در این پایان نامه به صورت زیر عمل کرده ایم: در فصل یک ابتدا تعریف کلی از انشعاب وسپس انواع انشعاب و شرایطی که وجود انشعاب ها را تضمین می کنند بیان می گردد. در فصل دو قسمت 2-1، فضای مدارهای منظم تحت متریک هاوسدورف و آبشارها به عنوان زیر مجموعه ای از این فضا بیان گردیده است. در قسمت 2-2 ، همسایگی یک مدار انشعاب نوعی و شرایطی که وجود آبشار های کرانداررا ایجاب می کنند مورد بررسی قرار گرفته است. در قسمت 2-3 ، به هر مدارتناوبی یکی از اعداد 1- و1+ و0 بعنوان اندیس مدار اختصاص داده شده است که ابزار اصلی برای مطالعه آبشارها می باشد و درقضیه آبشارها وجود آبشارها در یک ناحیه پارامتری کراندار بر اساس نوع مدار تناوبی روی مرز اثبات می گردد. در فصل سه قسمت 3-1 ، ثابت می کنیم اگر ، به ازای پارامتر یک نگاشت نعل اسب دو انتقالی باشد یک تناظر یک به یک بین آبشار های دوره بی کران ومدار های منظم دوره آن وجود دارد. در قسمت 3-2، فرمولی برای شمارش تعداد آبشار های بی کران -دوره به ازای یک دلخواه ارائه می دهیم و در قسمت 3-3 ، نشان می دهیم نتایج حاصل، محدود به خانواده درجه دو نمی باشند.

یکی از جالب توجه ترین نتایج در سیستم های دینامیکی گسسته یک بعدی قضیه شارکوفسکی است که به خاطر مفروضات ساده ونتایج قوی در سیستم های گسسته یک بعدی از اهمیت خاصی برخوردار است. این قضیه بیان می کند که اگر یک نگاشت پیوسته باشد و یک نقطه تناوبی از دوره تناوب اول داشته باشد، آن گاه یک نقطه تنـاوبی از دوره تنـاوب اول که در ترتیب شـارکوفسکی ، دارد. عکس این قضیه می گوید که برای هر عدد صحیح مثبت یک نگاشت پیوسته روی بازه وجود دارد به طوری که نقاط تناوبی از دوره تناوب اول دارد اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول ندارند برای هر عدد صحیح مثبت که جلوتر از در ترتیب شارکوفسکی قرار دارد یعنی . در فصل اول ابتدا مختصری درمورد اهمیت قضیه شارکوفسکی و سپس تعریف ها و مفاهیم اولیه مورد نیاز برای اثبات های ارائه شده بیان می شود. سپس دو اثبات مختلف برای قضیه شارکوفسکی که توسط بلاک وهمکارانش در سال 1980 ارائه شده می آوریم. این دو اثبات شبـاهت هـای زیـادی دارند. درآن هـا ایده روشن و واضح است امـا جزئیـات کمی پیچیـده به نظر می رسند. مطالعه یک اثبات به فهم اثبات دیگر کمک زیادی می کند. در ادامه ابتدا وجود دور استفان و سپس با استفاده از آن قضیه شارکوفسکی ثابت می شود. در پایان اثبات های بو-سن دو بیان می شود. در مورد عکس قضیه شارکوفسکی مثال هایی وجود دارند که در کتاب هایی مختلف پراکنده اند. این مثال ها بیشتر مربوط به نگاشت هایی هستند که نقاط تناوبی از دوره تناوب اول 5 دارند اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول 3 ندارند. به هرحال در مقاله ای که توسط استفان نوشته شده است یک روش کلی برای تولید نگاشت هایی که نقاط تناوبی از دوره تناوب اول دارند اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول ندارند، ارائه شده است. به علاوه با استفاده از دو برابر کردن نگاشت ها، نگاشت هایی ساخت که برای هر عدد صحیح مثبت وهر عدد نامنفی ، نقاط تناوبی از دوره تناوب اول دارند اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول ندارند. با استفاده از همین روش می توانست نگاشت هایی بسازد که نقاط تناوبی از دوره تناوب اول دارند اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول ندارند. در فصل دوم یک روش ساده برای ساختن چنین نگاشت هایی ارائه می دهیم که درمقاله ای توسط صابر الیدی آمده است. سپس معادل عکس قضیه شارکوفسکی را بیان و به دو روش اثبات می کنیم. در پایان دو نگاشت دیگر دو برابر کننده دوره تناوب که توسط سن دو ارائه شده ، آورده شده است

ل آدامار منظم است. حال اگر ماتریس آدامار شرایط لازم برای مولد بودن را که در فصل 3 به طور کامل به آن پردر این پایان نامه به معرفی و بررسی ماتریس های ادامار منظم می پردازیم، ماتریس آدامار، ماتریسی با درایه های 1 و 1- می باشد که هر دو سطر و هر دو ستون آن بر هم عمود هستند، که اگر مجموع هر سطر و هر ستون ماتریس آدامار برابر مقدار ثابتی باشد ماتریس حاصداخته شده است، داشته باشد در این صورت ماتریس آدامار منظم مفروض مولد نامیده خواهد شد. در این پایان نامه نشان می دهیم که اگر یک ماتریس ادامار مرتبه وجود داشته باشد و توانی از یک عدد اول باشد، آنگاه یک ماتریس ادامار منظم مولد از مرتبه وجود دارد.

در این پایان نامه با معرفی سیستم های رمزنگاری و یکی از انواع مهم آن به نام رمزهای جریان به سراغ توابع بولی رفته و با تعریف تابع بولی و مفاهیم مرتبط با آن از جمله درجه ی جبری، غیر خطی بودن، صفرکنندگی و امنیت جبری و...آشنا می شویم. سپس حملات جبری به سیستم های رمزنگاری را شرح خواهیم داد و ارتباط امنیت جبری با مقاومت یک سیستم رمزنگاری در مقابل حملات جبری را بیان خواهیم کرد. در ادامه قضایایی خواهیم دید که با اصلاح مناسب توابع بولی، توابع جدیدی به دست می دهند که دارای ماکزیمم امنیت جبری خواهند بود، و در پایان الگوریتم هایی مناسب را برای تضمین به دست آوردن توابع با ماکزیمم امنیت جبری بیان می کنیم.

دنباله های گلی اولین بار توسط گلی در سال 1949 هنگامی که مشغول بررسی مسائل در اپتیک بود معرفی شدند. و در سال 1992 کریگن مفهوم دنباله های گلی را به دنباله های گلی مختلط تعمیم داد. دو سوال نظری مهم در باره ی دنباله های گلی (گلی مختلط) مطرح است. 1- برای چه طول هایی یک زوج دنباله گلی وجود دارد؟ 2- چه تعداد زوج دنباله گلی از طول های داده شده وجود دارد؟ . در این پایان نامه در راستای بررسی این دو سوال و چگونگی کاربرد این دنباله ها در ساخت ماتریس آدامار، به بررسی مقالات 6، 11 و 7 می پردازیم و نشان می دهیم که تحت رابطه هم ارزی معرفی شده در (6) روی دنباله های گلی از طول n، هر کلاس هم ارزی شامل حداکثر 1024 دنباله گلی است. همچنین ساختار ارائه شده توسط دیویس-جواب در (7) رابرای دنباله های گلی مورد بررسی قرار می گیرند. همچنین با استفاده از الحاق و برگ برگ سازی، یک ساختار جبری برای دنباله های گلی به دست آمده به وسیله یک تحقیق کامپیوتری به وسیله لی و چی در (14) ارائه می شود.

در این پایان نامه، نتایج برگزیده ای از مجموعه های احاطه گر مستقل در گراف ها بررسی شده است. این نتایج کلید ایجاد روابط بین عدد احاطه گری مستقل و سایر پارامترها از جمله: عدد احاطه گری، عدد استقلال و عدد رنگی می باشد. علاوه بر این، این نتایج کران بالای بهینه ای روی عدد احاطه گری مستقل در شرایطی از مرتبه خودش، مرتبه و ماکسیمم درجه، مرتبه و مینیمم درجه را می سازند. نتایج وابسته به ساختار گراف های احاطه گر-کامل ارائه شده است. نتایج عدد احاطه گری مستقل در خانواده های مختلفی از گراف ها، از جمله گراف های مسطح، گراف های مثلث -آزاد و گراف هایی با قطر محدود بیان شده است. ‎‎ سئوالات پیچیده ای مربوط به عدد احاطه گری مستقل نیز مطرح شده است. ‎‎ در این جا چند مسأله باز و حدس جالب را روی عدد احاطه گری مستقل عنوان کرده و چند سوال جذاب برای گراف های مسطح مطرح کرده و ارزش آنها بررسی می شود. ‎‎ به ویژه، برای هر گراف مکعبی همبند از مرتبه بیشتر از ‎10‎، کران های بالا برای گراف های ‎4‎ -منتظم همبند، مقدار کلی ماکزیمم نسبت عدد احاطه گری مستقل به عدد احاطه گری را حدس زده

در این پایان نامه ابتدا عدد غالبی معرفی شده سپس به معرفی عدد غالبی تام ،جفت شده وعدد غالبی رنگین کمان پرداخته ایم،سپس به معرفی حاصلضرب دکارتی و قاموسی به ارتباط بین عدد غالبی رنگین کمان با عدد غالب جفت شده و تام پرداخته ایم. همچنین در این رساله با معرفی چند نوع گراف خاص از قبیل گراف هراری و گراف خورشید وشبکه ها که خود حاصلضرب مسیرها هستند،مطالبی دربارهعدد غالبی 2-رنگین کمان آنها ارائه دادهایم.