تئوری کنترل بهینه و مساله حساب تغییرات به بررسی حداقل سازی تابع معیار در حضور محدودیت های مختلف نظیر محدودیت کنترل و متغیرهای حالت می پردازد. اکثر پدیده های حقیقی در فیزیک، شیمی، زیست شناسی، اقتصاد، ... با معادلات دیفرانسیل جزیی توصیف می شوند. یافتن جواب تحلیلی برای این گونه مسایل از پیچیدگی خاصی برخوردار است. این در حالی است که بسیاری از این مسایل دارای جواب تحلیلی معلوم نیستند. بنابراین بایستی این گونه مسایل را با روش عددی حل کرد. در این پایان نامه به حل معادلات دیفرانسیل جزیی با استفاده از روش های شبکه بندی منظم و بدون شبکه می پردازیم. روش طیفی از رده روش های شبکه بندی منظم برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی پیشنهاد گردیده است. هم چنین از توابع متعامد پیوسته، قطعه ای پیوسته و چندجمله ای های متعامد به منظور حل سیستم های کنترل بهینه و مسایل حساب تغییرات استفاده گردیده است.‎‎‎ در روش های بدون شبکه از توابع پایه ای شعاعی به عنوان توابع پایه ای استفاده گردیده است. ‎

در این تحقیق جواب مسائل بهینه سازی غیرخطی بر پایه ی الگوریتم برنامه ریزی درجه 2 دنباله ای (sqp) در نظر گرفته می شود. هدف از کار حاضر بدست آوردن همگرایی سرتاسری بدون نیاز به تابع جریمه می باشد. و به جای آن از مفهوم جدیدتر " فیلتر" استفاده شده است. ما از تکنیک های بهینه سازی عددی متفاوتی از جمله جستجو خطی، ناحیه قابل اعتماد، روش های ناقص و . . . استفاده کرده ایم. الگوریتم های متفاوتی برای حل مسائل غیر خطی ارائه می کنیم و هم چنین روش هایی برای اثبات همگرایی سرتاسری آن ها معرفی می کنیم.

در این پایان نامه به قیمت گذاری اختیار معامله در بازاری با دو دارایی بنیادین همراه ریسک و یک دارایی بنیادین بدون ریسک پرداخته می شود. بدین منظور از مدل بلک-شولز استفاده شده و فقط به بررسی اختیار معامله های از نوع اروپایی پرداخته که فقط در زمان سررسید قابل اجرا است. با بررسی اختیار معامله های اروپایی، برای یافتن قیمت کافی است که یک معادله با مشتقات جزئی که دو متغیر مکانی دارد حل شود. برای چنین معادلاتی از روش تفاضلات متناهی استفاده می شود. روش های تفاضلات متناهی برای معادلات یک بعدی معمولاً به یک دستگاه سه قطری منجر می شود که حل آن ها با هزینه های محاسباتی o(n)$،$ که $n$ تعداد نقاط گسسته سازی است انجام می گیرد، اما در اینجا چون مسائل دو بُعدی هستند برای کاهش هزینه های محاسباتی از روش ضمنی متناوب (adi) و موضعاً یک بعدی (lod) استفاده شده است. در این روش ها هزینه باز هم از مرتبه تعداد نقاط گسسته سازی است و این امر مهم ترین حُسن این روش هاست. بعلاوه این روش ها از خواص پایداری مناسب نیز برخوردارند. هر چند روش های adi و lod از نظر محاسباتی ساده و تقریباً یکسان هستند ولی آزمودن این روش ها در مسائل قیمت گذاری اختیار خرید نشان می دهد که روش adi به ناپیوستگی یا مشتق ناپذیری که خاصیت معمول تابع عایدی است، حساس است و لذا در نهایت این پایان نامه روش lod را پیشنهاد می کند.