در این پایان نامه، هامیلتونی سیستمهای کوانتومی با پتانسیل عکس مجذوری که اندرکنش بین ذرات آنها وابسته به سیستم روت یک جبر لی می باشند در یک چارچوب یکسان مطالعه می شود . نشان داده می شود که با استفاده از تغییر مختصات مختلف و ناورداهای وایل مناسب، وابسته به هر جبر لی ، هامیلتونی هر مدل می تواند بر حسب مولدهای جبری نوشته شود. همچنین نمایش گروه وابسته به هر جبر یا مینیمم فلاگ برای بدست آوردن زیر فضای ناوردای با بعد محدود هر مدل بکار برده می شود و سپس مقادیر ویژه و توابع ویژه هر سیستم کوانتومی متناظر با جبر لی ساده an-1 و جبرهای استثنائی e6 , f4 , g2 را بدست می آوریم.

در این نوشته، پس از آشنایی مقدماتی با نظریه ی گروه و تعاریف پایه ای و طرح قضایای اساسی، این نظریه از جنبه ی کاربردی به ویژه در فیزیک حالت جامد مورد مطالعه و بررسی قرار می گیرد. در فیزیک حالت جامد یکی از مهمترین مباحث تعیین معادله ی نوارهای انرژی جامدات بلوری است که برای نیل به آن راه حل های مختلفی از جمله حل دقیق معادل? شرودینگر یا روشهای محاسباتی بکار گرفته می شود. یکی از موثرترین روشها که با تکیه بر تقارن حاکم بر جامدات بلورین ما را قادرخواهد ساخت تا به این هدف دست یابیم، نظریه ی گروه است. برای رسیدن به مقصود نیازمند شناخت کامل از تقارن حاکم بر جامدات، گروههای فضایی و نیز تشکیل شبک? معکوس هستیم. در این نوشته، بلورهای سیمورفیکی که دریک سیستم تقارنی به نام تتراگونال و در رده ی جزیی تر d4h هستند، مورد بررسی خاص قرارداده، با استفاده از ابزار ریاضی قدرتمند موجود درنظریه ی گروه، پس از بدست آوردن نوارهای انرژی، تبهگنی و تقارن نقاط مرزی آنها تعیین خواهد شد. با استفاده از نظریه ی نمایش های گروه و رابطه ی میان نمایش های کاهش پذیر و کاهش ناپذیر چگونگی از بین رفتن تبهگنی و شکافتگی ترازهای انرژی از دیدگاه نظریه ی گروه تفسیر خواهد شد. همچنین از توابع موج تخت ترکیب خطی مناسبی بدست خواهیم آورد که مانند ویژه توابع عمل کرده و عملگرهای تقارن در چنین فضایی به صورت بلوکی قطری در خواهند آمد.

هامیلونی های شبه حل پذیر و چند جسمی عمر زیادی ندارند و تقریباَ مربوط به 25 سال پیش می شوند. در ابتدا این مدل ها تنها با ساده ترین جبر و در یک بعد نوشته می شدند. امّا در حال حاضر تقریباَ بحث مربوط به این مدل ها درباره تمام جبرهای لی کلاسیک و در دو بعد تکمیل شده است و مساله ای که باقی مانده گسترش این مدل ها به جبرهای استثنایی و در ابعاد بیشتر از یک می باشد. ساده ترین مورد از جبرهای لی استثنایی جبر g_2 است. این جبر 14 بعدی قابل بازنویسی در دو بعد می باشد و به همین دلیل هامیلتونی های حاصل از این جبر در صفحه بیان می شوند. از سوی دیگر در این جبر دو دسته ریشه دو تایی و سه تایی وجود دارد که نشان دهنده بر همکنش دو تایی و سه تایی می باشد. همچنین این جبر در زمینه مسائل مطرح در دیگر شاخه های فیزیک مانند مکانیک آماری، نظریه میدان، رسانایی فلزات، ابر رساناها و .... کاربردهای گسترده ای دارد. در این پایان نامه تلاش می شود درباره جبر g_2 و هامیلتونی های حل پذیر و شبه حل پذیر چند جسمی حاصل از آن اطّلاعاتی بدست آید و ثابت های حرکت این جبر نیز مشخّص شود. همچنین با نوشتن کلّی ترین هامیلتونی شبه حل پذیر این جبر، چند هامیلتونی حل پذیر بدست می آید که حل پذیری آن ها به دلیل وجود این ساختار جبری در آن ها می باشد.