پایداری اولام-گاوروتا-راسیاس معادله تابعی خطی را در فضاهای باناخ و ناارشمیدسی بررسی میکنیم.سپس نوع تعمیم یافته معادله تابعی خطی را در فضاهای برداری بررسی میکنیم.

این پایان نامه شامل چهار فصل است. در فصل اول به بیان تعاریف و قضایای مقدماتی می پردازیم. در فصل دوم به بررسی قضیه پایداری هایرز-اولام-راسیاس در فضاهای باناخ پرداخته و برخی قضایای پایداری معادلات تابعی مطرح شده را بیان می کنیم . در فصل سوم با فضاهای چند-نرمی، چند-نرمی دوگان و باناخ چندگانه و ویژگی ها و مثال هایی از آنها آشنا می شویم. و در نهایت در فصل چهارم بعد از آشنایی با عملگر کراندار چندگانه، به بررسی تعمیمی از قضیه پایداری هایرز-اولام- راسیاس در رابطه با معادله جمعی کشی برای نگاشت های از فضای خطی به توی فضاهای چند-نرمی می پردازیم.

هدف اصلی در این پایان نامه بررسی فضای نرم دار فازی و ساختار توپولوژیکی آن است. در این پایان نامه ابتدا شان می دهیم هر فضای نرم دار فازی بدون هیچ شرط اضافه ای یک فضای برداری توپولوژیکی است و همچنین دو مفهوم پیوستگی فازی و پیوستگی توپولوژیکی با هم معادلند، بنابراین همه نتایج در فضای برداری توپولوژیکی در فضای نرم دار فازی برقرارند. در ادامه مفهوم نیم نرم فازی را تعریف نموده و ویژیگی های آن را بررسی می کنیم، سپس نشان می دهیم که در حالت عمومی یک خانواده مجزا ازنیم نرم های فازی یک نرم فازی تعریف می کند، ولی این مطلب در آنایز کلاسیک برقرار نیست.

در فضاهای هیلبرت با بعد متناهی به ارتباط بین دو قاب پرداخته، همچنین معیاری برای تشخیص بعد یک فضای هیلبرت با استفاده از قابها ارائه می دهیم، به علاوه روشی برای ساخت یک قاب چسبان ایزومتریک برای ‎‎$mathbb{c}^d$‎‎‎ یا ‎‎‎‎‎‎‎$mathbb{r}^d$ معرفی می نماییم‎. در انتها سعی می کنیم قضایای مربوط به قابها و پارسوال قابها را به میدان برداری ‎‎$‎mathbb{z}^n_2$‎‎‎ گسترش‎ دهیم‎،‎ اما با توجه به اینکه فضای ‎‎$‎mathbb{z}_2^n$‎‎‎ یک‎ فضای ضرب داخلی نیست، بنابراین بسیاری از تعاریف و قضایای مربوط به قابها در فضاهای هیلبرت در این فضا برقرار نمی باشد‎‎، که ما به بحث دربار? این تفاوتها می پردازیم.

فرض کنید که f یک c^1دیفئومورفیسم نوعی باشد و ? مجموعه منفرد پایای فشرده باشدکه در شرط ملایمی روی مجموعه نقاط تناوبی (شرط l-هذلولوی غیر یکنواخت)صدق کند،آنگاه ? هذلولوی می باشد. برای هرc^1 دیفئومورفیسم،هر مجموعه پایای فشرده که در خاصیت تقریب تناوبی کتک و شرط l-هذلولوی غیریکنواخت روی نقاط تناوبی صدق کند، هذلولوی است.

در این پایان نامه یک قضیه نقطه ثابت مشترک را با استفاده از مفهوم نگاشت های جابجایی r-ضعیف برای یک جفت از نگاشت های ناسازگار،بدون استفاده از کامل بودن فضا و پیوستگی نگاشت های بکار رفته بررسی می کنیم.

پایان نامه شامل سه فصل است فصل اول مقدمات لازم برای دو فصل دیگر است و در فصل دوم به مشخصه سازی های بهترین تقریب می پردازیم در فصل سوم در مورد بهترین هم تقریب بحث میکنیم.

ینامیک هموار مطالعه ی شارها و یا نگاشت های مشتق پذیر می باشد. در میان سیستم های دینامیکی هموار دینامیک های هذلولوی به وسیله نمایش راستاهای انقباضی و انبساطی مشخص می شود‎.‎ از دهه ‎60‎ مجموعه های هذلولوی نقش مهمی را در گسترش سیستم های دینامیکی ایفا کرده است. مجموعه های هذلولوی, مجموعه هایی پایا تحت دینامیک و نیز فشرده هستند که فضای مماسی بر روی آنها به دو زیرفضای پایا که یکی از آنها انقباضی و دیگری انبساطی است تجزیه می گردد‎.‎ در این پایان نامه سیستم های دینامیکی گسسته را مدنظر قرار می دهیم با این حال روش های ما در حالت های پیوسته نیز به کار خواهد آمد. در دهه های اخیر توجه بسیار زیادی به سیستم های ارگودیک شده است. موضوع ارگودیک بودن در مورد یک نگاشت, وابستگی کاملی به شناسایی زیرمجموعه های اندازه پذیر برل با اندازه مثبت دارد. در این پایان نامه سعی می کنیم با درنظر گرفتن یک دیفیومورفیسم ‎$ c^{1+alpha}$‎ زیرمجموعه های بسته و در حالت کلی برل فضا را که از اندازه مثبت هستند مورد بررسی قرار دهیم. در حقیقت با شناسایی چنین مجموعه هایی می توان روش های دیگری را برای ارگودیک بودن نگاشت های آناسوف حجم نگهدار ارائه کرد. ‎‎ روش کلی در اینجا اثبات این مطلب است که هرگاه ‎$ lambda$‎ مجموعه ای پایا از ‎$ c^{1+alpha}$‎ دیفیومورفیسم ‎$ f$‎ و از اندازه مثبت باشد در این صورت زیرمنیفلدهای پایدار و ناپایدار آن تقریباً همه جا زیرمجموعه ای از خود ‎$ lambda$‎ خواهند بود. در حالت کلی می توان نشان داد که هرگاه نگاشت ‎$ c^{1+alpha}$‎ دارای یک راستای هذلولوی ‎$ e$‎ باشد آنگاه برای هر زیرمجموعه ی پایا ‎$ lambda$‎ از ‎$ f$‎ و تقریباً همه ی ‎$ xinlambda$‎ ‏داریم ‎$ mathcal{f}(x)subseteqlambda$ر این پایان نامه نتایجی را راجع به دیفیومورفیسم های آناسوف حجم نگهدار روی منیفلدهای فشرده مورد بررسی قرار می دهیم. قضیه اصلی این پایان نامه بیان می کند که اگر یک ‎$c^{1+alpha}$‎ دیفیومورفیسم حجم نگهدار روی یک منیفلد فشرده همبند دارای زیرمجموعه پایا از اندازه مثبت باشد در این صورت نگاشت ‎$f$‎ آناسوف است. این نتیجه لزوماً درباره نگاشت های ‎$ c^1$‎ برقرار نمی باشد. اثبات از مفهوم نقاط چگالش که به صورت دینامیکی توسط پیو‎ltrfootnote{pugh}‎ و شوب‎ltrfootnote{shub}‎ تعریف شده اند استفاده می کند که اساساً از مفهوم نقاط چگالش لبگ که به صورت معمول معرفی می شوند متفاوت است. سپس اثباتی مستقیم برای ارگودیک بودن دیفیومورفیسم های آناسوف حجم نگهدار ‎$ c^{1+alpha}$‎ بدون استفاده از بحث های هاف‎ltrfootnote{hopf}‎ یا قضیه ارگودیک بیرخوف ارائه می دهیم.

در این پایان نامه هیلبرت مدول روی c*-جبر موضعی را مورد مطالعه قرار میدهیم و در حالت خاص نشان می هیم اگر a و b دو c*-جبر موضعی باشند و e هیلبرت a-مدول پر باشد و fهیلبرت b-مدول پر باشد در این صورت نگاشت خطی دوسویی l از a به b عملگر یکانی از e به f است اگر وتنها اگر نگاشت lاز a به b با برد بسته وجود داشته باشد بطویکه شرایط زیر برقرار باشد ??(?), ?(?)? = ?(??, ??) , ?(?a) = ?(?)?(a).

هندسه طیفی نظریه ای است در هندسه و هم چنین در نظریه معادلات با مشتقات پاره ای که اساساً سعی دارد خواص یک شئ هندسی را فقط با استفاده از رفتار طیف عملگر لاپلاس روی آن شئ بررسی کند. به زبان دقیق تر فرض کنید u یک مجموعه باز اقلیدسی است، می خواهیم بدون نگاه کردن به هندسه ظاهری u، و فقط با در نظر گرفتن طیف عملگر لاپلاس روی u، به شکل هندسی آن پی ببریم. در این پایان نامه با استفاده از فرمول پر کاربرد مجانبی وایل، که در ابتدا هیلبرت تصور می کرد در طول زندگی اش این فرمول اثبات نشود، اما کمتر از دو سال بعد وایل آن را ثابت کرد، و هم چنین با مرور مقاله بسیار مشهودی از کاتس تحت عنوان" آیا می توان شکل یک طبل را شنید." به بررسی این نظریه می پردازیم.

در این پایان نامه به بررسی عملگرها با برد بسته می پر دازیم.

چکیده ندارد.

جبر باناخ a به طور تقریبی میانگین پذیر است هرگاه برای هر a-مدول x، هر اشتقاق پیوسته *^ d : a → x تقریباً درونی باشد. در این پایان نامه نشان می دهیم که تقریباً میانگین پذیری و تقریباً انقباض پذیری خواص یکسانی دارند.همچنین نشان می دهیم که به طور یکنواخت میانگین پذیری و به طور یکنواخت میانگین پذیری تقریبی خواص مشابهی دارند. نتایج به دست آمده روی جبرهای باناخ دنباله ای، جبرهای لیپ شیتس و جبرهای برلینگ برقرارند.

برای گروه آبلی توپولوژیک g، مجموعة تمام همومورفیسم های پیوسته از g بتوی گروه دایره ای t همراه با توپولوژی فشرده- باز و عمل ضرب نقطه ای توابع که یک گروه آبلی توپولوژیک هاسدورف است بعنوان دوگان pontryagin این گروه شناخته می شود. فضای دوگان یک گروه آبلی توپولوژیک از لحاظ جبری ایزومورف با فضای دوگان هر زیرگروه چگال خود می باشد.“l. außenhofer” و “ m. j. chesco” مستقل از هم نشان دادند که فضای دوگان یک گروه آبلی متریک پذیر از جنبة توپولوژیکی نیز ایزومورف با فضای دوگان هر زیرگروه چگال خود می باشد که اصطلاحاً گفته می شود یک گروه آبلی متریک پذیر توسط هر زیرگروه چگال خود تعیین می شود یا یک گروه آبلی متریک پذیر یک گروه “تعیین شده ” است.در فصل های اول و دوم این نوشتار، می توانید ببینید که گروههای توپولوژیک از کجا آمده اند؟ نظریة دوگانی pontryagin چیست؟ و همچنین برهان außenhoferرا در تعیین پذیری گروههای متریک پذیر توسط هر زیرگروه چگال خود، مشاهده کنید. در فصل سوم، ساختار گروههای آبلی فشردة موضعی مورد بررسی قرار می گیرد و چگال بودن مؤلفة کمانی عنصر همانی در مؤلفة همبندی آن نشان داده می شود و در پایان تعیین پذیری یک گروه آبلی فشردة موضعی همبند را توسط مؤلفة کمانی عنصر همانی آن خواهیم دید که در مقاله ای از außenhofer با عنوان“on the arc component of a locally compact abelian group” مورد بررسی قرار گرفته است.قضایای کلاسیک این پایان نامه در نظریة گروههای توپولوژیک برگفته از کتابthe structure of compact groups/ k. h. hofmann & s. a. morris” می باشد.

در این پایان نامه نخست به معرفی و بررسی اولام معادله اویلر-لاگرانژ در فضاهای نرمدار میپردازیم و نیز یک نوع تعمیم یافته معادله تابعی درجه دوم را معرفی و پایداری آن را بررسی می کنیم. سپس در بخش اعظم پایان نامه به بررس نتایح به دست آمده در مورد پایداری اولام-گاوروتا-راسیاس برای نوع جدید معادله تابعی اویلر - لاگرانژ متعامد در فضاهای نرمدار و فضاهای متعامد خواهیم پرداخت. در نهایت نیز پایداری یک نوع تعمیم یافته معادله تابعی درجه دوم را با روش نقطه ثابت در مدول های باناخ روی جبر های باناخ مورد بحث قرار خواهیم داد.