در این پایاننامه به حل عددی معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم خطی و نیز دستهای از معادلات انتگرال غیرخطی با استفاده از موجک سینوس-کسینوس میپردازیم. این روش بر این اساس استوار است که هر کدام از جملات موجود در معادله را با استفاده از موجک سینوس-کسینوس به عنوان یک پایهی متعامد یکه، تقریب میزند و سپس معادله موجود را به دستگاهی از معادلات جبری تبدیل میکند. در مورد معادلات انتگرال- تقریب زده میشود که در آن y(t) ? (y tp + y0t ) (t) معادله به صورت y(t) دیفرانسیل خطی جواب (t) است. همچنین y(0) ? y0t (t) ماتریس عملیاتی انتگرال برای موجک سینوس-کسینوس و p بردار موجک سینوس-کسینوس میباشد. در این مسأله دستگاه معادلات حاصل یک دستگاه خطی است که با حل آن میتوان جواب تقریبی معادله را پیدا کرد. تقریب زده میشود که در آن y(t) ? y t (t) به صورت y(t) در مورد معادلات انتگرال غیرخطی، جواب بردار مجهولات است. در این مسأله دستگاه حاصل، یک دستگاه غیرخطی از معادلات است. با یافتن بردار y t مجهولات جواب تقریبی معادله به دست خواهد آمد.

در این پایان نامه، چند گسترش خطی و غیر خطی از قضیه ی لکس میلگرام را ثابت می کنیم، و به کاربردهای آن در معادلات دیفرانسیل می پردازیم. این پایان نامه در پنج فصل تدوین شده است. در فصل اول به بیان تعاریف مقدماتی و قضایای اساسی پرداخته ایم. در فصل دوم با استفاده از قضیه ی لکس میلگرام وجود و یکتایی یک جواب ضعیف را نشان می دهیم همچنین روند حل معادلات دیفرانسیل را طبق این قضیه بیان می کنیم. در فصل سوم، با استفاده از قضیه ی شفر، قضیه هایی در مورد مسائل مقدار مرزی متناوب معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با شرایط ضربه ای را ثابت می کنیم. در فصل چهارم، ساختار تغییراتی یک معادله دیفرانسیل ضربه ای و نظریه ی نقطه ی بحرانی را برای به دست آوردن جواب های مسئله ی ضربه ای ارائه می دهیم و در فصل پنجم، مسائل مقدار مرزی نامتناوب معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با شرایط ضربه ای را ثابت می کنیم.

در این پایان نامه به مطالعه ی جواب های مسئله ی تعادل می پردازیم. این پایان نامه در پنج فصل تدوین شده است. در فصل اول به بیان تعاریف مقدماتی پرداخته و در فصل دوم به معرفی مسئله ی تعادل و نسخه ی برداری اصل اکلند می پردازیم.در فصل سوم به بیان مسئله ی دوگان متناظر با مسئله ی تعمیم یافته ی تعادل پرداخته و در فصل چهارم به مطالعه ی شرایط کافی و یا لازم برای وجود جواب های مسئله ی تعادل می پردازیم. در فصل پنجم الگوی تعمیم یافته ی مسئله ی نابرابری تغییراتی مینتی و استامپاکیا را مورد توجه قرار می دهیم.

بسیاری از سیستمهای دینامیکی به وجود آمده در کاربردها را میتوان با استفاده از نگاشتها توصیف کرد. برای مثال، سیستمهای لیزری مدارهای الکترونیکی، فرایندهای بیولوژی و غیره. در اغلب کاربردها نگاشتها به طور واضح تعریف می شوند مانند نگاشتهای ikeda ،henon و برخی دیگر به شکل یک نگاشت پوآنکاره ظاهر می شوند. هدف اصلی از بررسی یک سیستم دینامیکی مفروض پیدا کردن رفتارکلی و جامع آن است. برای این کار ما ابتدا باید خمهای پایای ویژه را پیدا کنیم که برای سیستمهای دو بعدی گسسته- زمان شامل نقاط ثابت زینی جاذب به همراه منیفلدهای پایدار و ناپایدار این نقاط هستند. به ویژه منیفلدها اطلاعات بسیاری در ارتباط با سیستم به ما میدهند. البته منیفلدها را نمیتوان به طور تحلیلی به دست آورد و باید به طور عددی محاسبه شوند. تا کنون روشهای بسیاری برای محاسبه منیفلدهای یک نقطه ثابت زینی گسترش یافته است. در این مطالعه تنها منیفلدهای یک بعدی را در نظر میگیریم. بیشتر الگوریتمها منیفلد را با استفاده از یک تقریب موضعی نزدیک یک نقطه زینی و با شروع از آن محاسبه میکنند. روش متداول عبارت است از تکرار دامنه اولیه (دامنه اساسی) که شامل تکرار یک بخش موضعی از منیفلد است و تا ساختن تکههای پیوسته منیفلد ادامه مییابد. روش دیگر که روش مورد استفاده در این مطالعه است، شامل رشد منیفلد نقطه به نقطه تا یک طول قوس مشخص داده شده است. درهمه روشها منیفلد پایدار به صورت منیفلد ناپایدار نگاشت وارون محاسبه میشود. با توجه به این که به جزء در موارد ایدهآل به دست آوردن نگاشت معکوس دقیق و یکتا غیر ممکن است در این پایان نامه برای محاسبه منیفلدهای پایدار و ناپایدار از الگوریتم جستجوی دایره sc که به نگاشت معکوس نیاز ندارد استفاده میکنیم. پس از محاسبه منیلفلدهای پایدار و ناپایدار نقاط ثابت، با استفاده از الگوریتمی نقاط اشتراک آنها را پیدا کرده و با استفاده از آنها و الگوریتم cis مدارهای هموکلینیک و هتروکلینیک مربوطه را با استفاده از روشهای عددی و با تغییر یک پارامتر محاسبه میکنیم. محاسبه دقیق مدارهای همبند نقاط ثابت یکنگاشت و مطالعه ویژگیهای توپولوژیکی آنها به صورت یک مسئله بسیار مهم در نظریه سیستمهای دینامیکی غیرخطی و مسائل کاربردی شناخته میشوند. برای مثال، مدار هموکلینیک که یک نقطه ثابت هذلولی را به خودش وصل میکند، وجود یک تعداد نامتناهی مدارهای متناوب را نتیجه میدهد، بیشتر به به صورتی که در منابع اشاره شده است حضور یک جفت از چنین مدارهای هموکلینیک با یک دنباله نامتناهی از انشعابهای period?doubling و fold همراه است. بنابراین، با توجه به این که یک مدار هموکلینیک یک نگاشت مسطح به اشتراک منیفلدهای پایدار و ناپایدار یک نقطه ثابت زینی متعلق است، چنین مداری باعث تخریب یک منحنی بسته پایا میشود. روشهای عددی برای تحلیل انشعاب نگاشت در سالهای اخیر بسیار مورد توجه قرار گرفته است. مکان یابی، تحلیل و امتداد نقاط ثابت و انشعابها در محیطهای content و cl ?matcontm فراهم شده است. الگوریتمهای محاسبه منیفلدهای یک- بعدی در محیط dy namics و dstool قابل اجرا است، در حالیکه امتداد مدارها و خمهای مماسی آنها در یک auto ? driver اجرا میشوند. این پایاننامه شامل چهار فصل است. در فصل اول تعاریف و خواص مقدمات سیستمهای دینامیکی ارائه میشود. در فصل دوم منیفلدها راتعریف کرده و الگوریتم sc را برای محاسبه منیفلدها شرح میدهیم و در انتها با استفاده از این الگوریتم منیفلدهای سه نگاشت را رسم میکنیم. در فصل سوم مدارها را تعریف کرده و الگوریتم cis را شرح میدهیم و در فصل چهارم به چند مثال پرداخته و با استفاده از این الگوریتم منیفلدها و مدارهای مرتبط به آن را رسم میکنیم.

این پایان نامه در پنج فصل تدوین شده است. در فصل اول به بیان مفاهیم اساسی در مورد مشتقات و انتگرالهای کسری معادلات دیفرانسیل کسری و اثبات قضایایی در مورد آنها پرداخته شده است. در فصل دوم روش تجزیه آدمین و همچنین روش تجزیه آدمین اصلاح شده برای حل معادلات دیفرانسیل کسری مورد بررسی قرار گرفته است. در فصل سوم روش تکرار تغییر برای حل این معادلات مورد بررسی قرار میگیرد. در فصل چهارم این سه روش بر روی چندین معادله اجرا شده و مورد مقایسه قرار گرفته است. در فصل پنجم مشتق جدید جوماری را معرفی و معادلات دیفرانسیل جزیی کسری با استفاده از روش تکرار تغییر حل شده است.

مفهوم بهترین تقریب کاربردهای مهمی خصوصا در آنالیز عددی دارد در این پایان نامه شرایط معادل برای بهترین تقریب و یکتایی آن و همچنین قویا یکتایی را بررسی می کنیم که در بعضی فضا مانند فضاهای هار یکسان باشنددر قضیه ای بیان می کنیم که برای زیر فضاهای هار با بعد متناهی هر گاه نقاط اکسترمم برابر نقاط مرجع با شند آن گاه عملگر بهترین تقریب و مشتق گتو دارد و هم پیوسته لیپ شیتس است.

مسئله ی فرما-توریچلی یک مسئله ی بهینه سازی متناظر با یک زیر مجموعه ی متناهی از r^n است. هدف یافتن نقطه ی xin r^n است که تابع f(x)=sum_{j=1}^q |x-x_j|. را مینیمم کند.مسئله ی فرما-توریچلی وزنی یا مسئله ی استینر-وبرنیز یک مسئله ی بهینه سازی متناطر با یک زیر مجموعه ی متناهی از r^nو یک خانواده ی {c_j} از وزن های مثبت است . در این مسئله هدف مینیمم کردن تابع f(x)=sum_{j=1}^q c_j|x-x_j|. در این پایان نامه بسط های مختلفی از مسئله ی فرما-توریچلی بررسی شده است.قضیه ی نقطه ی مینیمم را بیان می کنیم و دو برهان مستقل از هم برای این قضیه ارائه می دهیم.سپس مسئله ی فرما-نوریچلی وزنی را به حالت حجم ها گسترش می دهیم. ما هم چنین این مسئله را در فضاهای نرم دار حقیقی d-بعدی (فضاهای مینکوفسکی) بخصوص برای d=2 بررسی می کنیم.سرانجام یک گسترش از نتیجه ی استینر-وبررا با جایگزینی نقاط داده شده بوسیله ی یک تعداد متناهی از مجموعه های بسته در فضاهای باناخ ارائه می دهیم.

از انجا که نابرابری های تغییرات برداری مینتی ابزارهای کارامدی برای حل مسائل بهینه سازی برداری محسوب می شود.در این پایان نامه به معرفی نابرابری های تغییرات برداری مینتی واستاپاکیاوفرم های ضعیف انها می پردازیم.درضمن نابرابری های شبه تغییرات برداری مینتی واستامپاکیا را تعریف می کنیم.در همین راستا به بررسی مفاهیمی مثل مشتقات دینی بالایی وپایینی وپائینی ومشتقات تعمیم یافته کلارک وخواص ان ها پرداخته می شود.در ادامه به رابطه بین مجموعه جواب های نابرابری های تغییرات برداری یاد شده وچواب های کارای مسئله بهینه سازی برداری وغیر خطی راتحت شرایط مختلف مثل شبه تحدبی تحدب نمایی مشتق ناپذیری و اینوکسیتی مورد مطالعه قرار می دهیم.سرانجام روابط هم ازی بین مجموعه جواب های کارای مسائل بهینه سازی برداری و جواب های نابرابری های تغییرات برداری مینتی واسامپاکیا وفرم های گسترش یافته ان ها وروابط بین مجموعه جواب های کارای ضعیف مسائل بهینه سازی وفرم های ضعیف مسائل فوق را ارائه می دهیم.

در این پایان نامه، ما نخست مفاهیم mt-تابع،$tau$-تابع و$0^tau$-متر را معرفی نموده، سپس با به کارگیری این مفاهیم، قضایای نقطه ثابت جدیدی برای نگاشت های انقباضی مجموعه-مقدار غیرخطی اثبات می کنیم. سپس رده ی نگاشت های مستعد مجموعه-مقدار را معرفی نموده و قضایای نقطه ثابت جدیدی که گسترش هایی از قضیه نقطه ثابت کنان و قضیه نقطه ثابت جاترجی برای نگاشت های انقباضی مجموعه-مقدار غیرخطی در فضاهای متری کامل هستند، برای چنین نگاشت هایی اثبات می کنیم. همچنین، مفهوم انقباض های جهت پنهان در فضاهای متری را که در واقع گسترشی از نگاشت های کلاسیک است، معرفی می کنیم. وجود خاصیت نقطه ثابت تقریبی تعمیم یافته برای انواع مختلف نگاشت های انقباضی غیرخطی نیز نشان داده می شود. سپس با اثبات قضایای نقطه ثابت جدید برای نگاشت های انقباضی جهت پنهان، نشان می دهیم نتایج شناخته شده ی قبلی را می توان بهبود بخشید و گسترش داد. نتایج جدید ما، پاسخی جزئی به مسئله ی باز رایش می دهد و گسترش هایی جدید از قضیه نقطه ثابت برایند-برایند و قضیه نقطه ثابت میزوگوچی-تاکاهاشی به دست می دهد. در نهایت چند قضیه برای وجود نقطه انطباق و نقطه ثابت برای نگاشت های مجموعه-مقدار در فضاهای متری کامل اثبات می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا مفهوم نگاشت های انقباض میر-کیلر(meir-keeler) را معرفی نموده و قضیه وجود و یکتایی نقطه ی بهترین تقریب را برای چنین نگاشت هایی اثبات می کنیم. سپس گسترشی از رده ی نگاشت های انقباض دوری را معرفی نموده و قضیه ی وجود و یکتایی نقاط بهترین تقریب برای چنین نگاشت هایی را اثبات می کنیم. سپس، نگاشت های انقباضی پروکسیمال از نوع اول و دوم را تعریف کرده و به بررسی وجود نقاط بهترین تقریب برای چنین نگاشت هایی می پردازیم. سرانجام، فضای متری ژئودزیک(geodesic)و برخی از خواص مربوط به آن را معرفی می نماییم و وجود و یکتایی نقاط بهترین تقریب را برای چنین خاصیت هایی بررسی می کنیم.

مفهوم نقاط ثابت دوتایی را باسکار و لکشمیکنتام در سال 2006 معرفی کردند، آن ها چند قضیه نقطه ثابت دوتایی برای نگاشت های یکنوای مخلوط در فضاهای متری جزئی به دست آوردند و این قضایا را در اثبات وجود و یکتایی جواب مسائل مرزی به کار بردند. پس از آن لکشمیکنتام و جریچ چند قضیه نقطه ثابت دوتایی و نقطه انطباق دوتایی را برای دو نگاشت f و g که دارای خاصیت g-یکنوای مخلوط است، به دست آوردند. از آن پس قضایای نقطه ثابت دوتایی بسیاری توسط دیگر مولفان به دست آمده و کاربردهایی از آن به ویژه در اثبات وجود جواب برای معادلات دیفرانسیل و انتگرال داده شده است. اخیرا امینی هرندی با روشی نو قضایای نقطه ثابت دوتاییو سه تایی را مطالعه کرده است. در این پایان نامه، نخست به بررسی وجود نقاط ثابت دوتایی نگاشت های انقباضی در فضاهای متری جزئی می پردازیم، سپس در چارچوب فضاهای متری جزئا مرتب نگاشت های انقباضی تعمیم یافته را معرفی نموده و نقاط ثابت دوتایی چنین نگاشت هایی را بررسی می کنیم. همچنین چندین کاربرد از نتایج حاصله را در حل مسائل مقدار مرزی متناوب و معادلات انتگرال ارائه خواهیم کرد، سرانجام نقطه انطباق دوتایی را برای دو نگاشت f و g که در یک شرط انقباضی ضمنی صدق می کند، به دست می آوریم.

در سال های اخیر، نتایجی از قضایای نقطه ثابت بسیاری در فضاهای متری جزئاً مرتب به دست امده است. نخستین قضیه در این جهت متعلق به ران و رویرینگز در سال 2004 است که انها کاربردهایی از ان را در معادلات ماتریسی ارائه دادند پس از ان لوپز و نیتو در سال 2005 نتیجه ران و رویرینگز را گسترش دادند و ان را برای اثبات وجود جواب یکتا برای یک معادله دیفرانسیل معمولی با شرایط مرزی متناوب به کار بردند . فرض کنید x یک مجموعه و t نگاشتی از x به x یک تابع باشد. هدف نظریه نقطه ثابت تعیین شرایطی روی x و یا تابع t است به طوری که وجود یک نقطه ثابت برای t تضمین شود. بررسی وجود نقطه ثابت در بسیاری از مسائل کاربردی مانند قضایای وجودی در معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال و ... دارای کاربرد اساسی می باشد. ما چندین قضیه نقطه ثابت در فضاهای متری جزئا مرتب بیان می کنیم سپس به کاربرد این قضایا در نظریه معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال و مسئله مرزی متناوب می پردازیم.

فرض کنید x یک مجموعه و y زیر مجموعه x و f تابعی از y به x باشد. هدف نظریه ی نقطه ثابت تعیین شرایطی روی x و یا تابع f است به طوری که وجود یک نقطه ثابت برای f تضمین شود. بررسی وجود نقطه ثابت در بسیاری از مسائل کاربردی مانند قضایای وجودی در معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال، نظریه کنترل، تابرابریهای مینی ماکس، نابرابری تغییراتی و ...دارای کاربردهای اساسی می باشد. هدف اصلی ما بیان قضایای نقطه ثابت در قضایای متریک جزئا مرتب می باشد. سپس کاربرد این قضایا را در نظریه معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال، مساله مقدار مرزی منتاوب با تاخیر و معادلات غیرخطی بیان می کنیم.

در فصل اول به بیان تعاریف مقدماتی می پردازیم. در فصل دوم دو روش چندگامی خطی شامل مشتق مرتبه اول را معرفی و ویژگی های آنها را بررسی می کنیم. در فصل سوم چهار روش چندگامی خطی شامل مشتق مرتبه دوم را معرفی و ویژگی های آنها را بررسی می کنیم. در فصل چهارم دو روش چندگامی خطی شامل مشتق مرتبه سوم را معرفی و ویژگی های آنها را بررسی می کنیم. در فصل پنجم روشهای چندگامی خطی برای مساله مقدار اولیه مرتبه دوم را در حالت کلی معرفی می کنیم و روش های چندگامی خطی بر مبنای مشتق گیری عددی را برای این نوع معادلات دیفرانسیل بیان می کنیم. در فصل ششم روشهای چندگامی خطی برای مساله مقدار اولیه مرتبه سوم را در حالت کلی معرفی می کنیم و روش های چندگامی خطی بر مبنای مشتق گیری عددی را برای این نوع معادلات دیفرانسیل بیان می کنیم