در این رساله به بررسی شرایطی روی عملگرهای تصادفی می پردازیم که تحت این شرایط، عملگرهای مورد بحث دارای نقطه ثابت تصادفی باشند. بعنوان نمونه خواهیم گفت کهممکن است عملگرهای تصادفی غیر پیوسته نیز نقطه ثابت تصادفی داشته باشند. علاوه براین بیان می کنیم که تحت چه شرایطی ، نگاشت هی تصادفی روی زیر مجموعه های بی کران یک فضای باناخ نقطه ثابت تصادفی دارند.

تحلیل پوششی داده ها (dea) ، روشی برای ارزیابی واحدهای تصمیم گیری ( dmuها) با ورودی و خروجی های چندگانه مورد توجه قرار گرفته است. این روش، همچنین برای رتبه بندی واحدهایی با شاخص های ورودی و خروجی همگن استفاده می شود. اما در مواردی از جمله، محدود بودن تعداد شاخص ها قادر به رتبه بندی کامل dmu ها نیست. همچنین نمی توان اولویت های ذهنی و نظرات تصمیم گیرنده را در مورد ارزش ورودی ها و خروجی ها اعمال کرد. از طرف دیگر، فرآیند تحلیل سلسله مراتبی (ahp)، یکی از روش های حل مسائل چندشاخصه است که با استفاده از این روش و با توجه به شاخص های ارزیابی، می توان گزینه های تصمیم گیری را رتبه بندی کرد. در این روش، شاخص ها نسبت به هدف و گزینه های ارزیابی نسبت به شاخص ها به طور زوجی مقایسه شده و ماتریس های مقایسات زوجی تشکیل می شوند. مقایسات زوجی انجام گرفته، در بیشتر موارد و معمولا در جهان واقعی همواره سازگار نیستند. در این پایان نامه، برای رفع ضعف های روش های dea و ahp، یک روش dea جدید با استفاده از ahp ارائه می شود که با به کار بردن یک مجموعه فازی مثلثی تکه ای، وزن شاخص های ورودی و خروجی، محدود شده و روش dea به روش dea با وزن های محدود شده تبدیل می شود. این مجموعه فازی مثلثی ، از مقایسات ناسازگار ahp به دست می آید. همچنین با معرفی پارامتر قابل کنترلی با عنوان نرخ تحمل اریب (btr)، این امکان برای تصمیم گیرنده فراهم می شود که محدوده تغییرات وزن ها را کنترل کند.

در این پایان نامه جواب تقریبی معادلات با مشتقات جزئی خطی و غیر خطی را مطالعه می کنیم که به صورت ترکیب خطی متناهی از rbfها نوشته می شود مبنای کار روش هم محلی می باشد در این روشها همواره یک ماتریس مربعی درونیاب بدست می آید که بسیار بدحالت بوده بنابراین حل دستگاه و محاسبه ی جواب به طور دستی کار سختی بوده برای همین دلیل و همچنین به دلیل بعد بالای ماتریس از نرم افزار مطلب استفاده می کنیم.

در این پایان نامه معادلات دیفرلنسیل فازی را تحت مشتق پذیری تعمیم یافته قوی مطالعه می کنیم. معادلات دیفرانسیل فازی را با چهار روش عددی حل می کنیم. این چهار روش شامل ، روش اویلر ، دو گامی ، k گامی و رانگه-کوتا ضمنی می باشد. همگرایی و پایداری این چهار روش را با جزئیات اثبات می کنیم.

برای حل معادلات انتگرالی فردهلم نوع دوم، یک تابعک خطی تعمیم یافته معرفی و یک تقریب نوع پاده تابع مقدار جدید تعریف شده است. به کمک بسط سری توانی جواب ، این روش میتوان یک جواب تقریبی برای حل این معادله انتگرال پیدا کرد . روی پایه چند جمله ایهای متعامد ، دو بیان مفید بسط دترمینان چند جمله ای صورت وچند جمله ای مخرج برای تقریب نوع پاده به صراحت داده شده است.

در این پایان نامه نوعی روش تقریبی-تحلیلی به نام روش تکراری تغییراتی راتوصیف می کنیم. روش تکراری تغییراتی به طور گسترده برای حل انواع معادلات غیر خطی به کار گرفته شده است. برتری این روش نسبت به سایر روش ها، انعطاف پذیری و توانایی آن برای حل معادلات غیر خطی با دقت بالا است.

در این پایان نامه معادلات دیفرانسیل کسری و در حالت خاص معادلات تلگراف کسری را بررسی می کنیم. سپس روش هایی برای حل عددی و تحلیلی این معادلات با استفاده از روش تجزیه ادومیان، روش تکرار تغییراتی و روش تبدیلات لاپلاس ارائه می دهیم. در پایان به حل عددی تعدادی مسئله فیزیکی مدل شده به وسیله معادلات دیفرانسیل کسری می پردازیم.

در این پایان نامه ابتدا روش ها‎ی آنالیز هموتوپی و اختلال هموتوپی برای حل انواع معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال به کار برده شده است و همچنین اصلاحاتی برای این دو روش آورده شده است. سپس این دو مقایسه شده اند. متفاوت از همه ی روش های تحلیلی، روش پیشنهادی لیائو، راه ساده ای برای کنترل و تنظیم همگرایی سری جواب ایجاد می کند و روش پیشنهادی هی یک روش ساده و کارا می باشد در فصل اول تعاریف و مطالب مقدماتی که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرند، آورده شده است‎.‎ در فصل دوم روش آنالیز هموتوپی و اصلاحاتی برای روش و کاربرد آن ها برای حل معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال ارائه شده است‎.‎ در فصل سوم روش اختلال هموتوپی و اصلاحاتی برای روش و کاربرد آن ها برای حل معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال، ارائه شده است‎.‎ در فصل چهارم دو روش آنالیز هموتوپی و اختلال هموتوپی باهم مقایسه شده اند‎.

در این پایان نامه از پایه های موجک دابیشز براییافتن جواب های معادلات دیفرانسیل جزئییک بعدی بوسیله ی روش گالرکین استفاده می کنیم. پایه های گالرکین از تابع های دابیشز که دارای محمل فشرده هستند و یک پایه ی متعامد یکه برای l^2 (r)می سازند ساخته می شوند. نتایج نظری و عددی برای مسائل بیضوی از مرتبه ی دوم با انواع مختلف شرایط مرزی به دست خواهد آمد. همچنین تخمین خطای روش را به دست می آوریم و با جواب هایی که روش ساده ی تفاضلات متناهی برای این نوع مسائل پیشنهاد می کند مقایسه می کنیم. مشاهده می شود که روش حاضر انتخاب بهتری نسبت به دیگر روش های کلاسیک می باشد.

در این پایان نامه ما ساختار معادله کاماسا-هلم و انواع جواب هایی آن را مورد بررسی قرار داده و کاربردهای آن را بیان می کنیم.انواع روش های حل برای این معادله از جمله روش گالرکین گسسته محلی بیان می شود، ولی به دلیل کثرت کاربرد این معادله در شاخه های مختلف فیزیک و مهندسی ( هیدرولیک، سازه،مکانیک،هواشناسی و ...) بیشتر روش های بیان شده است که فرم بسته ای از جواب را ارائه دهد. چون در بیشتر مسائل مهندسی تجزیه وتحلیل جواب ها مورد نیاز است،بنابراین بدست آوردن فرم جوابی که نزدیک به جواب تحلیلی مسئله باشد ضروری است. به این دلیل روش های تحلیلی-تقریبی مانند روش اختلال هموتوپی، روش تجزیه آدمیان و روش تکرار تغییراتی را برای این معادله مورد بررسی قرار داده ایم.

در این پایان نامه روش عددی برای حل مساله ی معکوس سهمی گون خطی و غیر خطی یک بعدی را بررسی می کنیم. تقریب گسسته این مساله بر پایه ی تفاضلات متناهی بنا شده است. این تکنیک ها برای مشخص کردن پارامتر کنترل که در هر زمان دلخواه درجه حرارت مطلوب را در نقطه ی داده شده، در یک بازه ی زمانی معین مشخص می کند. جواب عددی ابتدا برای مساله معکوس خطی با استفاده از تفاضلات متناهی بدست می آوریم، سپس یک مسئله معکوس غیر خطی با استفاده از سری تیلور خطی ارائه چند فرمول تفاضلات متناهی برای پیداکردن پارامتر کنترل بیان می شود.

روش میلشتین ساده ترین روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل تصادفی با مرتبه همگرایی قوی است. این روش برای معادلات دیفرانسیل تصادفی تأخیری توسعه داده می شود که البته بررسی همگرایی آن به خاطر انتگرال های موجود در عبارات باقیمانده پیچیده است. در این پایان نامه روش میلشتین و اولین مرتبه نرخ قوی همگرایی با روش های مقدماتی ساده بیان شده است. برای بیان این روش از بسط تیلور که مشتق های به کار رفته در آن مشتق فرشه هستند. وهمگرایی آن براساس همگرایی مربع میانگین بررسی شده است.

در این تحقیق مدل سازی هایبرید نیروگاه سیکل ترکیبی و طراحی کنترل کننده پیش بین مدل بررسی می شود.پرکاربردترین روش مدل سازی سیستم های هایبرید روش ترکیب دینامیک و منطق(mld) است. مدل mld چارچوبی فراهم می کندکه در آن می توان دینامیک های پیوسته و گسسته سیستم و سوئیچنگ بین مدهای مختلف بهره برداری را مدل سازی کرد. در این تحقیق استخراج مدل mld نیروگاه سیکل ترکیبی مبتنی بر مدهای مختلف راه اندازی توربین ها با جزئیات نشان داده می شود، ویژگی های گسسته ای مانند امکان خاموش و روشن شدن توربین ها، محدودیت های بهره برداری و مدهای مختلف راه اندازی توربین ها در کنار روابط ورودی-خروجی پیوسته سیستم منجر به مدل سازی نیروگاه سیکل ترکیبی از منظر سیستم های هایبرید می شود.بعد از بدست آوردن مدل mld سناریوهای گوناگونی مبتنی بر مدهای مختلف راه اندازی و سوئیچینگ بین این مدها به منظور اعتبارسنجی مدل طرح گردیده و با انجام شبیه سازی صحت مدل مورد تحقیق قرار خواهدگرفت. نتایج اعتبارسنجی مدل دلالت بر قابل اعتماد بودن مدل بدست آمده دارد و به درستی شرایط راه اندازی توربین ها در مد های راه اندازی گوناگون، سوئیچینگ بین این مدها و محدودیت های بهره برداری را نشان می دهد. روش کنترلی که برای بهینه سازی عملکرد سیستم استفاده شده است کنترل پیش بین بر اساس مدل است. کارایی این روش در کنترل سیستم های هایبرید به اثبات رسیده است. در این روش کنترلی محدودیت های حالت، خروجی و ورودی به طور مستقیم در محاسبات مسئله کنترلی درنظر گرفته می شود علاوه بر این، مدل mld چارچوبی فراهم می کند که در آن الگوریتم های کنترل پیش بین به راحتی قابل اعمال است. به منظور بهینه کردن عملکرد فرآیند یک مسئله بهینه سازی به عنوان یک مسئله کنترل پیش بین مدل طرح شده است. به دلیل وجود عبارت های غیرخطی مانند توابع قدرمطلق، ماکزیمم و مینیمم در مسئله بهینه سازی تعریف شده این مسئله یک مسئله برنامه ریزی غیرخطی عدد صحیح مخلوط است و برای حل مسئله مذکور باید مسئله کنترل پیش بین مدل را در قالب برنامه ریزی خطی عدد صحیح مخلوط فرموله کرد. در انتها کنترل کننده به سیستم اعمال شده و نتایج شبیه سازی برای سناریوهای مختلف به منظور تنظیم توان تولیدی نیروگاه بر روی مقدار مرجع که همان توان درخواستی از نیروگاه است ارائه می شود. نتایج شبیه سازی نیروگاه سیکل ترکیبی نشان می دهند که توان الکتریکی تولید شده دقیقا بار مورد نیاز مصرف کننده را تامین می کند و در عین حال محدودیت های سیستم نیز برآورده می شوند.

ابتدا در این پایاننامه تعاریف اولیه معادلات دیفرانسیل تصادفی ‎را‎ بیان می کنیم که این معادلات با معادلات دیفرانسیل جزئی با استفاده از قضیه نمایشی فیمن-کاس ارتباط دارند. در ادامه معادلات دیفرانسیل تصادفی پسرو و معادلات دیفرانسیل تصادفی پسرو-پیشرو را معرفی و سپس به رابطه بین معادلات دیفرانسیل تصادفی پسرو-پیشرو و معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی شبه خطی اشاره می شود. نشان می دهیم جواب یک معادله دیفرانسیل جزئی سهموی شبه خطی را به وسیله جواب یک معادله دیفرانسیل تصادفی پسرو می توان نوشت که آن تعمیمی از قضیه نمایشی فیمن-کاس می باشد. همچنین کاربرد این معادلات را در ریاضیات مالی بیان می کنیم . در بخش پایانی نحوه گسسته سازی معادله دیفرانسیل تصادفی پسرو تشریح می شود‎‎‎‎.‎‎ ‎

‎روش های ‎rbf‎ براستی روش محاسباتی بدون شبکه هستند که به تولید شبکه منظم نیاز ندارند. در این پایان نامه روش شبه ‎‎درونیابی با روش ‎rbf‎، برای حل معادله بلک ‎‎شولز جهت قیمت گذاری‎‎‎‎ اختیار، ترکیب شده است. همان طور که در محاسبات عددی خواهیم دید، این روش برای قیمت گذاری اختیار آمریکایی، تقریب بسیار خوبی از جواب می دهد. بعلاوه مرز اجرای بهینه آزاد موجود در مسئله قیمت گذاری اختیار آمریکایی را نیز می توان یافت.

روش تکرار تغییراتی اولین بار توسط هی معرفی شد. برای استفاده از این روش ابتدا لازم است که ضریب لاگرانژ ‎ تعیین شود. روش تکرار تغییراتی، روشی آسان و دقیق برای مسائل با بعد بزرگ می باشد که با همگرایی سریع به جواب دقیق میل می کند. چون با روش استاندارد ‎vim‎ حل مسائل غیرخطی معمولا مشکل است از روش بهبود یافته ‎vim‎ استفاده می کنیم. با روش تکرار تغییراتی بهبود یافته، معادله دافینگ مرتبط با عبارت اجباری انتگرالی و بدون انتگرال را حل می کنیم با این اصلاح نیازی به بدست آوردن ثابتهای مجهول در جواب اولیه نمی باشد. مقایسه نتایج عددی بدست آمده از این روش نشان دهنده دقت مطلوب آن می باشد.

در سه دهه گذشته استفاده از توابع پایه ای شعاعی‎ ‎‎بعنوان یک روش بدون شبکه,‎ ‎‏در‎ علوم مختلف,‎ ‎‏به‎ طور چشم گیری افزایش یافته است. روش توابع پایه ای شعاعی در واقع تعمیم روش چندربعی‎ ‎‎یا‎ به اختصار‎ ‏روش ‎mq‎‏ است که در سال 1968توسط زمین شناسی به نام هاردی‎‎ltrfootnote{hardy}‎‏‎ ارائه شد‎ cite{hardy 1}‎‎‏. هاردی روش مذکور را برای حل مسئله ای در نقشه برداری بوجود آورد. او به تابعی مناسب برای ایجاد نقشه ای با خطای کم از داد‏ه هایی اندک و پراکنده نیاز داشت. برای مثال او توانست این روش را برای رسم نقشه ای از یک صخره‎,‎ با دقت بالا بکار گیرد. روش برای ناهمواریهایی مانند دره ها,‎ ‎‏مناطق‎ ذهکشی,‎ ‎‏قله‎ تپه ها و صخره ها نیز کاربرد داشت. تا آن زمان توابع درونیاب دیگری مانند روش های درونیابی فوریه یا چندجمله ای برای تقریب سطوح در نقشه برداری ارائه شده بود که هر کدام مشکلات خاص خود را داشت. برای مثال روش درونیابی چندجمله ای با داده های اندک,‎ ‎‏قادر‎ به ارائه ی تقریبی دقیق برای تغییرات ناگهانی در سطوح‎,‎ نبود‎cite{hardy 1}‎‏ و یا درونیابی فوریه مشکلاتی با داده های اندک داشت و سری های فوریه,‎ ‎‏تابعی‎ با نوسان زیاد بین نقاط درونیابی ایجاد می کردند ‎‎‎. روش کمترین مربعات بر اساس چندجمله ایها و سری های فوریه نیز برای سطوح نقشه برداری استفاده شده بود‎,‎‏که بعدا‎‏ً پی بردند این روش نیز دقت کافی را برای تقریب داده ها ندارد. این نقیصه ها در روش های مذکور, هاردی را به سمت ارائه روش جدید سوق داد که کم و کاستی های روش های قبلی را نداشته باشد. در نهایت هاردی روش چندربعی را معرفی کرد.

دراین پایان نامه روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی فازی بحث می شود. ابتدا تعاریف لازم را بیان می کنیم سپس روش های عددی برای حل این نوع معادلات که شامل روش تفاضلات متناهی، روش حجم متناهی و روش تجزیه آدومیان است را بررسی می کنیم. شرایط لازم برای پایداری و همگرایی در بعضی روش ها بیان می شود.

جمعیت گونه های مختلف زیستی با انواع متفاوتی از مدل ها توصیف می گردند.به عقیده گروهی از زیست شناسان نقش اصلی را در تنظیم جمعیت ایفا می کند و بر این اساس مدلی را برای جمعیت پیشنهاد کردند.در این کار نحوه قالب سازی مدل یادشده و مدل دیگری از جمعیت را با عنوان"مدل جمعیت دو گونه زیستی که در کنار یکدیگر زندگی می کنند."ذکر کرده ایم. سپس حل عددی هر دو مدل را با رو ش های تکرارتغییراتی،تجزیه آدومیان،اختلال هموتوپی،تبدیل دیفرانسیل به طور جداگانه ارایه کرده ایم.همچنین دقت روش ها با آوردن چندین مثال با هم مقایسه می شوند.

این پایان نامه، مشتمل بر چهار فصل است‎.‎ در فصل اول به تعاریف و مفاهیم اولیه می پردازیم و یک دسته بندی کلی از انواع معادلات دیفرانیسل پاره ای و شرایط مرزی ارائه خواهیم داد. در فصل دوم انواع روش های عددی از جمله روش ریلی ریت‎ز‎، روش گالرکین و روش کانتوروویچ‏ که بر پایه ی المان های محدود هستند‎ را‏‎ برای حل معادلات دیفرانیسل پاره ای بکار می بریم. سپس در فصل سوم روش پتانسیل ها را برای حل مسائل مقدار مرزی مرتبه دوم معرفی کرده و جواب دو مسئله دیریکله و نویمان را با استفاده از پتانسیل های مناسب به فرم انتگرالی ‎‎بیان می کنیم‎‎‎. در فصل چهارم به روش تبدیل معادلات دیفرانسیل پاره ای غیر خطی به معادلات پاره ای خطی پرداخته و نهایتا معادله برگر را، با استفاده از دو روش تبدیل ‎‎هاپ - کول و روش المان های محدود گالرکین، با پایه های بی اسپلاین حل خواهیم کرد

در این پایان‎‎نامه، روش تریفتز برای حل مسائل مقدار مرزی بیضوی و بطور خاص برای معادلات لاپلاس و پواسن بیان و مورد بررسی قرار می گیرد. این روش بر پایه استفاده از نوعی توابع بنا شده است که برای اولین بار توسط تریفتز در سال ‎1926‎ مطرح گردید. این توابع که t-تام نامیده می شوند به گونه ای می باشند که اگر عملگر لاپلاس بر آنها اثر کند، حاصل برابر صفر خواهد بود.در ادامه، روش تریفتز برای حل انواع معادلات لاپلاس و پواسن دو بعدی و سه بعدی بکار برده شده است. برای حل معادله پواسن با این روش، جمله غیر همگن بوسیله یک چند جمله ای حداکثر از درجه ‎5‎ تقریب زده می شود. نکته قابل توجه در بکارگیری این روش این است که همواره باید مراقب بود تا ماتریس های بوجود آمده در الگوریتم ها، غیر منفرد باشند.

مسایل مالی یکی از زمینه هایی است که بیشترین رشد و تغییر را در تجارت جهانی دارند و اختیارات مالی بیشترین استفاده را در زمینه امور مالی دارند. طی دهه گذشته، تحقیق در رابطه با قراردادهای اختیار از ارزش بالایی برخوردار بوده است. انواع مختلفی از مدل های ریاضی برای قیمت گذاری اختیارات وجود دارد که مهم ترین آنها مدل قیمت گذاری اختیارات بلک-شولز است. در سال 1973، فیشر بلک، میرن شولز و رابرت مرتون قیمت گذاری اختیارات را گسترش دادند و مقاله ای با عنوان «قیمت گذاری اختیارات و بدهی های سهام» در ژورنال مربوط به سیاست های اقتصادی منتشر کردند. ایده اصلی بلک و شولز در رابطه با ساختار اوراق بهادار بدون ریسک با به کارگیری شرایط مرزی، قیمت اختیار و سهام قرار داشت. مدل بلک –شولز نقش اساسی و محوری در موفقیت مهندسی مالی در دهه های 1980 و 1990 داشته است. «میرن شولز» و «رابرت مرتون» در سال 1997 به خاطر اهمیت مدل فوق، موفق به دریافت جایزه نوبل اقتصادی شدند. لازم به ذکر است که معادلات با مشتقات جزئی از جمله معادلات مهم هستند که اغلب در مسائل فیزیکی و محاسبات مهندسی استفاده می شوند ولی تحلیل اکثر این معادلات مشکل می باشد. بنابراین محققین به دنبال حل عدی این معادلات هستند و روش های عددی گوناگونی برای حل این معادلات ارائه کرده اند. از جمله روش های عددی که برای حل مسائل مربوط به قیمت گذاری اختیارات مورد استفاده قرار می گیرد، عبارتند از: مدل دو جمله ای، روش های تفاضلات متناهی و روش شبیه سازی مونتو-کارلو. تکنیک تفاضلات متناهی اولین بار توسط آقای شوراتز برای حل قیمت اختیار سهام به کار برده شد. این روش، معادله دیفرانسیل جزئی بلک-شولز را به وسیله تقریب معادله دیفرانسیل در ناحیه جواب توسط یک دستگاه معادله جبری حل می کرد. متداول ترین روش های تفاضلات متناهی برای حل معادله دیفرانسیل جزئی بلک-شولز عبارتند از: روش ضمنی و روش کرانک-نیکلسون. تفاوت این روش ها در سرعت و دقت اجرایی آن هاست. در فرمول بندی مسایل مربوط به معادله دیفرانسیل جزئی سه موضوع اساسی که باید در نظر گرفت عبارتند از: 1)معادله دیفرانسیل جزئی 2)ناحیه ای از مکان-زمان که معادله در آن جا صدق می کند. 3)شرایط اولیه و مرزی مربوط به مساله این پایان نامه به بررسی پایداری روش تفاضلات متناهی برای حل معادله دیفرانسیل جزئی بلک-شولز می پردازد. در این پایان نامه شبه گسسته سازی روی شبکه های غیریکنواخت با استفاده از روش تفاضلات متناهی مرکزی مرتبه دوم، بررسی می شود.

در این پایان‎ نامه, یک روش تحلیلی عددی برای حل معادله دیفرانسیل جزئی خطی و غیرخطی از مرتبه کسری بفرم ‎$ _{t_{0}}‎^{‎c‎}‎ d_{t}^{alpha}u(x,t)=f(x,t,u(x,t)) $‎ با شرط اولیه ‎$ u(x,0)=f(‎x‎) $‎ را بررسی می کنیم که در آن ‎‎_{‎t‎_{0}‎‎}‎^{‎c‎}‎‎d_{t}^{alpha} ‎ مشتق از مرتبه کسری از نوع مشتق کاپوتو و $ ‎‎0<alphaleq 1 $‎ می باشد. در این کار, روش تبدیل دیفرانسیل تعمیم یافته ‎(gdtm) ‎ ‎‎را برای حل مسئله در نظر می گیریم.

روش کریزینگ‎ یک روش ‎‎‏زمین آماری برای درونیابی داده های مکانی است. مدل ریاضی کریزینگ بعد از اینکه آقای کریز ‎(d.g.krige)‎‏ به عنوان اوّلین کسی که نسخه اوّلیه این فرآیند مکانی را معرفی کرد به این نام نامگذاری شد. در این پایان نامه خلاصه ای از روش کریزینگ و برخی از فرمول های اساسی آن را ارائه می دهیم. پس از آن ایده کریزینگ جهانی را معرفی و نشان می دهیم که می توان‎ آن را برای فرموله کردن نوع جدیدی از روش غیر شبکه ای استفاده کرد. در آخر کاربرد هایی از درونیابی کریزینگ در روش غیر شبکه ای بیان و روش غیر شبکه ای کریزینگ جهانی (محلی) که برای ارتعاش آزاد صفحات درجه بندی شده تابعی استفاده شده را بیان می کنیم.

فرض اساسی در مدل بلک-شولز این است که قیمت سهام از یک فرآیند تصادفی (حرکت براونی) پیروی می کند و درصد تغییرات قیمت سهام در یک دوره زمانی کوتاه مدت دارای توزیع نرمال می باشد. پس از کشف حرکت براونی کسری، معادله بلک-شولز کلاسیک به معادله بلک-شولز کسری توسعه یافت. در حالت کلی مدل بلک-شولز کسری، (با استفاده از فرمول ایتو کسری)، یک معادله دیفرانسیل جزئی با پارامتر هارست و در حالت خاص یک معادله دیفرانسیل جزئی کسری نسبت به زمان است. در این رساله مروری بر تغییرات نسبی قیمت سهام در یک بازار بلک-شولز و همچنین ‎یک بازار بلک-شولز کسری با استفاده از روش منت-کارلو انجام شده است.

مسائل خوش طرح ریاضی فیزیک از اهم مسائل ریاضیات کاربردی، فیزیک و مهندسی می باشند. به این دلیل، در این رساله خوش طرح بودن مسائل مقدار مرزی شامل معادلات دیفرانسیل عادی، پاره ای و کسری از نقطه نظر دامنه و تعداد شرایط مرزی با توجه به مرتبه معادله دیفرانسیل مورد بررسی قرار می گیرند. بر این اساس ابتدا به مفاهیم مقدماتی و تعاریف اساسی در فصل اول پرداخته می شود سپس به مسائل مقدار مرزی شامل معادلات دیفرانسیل عادی، پاره ای و کسری از نقطه نظر وجود جواب و یگانگی جواب می پردازیم. این مسائل شامل جملاتی از انتگرال های ولترا و فردهلم هستند و خوش طرح بودن آنها را نقطه نظر تعداد شرایط مرزی و مرتبه معادله دیفرانسیل و همچنین وجود تکینی در انتگرال ها مورد بررسی قرار می گیرند. در ادامه به انواع مختلف معادلات دیفرانسیل پاره ای که مرتبه های آنها می تواند اعداد صحیح زوج و فرد و کسری باشد، پرداخته و شرایط مرزی مناسب برای آنها را تعیین می کنیم. در نهایت مسائل مقدار مرزی شامل معادلات دیفرانسیل پاره ای خود الحاق و ناخودالحاق را در حالت های جداگانه در نظر می گیریم و وجود و یگانگی و محاسبه جواب این مسائل را از روش متغیرهای جدا که شرایط مرزی در آنها بصورت غیر موضعی داده شده است را انجام می دهیم. این مسائل علاوه بر حالت های خود الحاق و ناخود الحاق بطور جداگانه برای حالت ضرایب ثابت مختلط و ضرایب شامل متغیر مورد بررسی و حل قرار می گیرند..