این پایان نامه به بیان رابطه بین برخی روش های عددی مناسب در حل معادلات بیضوی ناهمگن که کاربردهای فراوانی در صنعت و مهندسی مانند شبیه سازی مخزن آب دارند، می پردازد. این روش ها عبارت اند از روش عناصر متناهی مرکب کلاسیک (mfem)، روش عناصر متناهی مرکب کنترل حجم (cvmfem)، روش تفاضل متناهی سلول مرکزی بهبود یافته (eccfdm) و تقریب شار چند نقطه ای (mpfa). روش های ذکر شده با توجه به مفهوم چگالی پایدار و برای شبکه های نامنظم با نفوذپذیری مغناطیسی ناپیوسته ناهمگن و ناهمساز به کار می روند. همچنین تمامی این روش ها یک پیوستگی ضعیف مشترک در تابع فشار واقع بر سراسر یال ها دارند که در برخی نمونه ها با ضرایب لاگرانژ مطابقت دارد. هدف نهایی بررسی هم ارزی اساسی در این روش ها است.

در سال 1970، فیشر بلک، میرن شولز و رابرت مرتون مدل بلک- شولز را مطرح کردند. این مدل توانست دنیای قیمت گذاری مشتقات مالی را که دارایی پایه ی آن ها سهام بود، متحول کند. پس از آن این امکان به وجود آمد که مشتقات مالی را با استفاده از یک جواب بسته قیمت گذاری کنیم. مدل مذکور شامل محدودیت هایی مانند ثابت بودن نوسان پذیری و توزیع لگ نرمال بازده بود. این امر موجب شده که امروزه این مدل، تنها به عنوان پایه ای برای بیان سایر مدل ها مورد استفاده قرار گیرد. پس از انجام مطالعات تجربی و بر اساس مشاهده رفتار پارامتر نوسان پذیری، مدل های نوسان پذیری تصادفی مطرح شدند که حالت توسعه یافته مدل بلک- شولز می باشند. در این مدل ها نوسان پذیری از یک معادله دیفرانسیل تصادفی تبعیت می کند. از میان مدل های نوسان پذیری تصادفی، مدل هستون بنا بر ویژگی هایی پرکاربردترین این مدل ها می باشد. موضوع مطالعه این پایان نامه مدل هستون است و ضمن بیان و بررسی خواص آن، به مطالعه قیمت گذاری اختیارات تحت این مدل می پردازیم. با توجه به تحقیقات اندکی که در مورد استفاده از روش های شبیه سازی مونت کارلو در مدل هستون صورت گرفته است، چند الگوریتم جدید برای گسسته سازی فرایندهای زمان پیوسته مدل هستون و شبیه سازی آن ها بیان می کنیم.

در این پایان نامه روش کلی تحلیل ریسک مدل اختیارات اوراق قرضه تنزیل شده در الگوی هیث- جرو- مورتون را به دست می آوریم و پوشش سبدهای اختیار اوراق قرضه تنزیل شده را مطالعه می کنیم . به علاوه تابع سود و زیان ریسک مدل کارگزار (معامله گر ) را تجزیه و اهمیت گامای موضع معاملاتی را در کنترل این ریسک بررسی می کنیم . در ضمن چند نتیجه ریاضی در مورد توزیع تابع سود و زیان آتی (سلف ) برای مدلهای ساختار زمانی تک متغیره مارکوفی، متعلق به خانواده مدل های هیث - جرو - مورتون مانند مدلهای هو - لی و وسیچک به دست می آوریم.نخستین گام در این پایان نامه، تجزیه تحلیلی تابع سود و زیان به سه جمله ی متمایز است: -1 جمله اول خطای قیمت گذاری اولیه است. (قیمت زمان صفر) محاسبه می کند. t -2 جمله دوم خطای قیمت گذاری را در زمان -3 جمله سوم معرف خطای تجمعی یا انباشته است.

در این پایاین نامه ابتدا توزیع هذلولوی تعمیم یافته معرفی شده است. سپس مدل هذلولوی تعمیم یافته برای فرایند قیمت ارائه شده است که مدلی ناکامل می باشد. سپس با استفاده از این مدل و تبدیل اشر فرمولی برای قیمت گذاری اختیارات استخراج شده است.

هدف این پژوهش بررسی مدل های قیمت گذاری اختیارات آسیایی از نوع آمریکایی است. در این خصوص، وجود و یکتایی جواب، مدل قیمت گذاری این اختیارات، تحت موضوع مسائل توقف بهینه و کران آزاد مورد مطالعه قرار خواهد گرفت.

در این پایان نامه قصد داریم روش جریمه را برای حل مسایل اختیار چند دارایی آمریکایی بکار برده و آنالیز کنیم.اصطلاح جزیی جریمه غیر خطی را به معادله بلک-شولز اضافه کرده و با استفاده از این روش، با دامنه حل ثابت به دنبال برداشتن مرز آزاد یا متحرک با تحمیل ویژگی اعمال قبل از موعد هستیم. قصد داریم ثابت کنیم که قیمت تقریبی اختیار در برخی از خصوصیات اساسی اختیار آمریکایی صدق می کند. همچنین در این مطالعه مدل سازی دو و سه عاملی از قیمت آتی های نفت را نیز مورد تجزیه و تحلیل قرار داده ام.

در این پایان نامه روش جدیدی برای قیمت گذاری ادعای مشروط با سر رسید و دارایی پایه ای که تغییرپذیری آن تصادفی است معرفی می گردد. برای این کار از ابزاری به نام سوآپ واریانس استفاده می کنیم، با این فرض که نسبت تغییرپذیری نرخ سوآپ واریانس به تغییرپذیری آنی دارایی پایه تنها به نرخ سوآپ واریانس و سررسید آن بستگی دارد. اگر این نسبت مستقل از تقویم زمانی درنظر گرفته شود، فرض کلیدی نسبت تغییرپذیری ایستا برقرار می شود. در نتیجه ادعای مشروط به عنوان دارایی پایه توسط قیمت آتی ها و نرخ سوآپ واریانس به طور یکتا قیمت گذاری می شود.

در این پایان نامه در نظر داریم بازارهای سهام و مشتقات را به گونه ای مدل سازی کنیم که برخی از ناکامی های بازار را تشریح کنند و سپس مدل های حاصل را با استفاده از تکنیک های پیشرفته ی عددی حل کنیم. از آن جا که وابستگی تنگاتنگی بین بازار سهام و بازار مشتقات وجود دارد. لذا، ابتدا با استفاده از خواص فرایند مارکوف و مفهوم رژیم های اقتصادی، رفتار قیمت دارایی پایه(سهام) را مدل سازی می کنیم. همچنین با اضافه کردن جمله پرش مرتون به مدل حاصلِ (مدل رژیم سوئچینگ)، یک مدل تعمیم یافته ای را در بازار سهام پیشنهاد می کنیم. سپس با بستن یک اختیار فروش آمریکایی روی مدل های مذکور، مدل های پویا و نوینی را در بازار مشتقات بدست می آوریم. بر این اساس، وجود رژیم های اقتصادی در هر دو مدل، منجر به r معادله ی دیفرانسیل جزیی/انتگرالی جزیی و r مسئله ی کران آزاد می شود (r تعداد رژیم های اقتصادی ) که با به کارگیری روش جریمه کران را ثابت می کنیم و با این روند به r مسئله ی مقدار کرانی غیرخطی/انتگرالی غیرخطی با کران ثابت می رسیم. برای حل معادلات ناشی از مدل رژیم سوئچینگ با به کارگیری روش ?، طرح های عددی نوینی را طراحی می کنیم. از آن جا که پیاده سازی درست روش ? در یک سیستم از معادلات غیرخطی، مستلزم یک روند تکراری زمان بر در هر مرحله از زمان است. برای پرهیز از پیچیدگی ها، با جایگزینی های مناسب به r مسئله ی مقدار کرانی خطی می رسیم و نتیجه را به صورت یک الگوریتم کارا نمایش می دهیم. همچنین شرط دارا بودن کران بالایی برای اندازه ی گام زمانی را برقرار می کنیم و ثابت می کنیم که طرح های ضمنی تحت این شرط، در نسخه ی گسسته ی قید قطعی برای اختیار آمریکایی صادق است. اما برای حل معادلات ناشی از مدل تعمیم یافته، از ترکیبی از روش های لاینز و ? استفاده کرده و طرح های نوینی را ارائه می کنیم. با محاسبه ی عبارت انتگرال، به حل معادله ی دیفرانسیل معمولی مرتبه ی دوم بدست آمده با روش تبدیلات ریکاتی می پردازیم. سرانجام با به کارگیری نرم افزار متلب و با یک مثال عددی، دقت و پایداری طرح های ضمنی پیشنهادی را نشان می دهیم.

در سال 1970، فیشر بلک، میرن شولز و رابرت مرتون مدل بلک و شولز و مرتون را مطرح کردند. این مدل توانست دنیای قیمت گذاری مشتقات مالی را متحول کند. پس از آن این امکان به وجود آمد که مشتقات مالی را با استفاده از یک رابطه صریح قیمت گذاری کنیم. اما مدل بلک و شولز و مرتون محدودیت هایی هم داشت مانند ثابت فرض کردن تلاطم دارایی پایه و فرض توزیع لگ نرمال برای بازده آن، به همین دلیل امروزه از این مدل، اغلب به عنوان پایه ای برای بیان سایر مدل ها استفاده می شود. با انجام مطالعات تجربی و مشاهده رفتار تلاطم، مدل های متنوعی ارائه شدند که از جمله ی آنها می توان به مدل تلاطم تصادفی اشاره کرد. در این مدل تلاطم خود از یک معادله دیفرانسیل تصادفی تبعیت می کند. مدل های معروف «هال و وایت »، «هستون »، «استین و استین » از مدل های تلاطم تصادفی هستند. تمرکز این پایان نامه بر روی قیمت گذاری اختیار مبادله دو دارایی با یکدیگر است. دینامیک تغییر قیمت این دو دارایی در یک معادله انتشار با تلاطم تصادفی صدق می کند. برای قیمت اختیار مبادله یک معادله دیفرانسیل پاره ای معرفی می کنیم که به طور تحلیلی جواب ندارد و با روش های عددی حل می شود. برای حل معادله دیفرانسیل پاره ای قیمت اختیار مبادله، با استفاده از بسط تابع قیمت اختیار مبادله، یک تقریب مرتبه اول ارائه می دهیم، سپس این تقریب را برای مدل «هال و وایت» و « هستون» به کار می بریم و سرانجام به کمک نرم افزار، نتایج عددی این دو مدل را به دست آورده و با هم مقایسه می کنیم.

مدل بلک - شولز به عنوان یک مدل پایه برای قیمت گذاری بازار مشتقات دارای معایبی است که از جمله معایب آن، ثابت در نظر گرفتن تلاطم بازار می باشد که منطبق بر واقعیت بازارهای مالی نیست. به همین دلیل این مدل نمی تواند تغییرات قیمت را به خوبی توضیح دهد. برای رهایی از این محدودیت مدل های متعددی پیشنهاد شده اند. از جمله ی این مدل ها، مدلی است که در آن تلاطم تابعی از قیمت دارایی پایه و زمان در نظر گرفته می شود. این مدل، موضوع این پایان نامه است. در این پایان نامه ابتدا با استفاده از روش شناسی مسئله ی معکوس و با به کار بردن استراتژی منظم سازی تیخونوف، نشان می دهیم که تلاطم در یک معادله ی دیفرانسیل جزئی صدق می کند و سپس الگوریتمی را برای حل این معادله با شرایط اولیه و مرزی طراحی می کنیم که مبتنی بر روش های عددی است و در پایان با ارائه یک مثال عددی دقت این روش را آزمون می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا در مورد معادلات دیفرانسیل تصادفی و معادلات دیفرانسیل تصادفی با پرش صحبت کردیم و مدل دارایی پایه ی پرش- انتشار را معرفی کردیم، سپس در مورد قیمت گذاری اختیار معامله ی سبد اروپایی و تقریب نوسان پذیری موضعی تحت مدل دارایی پرش- انتشار بحث کردیم. بنابراین ثابت کردیم قیمت اختیار در یک معادله ی دیفرانسیل انتگرالی جزیی صدق می کند. سپس روش های حل (روش بسط مجانبی) برای تقریب نوسان پذیری موضعی با استفاده از جواب های بسته، و تقریب اختیار معامله ی سبد بیان کردیم. نتایج این تحقیق علاوه بر کاربرد در پیشبرد علم ریاضیات در علم مالی، دارای کاربردهای متنوعی در بازارهای مالی کشور می باشد.

یکی از روش های شناخته شده برای اندازه گیری، پیش بینی و مدیریت ریسک بازار، ارزش در معرض خطر است که در سال های اخیر مورد استقبال گسترده ای قرار گرفته است. اندازه گیری ریسک به شرایط اقتصادی و بازار وابسته است و از زمانی به زمان دیگر متغیر است. بنابراین محاسبه ریسک با در نظر گرفتن مدل های پیش بینی تلاطم بازار مطرح می شود. در این موارد، یکی از مفاهیم کلیدی ریسک بر پایه var ، مفهوم ارزش در معرض خطر شرطی(cvar)است که نشان دهنده بدترین زیان ممکن در سطح اطمینان مشخص، برای مقابله با تغییرات پیش روی بازار در طی دوره های زمانی بعدی، مشروط بر تغییر پذیری مربوط به پورتفوی موجود و اطلاعات بازار است. این پژوهش به دنبال محاسبه فاصله اطمینان برای ارزش در معرض خطر شرطی با استفاده از روش ناپارامتریک درستنمایی تجربی (el) می باشد که با استفاده از مدل خودرگرسیونی مشروط بر ناهمسانی واریانس و مدل تعمیم یافته(garch)آن به پیش بینی تلاطم بازار می پردازد. با استفاده از مطالعات شبیه سازی و مقایسه فاصله اطمینان روش el با دیگر روش های کلاسیک در محاسبه فاصله اطمینان از قبیل روش تقریب نرمال، برتری و صحت فاصله اطمینان بدست آمده از روش el برای دو مدل garch-n و garch-t با احتمال پوشش معین به اثبات رسید. در ادامه با استفاده از روش فوق به محاسبه فاصله اطمینان برای داده های شاخص کل قیمت بازار سهام ایران پرداختیم.

در بازارهای مالی و اقتصاد دینامیک‏های دارایی پایه اغلب با معادلات دیفرانسیل تصادفی از نوع پرش-انتشار مشخص می‏شوند. این معادلات علاوه بر جمله انتشار دارای جمله‏ی پرش نیز هستند که این جمله‏ی پرش بستگی به نوع بازار دارد. از آنجا که کلاس معادلات دیفرانسیل تصادفی پرش-انتشار معمولا جواب تحلیلی ندارند، نیازمند استفاده از تقریب‏‏های عددی هستیم. تقریب‏های عددی برای جواب معادلات دیفرانسیل تصادفی پرش-انتشار به دو گروه تقریب های قوی و ضعیف تقسیم می‏شوند. روشهای قوی تقریب‏هایی وابسته به مسیر ارایه می‏کنند و بنابراین می‏توانند در مسایلی مانند فیلترینگ، تحلیل سناریو، و شبیه‏سازی پوشش به کار بروند. روشهای ضعیف ، تقریب‏هایی از اندازه احتمال جواب واقعی فراهم می‏کنند و برای مسایلی مانند قیمت‏گذاری مشتقات یا ارزیابی اندازه‏های ریسک و بازده مورد انتظار مناسبند. در این پایان‏‏نامه مدل پرش-انتشاری را در نظر می‏گیریم که پرش آن از نوع فرایند پواسون است. فرایند پواسون، فرایندی تکه‏ای ثابت با نموهای مستقل است که می‏تواند وقایع را بشمارد و براحتی برای مدل کردن وقایع ناشی از عدم اطمینان به کار می‏رود. سپس در نظر داریم روشهای عددی قوی و ضعیف برای تقریب جواب معادلات دیفرانسیل تصادفی پرش-انتشار را ارایه کنیم. برای ارایه روشهای کاراتر و با پایداری بهتر روشهای ضمنی، بدون مشتق، و پیشگو-اصلاحگر را نیز معرفی می‏کنیم. از آنجا که ایجاد روشهای کاراتر از مراتب بالا با هزینه‏های محاسباتی همراه است لذا روشهای پرش سازواریافته را معرفی می‏کنیم.

مطالعه ی بازار مشتقات تنها به محاسبه ی قیمت یک برگه ی مشتقه محدود نمی گردد، بلکه تخمین تلاطم دارایی پایه ی این مشتقات نیز از اهمیت بسیاری در پژوهش های مالی ـ به ویژه در تحقیقات اخیر ـ برخوردار است. تحقیقات بسیار مهم و ارزشمندی در این زمینه انجام شده است، که در این پایان نامه درنظر داریم یکی از آنها را ارائه کرده و به طور کامل مورد تجزیه و تحلیل قرار دهیم. بر این اساس بازارهایی را مورد مطالعه قرار می دهیم که در آنها قیمت گذاری مشتقات بر پایه ی تخمین تلاطم با توجه به مکانیزم های موجود در آن بازار انجام می شود. در این پایان نامه درنظر داریم از مدل دارایی پایه ای استفاده کنیم که تلاطم آن مجهول است و فرض می کنیم این تلاطم را می توان به دو بخش لبخند و ساختار زمانی تفکیک نمود. سپس یک برگه ی اختیار اروپایی روی این مدل دارایی پایه تعریف کرده و معادلات قیمت گذاری (بلک ـ شولز و دوپیر) مربوط به آن را بدست می آوریم. از آن جایی که در این معادلات علاوه بر قیمت اختیار، تلاطم قیمت دارایی پایه نیز مجهول است، بنا به تعریف با یک مسئله معکوس مواجه ایم. به موجب تفکیک تلاطم به دو بخش لبخند و ساختار زمانی، مسئله ی معکوس تخمین تلاطم به دو مسئله ی کوچکتر مستقل؛ مسئله ی معکوس لبخند و مسئله ی معکوس ساختار زمانی تقسیم می شود. در این پایان نامه هر کدام از این دو مسئله به طور مستقل مورد بررسی و کنکاش قرار می گیرد. مسائل فوق را با تعریف یک تابعک منظم ساز تیخونوف و روش های پیشرفته ی ریاضی حل می کنیم.

هدف از این پژوهش بررسی مدلهای قیمت گذاری نفت با پرش و بدون پرش است. در این خصوص ابتدا، جمله پرش را معرفی کرده، سپس با افزودن آن به معادله دیفرانسیل تصادفی، مدل پرش-انتشار را می سازیم. این پژوهش با معرفی بسط های معادلات دیفرانسیل تصادفی با پرش و بدون پرش آغاز می شود. سپس برای هر کدام از این بسط های تصادفی مثال های عددی ارائه می کنیم. سرانجام، با استفاده از برآورد حداکثر درست نمایی و روش گشتاورها برای داده های قیمت نفت ایران، مدلی ارائه می کنی

در این پایان نامه مفهوم مسئله ی معکوس در ادبیات معادلات دیفرانسیل جزئی و مسئله ی کنترل بهین را معرفی می کنیم. رابطه ی این مسئله و قیمت گذاری مشتقات را با استفاده از مدل بلک و شولز مورد بررسی قرار می دهیم. با استفاده از روش تابع گرین و روش مینیمم سازی تیخونوف، وجود و یکتایی جواب مسئله ی معکوس مورد نظر را ثابت کرده و آن را در قیمت گذاری اختیار معامله به کار می بریم.

با توجه به رشد روزافزون ریاضیات مالی و به خصوص قیمت گذاری قرارداد اختیار در چند دهه اخیر، دانشمندان بسیاری در این زمینه تحقیقاتی انجام داده اند که در واقع نشان دهنده تاثیر چشمگیر ریاضیات در امور مالی و اقتصادی است. تحقیقات در این زمینه از سال ‎$1880$‎ آغاز شده و تاکنون نیز ادامه دارد. در ابتدا مردم بر این باور بودند که ریاضیات و اقتصاد دو علم مجزا هستند و امور مالی را نمی توان در قالب علم و منطق ریاضی قرار داد؛ اما با گذشت زمان و پیشرفت علم، این نتیجه حاصل شده است که امور مالی و ریاضیات دو علم تفکیک ناپذیر و مکمل هستند. امروزه ریاضیات مالی به عنوان یک رشته مجزا در بسیاری از دانشگاه های دنیا رونق یافته و تدریس می شود. از جمله مباحث مهم در ریاضیات مالی مسئله قیمت گذاری اختیار است. در ابتدا قیمت گذاری اختیار به صورت تجربی و بدون محاسبات ریاضی انجام می شد؛ پس از معرفی مدل بلک-شولز توسط فیشر بلک، میرن شولز و رابرت مرتون، تحول بزرگی در امور مالی صورت گرفت. از آن پس سرمایه داران و کارگزاران برای داشتن سود بیشتر و معامله بهتر از ریاضیدانان استفاده می کردند. امروزه، ریاضیات مالی از جمله رشته هایی است که دارای اهمیت فراوانی در دنیا است و در مقایسه با سایر رشته ها، درآمد نسبتاً زیادی داشته و همچنان در حال پیشرفت است. ابتدا قیمت گذاری اختیار آمریکایی که دارای مرز آزاد است، معرفی و سپس با استفاده از تبدیل تثبیت پیشگیرانه و روش جریمه، مسئله قیمت گذاری اختیار آمریکایی حل می شود، در پایان با استفاده از تقریبات گویا پایداری خطی مسئله بررسی می گردد. در فصل اول به بیان تاریخچه ای از ریاضیات مالی، معرفی قیمت گذاری اختیار و انواع آن، تحلیل معادله بلک-شولز و شرایط مرزی مسئله قیمت گذاری اختیار را می پردازیم. در ادامه با توجه به آزاد بودن مرز مسئله قیمت گذاری اختیار آمریکایی، به بررسی مرز اعمال بهین برای اختیار خرید و فروش آمریکایی می پردازیم و در پایان فرمول قیمت گذاری اختیار آمریکایی را بیان می کنیم در فصل دوم به بیان روش های حل مسئله قیمت گذاری اختیار آمریکایی پرداخته و تقریبات گویا را برای بررسی پایداری معادلات دیفرانسیل خطی به کار می بریم. در فصل سوم با استفاده از تبدیل تثبیت پیشگیرانه مرز آزاد، مسئله قیمت گذاری اختیار آمریکایی را به دامنه ثابت تبدیل کرده و با استفاده از روش تفاضلات متناهی آن را حل می کنیم. در فصل چهارم با به کاربردن روش جریمه کران آزاد، مسئله قیمت گذاری اختیار آمریکایی را محدود کرده و با استفاده از روش خطوط، روش های چندگامی ضمنی و روش پیشگو-اصلاحگر ضمنی مسئله را حل می کنیم و سپس با استفاده از تقریبات گویا و تقریبات پاده، پایداری مسئله را بررسی می کنیم. در فصل پنجم روش های معرفی شده را برای اختیارهای اروپایی و اختیار دیجیتال و اختیار آمریکایی پیاده سازی می نماییم. لازم به ذکر است که همه برنامه های لازم با استفاده از نرم افزار ‎matlab 11‎ نوشته شده که به دلیل حجم زیاد، این برنامه ها به جای پیوست در آخر پایان نامه، در یک ‎cd‎ ضمیمه شده اند.

اختیارات بامانع به دلیل وجود بازده صفر قبل از سررسید ارزان تر از اختیارات اروپایی می باشند. قیمت کم این اختیارات باعث جذابیت این نوع اختیارات برای فعالان بازار سرمایه شده است در این پایان نامه با استفاده از ویژگی پل براونی به قیمت گذاری این نوع از اختیارات بامانع پرداخته ایم. در این پایان نامه انواع مختلف اختیارات بامانع را معرفی و قیمت گذاری شده است. در ادامه قیمت انواع اختیارات بامانع را با استفاده از شبیه سازی مونت-کارلو بدست آورده ونتایج حاصل را بانتایج حاصل از فرمول های تحلیلی مقایسه کرده ایم.

هدف این مطالعه بررسی مدل تصادفی رژیم سویچینگ برای نرخ بهره کوتاه مدت در بازار ارز ایران است. در این راستا ابتدا به بررسی مدلهای تصادفی نرخ بهره کوتاه مدت می پردازیم و به بررسی مدلهای عمده در این زمینه مبادرت می کنیم. بدین منظور مدلهای انتشار، نوسان تصادفی، رژیم سویچینگ و مدل نوسان تصادفی رژیم سویچینگ را مورد بررسی قرار خواهیم داد و مزایا و معایب این مدلها را مورد تاکید قرار خواهیم داد. در ادامه به بررسی جامع مدل رژیم سوچینگ و انواع آن خواهیم پرداخت. در این راستا ابتدا به معرفی مدل رژیم سویچینگ آستانهای و مارکوف سویچینگ میپردازیم. سپس انواع مدلهای مارکوف سویچینگ که براساس تابع انتقال انها تقسیم میشوند را بررسی خواهیم کرد و الگوریتمهایی را برای براورد پارامترهای این مدلها عنوان خواهیم کرد. سپس به بررسی دادههای نرخ برابری ارز پوند انگلستان – ریال میپردازیم و مدلهای مختلفی که پیشتر عنوان کردیم را در این دادهها مورد بررسی قرار میدهیم و بهترین مدل را انتخاب خواهیم کرد. در نهایت سیاستهایی را در جهت پیشگیری از تغییرات رژیم پیاپی و پرشهای شدید معرفی خواهیم کرد. کلمات کلیدی : مدلهای تصادفی نرخ بهره، مدل رژیم سویچینگ، مدل رژیم سویچینگ آستانه ای، مدل مارکوف سویچینگ، تابع انتقال، نرخ برابری ارز

در این تحقیق یک طرح عددی جدید که بر مبنای روش adi ‎ می باشد برای قیمت گذاری اختیار فروش امریکایی تحت مدل نوسان پذیری تصادفی ارایه می گردد. یک تبدیل پیش رو-ثابت‎‎ برای تبدیل یک مجهول بی کران به یک معلوم با مرز مشخص و ثابت در فضای انتقال یافته به کار برده می شود. سپس یک طرح پیشگو-اصلاح گر تفاضل متناهی را برای یافتن قیمت اجرای بهینه و ارزش اختیار به طور هم زمان به کار می بریم. براساس تحلیل پایداری محلی نیومن، ابتدا یک تحلیل پایداری انجام گرفته و سپس قسمت عددی آن مورد بررسی قرار گرفته است. نشان داده می شود که ناپایداری معرفی شده توسط پیشگو می تواند در برخی حوزه ها به همراه روش ‎ adi ‎ به کار برده شده در اصلاح گر، میرا شود. نتایج آزمایشات مختلف عددی نشان می دهد که این تخمین جدید سریع تر و دقیق تر بوده و نیز به سادگی قابل تعمیم به دیگر مشتقات مالی با سر رسیدی به فرم امریکایی می باشد. مزیت دیگر این تحقیق ‎ارایه پیشنهاد در مورد اختصاص یک سری شرایط مرزی، به ویژه برای نوسان پذیری می باشد که به محض انجام نگرفتن این کار، در نوشته های مختلف، به ویژه در مدل های نوسان پذیری تصادفی برای نوسان پذیری، بحث های مختلف پیش می آید. یک توجیه عمیق ریاضی نیز برای شرایط مرزی، به خوبی توجیحات مالی ارایه شده است.

با استفاده از روش های عددی و محاسبات مبتنی بر تقریب می توان قیمت اختیار امریکایی را به دست اورد.یکی از این روش های عددی،روش شبیه سازی مونت کارلو است.هنگامی که ابعاد مسیله افزایش یابو، این روش بسیار مورد توجه قرار می گیرد. هدف ما معرفی این روش و به کارگیری آن در قیمت گذاری اختیارات امریکایی است. به همین دلیل سه روش از روش های شبیه سازی مونت کارلو به نام روش درخت تصادفی،شبکه تصادفی و رگرسیون را برای قیمت گذاری اختیارات امریکایی معرفی می کنیم.

در این پایا‎‎ن نامه‏، روش بازی دیفرانسیل تصادفی‎ را برای مینیم‎کردن ریسک سبد تحت یک مدل رژیم سویچینگ مارکوف زمان پیوسته بررسی می‎‎‏ کنیم. در این جا فرض می کنیم سرمایه گذار فقط در حساب بازار پول و سهام می تواند سرمایه گذاری کند که فرایند قیمت سهام از مدل رژیم سویچینگ‎ مارکوف حرکت براونی هندسی تبعیت می کند. نرخ بهره حساب بازار پول‏، نرخ رانش و تلاطم قیمت سهام با زنجیر مارکوف زمان پیوسته مدل بندی شده اند. مسئله را با مدل بازی دیفرانسیل تصادفی رژیم سویچینگ مارکوف با دو بازیکن‏، یعنی سرمایه گذار و بازار فرمول بندی می کنیم. در این مدل سرمایه گذار با دو منبع ریسک‏، یعنی‏، ریسک انتشار ناشی از نوسانات قیمت های مالی و ریسک رژیم سویچینگ به دلیل تغییر در شرایط اقتصادی مواجه می شود. در این جا‏، این دو منبع ریسک را در ارزیابی و کنترل منابع ریسک سرمایه گذار به حساب می آوریم.

یکی از مهم ترین مسایل بازارهای سرمایه که در حوزه ریاضیات مالی پاسخ داده می شود، مساله مدل سازی و قیمت گذاری مشتقات است. مشتقات ابزارهای مالی هستند که ارزششان به نوسانات قیمت دارایی پایه – که می تواند سهام شرکتی، نرخ بهره، نرخ ارز، قیمت یک مشتقه مالی دیگر باشد- وابسته است. در این میان اختیارات اوراق قرضه، قراردادهای نسبتاً جدیدی هستند که مورد توجه تحلیل گران مالی و سرمایه گذاران قرار گرفته است. مکانیسم این نوع مشتقات به طور مختصر به این صورت است که، دارایی پایه اختیار معامله، اوراق قرضه است. از آن جایی که رابطه تنگاتنگی بین اوراق قرضه و نرخ بهره کوتاه مدت وجود دارد، تغییر قیمت در این نوع اختیار به شدت به رفتار نرخ بهره وابسته است، از این رو آشنایی با مدل های نرخ بهره می تواند در مطالعه این نوع از اختیارات مفید واقع شود. ‎لذا‎ در ابتدا مدل های نرخ بهره و اوراق قرضه بدون کوپن بررسی می شود و سپس نحوه مدل سازی قیمت یک ورقه قرضه تحت دینامیک نرخ بهره کوتاه مدت ارایه می گردد. در مرحله بعد با مطالعه اختیارات آمریکایی‏، نشان می دهیم که مدل قیمت این اختیارات منجر به یک مساله کران متحرک می شود‏، حل این نوع مسایل به خاطر وجود کران های متحرک پیچیده است‏، لذا برای رهایی از کران های متحر‎ک‎، مساله متمم را معرفی می کنیم و نشان می دهیم جواب مساله متمم معادل با جواب مساله اصلی است. در ادامه اختیارات آمریکایی تحت دارایی پایه اوراق قرضه را مورد بحث و بررسی قرار می دهیم و مساله کران متحر‎ک‎ و مساله متمم را برای این نوع اختیارات نیز ارایه می کنیم.‎‎ ‎ سپس با معرفی روش حجم متناهی‏ و جریمه‏، این روش ها برای تقریب جواب مساله متمم برخاسته از مساله قیمت گذاری اختیارات آمریکایی تحت اوراق قرضه بدون کوپن پیاده سازی می شوند. و ‎در‎ پایان نتایج حاصل از پیاده سازی روش های عددی را و با نتایج حاصل از الگوریتم برنان-شوارتز مقایسه می کنیم.

در این پایان نامه با استفاده از طیف وسیعی از رویکردهای عددی مانند روش تحلیلی، روش مونت کارلو و روش تفاضلات متناهی قیمت اختیارهای اروپایی و آمریکایی را در مدل های هستون کلاسیک و هستون دوگانه بدست آورده ایم و با نمایش اثر تبسم تلاطم ضمنی در سررسیدهای کوتاه مدت نشان داده ایم که مدل هستون دوگانه کارکرد بهتری نسبت به مدل هستون کلاسیک دارد.

یکی از رایج ترین اختیارات نامتعارف، اختیارات پس نگر است که در این پایان نامه مورد مطالعه قرار می دهیم. مدل های تلاطم را بررسی کرده و اختیار پس نگر را تحت مدل تلاطم تصادفی قیمت گذاری می کنیم. از ویژگی حرکت براونی هندسی و مدل بلک - شولز استفاده کرده و اختیارات خرید و فروش پس نگر با قیمت توافقی ثابت و شناور را قیمت گذاری می کنیم. با بیان مفاهیم اصلی شبیه سازی مونت کارلو، قیمت اختیار پس نگر با قیمت توافقی شناور را به دست آورده و نتایج حاصل از شبیه سازی مونت کارلو اصلاح شده و اصلاح نشده را با یکدیگر مقایسه می کنیم.

در این پایان نامه سهامی با فرایند پرش-انتشار در نظر گرفته شده، سپس با فرض هزینه معامله و مالیات، مدلی برای سود حاصل از این سهام ارائه شده است. در این مدل، مولفه ی پرشی یک فرایند پوآسون مرکب با پرش های منفی در نظر گرفته شده است. سود سهام پس از کسر هزینه های معامله و مالیات در زمان های گسسته به صاحبان سهام پرداخت می شود. هدف، تعیین مقدار سود پرداختی در زمان پرداخت است به طوری که ارزش فعلی مجموع سودهای پرداختی مورد انتظار تا زمانی که سهام سود ده هستند، ماکزیمم شود. این هدف در قالب یک مسئله ی کنترل ضربه بیان شده است. همچنین نشان دادیم که جواب این مسئله ی کنترلی، معادل با جواب یک مسئله ی مقدار مرزی است. ثابت کردیم که استراتژی پرداخت یکجای سود با مانع، یک سیاست بهینه است. به عبارت دیگر زمانی که قیمت سهام برابر یا بیشتر از مانع بالایی بهینه شود، با پرداخت سود به مانع پایینی بهینه کاهش می یابد. در پایان، مانع های بالایی و پایینی بهینه به صورت عددی محاسبه شده است.

در این پایان نامه، با ایده گرفتن از مشتقات مالی، به مدل سازی قیمت اوراق قرضه باکوپن قابل بازخرید با اعلام می پردازیم. از آنجایی که یک ورقه مشتقه روی دارایی پایه بسته می شود، در این پایان نامه ورقه قرضه با کوپن قابل بازخرید با اعلام را به عنوان مشتقه و نرخ بهره را به عنوان دارایی پایه درنظر می گیریم. بنابراین با ارائه مدل های مناسب برای نرخ بهره (دارایی پایه)، این ابزار مالی را مدل سازی می کنیم. از آنجا که پرداخت سود گسسته و قابلیت اعلام، منجر به ناپیوستگی قیمت در کوپن ها و در تاریخ های بازخرید می شود، نمی توان روش هایی که قبلا برای قیمت گذاری مشتقات استفاده می شده، به کار برد. در این پایان نامه در نظر داریم، ابتدا قیمت این ابزار مالی را مدل سازی کرده و سپس با استفاده از ترکیب روش مشخصه ها و روش عناصر متناهی، به حل این مدل بپردازیم و در آخر نتایج عددی را بیان می کنیم.

در این پایان نامه دو روش‏ برای محاسبه ی مرز اجرای زودهنگام اختیار فروش آمریکایی ارائه می دهیم. بدین منظور ابتدا در فصل اول خواننده را با اختیار فروش آمریکایی و اجرای زودهنگام آن آشنا می کنیم. در فصل دوم روش منسوب به استامیکار، سوچوویچ و چادمن را مورد بررسی قرار می دهیم. در این فصل یک دستگاه معادلات غیرخطی را بدست آورده و حل می کنیم. در فصل سوم به معرفی روش عددی الگوریتم تکرار موضعی می پردازیم که بر اساس دستگاه معادلات غیرخطی بدست آمده در فصل دوم پایه ریزی شده است. در فصل چهارم این دو روش را با استفاده از معیا‎‏ر‎ ‎psor‎ ‎‎‎‎ ‎‎‏ ‏، در افق های زمانی کوتاه مدت و بلندمدت مقایسه می کنیم. سرانجام به مقایسه ی قیمت اختیار فروش آمریکایی و قیمت برآورد شده ی این اختیار می پردازیم.