای نقطه ثابت هان و کاکوتانی بر روی شارش ها خواهیم پرداخت. همچنین قضیه نقطه ثابت دی که خاصیت نقطه ثابت نیم گروه های چپ میانگین پذیر را بیان می کند اثبات می کنیم.‏ سرانجام قضیه نقطه ثابت ریل ناردزیسکی و همچنین قضیه نقطه ثابت فورستنبرگ اثبات خواهند شد. ‏

در این پایان نامه برای گروه جابجایی موضعاً فشرده ی ، به بررسی زیرفضاهای تحت انتقال پایای می پردازیم. همچنین یک تابع در فضای اصلی تحت انتقال پایا پیدا می کنیم به طوری که انتقال هایش یک قاب پارسوال باشد و نشان می دهیم هر فضای تحت انتقال پایا را می توان به صورت جمع متعامد زیرفضاهایی نوشت که هر کدام از این زیرفضاها توسط یک تابع منحصر به فرد تولید می شوند که انتقال های آن تابع یک قاب پارسوال می باشد. در بخش دیگر با فرض اینکه یک خودریختی توپولوژیکی روی باشد، با تعریف یک تابع ضرب داخلی جدید روی ،که ضرب داخلی - براکت نامیده می شود، به بررسی مفاهیم - متعامد، نامساوی بسل و پایه ی - متعامد متناظر با ضرب داخلی معمولی فضای می پردازیم.

در این پایان نامه ارتباط نزدیکی بین خاصیت میانگین پذیری یک نمایش یکانی (پی) از یک گروه ‏‎g‎‏خاصیت تمرکز دستگاه دینامیکی متناظر با آن یعنی ‏‎(s , g)‎‏ برقرار می کنیم که در آن ‏‎s‎‏(پی) کره واحد در فضای نمایش هیلبرت می باشد.ثابت می کنیم که (پی) میانگین پذیر است . اگر و فقط اگر یا (پی) شامل یک زیر نمایش با بعد متناهی باشد یا فشرده سازی یکنواخت ماکسیمال از ‏‎s‎‏(پی) شامل یک ‏‎g‎‏- نقطه ثابت باشد.این معادل با این است که ‏‎‏‎-g‎‏ فضای ‏‎(s ,g)‎‏ خاصیت تمرکز دارد.به عنوان یک نتیجه میانگین پذیری (پی) با وجود یک میانگین ‏‎-g‎‏ پایا بر توابع بطور یکنواخت پیوسته و کراندار بر ‏‎s‎‏(پی) معادل است.به عنوان نتیجه دیگر یک گروه موضعا فشرده ‏‎g‎‏ میانگین پذیر است اگر و تنها اگر برای هر نمایش یکانی قویا پیوسته از ‏‎g‎‏در یک فضای هیلبرت با بعد نامتناهی ‏‎h‎‏ دستگاه دینامیکی ‏‎(s,g)‎‏ خاصیت تمرکز داشته باشد.در فصل هفت چند نتیجه دینامیکی بیان و اثبات می کنیم.