در این پایان نامه ابتدا گراف مقسوم علیه توسیع ناگاتا را مطالعه میکنیم و سپس گراف مقسوم علیه صفر حلقه ملغمه یr تحت ایدآل آن مورد بررسی قرار می گیرد. شرایط لازم و کافی برای کامل بودن این گراف ها و قطر و کمر این گراف ها را مورد مطالعه قرار می دهیم.

هدف از نگارش این پایان نامه مطالعه عمل نیم گروه های معکوس روی گراف ها است . این پایان نامه مشتمل بر چهار فصل می باشد . در فصل اول با مفاهیم مقدماتی مورد نیاز اشنا می شویم. در فصل دوم نیم گروه های معکوس و خواص ان بررسی می شود. در فصل سوم با عمل جزئی نیم گروه معکوس s روی یک مجموعه اشنا می شویم. به مجموعه حاصل که به این عمل مجهز شده است یک s - عمل جزئی می گوییم. در فصل چهارم با تعمیم این بحث به گراف ها، s - گراف ها همانند s - عمل ها معرفی و مورد مطالعه قرار می گیرد.

در این پایان نامه به بررسی مفهوم عدد جمعی یکالی حلقه ها و مدول ها می پردازیم و سپس انواع حلقه های خود انژکتیو راست را معرفی می کنیم و نشان می دهیم که هر عضو از یک حلقه خود انژکتیو راست را می توان به صورت مجموعی از دو یکال از حلقه نوشت اگر وتنها اگر هیچ فاکتوری از حلقه با z_2 یکریخت نباشد. هم چنین عدد جمعی یکالی حلقه ی درون ریختی های یک مدول شبه پیوسته با خاصیت تبادل متناهی را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس در این پایان نامه نشان می دهیم که هر عضو از حلقه ی درون ریختی های یک مدول هم تاب یکدست بصورت مجموعی از دو یکال می باشد اگر و تنها اگر هیچ فاکتوری از حلقه با z_2 یکریخت نباشد. در ادامه ما توانستیم عدد جمعی یکالی مدول های هارادا و گسسته را بدست بیاوریم و نشان دهیم که هر عضو از حلقه ی درون ریختی های یک مدول شبه گسسته با خاصیت تبادل متناهی را می توانیم یه صورت مجموع دو یکال بنویسیم اگر هیچ فاکتوری از حلقه با z_2 یکریخت نباشد.در پایان توانستیم عدد جمعی یکالی حلقه های خوش ترکیب با خود توان های مرکزی را بدست آوریم.

در این پایان نامه سعی خواهد شد حلقه های موضعی جابه جایی را مشخص کنیم که حلقه ی ماتریس های n×n روی آنها قویاً تمیز باشند. روند کار براساس تجزیه در[ r[t است.همچنین نشان می دهیم برای هر چندجمله ای تکین f متعلق به[ r[t قویاً تمیز بودن ماتریس همراه چندجمله ای f معادل است با اینکه همه ی ماتریس هایی با چندجمله ای مشخصه ی f قویاً تمیز باشند.در ادامه با معرفی( src(sr- تجزیه ها ارتباط میان src -تجزیه ها وماتریس های قویاً تمیز در $(m_n (r$ را بررسی می کنیم .و همچنین با توجه به تعریفsrc(sr- تجزیه ها مفهوم n-src حلقه ها را بیان می کنیم و مثالهایی ازsrc حلقه ها از جمله حلقه های موضعی هنسلی را ارائه می دهیم و سپس ارتباط آن را باماتریس های قویاً تمیز در $(m_n (r$ را بررسی می کنیم. همچنین مفهوم pr- تجزیه ها را بیان و ارتباط آن باماتریس های قویاً تمیز در $(m_n (r$ را بررسی می کنیم. در انتها مباحثی در مورد ماتریس های قویاً ?- منظم را مورد بررسی قرار می دهیم و با بیان مفهوم sp- تجزیه ها ارتباط میان این تجزیه ها باماتریس های قویاً ?- منظم را مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه یک نمایش نیم گروهی از توپوس طبقه بندی کننده ارایه میشود بدین منظور یک رسته ی بزرگتر از رسته نیم گروههای معکوس و پیش هم ریختی ها در نظر میگیریم که اشیا آن را *-نیمگروه چپ مینامیم و ریختارهای بین آنها را تعریف میکنیم در ادامه ثابت میکنیم که توپوس طبقه بندی کننده نظیر یک نیمگروه معکوس با رسته خارج قسمتی ازریختارهای اتال روی همان نیمگروه معکوس هم ارزند.

در این پایان نامه می خواهیم انژکتیوی در یک کاما کاتگوری c/b را با استفاده از مفهوم شی مقطع های s(f از یک ریخت داده شده f در c را بررسی کنیم. در ابتدا نشان می دهیم که f در c/b انژکتیو است اگر و تنها اگر ریخت (fو1) یک مقطع در c/b و s(f در c انژکتیو باشد. با استفاده از این موضوع اشیا انژکتیو f نسبت به رده نشاندن های توپولوژیکی در رسته های contl/b از مشبکه های پیوسته روی b را مطالعه می کنیم. و به عنوان یک نتیجه هر دو ویژگی توپولوژیکی ( هر تار f عناصر ماکسیمم و مینیمم دارد و f نگاشتی باز و بسته است )و جبری(f یک همریختی مشبکه ای کامل است) رابدست می آوریم.

در این پایان نامه ابتدا با حلقه های (gدر این پایان نامه ابتدا با حلقه های (g(x - تمیز آشنا می شویم و سپس توسیع ها ی مختلفی از این حلقه ها مورد بررسی قرار می گیرند. در ادامه شرایط معادلی را برای حلقه های (g(x - تمیز و حلقه های تمیز بیان میداریم. در فصل سوم این پایان نامه با معرفی حلقه های به طور قوی (g(x - تمیز سعی می کنیم قضایای مشابه حلقه های (g(x - تمیز را در مورد این حلقه ها بیان کنیم. در دو فصل آخر دو مقاله که در کنفرانس ریاضی ارومیه مورد پذیرش قرار گرفته است با عنوان حلقه های به طور ضعیف (g(x - تمیز و حلقه های (g(x - تمیز یک طرفه را می توان دید.

در این پایان نامه ابتدا با مدول های هاپفین و هم هاپفین آشنا می شویم و در ادامه نشان می دهیم که رده مدول های قویا هاپفین (قویا هم هاپفین) بین رده مدول های هاپفین (هم هاپفین) و رده مدول های نوتری (آرتینی ) قرار دارد. همچنین نشان می دهیم برای حلقه جابه جایی a، حلقه چندجمله ای های [a[x قویا هاپفین است اگر و فقط اگر a قویا هاپفین باشد.

دو مدول تصویری نامتناهی تولید شده یکریختند وقتی که دارای مدول خارج قسمتی به پیمانه رادیکال جیکوبسن یکریخت باشندسپس نتایج کاربردی را روی حلقه های نیمه موضعی با مدول های تصویری نامتناهی تولید شده غیر قابل تجزیه بدست می آوریم و در نهایت مدولهای تصویری را روی حلقه اندومورفیسم بررسی می کنیم.

فرض کنید m یک r-مدول چپ و i ایدالی از r باشد. (p, f) را یک i-روکش تصویری از m گوییم اگر f یک بروریختی از p به m باشد و هسته f زیرمجموعه ی ip می باشد و هرگاه p=kerf + x, آنگاه یک جمعوند y از p در kerf وجود داشته باشد به طوری کهp=y+x. این تعریف روکش تصویری را تعمیم می دهد.

در این پایان نامه ما خانواده ای از حلقه ها را که در حذف مجموع مستقیم داخلی نسبت به ایدالهای یک طرفه شان صدق می کنند را مطالعه می کنیم. اینها دقیقاٌ حلقه های شناخته شده اند که در آنها عضوهای منظم، منظم یکه هستند.مشخصات دیگر برای چنین حلقه های ic بر حسب مقدار مناسب شرایط برد پایدار و خاصیت مولد یکه خودتوانهایی که ایدالهای راست را تولید می کنند داده شده است. این ویژگی ها ما را به خصوصیات یکسان بسیاری از مشخصات شناخته شده برای حلقه های تبادلی که بردپایدار یک دارند هدایت می کند. حلقه های ماتریس کدام حلقه ها ic هستند که نتیجه می دهد دقیقاٌ مدولهای تصویری متناهی مولد روی چنین حلقه هایی در خاصیت حذف صدق می کنند. ما همچنین یک جفت ا خصوصیات پنهان عضوهای منظم یکه را بیان می کنیم که رابطه بین تشابه و شبه تشابه را در حلقه ها مشخص می کند. این مقاله با بیان احکام رفتار ایدالها برای خودتوانهای بالابر به پیمانه زیر ایدالهای یک طرفه خاتمه می یابد.

اخیرا مطالعاتی توسط چان هو، هونگ کی کیم، یانگ لی در زمینه حلقه ها انجام شده است که به بررسی حلقه هایی می پردازد که هر ایده آل اصلی آن تصویری است.این حلقه ها به اختصار p.p نامیده می شوند و توسیع هایی از حلقه های منظم و بئر می باشند.در این پایان نامه به سوالاتی از فبیل اینکه آیا حلقه های p.p چپ و راست متقارن اند؟ آیا هر حلقه p.p یک حلقه بئر است؟ آیا حاصلضرب مستقیم و جمع مستقیم خانواده ای از حلقه های p.p یک حلقهp.p است؟ خواهیم پرداخت.در این پایان نامه از مرجع [11] استفاده شده است.

در این پایان نامه توپوس f مجموعه ها را که به عنوان توپوس فرانکیل مستوسکی شناخته شده است معرفی خواهیم کرد ونشان می دهیم که رسته جبرهای بولی در این توپوس به اندازه کافی شئ انژکتیو دارد. سپس اصل خوش ترتیبی در یک توپوس مقدماتی و برخی از شکل های معادل اصل انتخاب در یک توپوس خوش نقطه را مطالعه خواهیم کرد و روابط بین اصل خوش ترتیبی و این شکل ها را نشان می دهیم.

معرفی حلقه های همریخت چپ ورابطه آن با حلقههای مختلف ازجمله حلقه های منظم وحلقه های خاص.بررسی همریخت چپ وراست بودن حلقه های چندجمله ای وهمچنین معرفی حلقه های همریخت قوی ورابطه آن باحلقه های چندجمله ای وحلقه های منظم ویکه منظم.

در این پایان نامه به بررسی خواص حلقه ها و مول های تقریبا کامل می پرازیم. ابتدا حلقه های تقریبا کامل را تعریف می کنیم و پس از تعریف مدول های هم تاب, ارتباط آن ها را با حلقه های تقریبا کامل بیان می کنیم. همچنین حلقه چندجمله ای های صوری را مورد بحث قرار می هیم و ثابت می کنیم که اگر حلقه ای نیم ساده و یا آرتینی باشد,حلقه چندجمله ای های صوری آن تقریبا کامل است. در نهایت به معرفی مدول های تقریبا کامل می پردازیم و برخی از خصوصیات آنها را بیان می کنیم.

فرض کنیم r یک حلقه جابجایی باشد. r-مدول m را یک مدول ضربی نامیم هرگاه برای هر زیر مدول n از m، ایدآل i از r وجود داشته باشد که n=im. اما r-مدول m را pm-مدول گوییم هرگاه هر زیر مدول اول از m مشمول در یک زیر مدول ماکسیمال منحصر به فرد از m باشد. 1)اگر r یک pm باشد آنگاه هر r-مدول ضربی pm است. 2)اگر m متناهی مولد باشد آنگاه m مدول ضربی است اگر و تنها اگر spec(m فضایی طیفی باشد. 3)اگر m یک r-مدول ضربی متناهی مولد باشد آنگاه: الف) m یک pmاست اگر وتنها اگر max(m توکشنده ای از spec(m باشد اگر تنها اگر spec(m نرمال باشد اگر و تنها اگر m یک مدول گلفاند ضعیف باشد. 4)اگر m یک r-مدول ضربی باشد آنگاه spec(m نرمال است اگر و تنها اگر mod(m نرمال ضعیف باشد

فرض کنیم r حلقه ای منظم و m و a نیز دو r مدول باشند. نگاشت f از a به m را منظم گوییم هرگاه g از m به a موجود باشد که fgf= f. به یک زیر مخموعه از hom (a, m منظم گوییم هرگاه هر عضو از آن منظم باشد. در این پایان نامه به بررسی خواص بزرگ ترین زیر مدول منظم ازhom(a, m که آن را با reg(a, m)نشان می دهیم می پردازیم. انا بیشتر بحث اصلی را روی reg(a, a) که در آن a یک گروه آبلی است متمرکز کرده و خواص آن را که بزرگ ترین ایده آل منظم از حلقه ی درون ریختی a است تحقیق می کنیم. قضیه های( 10.2.3)و (30.2.3)، نتیجه ی (31.2.3)و قضیه ی (32.2.3)از مهم ترین نتایج حاصل هستند. البته لازم به ذکر است که بررسی برخی از نتایج حاصل را می توان در مورد دسته ی خاصی ازگروه ها به نام گروه های آبلی مخلوط بررسی کرد که ما در این پایان نامه در دو قضیه ی پایانی بزرگ ترین ایده آل منظم از حلقه ی درون ریختی یک گروه آبلی مخلوط را مورد مطالعه قرار می دهیم.

در این پایان نامه به دو مفهوم اساسی از خانواده ای از ایده آل ها به نام oka,okaقوی و ako,ako قوی نیاز داریم. در ابتدا اصل ایده آل اول معرفی خواهد شد. با استفاده از این اصل می توان اثبات نمود که برای خانواده ای از ایده آل های f در یک حلقه جابه جایی r, اگر ایده آلی مانند m نسبت به نداشتن خاصیتی ماکسیمال باشد آنگاه m ایده آل اول حلقه r خواهد بود. این پایان نامه مشتمل بر سه فصل می باشد.که: در فصل اول مفاهیم و قضایای پایه ای به همره مفاهیم جدیدی که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرد, معرفی خواهد شد. در فصل دوم اصل ایده آل اول و قضیه وابستگی منطقی به همره دیاگرامی که توسیع شرایط اصل ایده ال اول است بیان می شود. در فصل سوم کاربرد این اصل را در خانواده ای از ایده آل های منظم, s-چگال, وارون پذیر, باتولید متناهی, ضربی و ... بررسی خواهیم کرد.

در این پایان نامه به بررسی قطری پذیری حلقه ماتریس ها روی حلقه های منظم (فون نیومن) می پردازیم. در واقع نشان می دهیم که خاصیت قطری پذیری معادل خاصیت حذفی برای مدول های تصویری متناهیا تولید شده است که روی همه ی حلقه های منظم برقرار است. این نتایج در حالت کلی تر یعنی برای حلقه ها و مدول ها روی حلقه های تبادلی نیز برقرار است که در این مورد توجهمان را به ماتریس های منظم معطوف می کنیم.

حلقه r را j– تمیز قوی گوییم هرگاه هر عضو آن را بتوان به صورت مجموع یک عضو خودتوان و یک عضو از رادیکال جیکوبسن r بیان کرد که با هم جابجا می شوند. در این پایان نامه با این نوع حلقه ها و برخی از ویژگی های آن آشنا می شویم. در فصل اول با تعاریف و قضایایی که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرند آشنا می شویم. در فصل دوم با حلقه های به طور یکتا تمیز و حلقه های مناسب و تبادلی و برخی از ویژگی های آن ها آشنا خواهیم شد. همچنین مطالبی را در مورد حلقه های منظم قوی و??– منظم قوی و حلقه درون ریختی های یک مدول بیان خواهیم کرد.از مطالب این فصل در اثبات قضایای فصل های بعد استفاده می کنیم. در فصل سوم با مفهوم حلقه های j– تمیز قوی و برخی از ویژگی های آن آشنا می شویم. همچنین شرایط معادلی را برای j– تمیز قوی بودن حلقه r بیان می کنیم و مثال هایی از این نوع حلقه ها را ذکر می کنیم. در فصل چهارم با مفهوم بلیچد بودن حلقه موضعی rآشنا می شویم و شرایط معادلی را برای j– تمیز قوی بودن t_n (r) ( حلقه ماتریس های بالامثلثی روی حلقه r ) در حالتی که r یک حلقه موضعی باشد، بیان می کنیم.در فصل پایانی در مورد j– تمیز قوی بودن ماتریس های 2×2 مطالبی را بیان می کنیم. برای j– تمیز قوی بودن ماتریس های 2×2 روی حلقه موضعی r با استفاده از تشابه ماتریس ها ملاکی ارائه می دهیم. همچنین نشان می دهیم حلقه ماتریس های 2×2 روی حلقه موضعی r تمیز قوی است اگر و تنها اگر هر ماتریس 2×2 منفرد محض روی آن j– تمیز قوی باشد. در نهایت ثابت می شود حلقه ماتریس های 2×2 روی یک حلقه موضعی جابجایی، j– تمیز قوی نیست؛ اما می توان با استفاده از معادله مشخصه یک ماتریس 2×2، j– تمیز قوی بودن آن را روی یک حلقه موضعی جابجایی مشخص کرد.

در این پایان نامه ابتدا حلقه های به طور یکتا تمیز را معرفی می کنیم سپس به ارتباط این حلقه با حلقه های تبادلی می پردازیم هم چنین رابطه میان حلقه هاب به طور یکتا تمیز و عناصر خودتوان مرکزی را مرود مطالعه قرار می دهیم. سپس حلقه های به طور یکتا پوچ تمیز معرفی و قضایایی برای درک بهتر این حلقه ها و قضایایی در مورد ارتباط این حلقه ها با حلقه های به طور یکتا تمیز ارایه می دهیم و مشاهده می کنیم حلقه های به طورر یکتا تمیز که هر ایدال اول ان ماکسیمال باشد به طور یکتا پوچ تمیز است و هر گاه حلقه جابه جایی باشد این رابطه دو طرفه است. در نهایت حلقه های به طور قوی j-تمیز را معرفی میکنیم و سپس به ارتباط بین این حلقه ها و حلقه های به طور یکتا تمیز می پردازیم.

در این پایان نامهr))mn ، حلقه ماتریسی n×n ، روی حلقه r می باشد، که در برخی موارد با حلقه ماتریسی کامل بیان شده است. فرض کنیم k میدان و m<n اعداد صحیح مثبت باشند، در این صورت گوییم حلقه r عدد پایه ای پایا (ibn) دارد، هرگاه r –مدول های چپ آزاد یکریخت با رتبه های متفاوت روی r موجود نباشد. از طرف دیگر گوییم r، نوع حلقه (m,n-m) دارد، هرگاه برای هر جفت از اعداد صحیح مثبت a و b داشته باشیم: اگر m>a ? 1باشد، که ri و ra ، به عنوان r-مدول چپ آزاد، یکریخت باشند، آن گاه=i a و به ازای هرعدد طبیعی ?i a ، ra با ri به عنوان r-مدول چپ آزاد، یکریخت نباشند. اگر ، آن گاه r-مدول چپ آزاد ra و rb (به عنوان r-مدول) یکریخت هستند، هرگاه .(n-m (mod a ? b برای حلقه rکه دارای ویژگی ibn نباشد، اعداد صحیح مثبت m<n وجود دارند، به طوری که دارای نوع حلقه (m,n-m) می باشد. لویت در ]22[ نشان داد به ازای چنین جفت m و n، k-جبر1,n)) lk وجود دارد، که نوع حلقه اش (m,n-m) است که آن را جبر لویت نامند. در حالت خاص 1,n)) lk نوع حلقه برابر(1,n-1) است.

یکی از مهم ترین موضوعات در نظریه ی حلقه-گروه های جابجایی، توصیف شرایطی است که تحت آن v(rg)=g . به عبارت دیگر پیدا کردن همه ی یکه های بدیهی در یک حلقه-گروه می باشد. این موضوع برای اولین بار توسط هیگمن مورد بررسی قرار گرفت. او ثابت کرد اگر f یک میدان و g یک گروه فارغ از تاب باشد، آن گاه v(fg)=g. این موضوع توسط دنچو مجدداً مورد بررسی قرار گرفت. کارپیلووسکی نشان داد که شرط لازم و کافی برای آن که گروه یکه های حلقه-گروه rg متناهیاً تولید شده باشد، آن است که r متناهیاً تولید شده باشد. هدف این پایان نامه، تحقیق در مورد یکه های حلقه-گروه rg می باشد. در این جا معیاری برای وجود یکه های خاص درحلقه-گروه rg که یکه-خودتوان ها نامیده می شوند، بیان می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا شرط برد پایدار $ n $ را معرفی کرده، سپس حلقه های تبادلی را تعریف می کنیم و شرایط لازم و کافی برای این که حلقه تبادلی $ r $، در شرط برد پایدار $ n $ صدق کند را بیان می کنیم. نشان می دهیم که حلقه تبادلی $ r $، در شرط برد پایدار $ n $ صدق می کند اگر و تنها اگر برای هرعنصر منظم $ ain r ^{n} $، عنصر تک پیمانه ای مانند $ u in r ^{n} $ وجود داشته باشد به طوری که $ au in r $ یک عضو گروهی شود اگر و تنها اگر برای $ a in r $ و $ b in m_{n} (r) $ که $ a sim _{n} b $، تک پیمانه ای های $ u in r ^{n} ~ , ~ v in ^{n} r $ وجود داشته باشند به طوری که $ a=ubv $ با $ uv=1 $.

فرض کنیم r یک حلقه ی یکدار باشد. عنصر a درr را تمیز نامیم اگر a= e+u ، که در آن e یک عنصر خودتوان و u یک عنصر یکال از r می باشد. اگر هر عنصر حلقه تمیز باشد، آنگاه حلقه را تمیز نامیم. عنصر a در حلقه ی r را r-تمیز نامیم اگر a= e + r ، که در آن e یک عنصر خودتوان و r یک عنصر منظم از r می باشد. اگر هر عنصر حلقه r-تمیز باشد، آنگاه حلقه را r-تمیز نامیم. حلقه های منظم و حلقه های تمیز مثالهایی از حلقه های r-تمیز هستند. اما مثالهایی را عنوان خواهیم کرد که نشان می دهند حلقه های r-تمیز لزوما تمیز و یا منظم نیستند. پس کلاس حلقه های تمیز و همچنین کلاس حلقه های منظم زیر کلاسهای سره از کلاس حلقه های r-تمیز هستند و همین موضوع نشان دهنده اهمیت بررسی چنین مفهومی است. به علاوه بعضی از روابط بین حلقه های r-تمیز و برخی از حلقه های دیگر را مورد بررسی قرار خواهیم داد و سعی خواهیم نمود که بعضی از خصوصیات حلقه های r-تمیز را به دست آوریم. عنصر a درr را j-تمیز نامیم اگر a= e+j و ej=je که در آن e یک عنصر خودتوان و j یک عنصر رادیکال جیکوبسن r می باشد. اگر هر عنصر حلقه تمیز باشد، آنگاه حلقه را j-تمیز قوی نامیم. در ادامه به بررسی برخی از ویژگی های حلقه گروههای j-تمیز می پردازیم.

در این پایان نامه ابتدا حلقه ها تبادلی و خاصیت برد پایدار یک را معرفی می کنیم. سپس حلقه های تبادلی با برد پایدار یک را دسته بندی می نماییم. علاوه بر این ثابت می کنیم حلقه تبادلی r برد پایدار یک دارد اگر و تنها اگر برای هر عضو منظمa از حلقه r خودتوان e و یکه u از حلقه r موجود باشد به طوری کهa=e+u واشتراک ar و er صفر می باشد. همچنین نشان می دهیم حلقه تبادلی r برد پایدار یک دارد اگر و تنها اگر برای هر عضو منظم a از حلقه r عضو های t و u موجود باشد به طوری کهa=t+u که درآن t پوچساز a و u یکه حلقه r است. در پایان می بینیم حلقه تبادلی r برد پایدار یک دارد اگر و تنها اگر برای هر عضو منظم a و b از حلقه r اگر r/ar یکریخت با r/br باشد آنگاه ar با br یکریخت است.

اگرrحلقه تبادلی باعاملهای اولیه آرتینی باشدآنگاهuعضوعناصرمعکوس پذیرrوجوددارد که1-,1+u,u عضوعناصر معکوس پذیرrهست اگروتنهااگربرای هرaعضوr.وuعضوعناصرمعکوس پذیرrوجودداردبطوری که a-u,a+u عضوعناصرمعکوس پذیرrباشند.واگر a یک ماتریس n*nباشدعضوحلقه ماتریسی rهباشدآنگاهuعضوعناصرمعکوس پذیرrوجوددارد بطوری که a-u,a+u عضوعناصرمعکوس پذیرrباشند.

در ابتدا مفهوم نیم حلقه سه تایی را که اولین بار توسط دوتّا و کار بیان شده است را مطرح کرده و سپس مفاهیم و قضایای مربوط به ایدال های اول و نیم اول و ماکسیمال را مطرح نموده و بین اید ال های نیم حلقه دوتایی اعداد صحیح نامنفی و ایدال های نیم حلقه سه تایی اعداد صحیح نامثبت یک تناظر دوسویی برقرار نموده و سپس نیم میدان سه تایی را معرفی و مثال ها و قضایای مربوط به آن را مطرح کرده و سرانجام ایدال های منفرد و نامنفرد را بیان نموده ایم.

ما در این پایان نامه ابتدا تعاریفی را از نیم گروه های سه تایی، نیم گروه های سه تاسس مرتب و نیم گروه های سه تایی منظم بیان می کنیم که در طول پایان نامه به آن ها نیاز داریم. سپس روابط بین اید ال ها، شبه اید ال ها و دو-اید ال ها را بررسی می کنیم. در ادامه به بیان و اثبات روابطی در مورد شبه اید ال های مینیمال و ماکسیمال در نیم گروه های سه تایی می پردازیم و در آخر آنچه را که در نیم گروه های سه تایی گفتیم، در نیم گروه های سه تایی مرتب بیان و اثبات می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا نیم گروه های سه تایی و مفهوم ایدال در نیم گروه های سه تایی را تعریف می کنیم و سپس تعریف ایدال های اول، کاملا اول، نیم اول و کاملا نیم اول را ارائه می دهیم و ارتباط بین آنها را بیان می کنیم. همچنین با استفاده از این ایدال ها، رادیکال اول و رادیکال کاملا اول را تعریف می کنیم و می بینیم چه ارتباطی با هم دارند. در ادامه به بیان و اثبات روابط بین ایدال های شبه متقارن و نیم شبه متقارن با ایدال های اول، کاملا اول، نیم اول و کاملا نیم اول می پردازیم. در آخر نیم گروه های سه تایی مرتب را معرفی می کنیم که در واقع هدف بررسی شرایطی است که با توجه به آن شرایط ایدال ها، اول، کاملا اول، نیم اول یا کاملا نیم اول باشند.

در این پایان نامه مطالعه ای از مدول ها روی حلقه ماتریس مثلثی شکل ‎ t= egin{bmatrix}‎ ‎a &0 ‎ ‎m & b‎ ‎end{bmatrix} انجام گرفته است، که در آن a وb حلقه هایی شرکت پذیر،یکدار و m یک (a-b)-دو مدول یکانی می باشند. با استفاده از تناظر t-مدول ها با سه تایی (x,y) که در آن xin extsc{mod}-a ، yin extsc{mod}-b وf‎ : ‎yotimes_{b}mlongrightarrow x یک a- همریختی می باشد، خواصی مانند یکنواخت، هم یکنواخت، متناهی نشانده شده، تصویری، مولد، روی حلقه t بررسی می شود. یعلاوه روشی برای ساخت پایه دوگان برای مدول های تصویری توضیح داده شده است. هم چنین شرایط لازم وکافی برای t-مدول های که دارای پوشش تصویری می باشند ارائه گردیده است.در پایان با استفاده از شرایط مهیا شده روشی برای پوشش تصویری ارئه می شود.

ر این رساله ابتدا به بررسی مفهوم عدد جمعی یکالی حلقه ها و مدول ها می پردازیم و سپس این مفهوم را برای حلقه های بئر منظم و رده ایی از حلقه های بئر $pi$-منظم مورد بررسی قرار می دهیم.هم چنین به بررسی عدد جمعی یکالی رده هایی از حلقه-گروه ها می پردازیم.در ادامه با مفهوم ‎تویین - گود بودن حلقه ها و مدول ها آشنا می شویم و پس از بررسی چندین خاصیت از این حلقه ها نشان می دهیم که هر حلقه ی بئر منظم ‎تویین - گود است.

در این رساله تعمیمی از حلقه های تبادلی یعنی حلقه های تظریف پذیر را معرفی میکنیم و قطری پذیری ماتریس ها رروی حلقه های تظریف پذیر را بررسی کنیم. همچنین حلقه های بطور پایدار شمارا را معرفی کرده و قطزی پذیری ماتریس ها را روی آنها بررسی میکنیم.

در این پایان نامه، حلقه هایی را که به صورت جمعی توسط یکال ها تولید می شوند را بررسی می کنیم. ثابت می کنیم که اگر همانی در یکحلقه ی با برد پایدار یک، مجموعی از دو یکال باشد، آن گاه هر عنصر منظم مجموعی از دو یکال است. این نتیجه می دهد که هر عنصر در یک حلقه ی منظم یکه، مجموعی از دو -منظم، مجموعی یکال است اگر همانی، مجموعی از دو یکال باشد. هم چنین اگر همانی حلقه ی قویأ از دو یکال باشد، آن گاه هر عنصر، مجموعی از سه یکال است.