در این پایان نامه به طور کامل حلقه های تعویض پذیر موضعی مانند r را توصیف خواهیم کرد که در آنها ماتریس های مربعی به طور قوی خوش ترکیب باشند و این کار را از طریق تجزیه در حلقه ی چند جمله ای ها انجام می دهیم. همچنین نتایجی مشابه را بدست می آوریم که نشان می دهد برای هر چند جمله ای تکین مانند f به طور قوی خوش ترکیب بودن ماتریس همدم متناظر با چند جمله ای f معادل است با به طور قوی خوش ترکیب بودن همه ی ماتریس هایی که چند جمله ای مشخصه ی آنها چند جمله ای f می باشد.

در حدود دو دهه است که تحقیقات بر روی استفاده از تکنولوژی و استفاده از نرم افزار در کلاس درس ریاضیات با کانون موضوعات یادگیری و استفاده از تکنولوژی و نرم افزار برای دانش آموزان صورت گرفته است. باید فرصت های مناسبی فراهم کرد تا معلمان و دانش آموزان تجربیات جدید خود را با استفاده از تکنولوژی، هم از نظر تکنیکی و هم پداگوژیکی آزمایش کنند. در این پایان نامه با معرفی تکنولوژی و بیان اینکه چهارمین قله ی تاریخ ریاضیات استفاده از تکنولوژی است، سیستم های هندسی پویا، dgs را برای کلاس ریاضیات معرفی می کنیم و اینکه تجسم و شهود با استفاده از تکنولوژی و نرم افزارها بهتر نشان داده می شود. با معرفی آزمون کمکی هماهنگ، tao و گزارش هایی از timss، نقش تکنولوژی جدید را در یادگیری ریاضیات گفته و یک چارچوب مفهومی ارائه می دهیم. در فصل دوم برخی نرم افزارها همچون cabri و skethpad را معرفی می نماییم. در فصل سوم به معرفی کامل نرم افزار geogebra همراه با مثالهای کاربردی می پردازیم. در نهایت نتایج و پیشنهاداتی خواهیم داشت.

فضاهای فشرده و لیندلوف از فضاهای اساسی در مطاله ی توپولوژی هستند که تا به حال به طور مجزا مطالعه شده اند. در این پایان نامه با تعریف $lambda$-فشردگی هر دو فضا را با یک خاصیت مشترک در نظر می گیریم که وقتی $lambda$ برابر با $aleph_{circ}$ است؛ فضای فشرده و وقتی که $lambda$ برابر با $aleph_1$ است؛ فضای لیندلوف نافشرده به دست می آید.فضای $lambda$-فشرده را تعریف کرده و نشان داده ایم که برای هر عدد کاردینال منظم مانند $lambda$، یک فضای هاسدورف و کاملاً منظم وجود دارد که $lambda$-فشرده است.گزاره ی ef{pro1-33}، بیان می کند که در یک $p_lambda$-فضای هاسدورف، هر زیرفضا با درجه ی فشردگی کوچکتر و یا مساوی با $lambda$ بسته است. یکی از نتایجی که این گزاره به دست می دهد این است که «هر زیرفضای لیندلوف از یک $p$-فضای هاسدورف، بسته است» که کلی تر از 4k.1 از مرجع cite{gill} می باشد؛ که بیان می کند؛«هر زیرفضای شمارش پذیر از یک $p_lambda$-فضای هاسدورف بسته است».ایدآل $lambda$-ثابت در $c(x)$ تعریف شده و سپس در قضیه ی ef{the1-10}، ثابت شده است که فصای توپولوژی $x$، $lambda$-فشرده است اگر و تنها اگر $lambda$ کوچکترین عدد کاردینال نامتناهی باشد که هر ایدآل $lambda$-ثابت در $c(x)$، ثابت است. همچنین مفهومِ خاصیت $lambda$-ثابت در ef{def1-11}، ارائه شده و در قضیه ی ef{the1-12}، قضیه ی 4.11 از مرجع $cite{gill}$ که در آن، نشان داده شده است که ثابت بودن ایدآلها در $c(x)$ و یا فقط ایدآلهای ماکسیمال و یا حتی فقط ایدآلهای اول، معادل با فشردگی فضای $x$ است؛ تعمیم داده شده است.ابتدا در ef{def1-14}، یک ریختی $lambda$-ثابت، تعریف شده و سپس در قضیه ی ef{the1-15}، یکی از قضایای مهم در مبحث حلقه ی توابع پیوسته(قضیه ی 4.9 از مرجع cite{gill}) به این ترتیب تعمیم داده شده است که «دو فضای توپولوژی $x$ و $y$ با درجه ی فشردگی $lambda$ همسان ریخت هستند اگر و تنها اگر $c(x)$ و $c(y)$ به طور $lambda$-ثابت یک ریخت باشند». همچنین از قصیه اخیر نتیجه گرفته ایم که اگر $x$ یک فضای توپولوژی با درجه ی فشردگی $lambda$ باشد؛ به طوری که نگاشت کانونی بین $c(x)$ و $c(upsilon x)$، $lambda$-ثابت باشد؛ آنگاه $x$، فشرده حقیقی است.ویژه گی فضاهای $lambda$-فشرده ی ماکسیمال هاسدورف به این صورت مشخص شده است که «اگر $x$ یک فضای هاسدورف و $lambda$-فشرده باشد که در آن $lambda$ یک عدد کاردینال منظم است؛ آنگاه $x$ یک فضای $lambda$-فشرده ی ماکسیمال است اگر و تنها اگر یک $p_lambda$-فضا باشد و یا اگر و تنها اگر هر زیرفضای آن با درجه ی فشردگی کوچک تر و یا مساوی با $lambda$ بسته باشد».

در این پایان نامه ، قانون ایدال اول درحلقه های تعویض پذیر را مورد بررسی قرار می دهد .وجود ایدال های اول وابسته به مجموعه های بسته ضربی ،مدول ها و... روی حلقه های تعویض پذیر توسط کرول ،کوهن ،کاپلانسکی و ... مورد بررسی قرار گرفتند.هدف تحقیق ارائه یک نوع جامع نگری و اتحاد بین تمامی این قضیه ها است. وعلاو بر بررسی رسته مدول های دوری وکاربر آن ، به معرفی خانواده های ایدال اٌکل و آکو می پردازد .

ه ?? چ ،?? ل از توابع پیوسته با مقدار حقیق ?? ی متش _ در حلقه ?? های خاص _ نامه ابتدا ایدآل _ در این پایان ایدآل تمام توابع ،ck(x) ها _ ترین آن _ کنیم که مهم ?? را تعریف م x روی فضای توپولوژی ایدآل تمام توابع پیوسته با پشتیبان شبه فشرده، هستند. ،c (x) پیوسته با پشتیبان فشرده، و فشرده سازی ،?x که در آن .c (x) = o_x?_x و ck(x) = o_x?x نشان خواهیم داد که ها را _ ایدآل p باشد. در ادامه _?? آن م ?? فشرده سازی حقیق ،?x و ،x فضای ?? استون چ را ?? آوریم. همچنین شرایط _?? ایدآل بودن را بدست م p خواهیم کرد و شرایط معادل با ?? معرف ایدآل باشند. این شرایط را p ?? ی ،c (x) و ck(x) آوریم که تحت آن شرایط _?? بدست م مدول انژکتیو است، اگر c(x) ?? ی c (x) دهیم هر ایدآل مشمول در _?? بریم و نشان م _?? ار م ?? ب ایدآل اول سره ?? تواند ی _?? نم c (x) دهیم که _?? باشد. در انتها نشان م ?? متناه cozi و تنها اگر فضای غیر فشرده ?? ی x ایدآل اول سره است، اگر و تنها اگر ?? ی ck(x) که ?? باشد، در حال نقطه باشد.

در این پایان نامه ابتدا ویژگی آرتین ـ ریس را در حلقه ی ، در حلقه ی کسرهای و حلقه های خارج قسمتی مورد مطالعه قرار می دهیم. نشان می دهیم یک حلقه ی آرتین ـ ریس است اگر و تنها اگر یک p ـ فضای باز باشد . یک شرط لازم و کافی برای آن که حلقه های موضعی آرتین ـ ریس باشند این است که هر ایدآل اول مینیمال باشد و از آن جا معلوم می شود که هر حلقه ی موضعی یک حلقه ی آرتین ـ ریس است اگر و تنها اگر یک p ـ فضا باشد. همچنین نشان داده ایم که اگر در یک c ـ نشانده ی چگال باشد، آن گاه منظم است اگر و تنها اگر یک p ـ فضا باشد . سپس مشاهده می کنیم که یک f ـ فضا است اگر و تنها اگر حوزه ی صحیح موضعی باشد. در نتیجه یک f ـ فضا است اگر و تنها اگر ایدآل های اولیه که در یک ایدآل ماکسیمال قرار دارند قابل مقایسه باشند. برخی از ویژگی های وقتی یک f ـ فضا باشد به حلقه های کاهشی بزو تعمیم داده شده اند. مشخص می شود که وقتی یک فضای نامتناهی همبند و f ـ فضا باشد، آنگاه مثالی طبیعی از یک حلقه ی غیر نوتری بدون خودتوان غیربدیهی است که حوزه صحیح شده است ولی حوزه ی صحیح نیست. نشان می دهیم که رتبه ی نقطه ی ??x در حالت متناهی منطبق بر بعد گلدی mx است و مثالی از یک فضای می آوریم که نشان می دهد این موضوع در حالت نامتناهی درست نیست. با توجه به این حقایق و برخی از ویژگی های دیگر رتبه ی یک نقطه ی ??x را برابر با بعد گلدی mx تعریف می کنیم. سرانجام برای هر کاردینال a نشان می دهیم یک فضای و یک زیرمجموعه ی بسته ضربی از وجود دارند که بعد گلدی s-1 برابر a است.

فرض کنید d یک دامنه صحیح با میدان کسرهای k و بستار صحیح باشد. یک زبرحلقه ی d یک زیرحلقه از k و شامل d است، و o(d) نماد مجموعه زبرحلقه های d است. هدف در این پایان نامه بررسی شرایط متناهی رویo(d) و سپس تعمیم آن به توسیع های دلخواه است. ابتدا به بررسی متناهی بودن مجموعه o(d) و سپس به متناهی بودن زنجیرها در o(d) می پردازیم، در حالت اول d را یک fo- دامنه و در حالت دوم آن را یک fc – دامنه می نامیم. هدف اصلی در فصل دو این پایان نامه، رده بندی fo و fc- دامنه ها و ارتباط این دو مفهوم با هم است. در واقع نشان خواهیم داد که هرگاه d یک دامنه بسته صحیح باشد، آن گاه شرایط زیر معادل اند: (1) d یک fo – دامنه است؛ (2) d یک fc- دامنه است؛ (3) d یک دامنه پروفر با تعداد متناهی ایدال اول است. هم چنین نشان می دهیم که دامنه صحیح d یک fc- دامنه است اگر و تنها اگر یک fc- دامنه باشد و هر زنجیر از زیرحلقه های که شامل d هستند، متناهی باشد. سپس نشان می دهیم که هرگاه d یک دامنه صحیح با بستار صحیح باشد و c هادی d در باشد، آن گاه d یک fc- دامنه است اگر و تنها اگر شرایط زیر برقرار باشند: (1) یک دامنه پروفر با مجموعه ایدال های اول متناهی باشد؛ (2) یک d- مدول متناهی باشد؛ (3) d/c یک حلقه آرتینی باشد. به طور مشابه قضیه هایی را برای fo- دامنه ها بیان می کنیم. سپس به تعمیم این مفاهیم برای توسیع های دلخواه از حلقه های تعویض پذیر می پردازیم. توسیع که هر زنجیر از حلقه های میانی دارای طول متناهی باشد را ficp- توسیع می نامیم و نشان خواهیم داد که این نوع توسیع ها نسبت به موضع سازی و خارج قسمت بسته اند. هم چنین در حالت های خاص نشان خواهیم داد که ficp یک ویژگی موضعی است. به طور مشابه به تعمیم قضیه های fc- دامنه ها به ficp- توسیع ها خواهیم پرداخت.