در این پایان نامه به بررسی ژئودزیکها روی یک دسته از مانیفلدهای ریمنی موسوم به مانیفلدهای ضربی تابیده می پردازیم. و پس از بیان و بررسی معادلات ژءودزیکی در این نوع مانیفلدها ژءودزیک یک مانیفلد ضربی تابیده خاص را بررسی می کنیم سپس مانیفلدهای ضربی چندگانه تابیده را معرفی کرده ضمن بررسی معادلات ژئودزیکی در این نوع مانیفلدها یک شرط لازم و کافی برای ژئودزیک بودن یک خم در این گونه مانیفلدها را بیان و اثبات می کنیم. و در آخر یک مانیفلد ضربی چندگانه تابیده خاص را در نظر گرفته ژئودزیکهای آنرا بدست می آوریم.

مساله تعیین بعد واریته های قاطع بالاتر واریته های تصویری بیش از یک سده است که شمار زیادی از هندسه جبری دانان را به خود مشغول داشته است. همانا تحقیقات اولیه اغلب بر روی واریته خطوط قاطع تمرکز یافته بود، چراکه این مساله عمیقا با مساله تصویر کردن واریته در یک فضای تصویری در هم تنیده شده است. واریته هایی که دست کم یک واریته قاطع بالاتر آنها فاقد بعد منتظره باشد واریته های ناقص خوانده می شوند و اشیاء هندسی بخصوصی هستند که شناسایی آنها از موضوعات مورد اشتیاق در هندسه جبری است. در حالت واریته های سگره علاقه زایدالوصفی بدین مساله و مساله یافتن کوچکترین عدد s که در ازای آن s-امین واریته قاطع واریته سگره مفروض فضای احاطه کننده را پر کند وجود دارد. جالب آنکه علاقه به این مسائل تنها در میان هندسه جبری دانان نیست بلکه خواستگاههای متعددی در شاخه های مختلف ریاضیات، فیزیک، زیست شناسی و مهندسی دارد. هدفی که این پایان نامه دنبال می کند در راستای تعیین بعد واریته های قاطع بالاتر واریته های سگره p^{n_1}*...*p^{n_t} و رده بندی واریته های سگره ناقص است. تلاش بر این شده تا خواننده در جریان تحقیقات و نتایج هیجان انگیز به دست آمده دهه اخیر پیرامون این مساله قرار گیرد. این پایان نامه در هشت فصل تنظیم شده است: در فصل 1، به بیان نتایجی پیرامون اسکیمهای صفر بعدی، تابع هیلبرت آنها و چندین لم کمکی که در مواجهه با مساله "postulation" این اسکیمها مفید واقع می شوند خواهیم پرداخت. در فصل 2، روش دستگاههای معکوس مکالی را تشریح خواهیم نمود که به منظور محاسبه تابع هیلبرت اسکیمهای صفر بعدی استفاده می شوند. فصل 3 به مفاهیمی همچون حلقه های چندمدرجی و فضاهای چندتصویری اختصاص دارد. در این فصل "ترفند چندتصویری-آفین-تصویری" را معرفی می کنیم که به ما امکان می دهد تا سوالات پیرامون ایده آل اسکیمها در فضاهای چندتصویری را به سوالات درباره ایده آلها در حلقه چندجمله ایهای استاندارد برگردانیم. فصل 4 به تبیین مفاهیم و خواص واریته های سگره و واریته های سگره-ورونزه می پردازد. در فصل 5، تعاریف بنیادی، قضایا و لمهای متعددی را در مورد واریته های قاطع بالاتر و بعد آنها ارائه خواهیم کرد. به علاوه چندین نتیجه مهم کلاسیک که توسط تراچینی به دست آمده است را یادآور می شویم. در فصل 6 روشهای گوناگونی که از سوی محققان بسیاری در دهه اخیر در جهت حل مساله بعد واریته های قاطع بالاتر واریته های سگره عرضه شده است را به تفصیل شرح می دهیم. این روشها از این قرارند: 1. برخورداری از مفاهیم رتبه تانسوری و رتبه اساسی از جبر چندخطی و نظریه پیچیدگی جبری؛ 2. محاسبه تابع هیلبرت زیراسکیمهای صفر بعدی در فضاهای چندتصویری؛ 3. تکنیک مسطح سازی که برگرفته از ترکیبیات و آمار جبری است؛ 4. تعبیر ترکیبیاتی از بعد واریته های قاطع بالاتر واریته های سگره به زبان مساله پوشش رخی؛ 5. استفاده از نتایج نظریه کدگذاری در ارتباط با کدهای کامل. در فصل 7، بر روی بعد واریته های قاطع بالاتر واریته های سگرهp^1*...*p^1 متمرکز می شویم. با استفاده از روشی که در سال 2005 توسط جرامیتا، کاتالیزانو و جیمی لیانو ابداع شده است نشان خواهیم داد که این واریته ها دارای بعد منتظره هستند، به جز احتمالا در ازای یک مقدار مشخص s. این روش بدین صورت است: به کمک لم تراچینی مساله تعیین بعد این واریته های قاطع بالاتر را به محاسبه تابع هیلبرت یک مجموعه از نقاط عام دوگانه در p^1*...*p^1 (t-times) مبدل می کنیم. سپس با استفاده از ترفند چندتصویری-آفین-تصویری، نشان می دهیم که محاسبه اخیر هم ارز است با یافتن تابع هیلبرت زیراسکیمهای صفربعدی p^t. سرانجام "postulation" این اسکیمهای ویژه را به کمک "لم دیفرانسیل هوریس" که توسط هرشوویتس و الکساندر ابداع شده بررسی خواهیم کرد. هدف ما در فصل انتهایی این پایان نامه این است که بعد واریته های قاطع بالاتر واریته های سگره p^n*...*p^n (t-times) را با الهام از روشی که در فصل 7 توضیح داده شد به دست آوریم. در گام نخست با استفاده از لم تراچینی مساله تعیین بعد واریته های قاطع بالاتر را به محاسبه تابع هیلبرت یک مجموعه از نقاط عام دوگانه در p^n*...*p^n برمی گردانیم. در ادامه با بهره مندی از ترفند چندتصویری-آفین-تصویری محاسبه اخیر را به مساله یافتن تابع هیلبرت یک اسکیم چندگانه بسیار ویژه از p^{nt} تقلیل می دهیم. در گام دوم روش "تقسیم کن و حل کن" را با به کار گیری پی در پی لم کاستلنوو و چند تکنیک هندسی دیگر به کار می بندیم. در واقع یک زیر اسکیم بخصوصی از p^{nt} را می سازیم و مقدار تابع هیلبرت آن را در درجه t ارزیابی می کنیم. نشان خواهیم داد که این اسکیم در درجه t دارای تابع هیلبرت منتظره است، به جز احتمالا در ازای n مقدار مشخص از s.

در جریان مطالعه برخی واریته های تصویری، وضعیت هایی پیش می آید که بررسی خاصیت معینی درباره واریته مورد مطالعه به بررسی خاصیت معینی درباره یک مجموعه از نقاط متناهی در p^n و یا یک فضای چندتصویری p^(n_1 )×?×p^(n_r ) منجر می گردد. به عنوان مثال مساله تعیین درجه مولدهای مینیمال ایده آل تعریف کننده یک واریته تصویری از درجه s در p^n، که حلقه مختصاتی آن کوهن-مک آولی است، به مساله ای درباره s نقطه در p^n منجر می گردد. از طرف دیگر مطالعه خواص هندسی مجموعه ای متناهی از نقاط در p^n یکی از موضوعات کلاسیک هندسه جبری بوده است. به این ترتیب مجموعه نقاط متناهی در p^n و یا در p^(n_1 )×?×p^(n_r )، نه تنها به عنوان اشیایی هندسی مورد مطالعه قرار گرفته اند، بلکه به دلیل ارتباطشان با سایر مسایل هندسه جبری، دانستن خواص آن ها همواره در کانون توجه هندسه جبری دانان بوده است. هدف ما در این پایان نامه بررسی برخی خواص هندسی-جبری مجموعه z={p_1,…,p_t} در p^(n_1 )×?×p^(n_r ) می باشد. به خصوص حالتی را بررسی خواهیم کرد که نقاط، چندگانگی هایی بیش از یک دارند. فرض می کنیم i_z=i_(p_1)^(m_1 )???i_(p_t)^(m_t ) ایده آل چندمدرجی z در حلقه n^r-مدرج r=k[x_1,0,…,x_(1,n_1 ),x_2,0,…,x_(2,n_2 ),…,x_(r,0),…,x_(r,n_r )] باشد. به طور مشخص در جستجوی پاسخ هایی برای سه سوال زیر خواهیم بود: الف) فرض کنیم z?p^(n_1 )×?×p^(n_r ) یک مجموعه متناهی از نقاط باشد. تحت چه شرایط لازم و کافی ای، حلقه r/i_z کوهن-مک آولی است؟ ب) تحلیل آزاد n^r-مدرج مینیمال i_z به چه صورتی می تواند باشد؟ به خصوص ساختمان آخرین مدول سی زی جی در تحلیل مینیمال i_z چیست؟ به علاوه آیا می توان یک مشخص سازی مجموعه های به طور حسابی کوهن-مک آولی بر حسب تحلیل آزاد i_z ارائه داد؟ ج) تابع هیلبرت مجموعه z چیست؟ به خصوص آیا می توان یک مشخص سازی مجموعه های به طور حسابی کوهن-مک آولی را بر حسب تابع هیلبرت آن ها ارائه داد؟ در فصول 2،3 و 4 این پایان نامه، شرایطی را که تحت آن، مساله های فوق جواب دارند بررسی و بخشی از یافته ها درباره مجموعه نقاط متناهی در p^(n_1 )×?×p^(n_r ) را ارائه خواهیم کرد. از جمله ابزارهایی که اطلاعات مفیدی درباره هندسه این نقاط به دست می دهد، جداکننده ها می باشند. در ساده ترین حالت، یعنی هنگامی که اعداد صحیح m_i همگی برابر 1 هستند، جداکننده به صورت زیر تعریف می شود: فرض کنیم z={p_1,…,p_t} یک مجموعه متناهی در p^(n_1 )×?×p^(n_r ) باشد. در حلقه n^r-مدرج r=k[x_1,0,…,x_(1,n_1 ),x_2,0,…,x_(2,n_2 ),…,x_(r,0),…,x_(r,n_r )] چندجمله ای چندهمگنی f?r را یک جداکننده نقطه p?z می نامند هرگاه f(p)?0 و برای هر q?z{p}، f(q)=0. به طور هندسی، یک جداکننده یک ابر رویه در p^(n_1 )×?×p^(n_r ) می باشد که از تمامی نقاط q?z{p} می گذرد ولی از p نمی گذرد. در این پایان نامه سعی می کنیم به کمک جداکننده ها پاسخی برای سوال های فوق فراهم کنیم.

در سال 1958، boothby و wang منیفلدهای تماسی را معرفی کردند. در سال 1959، gray نشان داد که گروه ساختاری کلاف مماسی منیفلد تماسی،u(n)*1 است که در آن، (u(n گروه یکال است. او هر منیفلدی که گروه ساختاری کلاف مماسی آن u(n)*1 باشد را منیفلد تقریبا" تماسی نامید. در سال 1960، sasaki ساختارهای هندسی خاصی را روی منیفلدهای با بعد فرد قرار داد که ایده این ساختارها را هنگام مطالعه منیفلدهای تماسی کسب کرد. سپس به کمک hatakeyama ثابت کرد هر منیفلد با ساختار مذکور، یک منیفلد تقریبا" تماسی است و برعکس. امروزه این هندسه به هندسه ساساکی معروف است که بیشترین کاربرد را در نظریه ریسمان دارد. در سال 2002، matsumuto و mihai با استفاده از مفاهیم ضرب تابیده و فضای فرم ساساکی، موفق به اثبات یک نامساوی شدند که به کمک آن یک شرط لازم برای مینیمال بودن یک زیر منیفلد ضرب تابیده c-تماما" حقیقی در فضای فرم ساساکی را بدست آوردند. در سال 2004، alegre، blair و carriazo مفهوم فضای فرم ساساکی تعمیم یافته را مطرح کردند که پیرو آن در سال 2009، olteanu یک نامساوی مشابه با نامساوی بدست آمده توسط matsumuto و mihai ارائه کرد که شرطی لازم برای مینیمال بودن یک زیر منیفلد ضرب تابیده لژاندری در فضای فرم ساساکی تعمیم یافته ارائه می کند که موضوع اصلی این پایان نامه، بررسی این نامساوی است.

در هندسه جبری یکی از مسائل مهم مطالعه هندسه یک مجموعه متناهی از نقاط میباشد چرا که مسائل بسیاری وجود دارد که تلاش برای حل آنها منجر به مطالعه هندسه یک مجموعه متناهی از نقاط میگردد از جمله مسئله درون یابی یا در مطالعه تکینگی های معمولی خم های آفین و یا در مطالعه بعد واریته های قاطع بالاتر مجبوریم هندسه یک مجموعه متناهی از نقاط را مطالعه کنیم. هدف ما در این پایان نامه مطالعه این مسئله به کمک تابع هیلبرت میباشد.چرا که تابع هیلبرت در وهله اول اطلاعاتی جبری در مورد حلقه مختصاتی واریته به ما میدهد و در وهله دوم اطلاعاتی هندسی در مورد پیکربندی نقاط به ما ارائه میکند. محاسبه تابع هیلبرت یک مجموعه از نقاط متناهی که دارای چندگانگی میباشند مسئله ای دشوار میباشد. برای اینکه بتوان پیچیدگی های مسئله را که ناشی از پیکربندی نقاط در فضای تصویری میباشد را کاهش داد فرض میکنیم این نقاط روی خم نرمال گویا قرار داشته باشند. در این پایان نامه مسائل زیر را را بررسی میکنیم 1)فرض کنیم خم نرمال گویای چند گانه داشته باشیم در فصل سوم تابع هیلبرت آن را محاسبه میکنیم. 2)فرض کنیم یک مجموعه از نقاط فربه متناهی که محمل آنها بر خم نرمال گویا واقع شده است داشته باشیم در فصل چهارم یک الگوریتم بازگشتی برای محاسبه تابع هیلبرت اسکیم صفر بعدی متشکل از مجموعه نقاط فوق ارائه میکنیم و نشان می دهیم تابع هیلبرت به موقعیت نقاط روی خم بستگی ندارد و تنها به چندگانگی نقاط بستگی دارد. همچنین نشان میدهیم در فضای تصویری دو بعدی تابع هیلبرت یک مجموعه متناهی از نقاط که در موقعیت عام قرار دارند بزرگتر مساوی از تابع هیلبرت یک مجموعه از نقاط متناهی است که بر خم نرمال گویا قرار دارند میباشد. 3)در فصل آخر تعمیم این مسئله کلاسیک که آیا خم نرمال گویایی در فضای تصویری وجود دارد که از تعدادی مشخص نقطه بگذرد و تعدادی مشخص زیر فضای خطی از متمم بعد دو از فضای تصویری را در تعداد مشخصی نقطه قطع کند بطوریکه بعد فضای تصویری با مجموع این نقاط و زیر فضاها خطی از متمم بعد دو رابطه مستقیم دارد.

یکی از موضوعات مهم نظریه تماس در هندسه یافتن توصیفی روشن از تماس از مرتبه معین مثلا k ، یک فضای خطی در یک نقطه واریته x است. مجموع نقاط واقع بر این فضاهای خطی تشکیل ذیک واریته می دهند که آن را واریته بوسان مرتبه k ام x مینامند.در ای پایان نامه نظریه فوق را برای حالت خاص واریته ورونزه مورد بررسی قرار میدهیم و با ساختن واریته های بوسان از مرتبه های مختلف این واریته و همچنین واریته های قاطع بالاتر آنها سعی میکنیم بعد آنها را تعیین و واریته های بوسانی که واریته های قاطع بالاتر آنها بعد منتظره را ندارند معین کنیم.

موضوع اصلی این پایان نامه بررسی مانیفلدهای کن موتسو می باشد. این پایان نامه شامل چهار فصل است که در فصل اول مفاهیم وقضایایی آورده شده که به عنوان پیش نیاز فصل های بعدی می باشد. در فصل دوم و سوم با مانیفلدهای کن موتسو اشنا می شویم و در فصل آخر زیرمانیفلدهای شیب دار مانیفلدهای کن موتسو را معرفی می کنیم.

در این رساله مانیفلدهای بازگشتی تعمیم یافته معرفی شده و برخی از خواص ویژگی های عمومی و قضایای مربوط همچنین ارتباط بین این نوع مانیفلدها با سایر مانیفلدها بررسی شده. همچنین مانیفلدهای 2-بازگشتی تعمیم یافته و فوق بازگشتی تعمیم یافته معرفی شده و در نهایت مانیفلدهای بازگشتی تعمیم یافته مجهز به ساختارهای کن موتسو وساساکی بررسی شده اند.

اگر در یک مانیفلد تخت آفین بتوان متر g را به صورت هسیان یک تابع هموار روی مانیفلد نشان داد مانیفلد را مانیفلد هسیان می نامیم. اگر این مانیفلد با النحنای هسیان برشی ثابت باشد می توان نشان داد که انحنای برشی آن نیز ثابت است. فضای مماس این مانیفلدها دارای ساختار مختلط کهلری است. می توان در یک مانیفلد هسیان کامل همبند با انحنای برشی هسیان منفی اگر یک ابر رویه فشرده با انحنای برشی نامنفی و انحنای اسکالری ثابت داشته باشیم آنگاه ابر رویه تماما نافی است و یا دقیقا دو انحنای اصلی و متمایز دارد. رابطه مهمی بین عملگر شکلی زیرمانیفلدهای مانیفلد هسیان با انحنای برشی هسیان ثابت و انحنای برشی مانیفلد، مشابه آن چه در مانیفلد های حقیقی و اسلنت وجود دارد در این پایان نامه به اثبات می رسد. به عنوان یافته ای در این پایان نامه می توان به اثبات عدم وجود ژئودزیک بسته در مانیفلد هسیان کامل به دلیل وجود تابع های اکیدا محدب روی آن ها اشاره نمود.

مطالعه ی واریته های الحاقی و واریته های قاطع واریته های تصویری، یکی از مـوضوعات کلاسـیک در هندسه ی جبری است و تاکنون هندسه دانان بسیاری، درباره ی بعد و درجه ی این واریته ها مطالعه کرده اند. ما در این پایان نامه، یک چارچوب ترکیبیاتی برای مطالعه ی ساختمان واریته های الحاقی و قاطع واریته های تصویری ارائه می دهیم. برای این منظور، ابتدا مفهوم الحاق و قاطع واریته های تصویری را معرفی کرده و از دیدگاه جبری، این مفاهیم را برای ایده آل های همگن دلخواه در یک حلقه ی چندجمله ای تعریف می کنیم. سپس، به دلیل این که تک جمله ای ها، نقش مهمی در ایجاد تعامل بین سه حوزه ی جبر جا به جایی، هندسه و ترکـیبیات بر عـهده دارند، به طور مشخـص، به مطـالعـه ی ایده آل هـای قـاطع ایده آل هـای تک جـمله ای می پردازیم و با شرط صفر بودن مشخصه ی میدان، یک رابطه ی صریح برای محاسبه ی الحاق ایده آل های تک جمله ای، با استفاده از ضرب دوگان الکساندر آن ها ارائه می دهیم. در ادامه، با رویکردی ترکیبیاتی، ایده آل های قاطع ایده آل های تولید شده توسط تک جمله ای های خالی از مربع درجه ی دو را مطالعه کرده و با توجّه به خواص رنگی گراف هایی که به این ایده آل ها نظیر می شوند، مولد های ایده آل های قاطع بالاتر آن ها را به دست می آوریم. بر همین اساس، یک نتیجه ی جالب در مورد گراف های تام، به دست می آید که با استفاده از آن، روایت جبری قضیه ی شناخته شده ی گراف تام قوی را بیان خواهیم نمود. به علاوه، به کمک ابزاری به نام تبه شدگی گروبنر‎، مسأله ی مطالعه ی ایده آل های الحاق و قاطع ایده آل های دلخواه را به مسأله ی مطالعه ی ایده آل های الحاق و قاطع ایده آل های تک جمله ای، تقلیل می دهیم. در همین راسـتا، نشـان می دهیم که ایده آل قاطـع یک ایده آل آغـازی شـامل ایده آل آغـازی ایده آل قاطع آن ایده آل می باشد و ترتیب دلپذیر را برای یک ایده آل در حالتی که این رابطه ی شمول به تساوی بدل شود، معرفی می کنیم. به عنوان نتیجه، ثابت می کنیم که ترتیب قطری برای ایده آل های دترمینانی، دلپذیر است. سرانجام، از آن جا که ایده آل های تعریف کننده ی خانواده ی بزرگی از واریته ها در هندسه ی جبری، توسط دوجمله ای ها تولید شده و اصطلاحاً توریک نامیده می شوند، تکنیک های به دست آمده را برای مطالعه واریته های قاطع واریته های توریک به کار می گیریم. نشان می دهیم که چگونه اطلاعاتمان در مورد چنین واریته های قاطعی می تواند از مثلث بندی های منظم چندوجهی های نظیر واریته های توریک به دست آید. به طور مشخص، علاقه مند به یافتن مثلث بندی های دلپذیر (مربوط به ترتیب های دلپذیر) برای واریته های توریک هستیم. به همین خاطر، شرایط وجود مثلث بندی دلپذیر را برای واریته های طوماری نرمال گویا، به عنوان رده ای از واریته های توریک، بررسی می نماییم.

بررسی بیشتر ایده آل های توریک ، با کمک مجتمع های سادکی و مجتمع های سلولی که به انها نظیر می شوند. تحلیل ازاد انها را مطالعه کرده و برخی پایاهای آنها را نیز مورد مطالعه می کنیم.

فیلوژنتیک شاخه ای از علم زیست شناسی است که با استفاده از داده های موجود ، تحول مولکولی را استنباط می کند. از میان مدلهای ریاضیاتی که برای تسهیل این استنباط مورد استفاده قرار می گیرد ، مدلهای آماری کاربرد وسیع تری دارند. در این گونه از مدلها می توان فرض کرد که تحول مولکولی به عنوان یک فرایند احتمالاتی در امتداد یک درخت ریشه دار که تنها برگهای آن قابل مشاهده است، اتفاق می افتد. برای پارامتری سازی تمام مدلهای آماری فیلوژنتیک یک درخت خاص می توان مفاهیم و تکنیک های هندسه ی جبری را به کار گرفت. این کاربست به هندسه ی جبری فیلوژنتیک موسوم است.

پنداریم ‎m‎ یک منیفلد ترنس‎‎ ساساکی باشد‎. در آغاز زیرمنیفلدهای شبه اسلنت از منیفلد ترنس‎‎ ساساکی ‎m‎ را تعریف می کنیم و سپس درباره شرایط انتگرال پذیری این گونه زیرمنیفلدها در منیفلد ترنس‎‎ ساساکی m‎ سخن به میان می آوریم. همچنین به پژوهش درباره زیرمنیفلدهای ضربی تابیده و زیرمنیفلدهای ضربی تابید‎ه‎ دوگانه از منیفلد‎‎های ترنس‎‎ ساساکی می پردازیم. نیز درباره وجود یا عدم وجود ‎ cr ‎‎‎زیرمنیفلدها در منیفلدهای نزدیک به کهلری ‎‎جست‎ و جو می‎‎ کنیم. همچنین ثابت می کنیم که در منیفلدهای ترنس‎‎ ساساکی, ‎‎ ‎‎ cr‎ زیرمنیفلد سایای ضربی تابیده دوگانه ‎نابدیهی‎ وجود ندار‎د‎‎‎‎‎.

در این پایان نامه تغییرات زیرمنیفلدهای اسلنت را در منیفلدهای ساساکی بررسی می کنیم. سپس با مطالعه ی شرایط متغیرهای لژاندری، همیلتونی و هارمونیک، به بررسی مینیمال بودن و پایداری این نوع از زیرمنیفلدها می پردازیم. و سرانجام، پایان نامه را با ایده ای برای تحقیقات آینده به پایان می رسانیم.

در این پایان نامه به طبقه بندی منیفلدهای ضربی تابیده اینشتنی پرداخته می شود.

این پایان نامه به معرفی مانیفلد های( , n+m?)- اینشتنی و بررسی بعضی خواص آن ها در حالتی که انحنای اسکالری می پردازد. در فصل (2) معادله , n+m)?)- اینشتنی معرفی خواهد شد. در بخش ابتدایی به معرفی مانیفلد های (,n+m?)- اینشتنی و مانیفلد های اینشتنی ضربی تابیده و ارتباط آن ها با هم میپردازیم. در بخش بعد مانیفلد های صلب تعریف میشوند و در انتها یک دسته بندی از مانیفلد های)،,n+m?)- اینشتنی غیر بدیهی صلب ارایه میدهیم . در بخش پنجم و چهارم تانسور های pوq و خواص آن ها روی مانیفلد های (,n+m?)- اینشتنی با انحنای اسکالری ثابت بررسی میشوند . همچنین درانتهای بخش پنجم یک دسته بندی از تابع w روی مانیفلد های (,n+m?)- اینشتنی با انحنای اسکالری ثابت ارایه میدهیم. در فصل (3) مانیفلد های (,n+m?)- اینشتنی صلب با انحنای اسکالری ثابت را بررسی خواهیم کرد.

کدهای هندسه جبری، که با استفاده از خم های جبری تعریف شده روی میدان های متناهی، ساخته می شود در مقایسه با سایر کدهای خطی از ویژگی های برتری برخوردار هستند. اما در ازای این مزیت، کدگشایی آنها به مراتب پیچیده تر از کدگشایی سایر کدهای خطی می باشد و برای افزایش کارایی آنها به مفاهیم پیشرفته تری از هندسه خم های جبری نیاز داریم. در این پایان نامه ویژگی های مجموعه ای از الگوریتم هایی که برای کدگشایی کدهای هندسه جبری بکار گرفته می شوند تشریح می گردد. بخصوص مزیت ها یا نقایصی که در رابطه با تعداد خطاهای قابل تصحیح دارند را به تفصیل بیان می کنیم.

در این پایان نامه، امنیت دستگاه های رمز رشته ای را از طریق حمله های جبری مورد مطالعه قرار داده ایم‎.‎ منظور از حمله جبری، یافتن کلید رمز یک دستگاه رمزی، از طریق حل یک دستگاه از معادلات چندجمله ای است. اگر این جواب به آسانی پیدا شود، دستگاه رمز ناامن است و اگر با دشواری پیدا شود، می توان ادعا کرد دستگاه رمز امن است‎.‎ معادلات مذکور بر اساس روابط ورودی و خروجی دستگاه های ‎ s-box ‎ در رمزهای بلوکی و یا ‎ lfsr ‎ در رمزهای رشته ای ساخته می شوند. ‎‎حمله جبری، در ابتدا در مورد دستگاه های رمز کلید عمومی به کار گرفته شدند. ایده این نوع حمله ها، بعدها به الگوریتم خطی سازی توسعه یافته ‎ xl ‎‎‎، با هدف حل دستگاه معادلات چندجمله ای بیش تعریف شده، تعمیم داده شد. رمزهای رشته ای نیز، که بر اساس ثبات های انتقال بازخورد خطی ‎ lfsr ‎، ساخته شده اند و مزیت های بیشتری در مقایسه با رمزهای بلوکی دارند، در معرض خطر حمله جبری قرار دارند. دو نوع حمله جبری به این نوع رمزها می توان نام برد، یکی حمله عمومی که فقط وجود جواب را بررسی می کند و کران بالایی برای پیچیدگی حل این مساله بدست می دهد. برای کاربست حمله به رمزهای رشته ای، بایستی حالت به حالت معادلات خوبی پیدا کرد. دیگری نیز حمله جبری سریع است که ضمن آن سعی می شود معادلاتی از بیت های کلید رمز اولیه و بیت های کلید خروجی معلوم و از درجه پایین بدست آورد و سپس به حل آنها پرداخت‎.‎ در این پایان نامه ضمن مطالعه ویژگی های کلی دستگاه های رمزی و همچنین روش های رمزی کردن پیام و پوشیده کردن آن شرایطی که منجر به تشکیل دستگاه های معادلاتی که جواب آنها کلید رمز است را بررسی می کنیم و به طور مشخص، به کمک پایه گروبنر معادلاتی که در رمزهای رشته ای مبتنی بر ‎ lfsr ‎‎‎، شکل می گیرد را مورد مطالعه قرار می دهیم‎.‎ به دلیل اهمیت و عمومیت الگوریتم ‎ f_{5} ‎ که پایه گروبنر مورد نیاز برای حل دستگاه را به دست می دهد جزییات بیشتری از این الگوریتم را در فصلی مستقل توصیف خواهیم کرد.

در این پایان نامه زیرمنیفلدهای 3-اریب از منیفلدهای تقریبا سایای متریک 3-ساختار را معرفی می کنیم. با استفاده از مثال های غیر بدیهی وجود آن ها نشان داده شده است. پس از مشخصه سازی آن ها یک کران بالا برای انحنای ریچی زیرمنیفلد بر اساس انحنای میانگین به دست می آوریم. به علاوه زیرمنیفلدهای 3-نیم-اریب و 3-دو-اریب معرفی شده و برخی از خواص هندسی آن ها از جمله انتگرال پذیری و تماما ژئودزیک بودن بررسی گردیده است.

این پایان نامه با معرفی پیکربندی ستاره در فضای 2 بعدی وتعمیم آن در فضای nبعدی، به بررسی برخی خواص آن می پردازد.سپس پرسش هایی را در مورد این مطرح کرده است وبعداز بیان ساختار جبری و هندسی این پرسش ها، به آن پاسخ می دهد. همچنین با معرفی اجتماع دو پیکربندی ستاره خطی، از نوع s*sو بیان برخی نتایج حاصل از این اجتماع ، به عنوان یکی از کاربردهای این نوع پیکربندی، ثابتمی کند که واریته قاطع بعد مورد انتظار 2ns+1 راداراست.

در این پایان نامه نشان می دهیم که روی مانیفلد سایا متریک (m(?, ?, ?, gیک التصاق خطی ?وجود دارد با این خاصیت که: m یا مانیفلد ساساکی است اگر و تنها اگر0=??.در این حالت سه تایی (d, ?, g) را توزیع سایا کهری می نامند

هدفاین پایان نامه مطالعه ی مجموعه پژوهشهای هندسی استکه منجر به اثباتقضیه ی ناافشردگی گروموف و سپسراه گشای پژوهشهای بعدی تا به امروز شده است. در فصل 1 پیشنیازها ارائه شده اند. این فصل با تعریفکروشه ی پواسن آغاز شده و به معرفی میدان های برداری همیلتونی می انجامد. سپس با کمک این مفاهیم، مواد مورد نیاز هندسه سیمپلکتیک را فراهم می آوریم که از جمله ی آن ها ساختارهای سیمپلکتیکو نگاشتهای سیمپلکتومورفیسم هستند. نگاشت های سیمپلکتومورفیسم از مهمترین ابزار های مورد استفاده در فصل 3 هستند. فصل 2 که به معرفی ساختار های تقریبا مختلط و خم های شبه هولومورفیک اختصاص دارد زمینه را برای استفاده از تکنیک گروموف برای اثبات قضیه ی ناافشردگی مهیا می سازد. در بخش های پایانی این فصل به معرفی نگاشت انرژی و برخی ویژگی های آن می پردازیم و از این واقعیت که یک رویه ی مینیمال، رویه ایست که دارای انرژی مینیمال است، استفاده می کنیم تا رویه های مینیمال را به عنوان ابزار دیگری برای فصل 3 فراهم آوریم. در هر حال توضیحات بخش آخر این فصل نیازمند دانش مختصری از نظریه ی گروه های هومولوژی و کوهومولوژی است که برخی از مفاهیم مورد نیاز این بحث بطور خلاصه در پیوست آ. آورده شده است. در فصل 3 قضیه ی ناافشردگی بیان می شود و بی درنگ به سراغ برهان آن می رویم. مواد مورد استفاده در این برهان بطور کامل در فصل های پیشین معرفی شده است، مگر در تکنیکی که در قسمت پایانی برهان نیازمند بکار گیری مفاهیمی از توپولوژی جبری است که این مفاهیم نیز در حد نیاز در پیوست ب. آورده شده اند. سر انجام فصل 4 را به آشنایی با پژوهشهای اخیر ریاضی دانان، پساز قضیه ی ناافشردگی گروموف، اختصاص دادیم و در پایان در دو نمودار به جمع بندی نتیجه های بدست آمده پرداخته ایم. این پایان نامه بر پایه ی بازبردهای d.mcduff, what is symplectic geometry?, european women in mathematics,33–53, world sci. publ., hackensack, nj, 2010. y.oh, uncertainty principle, non-squeezing theorem and the symplectic rigidity, lecture for the 1995 daewoo workshop, chungwon, korea. نوشته شده است.

در دهه 1970 ، ایده شگفت آور رمزنگاری کلید عمومی با هدف رفع نقیصه موجود درسیستم های رمزنگاری کلاسیک( یعنی سیستم های رمز نگاری کلید خصوصی) ابداع گردید. در این سیستم فرستنده از یککلید آشکار، و نه پنهان، برای رمزی کردن پیام استفاده و آن را ارسال می کند. گیرنده نیز با استفاده از کلید خصوصی، که نزد خود وی است به همراه کلید عمومی ای که فرستنده برای رمز کردن پیام استفاده کرده، متن دریافتی را رمزگشایی می کند. یک مهاجم، برای اینکه متن ارسالی را رمز گشایی نماید احتیاج به کلید خصوصی دارد و دانستن آن برای مهاجم منجر به حل مسائل ریاضی دشواری می گردد که سیستم رمز برپایه آن ساخته شده. به این ترتیب دشوار بودن مساله ریاضی مربوط امنیت این سیستم رمز را تضمین می کند و آن را به عنوان سیستمی امن قابل استفاده می سازد. در این پایان نامه سیستم رمزی را مورد بررسی قرار می دهیم که امنیت آن بر پایه ی دو مساله و svp ریاضیاتی دشوار، یعنی مساله کوتاه ترین بردار و مساله نزدیک ترین بردار در مشبکه ها، موسوم به استوار است. همچنین نشان می دهیم که سیستم ها ی رمزی که براین اساس و با استفاده از ایده آلهای cvp، دو جمله ای، که در نظریه پایه های گروبنر جایگاه ویژه ای دارند، ساخته می شوند، درمقابل سیستم های رمز مشابه، از امنیت بالاتری برخوردار می باشند. به این ترتیب نشان می دهیم که بر خلاف عقیده ی برخی محققین که در تلاش بودند تا پایه های گروبنر را برای سیستم های رمز به کاربرند و تلاش هایشان به نحو ی ناامیدانه به انجامی نرسید، استفاده از نوع خاص از پایه های گروبنر در ساختن سیستم های رمز امن امکانپذیر است.

قضیه گاوس - بونه یکی از مهمترین و زیباترین قضیه های ارائه شده در هندسه است . زیبایی آن ایجاد رابطه بین و هندسه و توپولوژی و اهمیت آن ، وجود مفاهیم عمیق ریاضی و تاریخ طولانی از پیدایش تا گسترش قضیه گاوس - بونه است . این پایان نامه شامل سه فصل اصلی است . اولین آن فصل تعاریف و مقدمات است که در آن به بیان مفاهیم و تعاریف لازم برای بیان و اثبات قضیه گاوس - بونه در دو فصل بعد پرداخته ایم. در فصل دوم صورت های مختلف قضیه گاوس - بونه از صورت اولیه آن تا حالت توسیع یافته آن را آورده ایم و اثبات های رایج آن را ارائه داده ایم. در فصل دوم به طور مستمر در اثبات ها از کارت های مختصاتی استفاده شده است . ایده اینکه آیا می توان این قضیه را مستقل از کارت های مختصاتی به اثبات رساند می تواند بر این قضیه قدیمی لباسی نو بپوشاند. در فصل سوم اثباتی از قضیه گاوس - بونه را آورده ایم که مستقل از کارت های مختصاتی است .

در این پایان نامه به بررسی زیرمانیفلدهای شبه نافی از مانیفلدهای هسیان می پردازیم.‎‎در فصل نخست به بیان برخی قضایا و تعاریف مورد نیاز در فصول دیگر پرداخته ایم.‎ در فصل دوم‎‎به ‎معرفی مانیفلدهای هسیان و برخی روابط موجود بین انحنای این نوع از مانیفلدها و همچنین معرفی تانسور‎‎انحنای برشی هسیان می پردازیم. سپس در فصل سوم زیرمانیفلدهای شبه نافی از مانیفلدهای هسیان با انحنای برشی هسیان ثابت را معرفی می کنیم و روابط انتگرالی را روی این نوع از مانیفلدهابه اثبات می رسانیم. مبنای اصلی این کار تحقیقاتی مبتنی بر مرجع [18] می باشد.‎

در این پایان نامه کاربرد پایه های گروبنر در مسائل کدگذاری و کدگشایی را بررسی می کنیم و کوتاه ترین فاصله این نوع کدها را به کمک پایه های گروبنر تعیین می کنیم.

در این پایاننامه ثابت میکنیم یک مانیفلد شبه ریمانی تخت، بازگشتی محض و یا ریچی بازگشتی محض نمیتواند یک مانیفلد ?-پاراساساکی باشد.همچنین برای یک مانیفلد ?-پاراساساکی شرایط متقارن،شبه متقارن و یا داشتن انحنای برشی ثابت همه معادل هستند.

ایده آل آغازی یک ایده آل $i$ در حلقه $r=k[x_1 ,~.~.~.~,x_n ]$, که $ k$ یک میدان است، به شکلی ساده و قابل محاسبه ای اطلاعات هندسه جبری بسیار مفیدی را درباره حلقه خارج قسمتی $frac{r}{i}$ بدست می دهد. اما این ایده آل آغازی بستگی به انتخاب دستگاه مختصات دارد و ممکن است تحت تعویض متغیر خطی تغییر کند. در نتیجه خواص استنتاج شده از ایده آل آغازی ایده آل $i$ ممکن است تحت هر تغییر متغیر خطی پایدار نماند. برای رفع این مشکل، عمل یک زیرگروه معین از گروه تبدیلات خطی وارون پذیر روی $i$ موسوم به تبدیلات بورِلی را در نظر می گیریم و ایده آل آغازی ثبّات این عمل را با $mathrm{gin}(i)$ نشان داده و آن را ایده آل آغازین عام می نامیم. به خصوص اگر $i$ ایده آل تعریف کننده یک واریته تصویری $gamma $ باشد، $mathrm{gin}(i)$ تحت ترتیب الفبایی وارون، اطلاعات هندسی بسیار مفیدی درباره این واریته دراختیار می گذارد. در این پایان نامه قصد داریم برخی از اطلاعات فوق را بطور مبسوط مورد بررسی قرار دهیم.

در این پایان نامه مبانی جبری-هندسی چهار الگوریتم که برای تجزیه اولیه ایدآل ها در حلقه چند جمله ای ها با ضرایب در یک میدان که ابداع شده است را مورد بررسی قرار می دهیم. اولین الگوریتم ، الگوریتم ویت-وو است که اساس آن استفاده از مجموعه های مشخصه است و ورودی آن یک ایده آل رادیکال و خروجی آن ایده آل های اول وابسته آن است.

موضوع اصلی این پایان نامه بررسی مانیفلدهای سه بعدی پارا ساساکی نوع (?) است. در این پایان نامه مانیفلدهای تقریباً پاراسایا و (?)-تقریباً پارا سایا متریک را تعریف می کنیم و با اضافه کردن یک شرط، ساختار (?)-پارا ساساکی روی آن تعریف می کنیم و در یک قضیه خاصیت های تانسور انحنا و تانسور ریچی را برای آن بیان و اثبات می کنیم. مانیفلدهای سه بعدی (?)-پارا ساساکی شبه متقارن ریچی را معرفی می کنیم و ثابت می کنیم هر مانیفلد سه بعدی (?)-پارا ساساکی شبه متقارن ریچی، فضای فرم است. در قسمت بعد مانیفلدهای سه بعدی (?)-پارا ساساکی موضعاً ?-متقارن را تعریف می کنیم و ثابت می کنیم هر مانیفلد سه بعدی (?)-پارا ساساکی شبه متقارن ریچی، موضعاً ?-متقارن است. مانیفلد سه بعدی (?)-پارا ساساکی ?-موازی را معرفی می کنیم و ثابت می کنیم مانیفلد سه بعدی (?)-پارا ساساکی با تانسور ریچی ?-موازی، موضعاً ?-متقارن است. در آخرین بخش، مانیفلد سه بعدی (?)-پارا ساساکی شبه متقارن از دیدگاه دزکز را تعریف می کنیم و ثابت می کنیم هر مانیفلد سه بعدی (?)-پارا ساساکی، شبه متقارن است.

دراین پایان نامه که شامل سه فصل می باشد، در فصل اول به معرفی مفاهیم و بیان قضایایی پرداخته ایم که پیشنیاز مطالب فصل های بعدی می باشند. در فصل دوم مانیفلدهای سایا وتقریبا سایای متریک را معرفی کرده ایم. فصل سوم شامل شش بخش می باشد،که بخش اول ودوم آن مروری برمانیفلدهای تقریباهرمیتی ومانیفلدهای تقریبا سایای متریک می باشد. در بخش سوم، حاصلضرب دو مانیفلد تقریبا سایای متریک را مورد مطالعه قرار داده ایم. از آنجایی که این حاصلضرب، یک مانیفلد تقریبا هرمیتی است، بنابراین با توجه به مطالب به دست آمده در این قسمت، به ادامه مطالعات کاپورسی در این زمینه پرداخته ایم. در بخش چهارم حاصلضرب یک مانیفلد تقریبا هرمیتی در یک مانیفلد تقریبا سایای متریک مورد مطالعه قرار گرفته است، که این بخش از مطالعات ما، تحقیقات اوبینا را کامل می کند. در بخش پنجم حاصلضرب یک مانیفلد تقریبا کواترنیون در یک مانیفلد تقریبا هرمیتی تقریبا سایای متریک بررسی شده است. در انتها با آوردن چند مسئله که تا کنون راه حلی برای آنها پیدا نشده، پایان نامه را به اتمام می رسانیم.

فضاهای برداری به عنوان یک مجموعه جبری ساده ترین معدلات تعریف کننده را دارند اما معادلات تعریف کننده ی دو یا تعداد متناهی زیر فضای برداری بستگی به نحوه ی قرار گرفتن این زیر فضاها در فضای برداری احاطه کننده ی آنها دارد.خواص هندسی این نوع مجموعه های جبری نه تنها به خودی خود شایسته ی مطالعه و تحقیق اند بلکه به دلیل ارتباط نزدیک خواص آنها با حل برخی مسائل مربوط به واریته های قاطع و یا واریته های قاطع بالاتر یک واریته ی هموار,مسئله ی وارینگ برای چند جمله ای های وجود خم نرمال گویا در فضای تصویری p^n که زیر فضاهایی از ابعاد مختلف را در تعدادی معین نقطه قطع کند حائز اهمیت فراوان هستند. از طرف دیگر اجتماع تعداد متناهی زیر فضای خطی در مسائلی همچون فشرده سازی تصاویر تقطیع تصاویر و به حرکت در آوردن تصاویر مقطع شده کاربرد دارند. در این پایان نامه قصد داریم به کمک ابزارهای هندسی-جبری به خصوص تابع هیلبرت و شاخص کاستلنوو-مامفرد اطلاعاتی درباره ی هندسه ی این نوع زیر فضاها به دست آوریم.

در این پایان نامه، ایده آل تعریف کننده ی یک خم پارامتری شده در صفحه ی آفین a^2 مورد مطالعه قرار می گیرد. نشان داده می شود برای هر خم مسطح پارامتری شده، ایده آل تعریف کننده ی آن توسط دو چندجمله ای p و q در [k[t,x_1,x_2، از درجه ی حداکثر یک، بر حسب متغیرهای x_1 و x_2 و بر حسب t به ترتیب از درجه ی حداکثر m و n-m تولید می شود. این دو مولد، که برای i، یعنی ایده آل تعریف کننده ی خم گویا، میو-پایه نامیده می شود متفاوت از پایه ی گروبنر i می باشند و از لحاظ محاسباتی بر دیگر پایه ها از مزیت بیشتری برخوردارند. نشان داده می شود میو-پایه به یک نمایش فشرده از معادله ی ضمنی خم می انجامد. هم چنین نشان داده می شود در اکثر موارد معادله ی ضمنی یک خم گویا از درجه ی 2n، می تواند بر حسب دترمینان یک ماتریس n در n، که درایه های آن بر حسب x_1 و x_2، از درجه ی 2اند بیان شود. هم چنین معادله ی ضمنی یک خم گویای از درجه ی 2n+1، می تواند بر حسب دترمینان یک ماتریس (n+1) در (n+1) با n-سطر شامل درایه هایی که بر حسب x_1 و x_2 از درجه ی 2اند و یک سطر، که درایه هایش بر حسب x_1 و x_2 از درجه ی یک اند، بیان شود. نشان داده می شود برای m=0، خم مورد نظر یک خط چندگانه است و m=1 دلالت بر وجود یک نقطه از چندگانگی n-1 روی خم دارد. برای m>1، خم هایی وجود دارند که به ویژگی های هندسی ای هم چون نقطه ی چندگانگی و یا نقطه ی عطف بستگی ندارند. هم چنین نشان داده می شود چگونه ایده های به کار گرفته شده در حالت خم های مسطح، می تواند به بررسی خم های گویا در فضای آفین سه بعدی و بیشتر، به کار گرفته شوند. برای این کار، قضیه ی سیزیجی هیلبرت، نقش اساسی ایفا می کند.

زیرمجموعه هایی از فضای آفین $b{a}^m$ (و یا فضای تصویری $b{p}^{m}$)، که توسط $m$ یک جمله ای (به ترتیب $m+1$ یک جمله ای) غیر ثابت از حلقه ی $k[x_1,dots,x_n]$ (به ترتیب $k[x_0,dots,x_n]$) پارامتری می شوند. مجموعه های توریک و بستار آنها نیز واریته های توریک نامیده می شوند. همچنین ایده آل تعریف کننده ی این واریته ها در $k[x_1,dots,x_n]$ (به ترتیب $k[x_0,dots,x_n]$) یک ایده آل توریک نامیده می شود.در این پایان نامه نشان داده می شود به هر ایده آل توریک یک زیرگروه $b{z}^n$ نظیر می شود و بالعکس به هر زیرگروه $b{z}^n$ یک ایده آل توریک نظیر می شود. این تناظر مطالعه ی ساختارهای توریک را به غایت ساده می نماید. به خصوص نشان داده می شود مولدهای مشبکه ی متناظر به یک واریته ی توریک، مولد ایده آل تعریف کننده ی واریته هستند. سپس به کمک اشیاء ترکیبیاتی هم چون گراف ها و ابرگراف ها، جبرهای یک جمله ای وابسته به این اشیاء ترکیبیاتی و به دنبال آن واریته های توریک وابسته به آنها مورد مطالعه قرار می گیرند. به خصوص نشان می دهیم مولدهای ایده آل توریک حاصل از این اشیاء ترکیبیاتی توسط دوجمله ای ها تولید می شود. نشان داده می شود در حالت گراف، مولدهای ایده آل توریک متناظر به آن توسط تمام گشت های زوج روی گراف تولید می شوند. با الهام از این روش، سعی می شود ساختار مولدهای ایده آل توریک حاصل از ابرگراف ها تعیین شود. نشان داده می شود ساختارهای ترکیبیاتی گشت های ابرگراف های یک جلمه ای، به طور کامل نمی توانند این مولدها را تعیین کنند و برای این کار نیازمند شرایط اضافی تری هستند.در ادامه کاربرد واریته های توریک و ایده آل های توریک را در برنامه ریزی عدد صحیح مورد بررسی قرار می دهیم. نشان داده می شود مولدهای ایده آل های توریک نقش مهمی در تعیین جواب های بهینه ی یک مسأله ی برنامه ریزی صحیح ایفا می کنند.از طرف دیگر، چون پیش آمدهای مستقل در آمار و احتمال، یک ساختار یک جمله ای در حلقه ی چندجمله ای های القا می کنند، در فصل آخر این پایان نامه، ارتباط بین واریته های توریک و پیش آمدهای احتمالی مستقل مورد بررسی قرار می گیرند و مفید بودن آنها را در حوزه ی احتمال نشان می دهیم.