در این رساله، روش عددی جدیدی برای حل مسأله ی هدایت گرمایی معکوس بدون استفاده از شبکه بندی و انتگرال گیری به کار گرفته شده است. در این روش عددی با استفاده از جواب بنیادی، به عنوان توابع پایه ای، جواب اصلی معادله گرما مطرح می شود که برای تقریب درجه گرمای توزیع شده، لازم است فقط در شرط کرانه ای و داده های معلوم صدق کند آنگاه دستگاه معادلا خطی بد وضع حاصل می شود که برای حل آن، روش منظم سازی تیخانف و منحنی را به طور موفقیت آمیزی به کار می گیریم

در این پایان نامه، روش های عددی از مرتبه دقت بالا را برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی سخت و غیرخطی وابسته به زمان به کار می بریم. برای این کار ابتدا مشتقات مکانی معادله ی دیفرانسیل را با روش های طیفی (طیفی فوریه برای مسائل متناوب و طیفی چبیشف برای مسائل با شرایط کرانه ای دیریکله و نیومن) گسسته سازی می نمائیم تا دستگاهی از معادلات دیفرانسیل معمولی حاصل شود. سپس روش هائی از مرتبه ی دقت چهار مانند روش های ضمنی- صریح، روش عامل انتگرال گیری، روش های تفاضلات زمانی نمائی و روش های تفاضلات زمانی نمائی رونگه- کوتا را برای حل دستگاه حاصل، مورد استفاده قرار می دهیم. پس از آن با بیان الگوریتم هائی، روش های تفاضلات زمانی نمائی و روش های تفاضلات زمانی نمائی رونگه- کوتا را بهبود می دهیم. نتایج عددی حاصل از به کارگیری روش های فوق روی برخی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی سخت و غیرخطی وابسته به زمان، نشان می دهد که روش تفاضلات زمانی رونگه-کوتای بهبود یافته دارای نتایج عددی بهتری نسبت به دیگر روش ها می باشد.

با به کار بردن دو تبدیل معکوس پذیر به حل عددی یک مساله ی هدایت گرمایی معکوس می پردازیم. در این روش ابتدا مساله ی مورد نظر را استاندارد نموده و با استفاده از چند طرح تفاضلات متناهی به حل عددی مساله ی استاندارد شده می پردازیم.در نهایت با استفاده از چند مثال این روش ها را با هم مقایسه می کنیم.

هدف اصلی در این رساله، حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم خطی با تأخیر زمانی به صورت باشرایط آمیخته با استفاده از روش های تیلور، هم محلی چبیشف و هم محلی لژاندر می باشد .که در آن تابع مجهول، ، و توابع معلوم در و همچنین تابع معلوم در و ضرایب ، ، و ها ثابت های معلوم می باشد. در روش بسط تیلور، جواب را به صورت سری تیلور قطع شده تقریب می زنیم. به دنبال ضرایب بسط تیلور می باشیم که در نهایت از حل یک دستگاه معادلات خطی، ضرایب مجهول تیلور به دست می آیند. در روش های هم محلی چبیشف و لژاندر، سری چبیشف و لژاندر قطع شده جواب معادله را در نظر گرفته و معادله انتگرال-دیفرانسیل و شرایط داده شده را به یک معادله ماتریسی تبدیل می کنیم، سپس با استفاده از نقاط هم محلی چبیشف در روش چبیشف و نقاط گاوس-لژاندر در روش لژاندر، معادله ماتریسی تبدیل به یک دستگاه از معادلات جبری خطی با ضرایب مجهول چبیشف و لژاندر می شود. در آخر کارایی روش را با مثال هایی مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم. همچنین روش های فوق را برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم غیرخطی با تأخیر زمانی با شرایط آمیخته نیز به کار می بریم.

چکیده در این پایان نامه روش های عددی کارا برای پیدا کردن جواب چند رده از معادلات بر اساس پایه چندجمله ای های برنشتاین ارائه می شود. معادلات مطرح شده، معادله دیفرانسیل خطی، معادلات انتگرال و انتگرال ـ دیفرانسیل فردهلم خطی و غیر خطی و معادلات انتگرال ولترای خطی و غیر خطی می باشند. ایده اصلی در این روش ها، استفاده از ماتریس های عملیاتی چندجمله ای های برنشتاین می باشد. بدین منظور، نخست جواب معادله موردنظر را به صورت c^t b(t) (که در آن c بردار ضرایب مجهول و ‎ b(t) بردار پایه برنشتاین می باشد) تقریب زده و سپس با بکارگیری ماتریس های عملیاتی این چندجمله ای ها، این معادله را به یک معادله ماتریسی هم ارز که با یک دستگاه از معادلات جبری با ضرایب مجهول برنشتاین مطابقت دارد، تبدیل می کنیم. جواب این معادله ماتریسی بردار ضرایبc را بدست می دهد. در انتهای هر روش تعدادی مثال عددی ارائه می شود و نتایج آن ها با نتایج عددی بدست آمده از دیگر روش ها ی موجود برای حل این معادلات مقایسه می شود. همچنین، با تعویض بردار پایه ‎ b(t)با بردار پایه توابع چندمقیاسی ‎(هایبرید)‎ برنشتاین‎ ?(t)، روش های یاد شده را برای حل معادلات انتگرال فردهلم خطی وغیرخطی نیز بکار می بریم و همان معادلاتی را که نخست با پایه برنشتاین حل نمودیم با پایه توابع چندمقیاسی برنشتاین نیز مورد مطالعه قرار می دهیم و نتایج حاصل از دو پایه را با هم مقایسه می نماییم.

هدف اصلی در این پایان نامه‎،‎ حل مسأله مقدار اولیه مرتبه کسری به شکل زیر با استفاده از موجک هار می باشد‎:‎ که در آن ‎ تابع مجهول‎، ‎ مشتق کسری از نوع کاپوتو از مرتبه و می باشد‎.‎ ‎در روش ارائه شده‎،‎ جواب مسأله را به صورت تقریب می زنیم که در آن ‎ بردار مجهول و ‎بردار پایه موجک هار است‎.‎ سپس با استفاده از خواص موجک هار و استفاده از ماتریس عملیاتی انتگرال کسری موجک هار بردار ‎ از حل یک دستگاه معادلات جبری خطی یا غیر خطی بدست می آید‎.‎ در ادامه به حل معادلات انتگرال ولترای مرتبه کسری به شکل زیر با استفاده از روش هم محلی می پردازیم‎:‎ ‎ که در آن هسته ‎ و تابع ‎‎ معلوم و ‎ عدد حقیقی مثبت است‎.‎ ‎ در نهایت یک رده خاص از معادله انتگرال ـ دیفرانسیل فردهلم غیرخطی همرشتاین از مرتبه کسری ‎ با شرایط اولیه زیر را در نظر می گیریم‎،‎ که در آن ‎ یک عدد صحیح مثبت است‎.‎ در ضمن ‎ و توابعی معلوم و ‎ تابع مجهول می باشد‎.‎ واژه های کلیدی: حساب دیفرانسیل و انتگرال کسری‎،‎ معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری‎،‎ معادلات انتگرال‎-‎ دیفرانسیل فردهلم غیرخطی همرشتاین مرتبه کسری‎،‎ انتگرال و مشتق ریمان ‎-‎ لیوویل‎،‎ مشتق کاپوتو‎،‎ موجک هار.

هدف اصلی این رساله ، حل مسأله هذلولوی مرتبه دوم خطی : است که در آن ، و توابع معلوم، و و مشتقهایشان توابعی پیوسته از هستند. ، و ضرایب و اعداد مشخص می باشد . تابع در این مسأله مجهول می باشدکه با شش روش عددی ( تفاضلی اسپلاین با سه سطح ، تفاضلی اسپلاین با دو سطح ، نیمه گسسته سازی با دو سطح ، صریح ، ضمنی کرانک ـ نیکلسون و تفاضلی فشرده) تقریبی از آن را به دست می آوریم . در روش تفاضلی اسپلاین با سه سطح ، در راستای مکان ، درونیاب اسپلاین درجه چهارم و در راستای زمان ، گسسته سازی تفاضل متناهی آورده شده است و دقت ازمرتبه دارد . در روش تفاضلی اسپلاین با دو سطح ، در راستای مکان،درونیاب اسپلاین درجه چهارم و درراستای زمان،فرمول ذوزنقه ای تعمیم یافته به کار رفته است و دقت این روش در راستای مکان مرتبه چهارم و با انتخاب پارامتر مناسب دقت در راستای زمان مرتبه سوم می شود . در روش نیمه گسسته سازی با دو سطح ، دو فرمول عددی برای حل مسأله ذکر شده است ، در حالتی که تابعی از و حالتی که شرایط کرانه ای دیریکله همگن باشد . دقت این دو روش در مقایسه با سایر روشهای ذکر شده بالاتر است و مرتبه دقت آن ها و می باشد.در روش صریح برای تمامی مشتق ها، تفاضلات مرکزی را به کار می بریم. در روش ضمنی کرانک ـ نیکلسون برای مشتقات زمانی تفاضلات مرکزی را به کار می بریم و برای مشتق مکانی در نقطه قرار می دهیم و همچنین به جای در نقطه قرار می دهیم . هر دو روش صریح و ضمنی دقت از مرتبه دارند . روش تفاضلی فشرده از مرتبه است و در آن برای مشتقات زمانی و مکانی مرتبه دوم از عملگر تفاضلی فشرده استفاده می کنیم . در این پایان نامه معادله هذلولوی مرتبه دوم غیرخطی : , , , که در آن ، و ثابتهای مثبت و تابعی از است را با شرایط اولیه , , و شرایط کرانه ای دیریکله ، نیومن یا روبین مورد مطالعه قرار می دهیم . در این مسأله مجهول می باشد که ابتدا به روش تفاضل متناهی تقریبی از آن را به دست می آوریم و در روش دیگر با تبدیل معادله به یک معادله انتگرال ـ دیفرانسیل ولترا نوع دوم به حل آن می پردازیم همچنین به کاربرد اینگونه مسائل در طبیعت نیز پرداخته شده است .

مسأله هدایت گرمای پسرو را به عنوان یک مسأله مقدار کرانه ای می شناسند. در حالت کلی معمولاً جوابی که در معادله گرما با مقدار اولیه و شرایط کرانه ای صدق کند، وجود ندارد. (این مسأله یک مثال واقعی از یک مسأله بدخیم است که به روش های نظام بخشی به خصوصی نیاز دارد.) [1] در این رساله سه روش عددی ارائه شده است. روش اول حل بنیادی می باشد که بدون استفاده از شبکه بندی و انتگرال گیری به کار گرفته شده است. در این روش با استفاده از جواب بنیادی، به عنوان توابع پایه ای، جواب اصلی معادله گرما مطرح می شود که برای تقریب درجه گرمای توزیع شده، لازم است فقط در شرط کرانه ای و داده های معلوم صدق کند. آنگاه دستگاه معادلات خطی بدوضع حاصل می شود که برای حل آن، روش منظم سازی تیخانف و روش منحنی ال را به طور موفقیت آمیزی به کار می گیریم. دو روش دیگر عبارت اند از روش تفاضل مرکزی و روش برگشت پذیر تقریبی، بعد از شرح مراحل هر دو روش به صورت جداگانه، آنها را در مثال های عددی با هم مقایسه می کنیم.

دراین پایان نامه روش هم محلی سینک برای حل معادلات انتگرال فردهلم-ولترا و معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم-ولترا خطی و غیرخطی به کار گرفته شده است. در این روش ابتدا پاسخ معادله را به صورت بسطی از توابع پایه ای سینک در نظر گرفته، سپس با استفاده از خواص توابع سینک و جایگذاری نقاط گره ای سینک، معادله مورد نظر به یک دستگاه معادله جبری خطی یا غیرخطی تبدیل می شود که با استفاده از برنامه کامپیوتری ضرایب مجهول به راحتی قابل محاسبه می باشند. نسبت همگرایی روش، نماییاست، بنابراین روش دارای دقت خوب و از سرعت و همگرایی بالایی برخوردار است. این روش برای حل معادلاتی که در انتهای بازه نقاط تکین دارند، موثر است.

در این پایان نامه ضرورت استفاده از موجک ها، تعریف و طرز ساختن آن ها بیان شده و همچنین به تعریف های گوناگونی از مشتق و انتگرال کسری و نحوه پیدایش آن ها و تعاریفی از مشتقات جزئی کسری پرداختیم. در ادامه نحوه تقریب زدن توابع یک متغیره و دو متغیره را با استفاده از موجک هار شرح می دهیم. ماتریس عملیاتی انتگرال کسری موجک هار را با استفاده از ماتریس عملیاتی انتگرال کسری بلاک - پالس به دست آوردیم و با کمک آن دو نوع معادله دیفرانسیل کسری - مکانی و کسری - زمانی را که به ترتیب در آن ها مشتق کسری - مکانی کاپوتو و مشتق کسری - زمانی کاپوتو وجود دارد، به معادلات ماتریسی نوع لیاپانوف تبدیل می کنیم که قابل حل به کمک برنامه نویسی کامپیوتری می باشد. و در نهایت به حل عددی چند مثال می پردازیم تا کارایی روش را نشان دهیم. ‍

در این پژوهش ابتدا به معرفی توابع متعامد گویا به عنوان پایه ای برای بازه نیمه متناهی پرداخته و برخی از خواص این توابع را بیان می کنیم و سپس به حل مسائلی که در این بازه رخ می دهند می پردازیم. برای حل این مسائل از روش شبه طیفی یا هم مکانی با نقاط گره ای گاوس-رادو استفاده می کنیم. با به کار بردن این توابع و نقاط گره ای، معادلات دیفرانسیل مورد نظر را به یک سیستم معادلات جبری خطی یا غیرخطی تبدیل کرده و از حل این سیستم جبری تقریبی برای جواب مساله به دست می آوریم و آن را با جواب دقیق معادله یا جواب به دست آمده توسط روش های دیگر مقایسه می کنیم.

بدین منظور نخست به گسسته سازی مساله به روش ضمنی کرانک-نیکلسون می پردازیم. سپس به روش جداسازی متغیرها جواب مساله را به صورت حاصلضربی از توابع مجزای معین با متغیرهای مجزا در نظر می گیریم. با جایگذاری جواب مفروض در طرح تفاضلی حاصل از گسسته سازی به یک مساله ی اشتورم-لیوویل گسسته دست می یابیم و سپس با استفاده از خواص مسائل اشتورم-لیوویل گسسته، جواب مساله را به صورت یک سری که جملات آن به صورت مضرب هایی از توابع ویژه مساله اشتورم-لیوویل گسسته به دست آمده می باشند، در نظر می گیریم و به محاسبه ی مضارب این سری می پردازیم.

روش جواب های بنیادی، الگوریتمی است که جواب تقریبی برای حل برخی مسائل بیضوی با مقادیر کرانه ای را فراهم می سازد. همچنین در این نوشتار به حل مسائل هارمونیک معکوس همگن و ناهمگن به روش جواب های بنیادی پرداخته شده است

در این پایان نامه روش های عددی برای حل تقریبی چند رده از معادلات بر اساس بسط بر پایه تیلر, هایبرید تیلر و هایبرید لژاندر ارایه شد. و روش های تقریبی ارایه شده با هم مقایسه شدند.

در این رساله، روش های عددی برای به دست آوردن جواب های تقریبی برای معادلات انتگرال دو بعدی خطی و غیر خطی مطرح می شوند و با استفاده از توابع متعامد لژاندر انتقال یافته دو بعدی، توابع هایبرید لژاندر و خواص اساسی این دو دسته از توابع پایه ای به حل عددی انواع معادلات انتگرال دو بعدی می پردازیم. ابتدا، معادلات انتگرال فردهلم و ولترای دو بعدی خطی در نظر گرفته می شوند. شرایط لازم برای وجود و یکتایی جواب برای این نوع از معادلات مطرح می شوند. با استفاده از خواص توابع لژاندر انتقال یافته دو بعدی، روش هایی برای حل عددی معادلات در نظر گرفته شده پیشنهاد می شوند. این روش ها معادلات مفروض را به طور مستقیم به دستگاهی از معادلات جبری خطی تبدیل می کنند. همگرایی روش های مطرح شده و جواب عددی حاصل مورد بررسی قرار می گیرد. سپس، معادلات انتگرال دو بعدی غیر خطی را در نظر می گیریم. شرایط لازم برای وجود و یکتایی جواب را به دست می آوریم. با بکارگیری خواص توابع متعامد لژاندر دو بعدی به همراه نقاط هم محلی، که همان نقاط گاوس-لژاندر انتقال یافته هستند، هر یک از معادلات مفروض را به دستگاهی از معادلات جبری غیر خطی تبدیل می کنیم. با حل این دستگاه ها، جواب تقریبی برای این معادلات حاصل می شود. در آخر، با استفاده از روش نیمه-گسسته سازی بر پایه توابع متعامد هایبرید لژاندر و بلاک-پالس به حل عددی معادلات انتگرال فردهلم-ولترای آمیخته دو بعدی خطی و غیر خطی می پردازیم. آنالیز همگرایی روش مورد بحث قرار می گیرد. برای نشان دادن کارایی روش های مطرح شده برای هر یک از انواع معادلات مثال هایی ارائه می شود.

هدف اصلی در این رساله حل عددی دسته ای از مسائل کنترل بهینه تحت قیود معادلات انتگرالی است. ابتدا روشی مستقیم بر اساس بسط تیلور و پارامتری سازی برای محاسبه جواب تقریبی مسأله ارائه می شود . براساس این روش، الگوریتمی کارا و در عین حال ساده برای حل این رده از مسائل پیشنهاد می شود. سپس به روش حل مسائل کنترل بهینه با استفاده از چند جمله ای های لژاندر انتقال یافته با ضرایب مجهول به عنوان تقریبی از جواب در نظر گرفته می شود. شاخصه اصلی این تکنیک آن است که با استفاده ازماتریس های عملیاتی انتگرال و حاصلضرب قید معادله انتگرال را به دستگاهی با معادلات جبری تبدیل می کند. در ادامه با استفاده از گره های لژاندر-گاوس- لوباتو حل عددی دسته ای از مسائل کنترل بهینه با قید معادلات انتگرالی همرشتاین ارائه می شود. سرانجام با استفاده از توابع متعامد هایبرید لژاندر به روش عددی مسائل کنترل بهینه سیستم های با تأخیر زمانی می پردازیم. در پایان هر بخش دقت و کارایی روش با ارائه چند مثال ارائه می شود.

چکیده پایان نامه هدف اصلی در این رساله حل معادلات انتگرال فردهلم به شکل زیر با استفاده از روش گالرکین می باشد: y(x)=f(x)+?_0^1??k(x,t) ?[y(t)]?^p dt, 0<x<1? که در آن y تابعی مجهول و k تابعی معلوم در l^2 ([0,1]×[0,1]) و f تابعی معلوم در l^2 ([0,1]) می باشد و p یک عدد صحیح مثبت است . با استفاده از روش گالرکین بر پایه موجک لژاندر،جواب را به صورت c^t ? (x) تقریب می زنیم که در آن c بردار مجهول و? (x) بردار پایه ی موجک لژاندر می باشد. در این روش با استفاده از پایه موجک لژاندر و خواص آن،مسأله تبدیل به یک دستگاه غیرخطی می شود که از حل آن جواب معادله انتگرال غیرخطی تقریب زده می شود. برای این منظور ابتدا روش را برای معادله انتگرال خطی فردهلم و ولترای نوع اول، معادله انتگرال خطی ولترا -فردهلم نوع دوم و در انتها معادله ولترای غیرخطی نوع دوم به ترتیب به صورت زیر به کار می بریم: f(x)=?_0^1??k(x,t)y[t]dt, ? f(x)=?_0^x?k(x,t)y[t]dt, y(x)=f(x)+?_0^1??k(x,t)y[t]dt+?_0^x?k(x,t)y[t]dt,? y(x)=f(x)+?_0^x??k(x,t) ?[y(t)]?^p dt, 0<x<1.? و نتایج کامپیوتری حاصل از محاسبات را بررسی خواهیم نمود .

هدف اصلی در این پایان نامه تقریب جواب معادلات انتگرال- دیفرانسیل ولترای خطی و غیرخطی با هسته منفرد ضعیف می باشد. ابتدا جواب تقریبی معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولترای خطی و غیر خطی مرتبه اول با هسته منفرد ضعیف را به دست می آوریم وسپس معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولترای خطی مرتبه دوم با هسته منفرد ضعیف را حل می کنیم . برای حل این معادلات ابتدا با استفاده از تقریب تیلور مشکل منفرد بودن هسته معادله انتگرال را از بین می بریم ، سپس معادله انتگرال دیفرانسیل را به معادله دیفرانسیل معمولی خطی یا غیرخطی تبدیل می کنیم. از روش تجزیه آدومیان برای حل این معادلات دیفرانسیل می توان استفاده کرد که از دقت خوبی برخوردار است. همچنین ما از روشی مبتنی بر بسط لژاندر با استفاده از نقاط هم محلی گاوس لژاندر برای حل معادلات دیفرانسیل استفاده می کنیم که در حل مثال های خطی کارساز است.

در این رساله، روش های عددی برای به‎‎ دست آوردن جواب های تقریبی برای معادلات تأخیری مطرح می شوند و با استفاده از توابع متعامد چبیشف، لژاندر و توابع هایبرید لژاندر به حل عددی معادلات تأخیری می پردازیم. ابتدا، معادلات تأخیری از نوع پانتوگراف در نظر گرفته می شوند. با استفاده از خواص توابع چبیشف انتقال یافته، روشی برای حل عددی این گونه معادلات پیشنهاد می شود. این روش، معادلات مفروض را به طور مستقیم به دستگاهی از معادلات جبری تبدیل می کند. با حل این دستگاه، جواب تقریبی برای این معادلات حاصل می گردد. آنالیز خطا برای به دست آوردن تعداد چندجمله ای های چبیشف مورد نیاز برای به دست آوردن دقت مورد نیاز، ارائه خواهد شد. در ادامه، یک روش عددی برای حل معادلات تأخیری خنثی از نوع پانتوگراف پیشنهاد شده است. این معادلات با استفاده از خواص توابع لژاندر انتقال یافته به دستگاهی از معادلات جبری تبدیل می شوند و آنالیز همگرایی روش مورد بحث قرار می گیرد. همچنین، یک روش عددی برای حل معادلات انتگرال -دیفرانسیل تابعی ولترا از نوع خنثی با استفاده از روش های طیفی ارائه می گردد و آنالیز همگرایی روش طیفی به کار رفته برای حل معادلات انتگرال -دیفرانسیل ولترای خنثی بررسی شده است. در آخر، یک روش محاسباتی برای حل معادلات دیفرانسیل تأخیری خنثی با تأخیر وابسته به بردار حالت و تأخیر وابسته به زمان، بر پایه توابع متعامد هایبرید لژاندر و بلاک پالس ارائه شده و تخمین خطای روش داده شده نیز مورد بررسی قرار گرفته است.

در این پایان نامه روش های عددی کارا برای پیدا کردن جواب چند رده از معادلات بر حسب چندجمله ای های بسل نوع اول ارائه می شود. معادلات مطرح شده عبارت است از: معادله دیفرانسیل خطی، معادلات انتگرال و انتگرال-دیفرانسیل فردهلم خطی وغیرخطی، معادلات انتگرال و انتگرال-دیفرانسیل ولترای خطی و غیرخطی و معادلات انتگرال و انتگرال-دیفرانسیل فردهلم-ولترای خطی و غیرخطی . لذا برای این منظور، نخست جواب مسأله را بر حسب چندجمله ای های بسل نوع اول به صورت j(x) که در آن a( بردار ضرایب مجهول و j(x) بردار پایه بسل می باشد.) تقریب می زنیم و سپس با استفاده از ماتریس انتقال پایه (از بردار پایه بسل به بردار پایه تیلور)، ماتریس های عملیاتی این چندجمله ای ها را محاسبه می کنیم. در نهایت به یک معادله ماتریسی هم ارز با معادله اولیه که با یک دستگاه از معادلات جبری با ضرایب مجهول بسل نوع اول مطابقت دارد، تبدیل می کنیم. بردار ضرایب a جواب این معادله ماتریسی است. در پایان هر روش، تعدادی مثال ارائه می شود که نتایج بدست آمده از روش ارائه شده را با سایر روش های موجود برای حل این نمونه از معادلات مقایسه می نماییم. همچنین، به معرفی توابع هایبرید بسل می پردازیم و با توجه به این توابع معادلات مذکور را مورد بررسی قرار می دهیم. برای بدست آوردن ماتریس های عملیاتی توابع هایبرید بسل، از ماتریس تبدل پایه (از بردار توابع هایبرید بسل به بردار توابع تیلور) استفاده می کنیم و سپس به حل تعدادی مثال در پایان هر روش می پردازیم. کلمات کلیدی:چندجمله ای های بسل، توابع هایبرید بسل، معادله دیفرانسیل، معادله انتگرال، معادله انتگرال-دیفرانسیل، فردهلم، ولترا، خطی، غیرخطی، ماتریس تبدیل پایه، ماتریس عملیاتی انتگرال، ماتریس عملیاتی مشتق، ماتریس عملیاتی دوگان.

در این پایان نامه ابتدا به حل مسأله مقدار اولیه مرتبه کسری به شکل زیر با استفاده از چندجمله ای های برنشتاین می پردازیم: که در آن y(t) تابع مجهول، ?(_*^)d?^? y(t)مشتق کسری از نوع کاپوتو از مرتبه ? > 0 و ? > ?k > ?_(k-?) >? > ?_1 می باشد. برای حل این معادلات ابتدا جواب مساله را به صورت تقریب می‏زنیم که در آن c^t بردار مجهول و b(t) بردار پایه برنشتاین است، سپس با استفاده از ماتریس عملیاتی انتگرال کسری برنشتاین، این معادله به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل می شود که از حل آن بردار مجهول c بدست می آید . همچنین به حل معادله انتگرال ولترای مرتبه کسری به شکل زیر با استفاده از روش هم محلی می پردازیم: که در آن هسته و تابع معلوم، تابع مجهول و عدد حقیقی مثبت است. در ادامه حالت خاصی از معادلات انتگرال ? دیفرانسیل فردهلم غیر خطی از مرتبه کسری به شکل: با شرایط اولیه ی: را بررسی نموده که در آن q عدد صحیح مثبت است و f(x)?l^2 ([0,1]) و k?l^2 (?[0,1]?^2) توابعی معلوم و u(x) تابع مجهول می‏باشد. در نهایت یک رده از معادلات انتگرال ? دیفرانسیل ولترای غیرخطی از مرتبه کسری به صورت: با شرایط اولیه : n-1<??n ; 0?x?1 را در نظر می گیریم که در آن و توابعی معلوم و u(x) تابع مجهول بوده و بر حسب غیر خطی می‏باشد.

در این رساله حل عددی مسائل کنترل بهینه بر اساس توابع هایبرید ارائه می شود. مسائل کنترل بهینه مطرح شده مسائلی با قیود معادله دیفرانسیل خطی ، معادله انتگرال دیفرانسیل خطی ولترا و همچنین معادله دیفرانسیل خطی با محدودیت نامساوی می باشند. ‎ ایده اصلی در این رساله‏‏، استفاده از توابع هایبرید با استفاده از توابع بلاک پالس کلی می باشد. بدین منظور، نخست به معرفی پایه های لژاندر و بلاک پالس کلی‎ و هایبرید لژاندر و همچنین پایه های برنولی و هایبرید برنولی و بیان خواص آن ها و همچنین ماتریس های عملیاتی آن ها پرداخته ایم سپس با استفاده از پایه هایبرید لژاندر معادله دیفرانسیل خطی و معادله انتگرال دیفرانسیل خطی ولترا را به یک دستگاه از معادلات جبری تبدیل نموده و جواب های تقریبی بردار وضعیت x(t) و بردار کنترل u(t) را به طوری که تابع هزینه کمینه شود به دست می آوریم. بنابراین با استفاده از این جواب های تقریبی‏، مقدار مناسب تابع هزینه به دست می آید.‎ برای مسائل با قیود نامساوی ابتدا قیود نامساوی را به حالت تساوی تبدیل کرده سپس با تبدیل آن ها به معادلات جبری و با استفاده از روش ضرایب لاگرانژ جواب های تقریبی بردار حالت و کنترل را به دست آورده و مانند قبل مقدار مناسب تابع هزینه به دست می آید. در انتهای هر بخش با ارائه مثال هایی‏، کارایی روش را ارزیابی می کنیم.‎ همچنین با تعویض بردار پایه با بردار پایه توابع هایبرید برنولی روش یاد شده برای حل مسائل کنترل بهینه با قیود معادله دیفرانسیل خطی را به کار می بریم و همان مثال های ارائه شده قبلی را با پایه توابع هایبرید برنولی مورد مطالعه قرار می دهیم و نتایج حاصل از هر دو پایه را مورد مقایسه قرار می دهیم.

روش نقطه درونی طی 30 سال گذشته دیدگاه ما را در مورد مسایل بهینه سازی محدب تغییر داده است . در این پایان نامه ، ما روی مسایل محدب به ویژه مسایلی که الگورریتم های روش نقطه درونی را بهبود می دهند، می پردازیم . تئوری و نکات این روش ها را بیان می کنیم . در این جا عملکرد توابع خود هماهنگ را بررسی می کنیم . در فضای اقلیدسی ، این کلاس از توابع در روش های نقطه درونی بهینه سازی به علت پیچیدگی محاسباتی کم ، به طور گسترده استفاده می شوند . در ابتدا تعمیم خواص توابع خود هماهنگ در فضای اقلیدسی را می گوییم و سپس کاهش نیوتن را تعریف و تجزیه وتحلیل آن را بیان می کنیم . بر این اساس ، الگوریتم میرا شده نیوتن برای بهینه سازی توابع خود هماهنگ پیشنهاد می شود؛ که تضمین می کند جواب در هر همسایگی کوچکی از جواب بهینه قرار می گیرد و وجود و منحصر به فردی آن ثابت می شود .در نهایت کران پیچیدگی محاسباتی روش های ارائه شده ، بیان می گردد. واژگان کلیدی : روش نقطه درونی ؛ تابع خود هماهنگ ؛ کاهش نیوتن ؛ الگوریتم میرا شده نیوتن.

در این پایان نامه، روش های عددی برای بدست آوردن جواب های تقریبی چند رده از معادلات بر اساس پایه چندجمله ای های برنشتاین دوبعدی ارائه می شود. معادلات مطرح شده، معادلات انتگرال ولترای دوبعدی خطی و غیرخطی نوع اول و دوم و همچنبن معادلات انتگرال- دیفرانسیل ولترای دوبعدی می باشند. ایده اصلی در این روش ها، استفاده از ماتریس های عملیاتی چندجمله ای های برنشتاین دوبعدی می باشد. از آن جایی که توابع برنشتاین دوبعدی متعامد نمی باشند، با استفاده از بسط این توابع بر حسب پایه لژاندر انتقال یافته دوبعدی، ماتریس های عملیاتی مذکور ارائه می شوند. بدین منظور، نخست جواب معادله مورد نظر را به صورت (dt b(x, t(که در آن d بردار ضرایب مجهول و (b(x,t بردار پایه برنشتاین دوبعدی می باشد) تقریب زده و سپس با بکارگیری ماتریس های عملیاتی این چندجمله ای ها، این معادله را به یک معادله ماتریسی هم ارز که با یک دستگاه از معادلات جبری با ضرایب مجهول برنشتاین مطابقت دارد، تبدیل می کنیم. با حل این دستگاه، بردار ضرایب d بدست آمده و در نتیجه جواب تقریبی برای معادله حاصل می شود. برای نشان دادن کارایی روش های مطرح شده برای هریک از انواع معادلات مثال هایی ارائه می شود و نتایج آن با نتایج عددی بدست آمده از دیگر روش های موجود برای حل این معادلات مقایسه می شود.

این پایان نامه،روش تاورا برای یافتن جواب های عددی معادلات انتگرال،برحسب چندجمله ای لژاندرارائه می دهد.معادلات انتگرال مطرح شده، معادلات انتگرال ولترای دوبعدی نوع اول به صورت خطی وغیرخطی ومعادلات انتگرال ولترای دوبعدی نوع دوم به صورت خطی و غیرخطی ومعادلات انتگرال-دیفرانسیل می باشند.ایده اصلی دراین روش استفاده ازماتریس عملیاتی برای انتگرال گیری از توابع می باشد.برای این منظورابتدا با در نظر گرفتن توابع لژاندر جواب معادله موردنظر را به صورت (ct?(x,t (که درآنc بردارضرایب مجهول و(?(x,t بردار پایه متعامد میباشد) تقریب زده وسپس بابه کارگیری ماتریس عملیاتی,برای انتگرال گیری ازتوابع,معادله موردنظررابه یک معادله ماتریسی هم ارز که بایک دستگاه ازمعادلات جبری باضرائب مجهول مطابقت داردتبدیل می کنیم وباحل این دستگاه بردارضرائب cرابه دست می آوریم.

چکیده در این پایان نامه ابتدا درونیاب اسپلاین مکعبی را بیان می کنیم.سپس با استفاده از روشی که مبتنی بر درونیابی اسپلاین مکعبی و انتگرال گیری عددی است به حل عددی معادلات انتگرال فردهلم تابعی می پردازیم. روش کار چنین است که ابتدا یک تابع اولیه دلخواه برای جواب مسئله در نظر می گیریم. سپس با جایگذاری این تابع در تابع مجهول مسئله با استفاده از تقریب های متوالی به ترتیب تقریب های دیگر تابع مجهول را به دست می آوریم.البته در خلال این کار از انتکرال گیری ذوزنقه ای استفاده می کنیم. و تابع مجهول زیر انتگرال را نیز درونیابی اسپلاین مکعبی می کنیم و مقادیر آن را در نقاط غیرگره ای با استفاده از این درونیابی به دست می آوریم. سپس همگرایی روش را بررسی می کنیم ودر آخر کارایی ودقت روش را با مثال های عددی مورد ارزیابی قرار می دهیم.

در این پایان نامه ابتدا روش تقریب کمترین مربعات متحرک را،که به اختصارmls نامیده می شود،بیان می کنیم و سپس با استفاده از روشی که مبتنی بر روش کمترین مربعات متحرک و چند جمله ایهای متعامد می باشد، به حل عددی معادلات انتگرال ولترا-فردهلم خطی وهمرشتاین،معادلات انتگرال تابعی ولترا-فردهلم ومعادلات انتگرال دیفرانسیل ولترا-فردهلم می پردازیم.روش کار چنین است که ابتدا تقریب به دست آمده از روش mls برای تابع مجهول، که بر حسب مقادیر گره ای می باشد را به عنوان جواب در معادله انتگرال مورد بحث جایگذاری کرده و سپس با استفاده از نقاط هم محلی و انتگرال گیری عددی به یک دستگاه معادلات جبری خواهیم رسید که در آن عناصر مجهول، تقریب هایی از مقادیر گره ای بوده و از حل دستگاه به دست می آیند. در آخر کارایی و دقت روش را با مثال های عددی مورد ارزیابی قرار می دهیم.

در این رساله، یک روش جدید برای حل مسائل سیستم دینامیکی کسری معرفی شده است. این روش مبنی بر استفاده از موجک های برنولی است. در ابتدا ضمن معرفی چندجمله ای های برنولی و بیان خواص آنها، موجک برنولی تعریف می شود. سپس انتگرال و مشتق مرتبه کسری و خواص آنها بیان می گردد. در ادامه، ماتریس های عملیاتی حاصلضرب و انتگرال کسری در پایه چندجمله ای های برنولی و نیز موجک برنولی معرفی و کران بالای خطا برای ماتریس عملیاتی انتگرال کسری محاسبه شده است. همچنین همگرایی تقریب بدست آمده با استفاده از موجک های برنولی نشان داده می شود. سپس با استفاده از این ماتریس ها، مسائل سیستم دینامیکی کسری به سیستم معادلات جبری تبدیل می شوند که با روش های شناخته شده قابل حل می باشند.

در این پایان نامه دو روش را برای حل معادلات انتگرال فردهلم ی ی شبه-درون یابی اسپلاین درجه چهارم گسسته ارائه میدهیم: u(x) = f(x) + ? b a k(x, s)u(s)ds ; x ? i := [a, b] که درآنهر روش، تقریب ? ی کل زدن هسته با درنظر گرفتن ی گیریم

در این پایان نامه، با مطرح کردن کاربردهای جالبی از این روش در ارتباط با مسائل غیرخطی، به معرفی کامل این روش می پردازیم. در ادامه، روش را بر پایه چندجمله ای های خی برای محاسبه معادله موج به کار می بریم. و این روش را برای محاسبه چندجمله ای های آدومیان به کار می گیریم و با هم مقایسه می کنیم. در پایان به حل معادلات انتشار غیرخطی با استفاده از روش اختلال هموتوپی اصلاح شده می پردازیم.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه حل عددی معادلات انتگرال دیفرانسیل منفرد را مورد بررسی قرار می دهیم.در ابتدا معادله آبل خطی نوع اول را مورد بررسی قرار می دهیم.سپس معادله انتگرال آبل نوع دوم را بررسی می کنیم و روش را برای حل معادله منفرد آمیخته و دستگاه معادلات منفرد به کار می بریم. بسط تمام توابع را به کار می بریم و به یک دستگاه از معادلات جبری می رسیم. با حل این دستگاه به جواب مورد نظر می رسیم.