در این پایان نامه بررسی مسئله پایداری برای نگاشت های حافظ فاصله و یکمتری می پردازیم و در انتها تعریف ثابت جونگ را بیان می کنیم و نقش آن را در مسئله پایداری یکمتری ها بیان خواهیم کرد.

در این رساله رده ایی خاص از گرافها به نام k-گرافها معرفی شده و نحوه نمایش و خواص اساسی این گرافها بررسی شده سپس بوسیله اطلاعاتی از سیستمهای دینامیکی که از انتقالهای دو بعدی حاصل شده اند خانواده ایی از 2-گرافها ساخته شده و ثابت شده فضای انتقال این سیستمهای دینامیکی با فضای مسیر های نامتناهی دو سویه این 2-گرافها همسانریخت است. در ادامه به معرفی c*-جبرهای k-گرافها پرداخته شده و برخی خواص اساسی این –c*جبرها بیان شده است. در بخش آخر وجود ویکتایی *c-جبرهای این 2 –گرافها ثابت شده و برخی خواص *c-جبر 2-گرافهای متناظر با سیستمهای دینامیکی مورد بحث در این رساله بیان شده است و همچنین ثابت شده است که *c-جبرهای این 2-گرافها ساده و یکدار می باشند.

گراف خوشه تخویل ناپذیر است اگر هر خوشه از اندازه خداقل دو یالی داشته باشد که در هیچ خوشه ی دیگری قرار نداشته باشد.گراف خوشه تخویل ناپذیر رأسی است اگر هر خوشه از اندازه رأسی داشته باشد که در هیچ خوشه ی دیگری قرار نداشته باشد.

در این پایان نامه ضمن معرفی طیف گراف، قضایا و روش هایی برای محاسبه ی مقادیر ویژه ی ماتریس مجاورت یک گراف ساده در حالت های کلی و خاص ارائه می گردد. در ادامه گراف های صحیح معرفی می شوند و شرایط لازم برای صحیح بودن برخی از گراف ها مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین، در انتها کاربردهایی از طیف گراف در علم شیمی و شناختن خواص ساختاری گراف با در دست داشتن طیف گراف ارائه می شود.

فرض کنید g گروهی نا آبلی و z(g) مرکز آن باشد . در این صورت گراف g? که گراف غیر جا به جاییg نامیده می شود را به صورت زیر به گروهg نسبت می دهیم : رأس های g? راg(g) در نظر می گیریم و دو رأس متمایزx وy به یکدیگر متصل می شوند هرگاه داشته باشیم xy?yx . دراین پایان نامه به بررسی ویژگی های این نوع گراف ها و ارتباط خواص بین گروه ها و گراف های غیرجا به جایی متناظر با آن ها می پردازیم . به ویژه این حدس را مورد مطالعه قرار می دهیم که اگرg وh دو گروه متناهی نا آبلی باشند به طوری که h? g? ، آن گاه |h|=|g| . همچنین نشان می دهیم که اگرg گروهی متناهی ، ناآبلی و پوچ توان وh گروهی دلخواه باشد به طوری که h? g? و |h|=|g| ، آن گاهh پوچ توان است .

در این پایان نامه به گروه موضعا ?غیردوری g گراف ?_g را نسبت می دهیم cyc(g) g را به عنوان مجموعه ر?وس آن در نظر می گیریم که در آن cyc(g) = {x?g | دوری باشد y?g برای هر <x,y> } به هم متصل اند هرگاه زیرگروه تولید شده توسط آنها تشکیل زیرگروه دوری ندهد. چنین گرافی x,y است و دو رأس متمایز را گراف غیر دوری گروه g می نامیم. در این پایان نامه ما ویژگی های این گرافها را مورد مطالعه قرار می دهیم و به ویژگیهای گراف غیردوری نظیر برخی از گروههای خاص اشاره خواهیم کرد. به عنوان مثال نشان می دهیم که اگر g یک 2- گروه آبلی .diam( ?_g) ??مقدماتی باشد آنگاه همچنین ثابت می کنیم که عدد خوشه ای ?_g متناهی است اگر و تنها اگر ?_g خوشه ای نامتناهی نداشته باشد و نشان خواهیم داد که اگر g گروهی متناهی و پوچ توان و h گروهی دلخواه با این ویژگی که ?_g ? ?_h باشد آنگاه h نیز گروهی متناهی و پوچ توان خواهد بود. علاوه بر این مثالهایی از ????cyc(g)| = |cyc(h)| = 1 و گروههایی مانند g ارائه می دهیم که گرافهای غیر دوری آنها یکتا هستند یعنی اگر برای گروه دلخواه h, داشته باشیم ?_g ? ?_h، آنگاه g ?h خواهد بود. البته حدس ما در این مثالها این است که هر گروه ساده غیرآبلی و متناهی دارای گراف غیردوری یکتا است. در انتها به مثالهایی از گروههای غیردوری متناهی مانند g اشاره می کنیم که اگر برای گروه دلخواه h, داشته باشیم ?_g ? ?_h، آنگاه |g|=|h|. اگرچه این مطلب این سوال را در ذهن القا می کند که آیا چنین خاصیتی برای تمام گروههای غیردوری متناهی برقرار است یا خیر؟ که در پایان در این رابطه بحث خواهیم کرد.

این مطالعه به منظور بررسی اشتقاق های لی وجردن روی یک خانواده از جبرهای خاص صورت گرفته است. از اینرو به بررسی اینکه تحت چه شرایطی می توان یک اشتقاق لی را به صورت حاصلجمع یک اشتقاق جمعی و یک نگاشت مرکزمقدار که جابجاگرها را به صفر می نگارد تجزیه کردو در آخر مباحثی پیرامون اشتققاق های جردن و شرایطی که تحت آن هر اشتقاق جردن یک اشتقاق است رامورد بررسی قرار داده ایم.

نظریه ی هوش های چندگانه را «هاوارد گاردنر» در سال 1983 عرضه کرد. به اعتقاد گاردنر همه ی افراد دارای هفت نوع هوش نسبتاً مستقل می باشند، این هوش ها عبارتند از: هوش زبانی/کلامی، هوش منطقی/ریاضی،هوش موسیقیایی، هوش تصویری/فضایی، هوش بدنی/جنبشی، هوش میان فردی، هوش درون فردی. گاردنر در سال 1999 دو نوع دیگر هوش، یعنی هوش طبیعت گرایی و هوش هستی گرایی (وجودی) را مطرح کرد. در این پژوهش، رابطه ی هر یک از هوش های چندگانه با عملکرد حل مسأله ی ریاضی دانش آموزان بر اساس طبقه بنـدی اصلاح شده ی بلوم مورد بررسی قرار گرفت. در سال 2001 ، اندرسون و همکارانش طبقه بندی را که در سال 1956 توسط بنجامین بلوم ارائه شده بود اصلاح نمودند. نمونه ی آماری شامل 206 نفر از دانش آموزان پایه ی دوم راهنمایی شهر قوچان بود که به پرسشنامه ی هوش های چندگانه ی مکنزی (1999) و 120 سوال آزمون عملکرد ریاضی بر اساس طبقه بندی اصلاح شده ی بلوم پاسخ دادند. نتایج نشان داد که هوش های منطقی/ریاضی، فضایی، وجودی، درون فردی و طبیعت گرایی با عملکرد حل مسأله ی ریاضی دانش آموزان بر اساس طبقه بندی اصلاح شده ی بلوم همبستگی مثبت دارند. نتایج این پژوهش می تواند در زمینه ی پیشرفت عملکرد دانش آموزان در حل مسائل ریاضی، یادگیری معنادار، تدریس اثر بخش و همچنین آگاهی هر چه بیشتر دبیران در جهت شناخت بیشتر دانش آموزان و ارائه تدریس متناسب، سودمند واقع گردد.

رنگ آمیزی رأسی گراف g را مساوی نامیم، هرگاه اندازه ی کلاسهای رنگی حداکثر یک واحد اختلاف داشته باشند. عدد رنگی مساوی g که با نمایش داده می شود، کوچکترین عدد صحیح m ای است که g، m-رنگ پذیر مساوی است. آستانه ی رنگی مساوی g، که با نمایش می دهیم، کوچکترین m ای است که برای هر n ، g، n-رنگ پذیر مساوی است. در این پایان نامه اثبات می کنیم که اگر g یک گراف مسطح با g(g) و ، یا یک گراف مسطح بیرونی با g(g) باشد، آنگاه . همچنین یک کران بالا برای عدد رنگی مساوی گراف های کامل n- بخشی بدست می آوریم.

گراف g را در نظر بگیرید. تعداد حالت های رنگ آمیزی گراف g با t,… ,3 ,2,1 رنگ را با p(g,t) نشان می دهیم و آن را چندجمله ای رنگی گراف g می نامیم. مسئله ما در اینجا پیدا کردن مکان ریشه های حقیقی چند جمله ای رنگی خانواده ای از گراف ها است. میدانیم (-?,0) و ( 0,1 ) بازه های بدون ریشه برای p(g,t) هستند. گراف تقریبا مثلثی شده g یک گراف مسطح چندگانه بدون طوقه است که می توان آن را طوری رسم کرد که یک ناحیه آن به وسیله دور c_k با k?3 محدود شده باشد و ناحیه های دیگر آن به وسیله دور c_3 محدود شوند. اگر k=3 آنگاه g یک گراف مثلثی شده است. نشان می دهیم که برای هر گراف مثلثی شده، p(g,t) هیچ ریشه حقیقی غیر صحیحی در بازه (-?,2.546602…)ندارد. نشان خواهیم داد که p(g,t) هیچ ریشه ای در بازه ‍(1,32/27 ] ندارد. علاوه برآن گراف هایی را می سازیم که چندجمله ای رنگی آن ها دارای ریشه ای است که به اندازه دلخواه به 32/27 میل می کند. خانواده ای از گراف های 2- همبند که تحت یک عملگر خاص بسته اند را معرفی میکنیم و نشان میدهیم که هر گراف در این خانواده هیچ ریشه رنگی در بازه (1,2) ندارد.

عدد رنگ پذیری بازی رنگی همگن یکی از موضوعات جدید و مهم در نظریه بازی و نظریه گراف محسوب می شود.این مساله برای اولین بار در سال 1980 توسط برامز مطرح شد.عدد رنگ پذیری بازی رنگی همگن ترکیبی را به اختصار عدد رنگ پذیری بازی می نامند. در این پایان نامه عدد رنگ پذیری بازی روی بعضی از رده های گراف های مسطح بررسی شده است.

مسأله غالب در نظریه گراف یکی از مسائل اصلی و مهم در نظریه گراف محسوب می شود. این مسأله یک مسأله np-کامل است.به طور کلی یک مجموعه غالب در گراف زیر مجموعه ای از رأس های گراف به نام d است که هر رأس گراف یا داخل این مجموعه و یا مجاور با رأسی از این مجموعه است. مفهوم غالب در مسائل بهینه سازی گوناگونی مطرح می شود. به عنوان مثال غالب در مسائل شبکه ارتباطات کاربرد دارد. یک شبکه ارتباطی شامل یک سری مکان هایی است که ایستگاه با دیگری مرتبط است اگر به طور مستقیم به او متصل باشد. در این پایان نامه عدد غالب در گراف های بحرانی بررسی می شود. گراف های بحرانی به گراف هایی گفته می شود که در مورد یک پارامتر گراف, بحرانی رفتار می کنند یعنی با افزودن یا کاستن یک یال یا یک رأس پارامتر مورد نظر کم یا زیاد می شود.گراف بحرانی غالب (همبند) با عدد غالب k, گراف های y-k-بحرانی (y_c-k-بحرانی) نامیده می شود.

فرض کنیم l یک مشبکه زیرفضایی جابجایی در جبر فون نویمان n باشد. نشان میدهیم اگر f یک نگاشت خطی کراندار از اشتراک algl و n به توی b(h) باشد و به ازای هر a,b,c در این اشتراک که در شرط ab=bc صدق می کنند، داشته باشیم af(b)c=0, آنگاه f یک اشتقاق تعمیم یافته است و نیز هر اشتقاق موضعی از c*-جبر a به یک a-دومدول باناخ، یک اشتقاق است. در این پایان نامه برای حکم اخیر دو برهان آمده است که هر دو با اثبات جانسون در مقاله معروفش در سال ???? متفاوت است. همچنین نشان میدهیم هر اشتقاق موضعی روی یک جبر نیمگروهواره ای آزاد نیم ساده یک اشتقاق و هر ضرب گر موضعی روی یک جبر نیم گروهواره ای آزاد یک ضرب گر است.

پژوهش های مختلف بیانگر آن است که عوامل روانشناسی متفاوت و توانایی های شناختی مختلف در افراد وجود دارد که ناشی از تفاوت های فردی بین آن ها می باشد، و همین عوامل سبب بروز عملکرد های متفاوت در کار ریاضی می شود. نقش تفاوت های فردی در یادگیری ریاضی مقوله ای شناخته شده در روانشناسی آموزش ریاضی است وبرخی معتقدند که تفاوت های فردی همان فیلترهای یادگیری هستند. این پژوهش، مطالعه‏ای است بر روی تفاوت های فردی بین دوقلوهای دختر مقطع راهنمایی در عملکرد ریاضی و عوامل پیش بینی کننده ی آن. نمونه‏ی آماری پژوهش حاضر، شامل 100 نفر (50 جفت) دوقلوی دختر است که به سوالات 8 آزمون (ظرفیت حافظه فعال، اضطراب ریاضی، دقت ریاضی، نگرش ریاضی، مسائل کلامی، دانش اجرایی، سبک های شناختی و بهره‏ی هوشی ) پاسخ دادند. نتایج نشان داد که تفاوت معناداری بین میزان دانش اجرایی، و همچنین بهره‏ی هوشی دوقلوهای دختر وجود دارد. این بیانگر تفاوت های فردی در بین دو قلوها است. دو قلوها که از نظر ژنتیکی بسیار شبیه هم بوده و در محیط خانوادگی و آموزشی نسبتاً یکسان رشد کرده اند نیز، عملکردهای ریاضی و ذهنی متفاوت از یکدیگر نشان دادند، که این نتیجه اهمیت توجه به تفاوت های فردی را در آموزش ریاضی، دوچندان می کند. ارائه‏ی تدریس ثمربخش به انواع دانش آموزان، با طیف وسیعی از توانایی ها، مستلزم پرداختن به ویژگی های متفاوت آنان می باشد.

یک ابرگراف تعمیمی از گراف است که هر یال درآن ، که به آن ابریال می گویند ، می تواند شامل تعداد دلخواهی از رئوس باشد . مسئله جورسازی در ابرگراف ، پیدا کردن بزرگترین دسته ، از ابریال های مجزاست . این مسئله به خوبی در بهینه سازی ترکیبیاتی و نظریه گراف به همراه کاربردهای گوناگونش مورد مطالعه قرار گرفته است . در حالی که جورسازی روی گراف های معمولی در زمان چند جمله ای قابل حل است ، جورسازی در ابرگراف ها جزء مسائل np-hard می باشد . بهترین الگوریتم های تقریبی شناخته شده برای مسئله جورسازی ابر گراف ، همگی الگوریتم های جستجوی محلی هستند . دراین جا ، پس از بیان ویژگی های ابرگراف ها ، مطالعه خود را به نوع خاصی از ابرگراف ها ، که هر ابر یال آن شامل k راس است (k- uniform) ، محدود می کنیم . مسئله جورسازی روی ابرگراف های k-uniform ، به عنوان مسئله k-set packing شناخته شده است . در این پژوهش به بررسی و تحلیل انواع آزادسازی های برنامه ریزی ریاضی روی مسئله جورسازی و مطالعه ارتباطات و روابطشان با روش جستجوی محلی می پردازیم . ابتدا آزادسازی برنامه ریزی خطی را مطالعه می کنیم و الگوریتمی تقریبی براساس آن را بررسی می کنیم . این الگوریتم ، از روش روند سازی تکراری و روش نسبت محلی کسری ، که روشی جدید برای روند سازی جواب های برنامه ریزی خطی برای مسائل packing ، بدست آمده است . پس از بیان دقیقتر بعضی از نتایج بر پایه برنامه ریزی خطی ، سعی خواهیم کرد که آزادسازی برنامه ریزی نیمه معین استاندارد از مسئله را در نظر گیریم و با استفاده از آن ، الگوریتم تقریبی دیگری را بررسی خواهیم کرد و ارتباط آن را با جستجوی محلی بیان خواهیم نمود .

فرض کنیم g یک گروه و (z(g مرکز گروه باشد. دراین صورت گراف جابه جایی وابسته به گروه g که با ?_g نمایش داده می شود بدین صورت تعریف می کنیم که رئوس آن عناصر غیر مرکزی یعنی (g(g می باشند و دو رأس x و y به یکدیگر وصل می باشند هرگاه xy=yx. در این پایان نامه همبندی، قطر، کمر و عدد استقلال گراف جابه جایی هنگامی که مرکز گروه بدیهی باشد، بررسی می شود. در انتها گراف جدید ?^g-غیر جابه جایی را معرفی و سپس به بیان خواص فوق درباره ی این گراف وابسته به گروه های متقارن و متناوب و دووجهی می پردازیم و هم چنین عدد رنگی گراف ?^g-غیر جابه جایی وابسته به گروه دووجهی را به دست می آوریم.

در فصل اول به معرفی گراف های وتری و زیرکلاس های آن پرداخته می شود. در فصل دوم درخت خوشه و جداکننده ها از جمله گراف خوشه جداکننده و گراف های جداکننده را در گراف های وتری و زیرکلاس های آن مورد مطالعه قرار می دهیم و ساختار درخت خوشه در گراف s-جداکننده را بررسی می کنیم. همچنین گراف خوشه تقلیل یافته را که همه نمایش های درخت در گراف های وتری را در بر دارند، معرفی نموده و مفاهیمی از قبیل شکاف مینور که با حذف و انقباض یال ها در گراف خوشه تقلیل یافته به دست می آیند و عدد ستاره دار را در این گراف ها، مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل سوم پارامترهای بهینگی را معرفی کرده و مسأله مثلث بندی و ارتباط جداکننده های می نیمال با آن را، بیان می کنیم و نشان می دهیم رتبه گراف g برابر با می نیمم عدد خوشه همه مثلث بندی های g در گراف بدیهی تام است. در فصل چهارم الگوریتم هایی جهت یافتن درخت خوشه و خوشه ماکسیمم در گراف های وتری و رنگ آمیزی این نوع گراف ها، معرفی می گردد.

در این پایان نامه ویژگی هایی از گراف کیلی یکانی از جمله عدد خوشه ای، عدد رنگی، همبندی یالی و راسی، قطر این گراف ، شرایط تام بودن و تعداد درخت های فراگیر آن بررسی می گردد. همچنین انرژی این گراف و شرایط ابر انرژیک بودن آن محاسبه می شود. در انتها مقادیری را که انرزی یک گراف دلخواه می تواند اختیار کند را مشخص می کنیم.

مسئله درخت استاینر دارای پیش زمینه ی کاربردی وسیعی می باشد، مانند سیستم حمل و نقل، شبکه ارتباطی، طراحی خطوط لوله و... . در این رساله مسئله درخت استاینر را تعریف کرده وسپس حالات خاص مسئله و ساده سازی هایی برای کوچکتر کردن ابعاد مسئله بیان می کنیم. در ادامه یک نمونه از کاربردهای مسئله را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس روش های حل دقیق و حل تقریبی مسئله را بیان کرده ایم. یکی از روش های دقیق ذکر شده روش فاکتورگیری می باشد که دارای پیچیدگی زمانی o(|e|.22c) می باشد که c تعداد روش فاکتورگیری اعمال شده روی گراف و |e| تعداد یال های گراف است. از روش های تقریبی ارائه شده در این رساله می توان به روش فرا ابتکاری کلونی مورچگان و رویه ی جستجوی انطباقی تصادفی حریصانه اشاره کرد. در ادامه یک روش ترکیبی برای حل مسئله در ابعاد بزرگ معرفی کرده ایم. در انتها دوباره بهینه سازی مسئله را مورد بررسی قرار داده ایم و دو روش برای دوباره بهینه سازی مسئله معرفی کرده وبکار برده ایم.

در این پایان نامه، به بررسی بعضی از روش های حل مسأله رنگ آمیزی گراف می پردازیم. در فصل اول، ابتدا برخی تعاریف اولیه و مدل برنامه ریزی خطی عدد صحیح این مسأله را بررسی می کنیم و در ادامه، تاریخچه رنگ آمیزی گراف را به طور مختصر بیان می کنیم. در فصل دوم، الگوریتم حریصانه برای حل مسأله رنگ آمیزی گراف به همراه چند شیوه انتخاب رئوس در این روش، بیان می شود و در انتهای فصل، با بیان نتایج عددی، این شیوه ها مقایسه خواهند شد. در فصل سوم به رنگ آمیزی گراف با روش فراابتکاری جستجوی ممنوع، می پردازیم و الگوریتم این روش را مرور خواهیم کرد. در ادامه فصل، به بررسی یک روش با استفاده از جواب های جزئی و طرح ممنوعیت واکنشی، می پردازیم و چند روش برای محاسبه اندازه فهرست ممنوع و سپس نتایج حاصل از پیاده سازی این روش ها، را روی چند گراف خاص بیان می کنیم. در فصل چهارم، یک روش فراابتکاری دیگر با عنوان الگوریتم ژنتیک به همراه نتایج عددی مربوط، برای مشاهده تأثیر این الگوریتم بر روی روش های قبلی، بررسی می شود.

در هر پروژه تعدادی فعالیت وابسته به هم وجود دارند که بین آن ها روابط تقدم و تاخر برقرار است. اجرای هر فعالیت پروژه معمولا نیازمند منابع متفاوتی است که بعضا محدودند. در چنین مساله زمانبندی معمولا اجرای فعالیت ها پیوسته در نظر گرفته می شود. مساله زمانبندی پروژه با منابع محدود، تعیین مجموعه ای متشکل از زمان شروع فعالیت هاست که با تامین محدودیت های تقدم و تاخر از سر ریز منابع جلوگیری کند و در نهایت هدف کمینه کردن بازه زمانی اجرای این پروژه است. الگوریتم ژنتیک ترکیبی برای حل این مساله که ‎np-hard‎ است، استفاده می شود. در این پایان نامه بهبود الگوریتم ژنتیک با بکارگیری زمانبندی جهت دار ترکیبی مورد بررسی قرار می گیرد. زمانبندی جهت دار ترکیبی چون به طور همزمان شامل سه نوع زمانبندی پیشرو، زمانبندی پسرو و زمانبندی دو جهته است، می تواند عملکرد الگوریتم ژنتیک را بهبود بخشد. در فصل اول، به معرفی مساله ی تخصیص منابع محدود می پردازیم. در فصل دوم، روش های حل مساله ی زمانبندی پروژه با منابع محدود را بیان می کنیم. در فصل سوم، به تعریف الگوریتم ژنتیک پرداخته و در فصل چهارم ابتدا انواع زمانبندی ها از جمله زمانبندی پیشرو، زمانبندی پسرو و زمانبندی دو جهته را تعریف و سپس به بیان شیوه های زمانبندی سری و موازی پرداخته و نهایتا شیوه های زمانبندی سری و موازی را بر روی زمانبندی های پیشرو، پسرو و دو جهته با یک مثال عددی نشان می دهیم. در ادامه با دو مثال عددی به تشریح عملکرد الگوریتم ژنتیک با بکارگیری زمانبندی جهت دار ترکیبی می پردازیم. در فصل پنجم، تاثیر پارامترهای الگوریتم ژنتیک بر روی زمانبندی جهت دار ترکیبی را نشان داده و نیز به مقایسه چهار الگوریتم ژنتیک پیشرو، ژنتیک پسرو، ژنتیک دو جهته و ژنتیک ترکیبی پرداخته ایم.

برچسب گذاری دلپذیر یکی از شاخه های تحقیقاتی فعال در نظریه گراف هاست که در این زمینه مقاله های زیادی به رشته تحریر در آمده است. اما شمار مسایل حل نشده در این زمینه بسیار زیاد است. یکی از معروف ترین مسایل حل نشده حدس برچسب گذاری دلپذیر برای درخت های متناهی می باشد.

در این پژوهش میزان اثرگذاری انجام بازی ریاضی بر عملکرد ریاضی دانش آموزان، نگرش و اضطراب ریاضی و محیط آموزشی آنها مورد بررسی قرار گرفته است.نمونه این تحقیق شامل 134 دانش آموز پایه راهنمایی شهرستان کوهسرخ می باشند که به صورت تصادفی ساده انتخاب شده اند و در دو گروه کنترل و آزمایش(60 آزمایش و 74 کنترل) قرار گرفته اند. با توجه به داده های این تحقیق که با استفاده از پرسشنامه های آزمون اضراب ریاضی(علم الهدایی)، آزمون نگرش ریاضی(فنما-شرمن) و آزمون محیط آموزشی(فراسر) تهیه شده و با آزمون تحلیل کواریانس تحلیل گردیده، نتایج زیر بدست آمده است. انجام بازی های هدفمند ریاضی درکلاس درس باعث بهبود عملکرد ریاضی دانش آموزان و کاهش اضطراب ریاضی آنان می شود، همچنین انجام بازی باعث افزایش حمایت های معلم بر دانش آموزان در کلاس می گردد. نتایج این پژوهش می تواند راهگشای معلمان و مسئولین آموزش و پرورش برای افزایش انگیزه دانش آموزان و بهبود عملکرد آنان باشد.

در این تحقیق, ابتدا با تعریف ابرگراف, ابرگراف جهت دار و ابرمسیر آشنا خواهیم شد. سپس الگوریتمی را برای به دست آوردن کوتاه ترین ابرمسیر روی یک ابرگراف جهت دار معرفی خواهیم کرد. در ادامه الگوریتم هایی معرفی می شوند که با استفاده از آن ها می توانیم k‎ تا از کوتاه ترین ابرمسیرها را از راس مبدا s به راس مقصد t‎ به دست آوریم و این الگوریتم ها از نظر زمان اجرا با هم مقایسه می شوند. بعد از آن یکی از کاربردهای پیدا کردن کوتاه ترین ابرمسیر را به طور خلاصه بررسی می کنیم. در ادامه, با تعریف مجموعه غالب و مجموعه غالب مینیمال و ابرگراف غالب برای گراف ها و گراف های جهت دار آشنا می شویم و چند الگوریتم برای به دست آوردن ابرگراف غالب یک گراف جهت دار و همچنین روش تجزیه و ترکیب را معرفی می کنیم که با استفاده از آن ها می توانیم ابرگراف غالب برای گراف های جهت دار بزرگ را نیز به دست آوریم.

حدس رنگ پذیری مساوی ابتدا توسط میر در سال‎$ 1973 $‎ مطرح شد. چون در این حدس خاصیت رنگ پذیری مساوی به طور کامل معلوم نبود. پس از بررسی شواهد وو، لی و چن حدس ‎$ igtriangleup $-‎رنگ پذیری مساوی را در سال ‎1994‎پیشنهاد دادند. در این پایان نامه رنگ پذیری ‎$ r $-‎مساوی را معرفی می کنیم و حدس ‎$ igtriangleup $-‎رنگ پذیری مساوی را در گراف ها بررسی می کنیم و همچنین عدد رنگی مساوی ‎$ chi_{=}(t) $‎ و آستانه رنگی مساوی ‎$ chi^{*}_{=}(t) $‎ را با شرطی خاص برای درخت ها بدست می آ وریم و همچنین ‎$ k $-‎رنگ پذیری ‎$ r $-‎مساوی را برای درخت ها و جنگل ها بررسی می کنیم.

‏در این تحقیق‏، ابتدا با تعریف ابرگراف‏، افراز گراف و افراز ابرگراف آشنا خواهیم شد. سپس روشی برای افراز ابرگراف معرفی خواهیم کرد که مساله افراز ابرگراف را از طریق یافتن رئوس تفکیک کننده در گراف اشتراک ابریال ابرگراف حل می کند. در ادامه‏، روشی دیگر برای افراز ابرگراف که یک روش چندسطحی است‏، معرفی و بررسی می شود. ‏پس از آن، یکی از کاربردهای افراز ابرگراف که استفاده از آن در موازی سازی ضرب برداری ماتریس های اسپارس می باشد مورد بررسی قرار خواهد گرفت و دو مدل مبتنی بر ابرگراف معرفی می شود که معایب مدل های مبتنی بر گراف را نخواهند داشت. سپس به طور خلاصه دو روش مطرح شده برای افراز ابرگراف را با یکدیگر مقایسه خواهیم نمود.

عدد رنگی مساوی یک گراف با ‎chi _=(g) نشان داده می شود و عبارت است از کوچک ترین عدد صحیح ‎n‎ به طوری که مجموعه رئوس گراف ‎g‎ ا بتوانیم به ‎n ‎تا مجموعه ی مستقل افراز کرد و اختلاف اندازه رئوس در هر دو مجموعه ی مستقل(کلاس رنگی) حداکثر عدد یک باشد‎.‎ آستانه رنگی مساوی گراف ‎g‎ را با ‎chi ^*_=(gنشان داده می شود و عبارت است از کوچک ترین عدد صحیح ‎n‎ به طوری که گراف ‎g‎ برای همه ی ‎r geq n‎، r-‎رنگ پذیر مساوی باشد‎.‎ اگر دو گراف ‎g_1‎, ‎g_2‎، ‎k-‎رنگ پذیر مساوی باشند آن گاه ضرب دکارتی آنها نیز ‎k-‎رنگ پذیر مساوی می باشد، اما این مطلب برای ضرب تانسور ضعیف دوگراف درست نیست.

مسایل مکانیابی رده بسیار وسیعی را در حوزه مسایل تحقیق در عملیات و مسایل ترکیبیاتی شامل می شود. کاربرد وسیع مسایل مکانیابی باعث شده تا همچنان جزء مسایل جذاب شمرده شده و هر سال تحقیقات متنوعی پیرامون آن صورت گیرد. هدف این گونه مسایل, تعیین مکانی مناسب برای ایجاد مراکز خدمات رسانی است به طوری که کارآیی مراکز تا آنجا که امکان دارد بهینه گردد. تعیین مکانی مناسب برای ایستگاههای آتش نشانی, بیمارستانها, ادارات پست, مراکز هسته ای, فرودگاهها و ... از جمله کاربردهای آن به شمار میرود. قلمرو این گونه مسایل به شهرسازی خلاصه نمیشود. تعیین مکان برای سرورهای کامپیوتری, طراحی بردهای الکترونیکی, تعیین مکان برای انبار و مثالهای متنوع دیگر, مبین کاربرد های متنوع این مسایل در علوم مختلف است. اما در بسیاری از مواقع, مراکز از قبل بطور غیر بهینه مکانیابی شده اند و قابل جابجایی نیستند. حتی در پاره ای از موارد در ابتدا مکانهایی به طور بهینه مکانیابی می شوند اما به مرور زمان بر اثر عواملی مانند افزایش جمعیت, گسترش شهر و یا افزایش ترافیک به یک مکان غیر بهینه تبدیل می شوند. در این گونه موارد می توان باصرف هزینه و تغییر پارامترهای مساله مانند زمان رفت و آمد و یا تغییر آرایش جمعیتی, کارآیی مرکز را بهبود داد. این گونه مسایل به مسایل معکوس (reverse) یا وارون (inverse) شناخته می شوند. هر چند مسایل وارون و معکوس ارتباط نزدیکی با یکدیگر دارند, اما با یکدیگر متفاوت هستند. در مساله وارون ما در صدد آن هستیم که مکان یا مکانهای احداث شده در مقایسه با سایر مکانهای دیگر بهینه باشد در حالی که در مساله معکوس به دنبال بیشترین کارایی مراکز هستیم بدون آنکه این مراکز با سایر مکانهای دیگر مقایسه شود. در دسته ای دیگر از مسایل هنوز مکانی برای مراکز مشخص نشده است. ولی می توان پارامترهای مساله را نیز تغییر داد و با در نظر گرفتن امکان تغییرات, مکان بهینه با پارامترهای بهینه تعیین می گردد. این مسایل را مسایل ارتقاء (upgrading) می نامند. چون در مسایل وارون, معکوس و ارتقاء پارامترهای مساله تغییر میکنند, آنها را مسایل پارامتریک نام گذاری می کنیم. موضوع اصلی این پایان نامه مسایل پارامتریک میانه است. مساله میانه یکی از مسایل کلاسیک مکانیابی است. بنابراین ابتدا لازم است مروری بر مسایل مکانیابی داشته باشیم و سپس تاریخچه مسایل پارامتریک را بررسی کنیم. در فصل اول پایان نامه تاریخچه مختصری از مسایل مکانیابی و تاریخچه نسبتا مفصلی از مسایل وارون, معکوس و ارتقاء بیان می کنیم. در فصل دوم به مساله وارون 1-میانه روی درختها می پردازدیم و الگوریتمی برای حل مساله در حالتی که بتوان طول یالها و وزن رئوس را همزمان تغییر داد, ارائه می دهیم. در فصل سوم مساله معکوس 1-میانه ناخوشایند را بررسی کرده و برای حالتهای مختلف آن الگوریتمهایی ارائه می کنیم. و بالاخره در فصل چهارم به مساله ارتقاء یک میانه پرداخته و الگوریتمی برای این مساله روی مسیرها معرفی می کنیم.

نقطه شروع مسأله رنگ آمیزی گراف به رنگ آمیزی نقشه برمی گردد، به این ترتیب که دو ناحیه که مجاور هم هستند دارای رنگ یکسان نباشد و در این مسأله حداقل رنگ مورد استفاده برای ما اهمیت دارد، دو نوع رنگ آمیزی داریم رنگ آمیزی رأسی و رنگ آمیزی یالی، ما در رنگ آمیزی رأس های گراف با استفاده از شبکه عصبی به بهینه سازی ( حداقل رنگ ) بر اساس راه اندازی چندگانه شبکه شبه هاپفیلد می پردازیم که در این طرح تنها مسأله خاص علم و آگاهی در مورد تابع انرژی است که الگوریتم ارائه شده سعی می کند این انرژی را به حداقل برساند. این روش به سه مدل مختلف از مسأله رنگ آمیزی می پردازیم. مسأله حداقل رنگ، مسأله زیر گراف پوششی و مسأله زیر گراف القایی. اگر چه در گذشته از شبکه هاپفیلد در مسأله رنگ آمیزی استفاده شده است این روش آن ها را تأیید می کند و دقیق تر، ساده تر، و سریع تر از قبلی هاست و نتایج تجربی رویکرد ما قابل مقایسه با سایر الگوریتم هاست حتی آن هایی که از روش های غیرعصبی برای رنگ آمیزی استفاده می کنند.

بازی رنگی گراف ها، اولین بار حدود سال ‎????‎ توسط بادلندر مطرح شد. فرض کنید یک گراف متناهی ‎g‎ و مجموعه ‎x‎ با ‎k‎ رنگ موجود باشد و دو بازیکن آلیس و باب این بازی را روی رأس های گراف انجام دهند. بازی با حرکت آلیس شروع می شود و هر کدام از بازیکن ها پشت سر هم یک رأس از گراف ‎$g$‎ را با یک رنگ از مجموعه ‎x‎ رنگ می کنند، که رئوس مجاور همرنگ نباشند. بازی هنگامی پایان می پذیرد که هیچ حرکت بیشتری نتوان انجام داد. آلیس برنده است، اگر همه رأس های گراف رنگ آمیزی شده باشد و باب هنگامی برنده می شود که رأسی رنگ نشده در گراف وجود داشته باشد که آلیس نتواند با رنگ های موجود آن را طوری رنگ کند، که با مجاورهایش همرنگ نباشد‎.‎ عدد رنگ پذیری بازی‎ گراف ‎g‎ کمترین تعداد رنگی است که در بازی رنگی بر روی گراف ‎g‎ آلیس استراتژی برد دارد‎.‎ بازی رنگی یالی گراف ها مشابه بازی فوق تعریف می شود، با این تفاوت که بازیکنان به جای رنگ آمیزی رئوس، یال ها را رنگ می کنند. شاخص رنگ پذیری بازی ‎کوچکترین عدد صحیح ‎k‎ است که آلیس در یک بازی رنگی یالی با ‎k رنگ بر روی گراف gاستراتژی برد دارد.

هدف از این پایان نامه معرفی دو گراف وابسته به یک زیرگروه از یک گروه می باشد. در این راستا ابتدا گراف کیلی گروه ‎g‎ وابسته به زیرگروه h‎ را که بنام گراف همرده کیلی معروف است را مورد مطالعه قرار می دهیم که در آن رئوس گراف عبارتند از مجموعه ی تمام همرده های متمایز راست ‎ h ‎ در ‎ g ‎ است و رأس ‎ hx ‎ به رأس ‎ hy ‎ متصل است, اگر ‎ yx^{-1} in hsh ‎ که در آن ‎ s ‎ یک زیرمجموعه از ‎ g ‎ است. گراف دیگر وابسته به یک زیرگروه ‎ h ‎از ‎ g ‎ گرافی است که مجموعه رئوس آن عناصر گروه ‎ g ‎ و رأس ‎ x ‎ به رأس ‎ y ‎ متصل است, هرگاهxy in h ‎ در این پایان نامه خواص اساسی این دو گراف مورد بررسی قرار می گیرند‎.‎

سالیان سال است که بشر به علم ریاضیات مشغول است, اما طی چند سده ی اخیر این علم همانند ابزاری قوی در اختیار دیگر علوم قرار گرفته است و دانشمندان در عرصه های مختلف به قدرت ریاضیات, این دانش باستانی, که برخی از آن به عنوان مادر علوم یاد می کنند پی برده اند و در راستای رسیدن به اهداف خود استفاده می کنند. حال اولین قدم در استفاده از هر علمی در علم دیگر, ساختن یک پل ارتباطی بهینه میان آن دو علم است. اولین و موثرترین گامی که ریاضیات و ریاضیدان برای ورود به سایر علوم می تواند بردارد, مدل سازی و تبدیل مسائل دیگر به زبان ریاضی است. پس از ایجاد این ارتباط, بسته به نیاز, هر یک از شاخه های ریاضی نظیر نظریه گراف ها, معادلات دیفرانسیل, بهینه سازی و غیره می توانند در خدمت گرفته شوند. از جمله دانش هایی که در دهه ی اخیر پیشرفت چشم گیری داشته شیمی بوده است. دانشمندان این رشته با بکارگیری از علم ریاضی سعی در پیشبرد در علم خود دارند و تا حدی ریاضیات برای آن ها نقش کاتالیزور را داشته و باعث تسریع در کارشان می شود. گراف های شیمیایی یکی از شاخه های علم ریاضیات شیمی است شاخه ای که به استفاده ی نظریه گراف در شیمی, جهت مدل کردن و دیگر موارد اختصاص دارد. ساختار مولکولی داروها و سایر ترکیبات شیمیایی را می توان به صورت اشکالی چندضلعی, مسیرها, درخت ها, گراف ها یا غیره مدل سازی نمود. هر اتم از مولکول به صورت یک رأس و پیوند کوالانسی بین اتم ها توسط یال های بین رأس ها نشان داده می شود. این ساختار برای یک ترکیب شیمیایی, گراف شیمیایی یا گراف مولکولی این ترکیب نامیده می شود. یکی از ابتدایی ترین مفاهیم در گراف های شیمیایی, مفهوم شاخص های توپولوژیک‎ است. شاخص توپولوژیک مفهومی کاملا گرافی بوده که کاربردهای مختلفی در نانوتکنولوژی, شیمی, علم مواد, داروسازی و دیگر عرصه ها دارد. شاخص توپولوژیک یک عدد حقیقی است که به یک گراف مولکولی نسبت داده می شود, این شاخص ها نسبت به یکریختی گراف ها پایا هستند, تا به حال چندین شاخص توپولوژیک تعریف شده اند و بسیاری از آن ها به عنوان وسیله ای برای مشخص کردن خاصیت های شیمیایی و فیزیکی مولکول ها استفاده می شوند.شاخص وینر‎ که به اختصار با w نشان داده می شود, اولین شاخص توپولوژیکی است که در شیمی استفاده شده است. شاخص وینر توسط شیمیدان, هارولد وینر, در سال ‎1947‎ برای نشان دادن رابطه ی بین خواص فیزیکی و شیمیایی, ترکیبات آلی و ساختار توپولوژیکی گراف های مولکولی آن ها, معرفی شده است. او در این سال شاخص وینر را برای بدست آوردن نقطه ی جوش پارافین معرفی کرد, به زبان شیمی شاخص وینر, برابر با جمع همه ی کوتاه ترین مسیرهای زنجیره کربن-کربن در یک مولکول می باشد. شاخص دیگری که پس از وینر تعریف شد, شاخص سگد می باشد. شاخص سگد به نوعی تعمیم شاخص وینر برای گراف های دارای دور است. این شاخص که به اختصار با‎s_z نشان داده می شود, توسط ایوان گوتمن در دانشگاه آتیلا جزف در سگد یکی از شهرهای مجارستان تعریف شد و همین عامل باعث نام گذاری این شاخص به این نام شد,خالی از لطف نیست یادآوری کنیم که گوتمن در مقاله سال ‎1994‎ خود, وجود شاخص سگد را حدس زد و به اختصار آنرا با ‎w*‎ نشان داد. در آن مقاله او هیچ نامی برای این شاخص ارائه نداده است. یکی دیگر از شاخص های توپولوژیکی که به تازگی معرفی شده است.شاخص پادماکار-ایوان می باشد این شاخص مخفف نام بنیان گذارانش, یعنی پادماکار خادیکار و ایوان گوتمن است و به اختصار با‎pi نشان داده می شود. این شاخص از شاخص هایی است که در پیش بینی داروها و نیتروبنزن ها کاربرد زیادی دارد. ترکیبات با ساختار مختلف و شاخص های توپولوژیک مختلف, حتی با یک فرمول شیمیایی, خواص مختلفی می توانند داشته باشند به عنوان مثال, کاکائین و اسکوپولامین هر دو با فرمول شیمیایی یکسان c_{17}h_{21}no_4‎, خواص مختلف و شاخص وینر متفاوتی دارند. هم چنین شاخص های توپولوژیک می توانند در ساختن یک ترکیب با خواص معین مورد استفاده قرار گیرند. بنابراین, مطالعه ی ساختار گراف مولکولی و هم چنین شاخص های توپولوژیک, در کنار فرمول شیمیایی واقعا مهم است. هدف اصلی این پایان نامه, محاسبه ی فرمول دقیقی برای شاخص های توپولوژیکی گراف های ترکیبی با استفاده از شاخص های توپولوژیک گراف های اولیه ی آن ها می باشد. این گراف های ترکیبی توسط اعمال گراف ها از جمله پیوند, ترکیب, ضرب دکارتی و ضرب سلسله مراتبی تعمیم یافته و غیره روی دو یا چند گراف اولیه بدست می آید. هر یک از این گراف های ترکیبی می توانند یک ترکیب شیمیایی باشند که از مولکول های معمولی ساخته شده اند. به عنوان مثال بنزن یک مولکول شیمیایی با شش کربن و شش هیدروژن است که به راحتی توسط یک شش ضلعی منتظم قابل نمایش می باشد. این مولکول در شیمی از اهمیت زیادی برخوردار است, زیرا مولکول هایی تحت عنوان بنزنویدها که مولکول های پرکاربردی هستند, از کنار هم قرار گرفتن این بنزن ها با پیوندهای مناسب ایجاد می شوند. ‎در فصل اول به توضیح اعمال گراف ها پرداخته ایم و پس از آن ارتباط نظریه گراف و شیمی و بدست آوردن گراف شیمیایی یک مولکول را توضیح خواهیم داد, برای رسیدن به این هدف ابتدا به مقدماتی از نظریه گراف نیازمندیم. مطالب این فصل به گونه ای تنظیم شده که خواننده بتواند در کمترین زمان, با اصلی ترین مفاهیمی که در فصل های بعد مورد استفاده قرار می گیرند, آشنا گردد. فضای اشیاء مورد مطالعه در این پایان نامه فضای گراف های ساده, بدون جهت و گراف های همبند هستند. در فصل دوم تعریف دقیقی برای شاخص سگد ارائه می دهیم, و پس از آن این شاخص را به روش ماتریسی برای پیوند و ترکیب گراف ها محاسبه می کنیم. در دو بخش آخر ابتدا فرمولی برای محاسبه ی شاخص سگد برای ضرب سلسله مراتبی تعمیم یافته ی گراف ها بدست می آوریم و در ادامه کاربردهایی از این عمل را در محاسبه ی شاخص سگد چند مولکول شیمیایی ارائه می دهیم. در فصل سوم ابتدا شاخص وینر را تعریف می کنیم, در ادامه به محاسبه ی این شاخص برای چند عمل دودویی گراف ها و چند مثال در محاسبه ی شاخص وینر برای این اعمال خواهیم پرداخت. در فصل چهارم, ضمن معرفی شاخص پادماکار-ایوان, ابتدا فرمولی برای محاسبه ی این شاخص برای پیوند و ترکیب گراف ها به روش ماتریسی ارائه می کنیم, در ادامه این شاخص را برای ضرب سلسله مراتبی تعمیم یافته ی گراف ها محاسبه کرده و در بخش آخر به بیان کاربردهایی از این عمل در محاسبه ی شاخص پادماکار-ایوان چند مولکول شیمیایی خواهیم پرداخت.

شورای ملی معلمان ریاضی بر تکنولوژی به عنوان یکی از شش استاندارد ریاضیات مدرسه ای تاکید کرده است که: "تکنولوژی در تدریس و یادگیری ریاضی نقش اساسی دارد، ریاضیات مورد یادگیری را تحت تأثیر قرار می دهد و یادگیری دانش آموزان را ارتقا می بخشد". با توجه به تحقیقات متعددی که در مورد استفاده از رایانه ها و نرم افزارهای چند رسانه ای در امر تدریس انجام یافته است، می توان گفت نرم افزارهای آموزشی وقتی در کنار روش سنتی تدریس و در کلاس درس مورد استفاده قرار می گیرند نتایج یادگیری را بهبود می بخشند. هدف اصلی این پژوهش بررسی تأثیر تکنولوژی بر یادگیری و انگیزه ی پیشرفت ریاضی دانش آموزان می باشد. برای این منظور دانش ریاضی و انگیزه پیشرفت بیست دانش آموز پایه هفتم مورد ارزیابی قرار گرفت و برای این ارزیابی هم از آزمون کتبی و هم از پرسشنامه انگیزه پیشرفت هرمنس استفاده شده است. روش انجام کار به این صورت بود که دانش آموزان به دو گروه هم سطح تقسیم شدند. ابتدا به گروه اول باروش های مرسوم و به گروه دیگر با استفاده از تکنولوژی تدریس شد. در پایان برای ارزیابی عملکرد و انگیزه پیشرفت دو گروه، ابتدا آزمون کتبی و پس از آن آزمون انگیزه پیشرفت هرمنس گرفته شد. نتایج بدست آمده از آزمون کتبی و پرسشنامه نشان دهنده ی تأثیر استفاده از تکنولوژی در تدریس بود، زیرا گروه دوم هم عملکرد بهتری و هم انگیزه ی پیشرفت بالاتری نسبت به گروه اول داشتند. در نتیجه استفاده از رایانه در یادگیری و انگیزه ی پیشرفت دانش آموزان تأثیر گذار است.

متغیر های گراف، پارامتر هایی از گراف می باشند که تحت خود ریختی های گراف پایا هستند و شاخص های توپولوژیک، کمیتی عددی اند که به یک گراف نسبت داده می شوند، به طوری که تحت یک ریختی گراف ها پایا می باشند. در این رساله برخی از متغیر های گراف همچون شاخص وینر، سگد، پادماکار - ایوان، زاگرب و همبندی خروج از مرکز تحت اعمال گراف بررسی شده اند. همچنین، محاسبه برخی از متغیر های مربوط به تعدادی از مهم ترین گراف های شیمیایی به عنوان کاربردی از نتایج این رساله ارائه شده است.

در این مطالعه تحلیل خوشه ای به عنوان یکی از روش های داده کاوی توصیفی جهت استفاده در مطالعات آموزش ریاضی، بویژه روانشناسی یادگیری ریاضی مطرح گردیده است. گروه بندی داده های پژوهش در مطالعات قبلی در این حوزه توسط شاخص های آمار توصیقی غالبا صورت گرفته که دارای نواقص و محدودیت هایی می باشد. لذا در این مطالعه تحلیل خوشه ای به عنوان ابزاری جایگزین با قابلیت های متعدد در مطالعات کمی و آمیخته معرفی و کاربرد های آن مورد بررسی قرار گرفته است. بدین منظور، تحلیل خوشه ای و مراحل ششگانه اجرای آن (انتخاب متغیرهای تحلیل خوشه ای، انتخاب روش تحلیل خوشه ای ، انتخاب معیار شباهت/ تفاوت، انتخاب الگوریتم تحلیل خوشه ای ، انتخاب تعداد خوشه، و بررسی اعتبار و تفسیر نتایج تحلیل خوشه ای) توسط داده های کمی مرتبط با روانشناسی یادگیری ریاضیات بیان گردیده تا ضمن آشنایی بیشتر پژوهشگران حوزه مطالعات آموزشی و روانشناختی با این ابزار، نتایجی جدید در زمینه روانشناسی یادگیری ریاضیات مطرح گردد. در این مطالعه از دو نرم افزار spss و r برای انجام تحلیل خوشه ای استفاده شده است. نتایج اعمال تحلیل خوشه ای بر روی داده ها نشان می دهد که از این ابزار می توان برای بررسی ارتباط متغیر های تاثیرگذار بر عملکرد ریاضی در مطالعات کمی و شناسایی کاندیداهای شرکت در مصاحبه در مطالعات آمیخته استفاده نمود.

رنگ آمیزی گراف فازی یکی از مهم ترین مسائل بهینه سازی ترکیبیاتی است. بسیاری از مثال های عملی مانند جدول زمانی، خوشه بندی شبکه ها و کنترل نور ترافیک‏ را می توان به عنوان مسأله رنگ آمیزی مدل بندی کرد. ‎ مسأله رنگ آمیزی فازی متشکل از تعیین عدد رنگی از یک گراف فازی و تابع رنگ آمیزی مرتبط با آن است. ‎ در این پژوهش‏، ابتدا مفاهیم و مقدمات اولیه فازی بیان می شود، سپس گراف فازی و مکمل آن توضیح داده می شود. در ادامه‏، به بررسی رنگ آمیزی رأسی که رنگ ها را به رئوس اختصاص می دهد به طوری که رئوس مجاور، رنگ های مختلف دریافت می کنند، می پردازیم. سپس‏، به رنگ آمیزی یالی که با استفاده از یک تابع رنگ ها را به یال ها اختصاص می دهد به طوری که‏، یال های مجاور رنگ های مختلف دریافت می کنند‏، برای گراف فازی می پردازیم. هم چنین یک الگوریتم برای تولید جدول زمانی با استفاده از رنگ آمیزی یالی گراف فازی بیان می شود. سپس با استفاده از دو رنگ آمیزی رأسی و یالی، رنگ آمیزی کلی فازی را توضیح می دهیم.

مفهوم گراف های فازی, از ترکیب نظریه گراف و زیر مجموعه های فازی تشکیل شده است و با استفاده از روابط فازی روی زیر مجموعه های فازی ساخته می شود.‎ در این پایان نامه, ابتدا به مقدمات و مفاهیم فازی می پردازیم. در ادامه, به تعریف گراف های فازی و مفاهیم اولیه گراف های فازی می پردازیم. و سپس گراف های فازی منظم، گراف های فازی کاملاً منظم، گراف های فازی نامنظم، گراف های فازی بسیار نامنظم، مکمل گراف فازی، گراف های فازی خودمکمل و خودمکمل ضعیف را معرفی می کنیم و برخی از خواص آن ها را بیان می کنیم. در ادامه, مرتبه، اندازه و درجه رئوس از گراف های فازی یکریخت و برخی خواص یکریختی، یکریختی ضعیف بین گراف های فازی بسیار نامنظم و مکمل آن ها را بیان می کنیم. در ادامه, مفهوم گراف فازی دوقطبی را بیان می کنیم و سپس گراف فازی دوقطبی منظم، گراف فازی دوقطبی کاملاً منظم، گراف فازی دوقطبی نامنظم، گراف فازی دوقطبی همسایگی نامنظم را معرفی می کنیم و یکریختی گراف های فازی دوقطبی بسیار نامنظم و گراف های فازی دوقطبی همسایگی نامنظم تعریف می شود و برخی از خواص آن ها بررسی می شود.

در این رساله به بررسی مسطح بودن گروه های نامتناهی می پردازیم. رده بندی کاملی از گروه های مسطح نامتناهی و موضعا متناهی ارایه می کنیم. همچنین ساختار گروه های مسطح نامتناهی که دارای شرایط زنجیر هستند را نیز بررسی می کنیم. در قسمت اخر گراف جدیدی به نام گراف کیلی وابسته را معرفی می کنیم.