حلقه های توابع پیوسته ، میدان کلاس باقیمانده؛ گروه توپولوژِی،حلقه توپولوژِی فضای bx،فضای dx مجموعه هدف اصلی ما مطالعه حلقه های توابع پیوسته مقادیر در یک میدان مرتب ارشمیدسی است. فرض می کنیم که f یک زیر میدان سره از میدان حقیقی باشد.انتظار داریم که مطالعه این حلقه منجر به شکل گیری ویژگی های روشنی از c(x) با مقادیر در میدان مرتب r شود. حلقه های توابع پیوسته ، میدان کلاس باقیمانده؛ گروه توپولوژِی،حلقه توپولوژِی فضای bx،فضای dx مجموعه هدف اصلی ما مطالعه حلقه های توابع پیوسته مقادیر در یک میدان مرتب ارشمیدسی است. فرض می کنیم که f یک زیر میدان سره از میدان حقیقی باشد.انتظار داریم که مطالعه این حلقه منجر به شکل گیری ویژگی های روشنی از c(x) با مقادیر در میدان مرتب r شود.

در این پایان نامه، روشی را ارائه می کنیم که به واسطه ی آن یک رابطه بین z-ایدآل های اول (c(x و z-ایدآل های اول (c(y می یابیم، که در آن y یک زیرفضای خاص از x است. برای نمونه، اگر (y = coz(f، برای یک f در (c(x، یک رابطه ی دوسویی بین تمام z-ایدآل های اول ( c(yو z-ایدآل های اول (c(x که شامل f نیستند، می یابیم. به علاوه، با بررسی این رابطه ها مشخصه هایی برای مفاهیم معمول در (c(x ارائه می کنیم.

نشان می دهیم که در رسته ی فضاهای توپولوژی کاملاً مرتب، شبه f – فضاها و تقریباً p – فضاها یکسانند. در فضاهای توپولوژی کاملاً مرتب، p+ - نقطه ها، p- - نقطه وار و به طور طبیعی p+ - فضاها و p- - فضاها را تعریف می کنیم و مثالی از یک p+ - فضای بدون p- - نقطه می-آوریم که همچنین مثالی از یک تقریباً p – فضا بدون p – نقطه است. یک فضای کاملاً مرتب دارای درجه ی سختی شمارش پذیر است اگر و تنها اگر یک فضای دنباله ای باشد. نشان می دهیم که یک فضای کاملاً مرتب، فضای دنباله ای است اگر و تنها اگر هر تقریباً p – نقطه اش، یک نقطه ی تنها باشد. شرایط معادل با همبندی دنباله ای یک فضای کاملاً مرتب را به دست می آوریم و نتیجه می گیریم که هر گاه برای هر n ، فضای کاملاً مرتب xn دارای نقاط آغازین و پایانی باشد، حاصل ضرب الفبایی یک فضای دنباله ای (همبند دنباله ای) است اگر و تنها اگر برای هر n ، xn یک فضای دنباله ای (همبند دنباله ای) باشد. (xn ها هیچ یک شامل تقریباً p – نقطه ای نباشد). حاصل ضرب الفبایی که در آن مجموعه ی اردینالهای شمارش پذیر است، نیز مورد بررسی قرار می گیرد و نشان می دهیم که یک تقریباً p – فضاست. همچنین نشان می دهیم که هر گاه برای هر ، فضای کاملاً مرتب شامل نقاط آغازین و پایانی نباشد، حاصل ضرب الفبایی یک p- فضاست که شامل نقاط تنها نمی باشد.

در این پایان نامه به بررسی و تعمیم مفهوم محدب و مطلقا محدب بودن یک ایدآل در حلقه های خاصی تحت عنوان f-حلقه ها پرداخته ایم.قبلا نشان داده شده است که در یک حلقه مرتب مشبکه ای مجموع دو ایدآل مطلقا محدب مطلقا محدب است . در اینجا به بررسی مطلقا محدب بودن حاصلضرب دو ایدآل مطلقا محدب پرداخته ایم.همچنین نشان می دهیم که مشبکه ایدآل های مطلقا محدب تشکیل یک قاب می دهد.در ارتباط z-ایدآل ها با ایدآل های مطلقامحدب حلقه های خاصی تحت عنوان حلقه های تابعی مطرح می شوند.یکی از اهداف این پایان نامه بررسی شرایطی روی ایدآل i است که حلقه خارج قسمتی cx بر آن مرتب کلی باشد.در ادامه برخی از معادل های f-فضاها مطرح می شوند.سرانجام به طور مستقیم نشان داده ایم که x یک f-فضا است اگر وتنها اگر مشبکه ایدآل های cx توزیع پذیر باشد.

: ابتدا دستگاه همسایگی ضعیف را بر اساس نظریه ی دستگاه های همسایگی تعمیم یافته تعریف می نماییم. به کمک دستگاه همسایگی ضعیف، یک فضای همسایگی ضعیف تولید می کنیم. مجموعه های باز یک فضای همسایگی ضعیف را تعریف و مجموعه ی تمام این عناصر را می نامیم. ثابت می کنیم یک توپولوژی است. اگر و دو فضای همسایگی ضعیف و یک تابع باشد، تعریف و بررسی خاصیت های پیوستگی، بازی، پیوستگی، بازی، پیوستگی، بازی و نیز ارتباط این پیوستگی‎ها و بازی‎ها، هدف بعدی این نوشتار می باشد. در پایان با بازگشت به فضاهای همسایگی تعمیم یافته، تقریباً فضای تعمیم یافته، تقریباً نقطه، و نقطه را معرفی می‎نماییم و برخی ویژگی‎های آنان را بیان می‎کنیم. مقایسه ی این خاصیت ها پایان بخش این پایان نامه می باشد.

ابتدا سیستم همسایگی تعمیم یافته و فضای توپولوژی تعمیم یافته را تعریف می کنیم و از طریق سیستم همسایگی تعمیم یافته ی ? توپولوژی تعمیم یافته ی g? را می سازیم. به کمک دو مفهوم فوق عملگرهای درون و بستار را تعریف کرده و با استفاده از این عملگرها مجموعه های باز تعمیم یافته تحت عنوان g-نیم باز، g-منظم باز، g- پیش باز،b-g باز را معرفی و روابط میان آن ها را مورد بررسی قرار می دهیم. اگر (x,g)و (y,g)فضاهای توپولوژی تعمیم یافته و ? و ? سیستم همسایگی های تعمیم یافته به ترتیب بر x و y باشند و f:x->y یک تابع باشد،تعریف و بررسی روابط میان (g,g)- پیوستگی و (g,g)- پیوستگی ضعیف و(?,?)- پیوستگی و (?,?)- پیوستگی ضعیف و (g?,g??)- پیوستگی و( g?,g??) - پیوستگی ضعیف هدف این پایان نامه است

در این پایان نامه، ابتدا اصول جداسازی تعمیم یافته، یعنی ?–جداسازی هارا به وسیله ی عناصر توپولوژی تعمیم یافته ی? تعریف و آن ها را بررسی می کنیم. سپس اصول جداسازی را براساس هر زیرمجموعه ی دلخواه از مجموعه ی توانی در نظر گرفته و آنها را که اصول جداسازی عمومی نامیده می شوند، مطالعه می نماییم. سرانجام همه ی این اصول جداسازی جدید را با هم مقایسه می کنیم.

در این پایان نامه خواص توابع مجموعه مقدار از جمله پیوستگی، انواع پیوستگی تعمیم یافته، باز بودن و باز تعمیم یافته بودن این توابع مورد بررسی قرار داده می شود و خواص اساسی و صفات مشخصه آن ها اثبات می شود.

در این پایان نامه فضای توپولوژی تعمیم یافته را تعریف کرده و نشان می دهیم که چگونه می توان این فضا را بر اساس نگاشتی یکنوا تعریف کرد. مفهوم همگرایی را با استفاده از مفهوم توده تعریف کرده و قضایای همگرایی را با استفاده از مفاهیم اولیه ی توپولوژی تعمیم یافته بیان کرده و با مفهوم همگرایی در توپولوژی معمولی مقایسه می کنیم. همچنین خواص توپولوژیکی را در این فضا مورد مطالعی قرار داده و با توپولوژی معمولی مقایسه می کنیم. سپس با تعریف انواع مجموعه های باز تعمیم یافته, پیوستگی را روی آنها بررسی کرده و با یکدیگر مقایسه می کنیم. در ادامه پیوستگی تعمیم یافته را روی مفاهیم اولیه توپولوژی تعمیم یافته تعریف کرده و با یکدیگر مقایسه می کنیم. در آخر نیز توپولوژی تعمیم یافته را روی فضاهای خارج قسمتی و فضای تجزیه بررسی کرده و با توپولوژی معمولی مقایسه و برخی از نتایج آنرا به عنوان کاربردها بیان می کنیم.

در این پایان نامه m-توپولوژی روی حلقه توابع پیوسته تعمیم داده شده و مجموعه های همبند و فشرده مورد بررسی قرار گرفته اند. در این راستا با استفاده از ایدآلهای این حلقه به دو گونه متفاوت m-توپولوژی را تعمیم داده ایم و سپس مولفه های همبندی را در آن ها مشخص نموده ایم. همچنین نشان داده شده است که مجموعه های فشرده در فضای m-توپولوژی درون تهی هستند. علاو بر آن نشان داده ایم که برای هر ایدآل کراندار می توان تعمیمی از m-توپولوژی ارائه کرد که مولفه هم بندی آن دقیقا همان ایدآل کراندار مورد نظر باشد.

در این نوشتار به معرفی فضای توپولوژی ایدآلی می پردازیم و با ساختار این فضا آشنا می شویم، همچنین برخی از زیرمجموعه های خاص این فضا از جمله a_i-مجموعه ها، مجموعه های i-موضعاً بسته و i-باز تقریباً قوی تعریف می شوند. سپس پیوستگی های مختلفی را تعریف می کنیم و روابط بین این پیوستگی ها را بیان می کنیم. در نهایت در فصل آخرمفهوم همبندی در فضای ایدآلی را مورد بررسی قرار می دهیم و به قضایای مربوط به همبندی در فضای توپولوژی ایدآلی می پردازیم.

: در این پایان نامه ابتدا تعریف حاصل ضرب توپولوژی های تعمیم یافته را ارائه می کنیم. پس از آن به بیان برخی خواص این حاصل ضرب پرداخته و رابطه ی بین حاصل ضرب و عمل گرهای توپولوژی تعمیم یافته را بررسی می کنیم. سپس به بررسی مفاهیم هم بندی و فشردگی تعمیم یافته می پردازیم. هم چنین نشان می دهیم که قضیه ی تیخونف برای توپولوژی های تعمیم یافته نیز برقرار است.

دسته ی توابع ضعیف تر و قوی تر از پیوستگی که دقیقاً بین توابع قویاً پیوسته و توابع تقریباً پیوسته قرار می گیرند، را بررسی می کنیم. به خصوص توابع ?-پیوسته و پیوسته ی تقریباً کامل را به طور دقیق تری مورد مطالعه قرار می دهیم و به رفتار ویژگی های توپولوژیکی تحت این توابع می پردازیم

در این پایان نامه ‎توپولوژی، گراف توپولوژی، کریکورین توپولوژی و توپولوژی پوشش باز بر ‎ را مورد مطالعه قرار می دهیم. نشان می دهیم ‎ یک حلقه ی توپولوژی است و یکی شدن توپولوژی و ‎ توپولوژی با شبه فشرده بودن فضای ‎ معادل است. ثابت می کنیم اگر ‎‎ یک فضای چک-کامل باشد، آن گاه شمارای نوع اول است و همچنین ثابت می کنیم اگر ‎‎ کاملاً متری پذیر باشد، آن گاه یک فضای چک-کامل است که هر کدام از این ویژگی ها با شبه فشرده بودن ‎ هم ارز است. شش تابع کاردینالی فضاهای توپولوژی را معرفی می کنیم و سپس به مقایسه ی این توابع کاردینالی روی ‎ می پردازیم. این توابع کاردینالی عبارتند از مشخصه ی فضای توپولوژی، وزن فضای توپولوژی، چگالی فضای توپولوژی، عدد لیندلوف فضای توپولوژی و ساختار سلولی فضای توپولوژی. نشان می دهیم اگر ‎ ‎ متری پذیر و ‎‎ نرمال باشد، آن گاه ‎ ‎. سپس نشان می دهیم اگر ‎ ‎ فضایی شمارا پیرافشرده و نرمال باشد و ‎ ‎ فضایی متری پذیر باشد، آن گاه خواهیم داشت ‎ فضا را معرفی می کنیم و ثابت می کنیم یک ‎ ‎‎فضاست، اگر و تنها اگر ‎ ‎

در این پایان نامه ابتدا ویژگی آرتین ـ ریس را در حلقه ی ، در حلقه ی کسرهای و حلقه های خارج قسمتی مورد مطالعه قرار می دهیم. نشان می دهیم یک حلقه ی آرتین ـ ریس است اگر و تنها اگر یک p ـ فضای باز باشد . یک شرط لازم و کافی برای آن که حلقه های موضعی آرتین ـ ریس باشند این است که هر ایدآل اول مینیمال باشد و از آن جا معلوم می شود که هر حلقه ی موضعی یک حلقه ی آرتین ـ ریس است اگر و تنها اگر یک p ـ فضا باشد. همچنین نشان داده ایم که اگر در یک c ـ نشانده ی چگال باشد، آن گاه منظم است اگر و تنها اگر یک p ـ فضا باشد . سپس مشاهده می کنیم که یک f ـ فضا است اگر و تنها اگر حوزه ی صحیح موضعی باشد. در نتیجه یک f ـ فضا است اگر و تنها اگر ایدآل های اولیه که در یک ایدآل ماکسیمال قرار دارند قابل مقایسه باشند. برخی از ویژگی های وقتی یک f ـ فضا باشد به حلقه های کاهشی بزو تعمیم داده شده اند. مشخص می شود که وقتی یک فضای نامتناهی همبند و f ـ فضا باشد، آنگاه مثالی طبیعی از یک حلقه ی غیر نوتری بدون خودتوان غیربدیهی است که حوزه صحیح شده است ولی حوزه ی صحیح نیست. نشان می دهیم که رتبه ی نقطه ی ??x در حالت متناهی منطبق بر بعد گلدی mx است و مثالی از یک فضای می آوریم که نشان می دهد این موضوع در حالت نامتناهی درست نیست. با توجه به این حقایق و برخی از ویژگی های دیگر رتبه ی یک نقطه ی ??x را برابر با بعد گلدی mx تعریف می کنیم. سرانجام برای هر کاردینال a نشان می دهیم یک فضای و یک زیرمجموعه ی بسته ضربی از وجود دارند که بعد گلدی s-1 برابر a است.

تابع از فضای توپولوژی به را -باز می نامیم، هرگاه برای هر همسایگی متمم صفرمجموعه ای برای یک صفرمجموعه ی در ، تصویر یک همسایگی برای در باشد. می گوییم ویژگی -تفکیک پذیری دارد، هرگاه برای دو متمم صفرمجموعه ی و و صفرمجموعه ی در که ، یک صفرمجموعه ی در وجود داشته باشد که . یک تابع پوشا، -باز است، هرگاه متمم صفرمجموعه ها را به متمم صفرمجموعه ها تصویر کند و دارای ویژگی -تفکیک پذیری باشد. در این پایان نامه، توابع -باز و دیگر توابعی را که متمم صفرمجموعه ها را به متمم صفرمجموعه ها تصویر می کنند، بررسی می کنیم. نشان می دهیم که اگر یک تابع پیوسته و -باز باشد، آن گاه تعمیم استون-چک آن باز است. از این موضوع برای نشان دادن بعضی از ویژگی های مربوط به -فضاها که تحت توابع پیوسته و -باز حفظ می شوند، استفاده می شود.

مطالعه ی نقاط برش فضاهای توپولوژی همبند فرض می شوند. نقطه ی برش از یک فضا نقطه ای است که اگر آن را از فضا حذف کنیم‏، فضا ناهمبند شود. وقتی فضایی دارای نقاط غیر برش باشد‏، آن گاه مبحث نقاط برش اهمیت ویژه ای پیدا می کند. اگر یک فضا دارای حداقل دو نقطه ی غیر برش باشد‏، آن‎‏ گاه می گوییم قضیه ی وجودی نقاط غیر برش برای آن برقرار است. این قضیه برای فضاهای همبند‏ی مانند خط خالیمسکی و خط اعدد حقیقی برقرار نیست. این حقیقت باعث می شود به دنبال زیرکلاس هایی از فضاهای همبند باشیم که قضیه وجودی نقاط غیر برش برای تک تک اعضای آن برقرار باشد

هدف ما در این پایان نامه این است که با استفاده از معرفی ویژگی (*) برای فضای توپولوژی x، نشان دهیم که هرگاه x دارای این خاصیت و دو ویژگی زیر باشد: ویژگی (الف): هر زیرفضای شمارا فشرده از x با خاصیت (*) یک فضای دنباله ای یا یک فضای ap است. ویژگی ( ب ): x یک فضای دنباله ای یا یک فضای ap با ویژگی (*) است. آن گاه مفاهیم فشردگی، شمارا فشردگی و دنباله ای فشرده بر هم منطبق می باشند.

این رساله در ابتدا ساختار درونی همریختی های میان حلقه های توابع پیوسته مورد مطالعه قرار گرفته است. با در نظر گرفتن این نکته که هر همریختی بین حلقه های توابع پیوسته با یک تابع پیوسته تولید می گردد اطلاعات مهمی از این نوع همریختی ها در اختیارمان قرار خواهد گرفت. یک کمیت بسیار مهم در یک همریختی حلقه ای، هسته آن همریختی است. نشان داده شده است که برای همریختی حلقه ای $phi:c(x)longrightarrow c(y)$، هسته $phi$ شکل ویژه ای دارد. به عبارت دیگر زیر مجموعه $asubseteq upsilon x$ وجود دارد به طوری که $ker(phi)=m^a$. همچنین هر ایدآل بسته که واجد این شرط باشد، هسته یک همریختی از حلقه $c(x)$ به توی یک حلقه توابع پیوسته خواهد بود (ر.ک. ef{1.2.5} ). سپس با استفاده از نتایج بدست آمده در مورد این نوع همریختی ها شرط لازم و کافی برای اینکه برای ایدآل $i$ در $c(x)$، حلقه خارج قسمتی $frac{c(x)}{i}$ با یک حلقه توابع پیوسته یکریخت باشد، بدست آمده است ( ef{1.2.6} ). به عنوان یک مثال خاص نشان داده شده است که شرط لازم و کافی برای این که حلقه $frac{c(x)}{c_f(x)}$ در یک حلقه توابع پیوسته نشانده شود این است که مجموعه نقاط منفرد فضای $x$ متناهی باشد. ادامه این بررسی ها به یافتن زیر حلقه هایی از $c(x)$ که با یک حلقه توابع پیوسته یکریخت هستند اختصاص داده شده است. نتیجه اساسی که در بسیاری از قسمت های فصل سوم نمود بسیاری خواهد داشت ef{1.3.7} می باشد. در ادامه کمی رویکرد خود را تعمیم داده و به بحث و بررسی در مورد زیر حلقه های خاصی در حلقه $c(x)$ پرداخته ایم. در واقع ادامه این اثر از دو بخش عمده تشکیل شده است. در بخش اول ایدآلهای $c(x)$ خود به عنوان یک حلقه مطرح خواهند شد. در بررسی ایدآل ها به عنوان یک حلقه، بسیاری از روش ها که در مورد حلقه $c(x)$ مفید می باشند، از قابلیت کافی برخوردار نخواهند بود. همچنین لزوماً ایدآل های واقع در یک ایدآل در $c(x)$ تشکیل یک ایدآل نمی دهند. در ابتدای این بخش به شناسایی ایدآل هایی پرداخته شده است که هر ایدآل در آن ها، ایدآلی ($z$-ایدآلی) از $c(x)$ می باشد. با استفاده از این توصیف، نتایجی در ارتباط با $p$-ایدآل ها بدست خواهند آمد و برخی ارتباط های میان ایدآل های کراندار نظیر $c_k(x)$ و $c_{psi}(x)$ با $c_f(x)$ (ساکل حلقه $c(x)$ ) را مشاهده خواهیم کرد. زیر حلقه $c_f^{infty}(x)$ را تعریف کرده و با استفاده از آن نشان می دهیم که $c_{infty}(x)$ یک حلقه منظم است اگر و تنها اگر بر حلقه $c_f^{infty}(x)$ منطبق گردد. همچنین نشان می دهیم که این گزاره معادل است با این که هر زیر مجموعه باز، موضعاً فشرده و $sigma$- فشرده، متناهی است( بهبودی از یک نتیجه در cite{aan}.) در ادامه نشان داده شده است که برای هر ایدآل در حلقه $c(x)$، مجموع دو ایدآل اول در آن ایدآل، یک ایدآل اول است اگر و تنها اگر $x$ یک $f$-فضا باشد. لذا مشاهده می کنیم که اگر $x$ یک $f$ فضا نباشد، همواره ایدآلی در $c(x)$ وجود دارد که دارای دو ایدآل اول با مجموعِ غیر اول می باشد. با در نظر گرفتن ایدآل های ماکسیمال در ایدآل $i$، مفهوم تفکیک پذیری را به ایدآل ها تعمیم داده ایم و نشان داده ایم که تفکیک پذیری ایدآل $i$ معادل است با چگال-تفکیک پذیری فضای $eta xsetminus heta(i)$. همچنین به بررسی ارتباط این مفهوم با $p$-ایدآل ها پرداخته ایم. انتهای این بخش را به بعد گلدیِ یک ایدآل اختصاص داده ایم. نشان داده شده است که بعد گلدی ایدآل $i$ با عدد حجره ای فضای توپولوژی $xsetminus delta(i)$ برابر است.بخش محوری این رساله، فصل سوم می باشد. در این قسمت به بررسی زیر حلقه هایی خواهیم پرداخت که از لحاظ ظاهر به ایدآل ها نزدیک هستند، اما دارای نسخه ای از $bbb{r}$ نیز می باشند. این حلقه ها به صورت $i+bbb{r}$ هستند. در ابتدا به بحث و بررسی ویژگی های کلی زیر حلقه هایی از این رسته خواهیم پرداخت. ویژگی هایی را بررسی می کنیم که می توان یا نمی توان همواره میان $c(x)$ و $i+bbb{r}$ مشترک ساخت. خواهیم دید که ایدآل $i$ در $c(x)$ وجود دارد به طوری که زیر حلقه $i+bbb{r}$ دارای دو ایدآل اول ($z$-ایدآل) با مجموع غیر اول (غیر $z$-ایدآل) است اگر و تنها اگر $x$ یک $f$-فضا extbf{نباشد}. با این وجود نشان می دهیم در فضای توپولوژی کاملاً منظم و دلخواه $x$، برای هر $z$-ایدآلِ $i$ در $c(x)$، مجموع هر دو $z$-ایدآل (ایدآل اول) در $i+bbb{r}$، یک $z$-ایدآل (ایدآل اول) است. همچنین برای هر ایدآل $i$ در $c(x)$، حلقه $i+bbb{r}$ نیز همانند $c(x)$، یک $pm^+$- حلقه است. پس از بررسی ویژگی های آشنا بر این زیر حلقه، هدف مان معطوف به بررسی و تخمین فاصله حلقه $i+bbb{r}$ از $c(x)$ با معیار های جبری خواهد شد. اولین معیار بررسی این گزاره است که زیر حلقه $i+bbb{r}$ یک زیر حلقه ماکسیمال است اگر و تنها اگر $x,yin upsilon x$ وجود داشته باشند به طوری که $i=m^xcap m^y$. همچنین نشان داده شده است که برای $pin eta xsetminus upsilon x$، بستار زیر حلقه $m^p+bbb{r}$ در توپولوژی یکنواخت هرگز در یک زیر حلقه ماکسیمال از $c(x)$ واقع نمی شود. بنابراین برای هر $pin eta x$، زیرحلقه $c(xcup {p})$ هیچ گاه مشمول در یک زیر حلقه ماکسیمال از $c(x)$ نمی باشد. این نکته ما را به این نتیجه جالب هدایت می کند که برای $pin eta xsetminus upsilon x$، حلقه $c(x)$ به عنوان یک $c(xcup {p})$- جبر، هرگز دارای مولد شمارا نیست. معیار بعدی در این بررسی مفهوم بستار جبری است. نشان می دهیم که حلقه $c(x)$ روی زیر حلقه $i+bbb{r}$ صحیح است اگر و تنها اگر $c(x)$ به عنوان یک $(i+bbb{r})$- جبر با مولد شمارا باشد و همچنین اگر و تنها اگر زیر مجموعه متناهی $asubseteq upsilon x$ وجود داشته باشد به طوری که $i=m^a$. در ادامه نشان داده شده است که زیر حلقه $i+bbb{r}$ در $c(x)$ بسته جبری است اگر و تنها اگر $i$ یک ایدآل نیم اول و $ heta(i)$ زیر مجموعه ای همبند از $eta x$ باشند. این قضیه ما را به این نتیجه هدایت می کند که برای $z$-ایدآل $i$ در $c(x)$ با این ویژگی که $ heta(i)$ دارای تعداد متناهی مولفه همبندی باشد، بستار زیر حلقه $i+bbb{r}$ در $c(x)$ شکلی ملموس خواهد داشت. در انتها با استفاده از مفهوم حلقه های خارج قسمت ها، نظر خود را معطوف به این پرسش خواهیم کرد که چه وقت حلقه $c(x)$ یک حلقه خارج قسمت ها از $i+bbb{r}$ است؟ نشان می دهیم که اگرچه $c(x)$ همواره یک حلقه خارج قسمت ها از $i+bbb{r}$ نمی باشد، زیر حلقه ای از $c(x)$ که خود با یک $c(y)$ یکریخت است وجود دارد به طوری که همواره یک حلقه خارج قسمت ها از $i+bbb{r}$ است. در نهایت این نتیجه ما را به این سوال که چه وقت حلقه $i+bbb{r}$ خود-انژکتیو است رهنمون می کند.}

گیریم( c(x حلقه ای از توابع پیوسته با مقادیر حقیقی بر فضایt_1 و کاملا مرتب x باشد. همچنین فرض کنیم( c_k (x اید آلی از توابع با تکیه گاه فشرده باشد. ناب بودن به عنوان ( c_k (x زیر فضایی ازx_l که مجموعه ای از نقاط x با همسایگی های فشرده است را شناسایی و بررسی می کند .اثبات می کنیم که(c_k (x ناب است اگر و فقط اگرx_l=?suppf (f عضو (c_k (x . اگر( c_k (xو( c_k (y ایده ال-های ناب باشند،(c_k (x) وc_k)(y) یکریخت اند اگر و فقط اگر x_l وy_l همسان ریخت باشند. ثابت می کنیم که( c_k (x کامل است وx_l ناهمبند پایه ای است اگر و فقط اگر برای هر f در c_k (x)ایده ال( f) یک c(x) مدول تصویری(پروژکتیو) باشد و در انتها ثابت می کنیم که اگر( c_k (x) کامل باشد، آن گاه x_l فضایf ? است اگر و فقط اگر هر اید ه ال اصلی از( c_k (xکامل باشد. بنابراین x_l فضایf ? است اگر و تنها اگرهر ایده ال اصلی از( c_k (x یک( c(x مدول تخت است.

فرض کنیم $sigma(x)$, گردایه همه زیرجبرهایی از $c(x)$ شامل $c^*(x)$ باشد. مطالعه ایدآل ها در $c(x)$ بستگی به این حقیقت دارد که اگر $i$ یک ایدآل سره در $c(x)$ باشد, آنگاه $z(i)$ یک $z$ -پالایه روی $x$ است. اما این مساله در زیرجبر دلخواه $a(x)in sigma(x)$ لزوما صادق نیست. ما در این پایان نامه, با فرض این که $x$ یک فضای {f تیخونف }باشد, یک نوع جدید از ایدآل ها در $a(x)$ به نام $z_a^eta$ -ایدآل را معرفی می کنیم و تناظر یک به یک $z_a^eta$, از مجموعه همه ایدآل ها در $a(x)$ به مجموعه ای از یک نوع خاص از پالایه ها در $eta x$ را بیان می کنیم به گونه ای که تناظر $z_a^eta$, در تشخیص ایدآل های اول قابلیت داشته باشد.

در این پایان نامه m-توپولوژی را روی برخی حلقه های خارج قسمت های c(x) تعریف می کنیم. با استفاده از این نشان می دهیم cr(x) یعنی c(x)با r- توپولوژی،درحقیقت زیرفضایی از حلقه ی خارج قسمت های کلاسیک c(x) مجهز به m –توپولوژی است. مولفه ها و شبه مولفه های همبندی را در این حلقه های توپولوژیک شناسایی کرده، ضمن مطالعه ی شرایط همبندی آن ها،pa- فضاها را که تعمیمی از تقریباً –pفضاها هستند معرفی کرده، به بررسی ویژگی های آن ها می پردازیم. نشان می دهیم qm(x) یعنی q(x) با -mتوپولوژی همبند است اگر و تنها اگر x یک تقریباً p-فضای شبه فشرده باشد، اگر و تنها اگر cr(x) همبند باشد. همچنین ثابت می کنیم همبندی حلقه ی ماکسیمال خارج قسمت ها c(x) با m-توپولوژی معادل است با این که x یک فضای متناهی باشد. در قسمت دوم این پایان نامه، توجه خود را به cr(x) معطوف کرده، نشان می دهیم مولفه و شبه مولفه ی همبندی عضو صفر در این حلقه های توپولوژیک با هم یکی بوده، در واقع برابر است با اشتراک همه ی ایدآل های اصلی c*(x) که با عناصر منظم c*(x) تولید می شوند. در ادامه، شناسایی ساختارهای مختلف از مولفه ی همبندی صفر در cr(x) ما را به اثبات این واقعیت رهنمون ساخت که cr(x) کلاً ناهمبند است اگر و تنها اگر مجموعه ی نقاطی از ?x که تقریباً p-نقطه نیستند در ?x چگال باشد. همچنین مشاهده می کنیم اصول شمارایی چون تفکیک پذیری، لیندلوف و شمارای نوع دوم بودن و همچنین برخی خواص فشردگی معادل با متناهی بودن فضای $x$ می باشد. سرانجام ایدآل های باز و بسته را در cr(x) شناسایی کرده، نشان می دهیم به ازای هر p از x، clrop=mp اگر و تنها اگر x یک تقریباً p-فضا باشد.

مفهوم کلی کرانداری در یک فضای توپولوژی از کرانداری متری و فشردگی نسبی، تعمیم یافته است. توسیع یک نقطه ای o(fx) از فضای x، به طور طبیعی به کرانداری fx بستگی دارد و همه ی توسیع های تک نقطه ای هاسدورفِ فضای x را می توان از این طریق به دست آورد. با پیروی از این شیوه، می توانیم رده های کلی تر از توسیع های هاسدورف یک فضای موضعا کراندار، نسبت به یک کرانداری داده شده را، به دست آوریم که-bتوسیع نامیده می شود. در این پایان نامه، ما ویژگی تجزیه و متری شدنی این نوع توسیع ها را، بررسی می کنیم.

چ مجموعه ی تمام مقسو معلیه های صفر حلقه ی تعویض پذیر و z(r) کنیم ?? فرض م باشد. ???? با توپولوژی زاریس r فضای ای دآل های اول مینیمال حلقه ی m و r دار ?? ی و i z(r) نامیم اگر ?? ? ایدآل م sd ال یا به اختصار ?? را ایدآل قویاً چ r از i ایدآل d(a) = که a 2 r را مجموعه ی تمام rk(m) نباشد. ?? در هیچ ایدآل اول مینیمال i و (a) دارای خاصیت r دهیم ?? گیریم. نشان م ?? فشرده است، در نظر م mnv (a) نداشته باشد. در این پایان نامه ?? ? اید آل sd هیچ r فشرده است اگر و تنها اگر، m m ? ایدآل) است اگر و تنها اگر sd (?? ایدآل اساس ?? ی rk(m) دهیم که ?? نشان م و نافشرده) باشد. اشتراک ایدآل های اول ?? فشرده موضع m (?? تقریباً فشرده موضع ?? نیست؛ ما شرط معادل ?? ایدآل اساس ?? لزوما ی r حلقه ی کاه شیافته ی ?? مینیمال اساس دهیم که تحت آن هر اشتراک (اشتراک شمارا) از ایدآل های اول مینیمال ?? را ارایه م شود که ?? باشد. همچنین ثابت م ?? ایدآل اساس ?? ، ی r حلقه ی کاهش یافته ی ?? اساس (به عبارت c(x) معادل با ساکل c(x) در ?? اشتراک ایدآل های اول مینیمال اساس x دهیم فضای توپولوژی ?? ) است. در نهایت، نشان م cf (x) = oxni(x) ر، ?? دی ایدآل ناب باشد. ?? ی ck(x) و i(x) = xl شب هگسسته است اگر و تنها اگر

دراین پایان نامه به بررسی مشبکه z-ایدال های حلقه c(x) می پردازیم و نشان می دهیم این مشبکه یک چهارچوب فشرده است.

عضو a در حلقه r خوش ترکیب نامیده می شود هر گاه به صورت مجموع یک عضو خودتوان و یک عضو یکه در r نوشته شود. در این نگارش به شرایطی که فضای توپولوژی x باید داشته باشد تا حلفه توابع پیوسته (c(x خوش ترکیب شود پرداخته می شود. همچنین ثابت می شود (c(x خوش ترکیب است اگر و تنها اگر (c(x قویاٌ صفربعدی باشد، اگر و تنها اگر (c(x شامل یک ایدآل اول خوش ترکیب باشد. همچنین ثابت می شود اگر e عضوی خودتوان در حلفه r باشد به طوری که هم ere و هم (1-e)r(1-e) خوش ترکیب باشند، r نیز خوش ترکیب می شود. توسیع های دیگری از حلقه های خوش ترکیب از جمله توسیعهای ماتریسی و حلقه های گروهی خوش ترکیب نیز بررسی می شوند. حلقه ی r قویاً خوش ترکیب نامیه می شود، اگر هر عضو آن به صورت مجموع یک عضو یکه و یک عضو خودتوان در r باشد که جابه جا می شوند. ثابت می شود این حلقه ها به طور طبیعی از حلقه های قویاً π - منظم ساخته می شود. ارتباط آن ها با لم فیتینگ نیز مورد بررسی قرار گرفته است.

یک فضای هاسدورف ، تقریبا گسسته نامیده می شود هرگاه دقیقا یک نقطه نامنفرد داشته باشد. یک فضای تیخانف -sv, y فضا نامیده می شود، هرگاه c(y)/p برای هر ایدآل اول p از c(y)، ارزیابی باشد. ثابت می شود که فضای تقریبا گسسته x که بصورت d { } می باشد، -sv فضاست اگر و تنها اگر x به صورت اجتماع متناهی از زیر فضاهای ناهمبند پایه ای بسته باشد اگر و فقط اگر m{f c(x): f()0}شامل تعداد متناهی ایدآل های اول مینیمال باشد. در حالتی که { } یک g مجموعا باشد که معادل با کاملا نرمال بودن x می باشد. فضای x به صورت اجتماع متناهی از زیر فضاهای بسته ناهمبند شدید است . در پایان با ارائه تعریف -fmp فضا چند مسئله حل نشده نیز مطرح خواهند شد.