در این پایان نامه روشهایی برای ساخت کدهای ldpc غیردوتایی براساس میدانهای متناهی و هندسه های متناهی که گرث گراف تنر آنها حداقل 6 است ارایه داده می شود.نتایج تجربی نشان می دهد که این کدها عملکرد خوبی با الگوریتم کدگشایی تکراری دارند.ماتریس های بررسی توازن کدهای ساخته شده براساس میدان متناهی رتبه سطری تقریبا کاملی داشته و بنابراین پیچیدگی کدگذاری پایین است. در حالت کلی این روشهای ساخت براساس میدان های متناهی برای ساختن کدهای با نرخ بالا، که ماتریس های بررسی توازن وزن های ستونی کمی دارند، مناسب است. ماتریس های بررسی توازن کدهای ساخته شده براساس هندسه متناهی معمولا وزن ستونی بزرگی داشته و بنابراین کف خطای پایینی را نشان می دهند.

یک کد c با پارامترهای [n,k,d] که n، k و d به ترتیب طول کد، بعد کد و کمترین فاصله همینگ است، دارای ماتریس بررسی توازن h می باشد که هر کدکلمه c در رابطه hct=0 صدق می کند. کدهای با ماتریس بررسی توازن با چگالی کم، کدهای خطی بلوکی هستند که ماتریس بررسی توازن آن ها خلوت می باشد. متناظر با یک ماتریس بررسی توازن h از کد c، یک گراف دوبخشی به نام گراف تنر به صورت زیر تعریف می شود. در یک بخش متناظر با هر ستون h یک راس متغیر، و در بخش دیگر متناظر با هر سطر h یک راس توازن قرار دارد به طوری که j-امین راس متغیر با i-امین راس توازن مجاور است، اگر و تنها اگر0?hij. برای یک کد خطی بلوکی c تعریف شده با یک گراف تنر متناظر با یک ماتریس بررسی توازن h، یک مجموعه متوقف کننده s زیرمجموعه ای از رئوس متغیر در گراف تنر است هر گاه همه همسایه های s حداقل دو بار به s متصل باشند. در ماتریس بررسی توازن h مجموعه متوقف کننده عبارت است از زیرمجموعه ای از ستون های h به طوری که زیرماتریس تشکیل شده با این ستون ها، دارای سطری با وزن یک نباشد. اندازه کوچکترین مجموعه متوقف کننده ناتهی، فاصله متوقف کننده نامیده می شود و آن را با s(h) نشان می دهیم. اهمیت و تقش فاصله متوقف کننده همانند نقش می نیمم فاصله همینگ در کدگشایی با بیشترین درست نمایی می باشد. افزونگی متوقف کننده کد c برابر تعداد سطرهای یک ماتریس بررسی توازن h از کد c است به قسمی که فاصله متوقف کننده h برابر با کمترین فاصله کد بوده و h دارای کمترین تعداد سطر باشد. منظور از کدهای هندسی کدهایی است که بر پایه هندسه متناهی اقلیدسی یا تصویری ساخته می شوند. سطرها و ستون های ماتریس بررسی توازن این کدها متناظر با زیرفضاهای مربوط به این هندسه ها می باشد. کارآیی یک کد خطی تحت کدگشایی تکراری روی یک کانال پاک کننده دودویی از موضوعات مورد توجه محققان نظریه کدگذاری می باشد که فاصله متوقف کننده و افزونگی متوقف کننده از عوامل مهم این کارآیی است. البته یافتن مقدار دقیق افزونگی متوقف کننده کاری مشکل به نظر می آید، ولی کران های به دست آمده برای آن می تواند مفید باشد. کدهای با ماتریس بررسی توازن با چگالی کم که بر اساس نقاط و خطوط هندسه تصویری یا اقلیدسی ساخته می شوند، خانواده مهمی از کدها هستند. در این پایان نامه ابتدا به معرفی و ساخت کدها بر پایه هندسه متناهی می پردازیم. سپس فاصله متوقف کننده و افزونگی متوقف کننده این کدها را مورد بررسی قرار داده و کران بالایی برای افزونگی متوقف کننده آن ها ارائه می دهیم. یافتن این کران با اعمال تغییراتی روی ماتریس بررسی توازن h این کدها به طوری که تعداد سطرها کمتر شده و ماتریس جدید همچنان ماتریس بررسی توازن برای کد باشد و خواص مورد انتظار را دارا باشد، انجام می شود. البته با یک جستجوی کامپیوتری مشاهده شده که شاید بتوان این کران را بهبود داد. با توجه به کران های به دست آمده خواهیم دید که افزونگی متوقف کننده این کدها از طول کد کمتر می باشد و به دلیل پیچیدگی کم و اجرای مطلوب از کدهای مناسب به شمار می آیند. در پایان مقایسه ای بین کران های ارائه شده با کران های قبلی خواهیم داشت.

شیوه هایی از ساخت کدهای ldpc بر اساس میدان های متناهی و مفاهیم ترکیبیاتی ارائه می شود. ناشتن دور کوتاه باعث افزایش کمر کد می شود و افزایش کمر کد نیز معمولا باعث افزایش کارایی کد تحت کدگشایی تکراری می شود. ساخت کدهای با کمر دست کم شش مورد نظر است. روش ساخت شش کلاس از کدهای دودویی و q-تایی ldpc با کمر دست کم شش با استفاده از عناصر اولیه، زیر گروه های جمعی و زیر گروه های دوری میدان های متناهی ارائه می شود. همچنین روش ساخت طرح های نوع اول بوز و دوم بوز را بیان کرده و دو کلاس از کدهای دودویی ldpc با کمر دست کم شش ساخته شده با این طرح ها معرفی می شود. در ادامه با گسترش ماتریس بررسی توازن کدهای ساخته شده به وسیله طرح های نوع اول و دوم بوز روشی برای ساخت کدهای به منظور تصحیح پاک شده های کپه ای بیان میشود. و چند کد بر اساس مجموع ها و خانواده های تفاضلی ساخته می شود.

one of the most important number sequences in mathematics is fibonacci sequence. fibonacci sequence except for mathematics is applied to other branches of science such as physics and arts. in fact, between anesthetics and this sequence there exists a wonderful relation. fibonacci sequence has an importance characteristic which is the golden number. in this thesis, the golden number is observed in different parts. generally, in this thesis we use the matrices that can be formalized which means that the determinant and the nth power of them have a closed form expression. in order to compute the nth power of the matrix, two solutions are introduced. the first one is to use linear algebra and the techniques within it. the second and most efficient solution is to use sequences to compute the nth power of matrices. in this thesis, the application of fibonacci-based sequences in coding theory is investigated. a new class of matrices called mp with determinant ±1 is introduced whose nth power, mpn, has a simple closed-form expression. a similar expression is derived for the inverse matrices mp-n. we define two sequences an and bn that are useful in giving a closed-form expression for mpn and mp-n. the matrices mpn and mp-n are used as the encoding and decoding matrices, respectively. given a message-matrix m, we encode m by e=m× mpn and decode e by m=e×mp-n. due to the structure of mp, some relations between the entries of the code-message matrices exist that are used in the error-correction process. the main differences between this new coding theory and other classical methods in coding theory are complexity and the code rate. the complexity of fibonacci coding is reasonable and it can be implemented by software without difficulty. the second feature that has a main role in the extension of this method is the rate of error-correction capability. in fact, the rate of error-correction capability for the simplest case of fibonacci coding is about ninety-three percentage and for the second case is about ninety-nine percentage. we have also used another very interesting matrix denoted rm,,t as an encoding matrix. these matrices are well-known for their determinants that are expressed by the fibonacci numbers. we consider two cases of rm,,t matrices for coding process: rm,,0 and rm,2. for rm,0, we introduce a method for computing its nth power that is driven from some topics in linear algebra like eigenvalues and eigenvectors. in order to be able to answer the question that whether this coding method is acceptable or not, we should answer some important questions such as what kind of relationship exists between the size of the massage matrix and the power of encoding matrix which means how p and m should be chosen in order to have the least error in the error correction. one other issue with the coding method is the solution of ill-conditioned systems while correcting errors. in fact, to utilize this coding method in a communication system one needs more numerical analysis investigations on this method. in this thesis the efforts have been on using a family of matrices and applying this coding method to them.

در بخش نخست این پایان نامه، از مربعات لاتین متقارن و خودتوان برای طراحی کدهای ldpc منظم دوتایی بهره می گیریم. گام نخست، ساخت سیستم های سه تایی اشتاینر است که با استفاده از مربعات لاتین متقارن و خودتوان از مرتبه فرد صورت می گیرد (روش ساخت بوز). سپس، با بهره گیری از این سیستم های سه تایی اشتاینر یا 1-پیکره های نظیرشان، کدهایی با وزن ستونی 3 ارائه می شوند. به عبارت دقیق تر، ساخت کد مبتنی است بر استفاده از ماتریس وقوع نقطه-بلوک یک sts بوز یا 1-پیکره نظیر آن. اگر مربعات لاتین به شکلی هوشمندانه انتخاب شوند، آن گاه stsهایی که توسط روش بوز به وجود می آیند ضدپاسک خواهند بود (یعنی بدون پیکره پاسک)؛ در این صورت، کدهای sts-ldpc حاصل دارای کمر و فاصله مینیمم 6 هستند. در مرحله بعد، به تحلیل و بررسی توزیع دورهای کوتاه و ساختار مجموعه های متوقف کننده و تله ای در گراف تنر کدهای oc-ldpc می پردازیم. چنین تحلیل هایی، امکان ساخت خانواده هایی بزرگ از کدهای ldpc که دارای نرخ های بالایی هستند و تحت کدگشایی تکراری کارایی خوبی دارند را فراهم می کند. در حقیقت، با استفاده از نتایج حاصل از این تحلیل ها، فرایند ساخت کد را اصلاح می کنیم، تا ساختارهایی که کارایی کد را تهدید می کنند حذف شوند یا از تعدادشان کاسته شود. در دومین بخش از این پایان نامه، یک شیوه ترکیبیاتی جدید برای ساخت کدهای ldpc منظم دوتایی خوش ساختار ارائه می شود، که مبتنی است بر استفاده از انواع خاصی از t-طرح ها. این شیوه طراحی جدید در واقع صورت تعمیم یافته روش معروفی است که در آن، از ماتریس وقوع نقطه-بلوک یک 2-طرح اشتاینری استفاده می شود. این روش به جای بهره گیری از ماتریس وقوع نقطه-بلوک، از یکی از ماتریس های وقوع بالاتر یک t-طرح استفاده می کند. این روش بسیار فراگیر است و به کمک آن می توان بسیاری از t-طرح های شناخته شده را برای طراحی کد به کار گرفت. گراف تنر کدهای حاصل از این روش بدون 4-دور هستند و در نتیجه کمر این کدها حداقل برابر با شش می باشد. شبیه سازی ها نشان می دهند که کدهای حاصل، روی کانال bi-awgn و تحت کدگشایی تکراری spa کارایی مناسبی دارند.

کــدهای ldpc به عنوان یک کـلاس از کـــدهای بلوکی خطی در سال ???? توسط گالاگر کشف و معرفی شدند. این کلاس از کدها با توجه به قابلیت تصحیح خطای بالایی که دارند، کارایی و عملکرد مناسبی نسبت به کدهای دیگر دارند و از این جهت بسیار حائز اهمیت می باشند. در این پایان نامه، ساختار کدهای شبه دوری ldpc را معرفی کرده و چند شیوهُ ساخت این کلاس از کدها را معرفی، و نشان می دهیم که گراف تنر متناظر به کدهای تولید شده دور به طول ? ندارد. ابتدا ساختارهایی با استفاده از زیرگروه های دوری از مرتبه? اول و گروه ضربی fq* از میدان fq معرفی می شود. همچنین ساختاری براساس گروه جمعی از میدان های اول نیز معرفی کرده و سپس یک کلاس از کدهای با قابلیت تصحیح خطای گروهی، برای کانال پاک کننده-گروهی ارائه می گردد. در ادامه، یک روش برای ساخت کدهای شبه دوری ldpc با دو زیرگروه دوری از میدان fq معرفی کرده و همچنین با استفاده از هم مجموعه های دوری q به هنگ n، که n عددی اول بوده و gcd(n,q)=1 روش هایی برای ساخت کدهای ldpc ارائه می شود. کدهای ساخته شده کمر حداقل ? داشته و روی کانال awgn کارایی خوبی دارند.

یک کد خطی c‎ با طول ‎n‎ و بعد ‎k‎ روی میدان متناهی ‎f_q‎ یک زیرفضای ‎-k‎بعدی از فضای برداری ‎f_q^n‎ روی ‎f_q است. برای تعریف دوگان ‏یک کد روی ‎f_q‎‏، به تعریف یک ضرب داخلی روی این میدان نیا‏ز است. ضرب های داخلی اقلیدسی و هرمیتی‏، دو نمونه از این ضرب های داخلی هستند. دوگان فضای برداری c‎ که با ضرب داخلی اقلیدسی(هرمیتی) به دست می آید را دوگان اقلیدسی (هرمیتی) کد خطی c‎ نامیده و با نماد ‎ (c^(?_(h ) )) c^(?_(e ) ) ‎ نمایش می دهیم. کد خطی c‎ خوددوگان‏ اقلیدسی نامیده می شود هرگاه ‎?c=c?^(?_(e ) ). هم چنین c‎ خوددوگان‏ هرمیتی نامیده می شود هرگاه ‎?c=c^(c_(h ) )‎‏. یک کد خطی c‎ با طول ‎n‎‏ روی میدان f_q‎‏ را دوری نامیم هرگاه به ازای هر بردار (c_0,c_1,…,c_(n-1))‎ در c‎، بردار(c_(n-1),c_0,…,c_(n-2) ) نیز متعلق به c‎ باشد. بررسی وجود و رده بندی کدهای دوری و کدهای خوددوگان‏ روی یک میدان متناهی، یکی از زمینه های بسیار پویا در نظریه کدگذاری است. در سال های اخیر مطالعات بسیار زیادی بر روی کدهای دوری خوددوگان اقلیدسی روی میدان های متناهی انجام شده است. به عنوان مثال در سال 2011 ثابت شده است که شرط لازم و کافی برای وجود کدهای دوری خوددوگان اقلیدسی با طول ‎n‎ روی میدان ‎f_q‎ این است که ‎q‎ توانی از ‎?‎ بوده و ‎n‎ زوج باشد. هم چنین شمارشی از تعداد کدهای دوری خوددوگان اقلیدسی با طول ‎n‎ روی میدان f_(2^m ) ‎ ارایه شده است. در این پایان نامه‏، به بررسی این نتایج می پردازیم. علاوه بر این ثابت می کنیم که شرط لازم و کافی برای وجود کدهای دوری خوددوگان هرمیتی با طول ‎n‎ روی میدان f_q‎ این است که ‎q‎ توانی از ‎4‎ بوده و ‎n‎ زوج باشد‏. پس از آن‏، شمارش تعداد کدهای دوری خوددوگان هرمیتی با طول ‎n‎ روی f_(4^m )‎ را ارایه می کنیم.

این پایان نامه ساخت و آنالیز کدهای دوری و شبه دوری، به خصوص کدهای با ماتریس بررسی-‎‎توازن خلوت ldpc را در نظر می گیرد. ‏ در این پایان نامه ‎ابتدا‎‎‎‎ نشان داده می شود، یک کد دوری با ماتریس بررسی-توازن به شکل چرخشی، می تواند منشأ تولید کدهای دوری و شبه دوری qc‎ با طول و نرخ متفاوت شود. بسیاری از ویژگی های ساختاری اساسی این دسته از کدهای تولید شده، از قبیل ریشه های چندجمله ای مولد آن ها، به دست می آید‎.‎‎‎‎ در ادامه نشان داده می شود، که با استفاده از نتیجه های به دست آمده در قسمت قبل، می توان خانواده ای از کدهای دوری و شبه دوری ldpc ‎ را از کدهای دوری ‎ldpc هندسه-متناهی به دست آور‎د.‎ ‎‎ و در آخر ساختار مجموعه تله ای یک کد ‎ldpc‎، با یک شرط روی سطرها و ستون های ماتریس بررسی-توازن آن‏‏، بررسی می شود. چند کلاس از کدهای دوری و شبه دوری، هندسه-متناهی و میدان-متناهی با فاصله کمینه بزرگ ارائه می شود که مجموعه تله ای مضر کوچک تر از اندازه کمینه فاصله ندارند. درنتیجه عمل کرد کف-خطای کد به وسیله فاصله‏ کمینه اش هدایت می شود.

تسهیم راز یکی از موضوعات مهم رمزنگاری است که در امنیت اطلاعات کاربرد دارد. چندین روش برای ساخت طرح های تسهیم راز وجود دارد. یکی از این روش ها مبتنی بر نظریه کدگذاری است. هر کد خطی می تواند برای ساخت طرح های تسهیم راز مورد استفاده قرار بگیرد. ساختار دسترسی طرح تسهیم راز مبتنی بر یک کد‏، کدکلمه های کمینه دوگان آن کد است. در این پایان نامه ابتدا چند ساختار از کدهایی که مسأله پوشش تحت شرایط خاص برای آن ها حل شده است معرفی می شود. مسأله پوشش در نظریه کدگذاری به مسأله مشخص کردن کدکلمه های کمینه یک کد معروف است. در قسمت دوم این پایان نامه‏‏، علاوه بر ساختار کدهای معرفی شده در قسمت قبل‏، از کدهای خوددوگان برای ساخت طرح های تسهیم راز استفاده ‏شده است. به منظور تعیین ساختارهای دسترسی در طرح تسهیم راز مبتنی بر کدهای خوددوگان‏، خصوصیات ترکیبیاتی از جمله خصوصیت طرح ها و وزن شمار ژاکوبی مورد استفاده قرار می گیرند.‏ ‎در پایان با توجه به آن که تعیین ساختارهای دسترسی کمینه کار دشواری است و تنها برای کلاس خاصی از کدهای باینری صورت گرفته است الگوریتمی ارائه می‏ شود که می تواند برای هر کد خطی باینری کدکلمه های کمینه را مشخص کند و به این ترتیب ساختار دسترسی کمینه در طرح تسهیم راز مبتنی بر هر کد خطی باینری را مشخص نماید.‎‎

کدهای کانولوشنldpc ، همتای کانولوشن کدهای بلوکیldpc نامیده می شوند. این کدها مشابه کدهای بلوکی ldpc توسط ماتریس های بررسی توازن خلوت تعریف می شوند که به آنها توانایی کدگشایی با استفاده از الگوریتم های کدگشایی عبور پیام را می دهند. کدهای کانولوشنldpc ، قابلیت دستیابی به کارایی خوب با پیچیدگی پایین کدگذاری و کدگشایی را دارا می باشند. در این پایان نامه ابزاری به نام پوشش گرافی معرفی شده و یک مدل جبری برای آن ارائه می شود. به کمک پوشش های گرافی‏، ارتباط بین دو روش اساسی ساخت (روش تنر، روش jfz) کدهای کانولوشن‎ldpc را بیان کرده‎ و همچنین روشی مبتنی بر پوشش های گرافی برای استخراج خانواده‎‏ ای از کدهای کانولوشنldpc ‎‎‎‎‎‎‏ زمان-پایا و زمان-متغیر از کدهای بلوکی ldpc‎‎‎‎‎‏ ارائه ‏ می گردد و نشان داده می شود که روش های پیشین ساخت کدهای کانولوشن ldpc‎‎‎‎‎‎‏را می توان در این چارچوب بیان کرد. برخی از کدهای کانولوشن ldpc‎‎‎‎‎‎‏‎‎‎‎‎ تولید شده‏، کارایی قابل توجه‎‏ ای در مقایسه با کدهای بلوکی ‎‎ldpc‎‎‎‎‎‎‏ زمینه دارند. میزان بهبود کارایی کدهای کانولوشن ldpc، در مقایسه با کدهای بلوکی ldpc زمینه را "منفعت کانولوشن" نامیده و همچنین برخی دلایل دستیابی به این منفعت، بررسی می شود.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.