در این پایان نامه نتایجی را که در رابطه با مدول های پروژکتیو گرنشتاین و بعد پروژکتیو گرنشتاین به دست می آید، بررسی می کنیم. هم چنین به اثبات قضایای زیر می پردازیم: (1) فرض کنید ℵ یک کلاس از r- مدول ها باشد که یا حلال پروژکتیوی یا حلال انژکتیوی است. اگر ℵ تحت جمع های مستقیم شمارا یا تحت ضرب های مستقیم شمارا بسته باشد، آن گاه ℵ تحت جمعوند های مستقیم بسته است. (2) کلاس gp(r) ( همه r- مدول های پروژکتیو گرنشتاین ) حلال پروژکتیوی است. به علاوه gp(r) تحت جمع های مستقیم دلخواه و تحت جمعوند های مستقیم بسته است. قضیه ذکرشده در بالا برای مدول های انژکتیو گرنشتاین نیز برقرار است. (3) اگر r نوتری باشد، آن گاه کلاس gf(r) ( همه r- مدول های یکدست گرنشتاین ) حلال پروژکتیوی است. به علاوه کلاس gf(r) تحت جمع های مستقیم دلخواه و تحت جمعوند های مستقیم بسته است.

فرض کنیم g یک گروه باشد و (m_0(g نمایش حلقه ی تقریبی توابع حافظ صفر روی g باشد. در این صورت زیرگروهی از (+,(m_0(g) که توسط (end(g تولید می شود، یک حلقه ی تقریبی است که حلقه ی تقریبی درونریختی های g نامیده می شود و آن را با (e(g و عناصر توزیع پذیر آن را با ((d(e(g نمایش می دهیم. در این پایان نامه مطالب ذیل مورد بررسی قرار می گیرد. 1) برای گروه g ، همواره(end(g زیرمجموعه ی ((d(e(g و ((d(e(g زیرمجموعه ی (e(g می باشد. نشان می دهیم که کلاس همه ی گروه ها با توجه به این که روابط شمول، محض یا غیرمحض در نظر گرفته شوند، به چهار زیرکلاس ناتهی افراز می شوند. 2) با استفاده از نظریه ی حلقه های تقریبی، برای گروه متناهی g مشخصات کاملی از زیرحلقه های تقریبی ماکسیمال (m_0(g ارائه می دهیم. 3) مشخص می کنیم که (e(g در چه صورت به عنوان یک زیرحلقه ی تقریبی از (m_0(g ماکسیمال می باشد. 4) گروه g یک e-گروه است، اگر حلقه ی تقریبی (e(g یک حلقه باشد. ویژگی هایی از e-گروه های متناهی مطرح کرده و سپس بررسی می کنیم که برای e- گروه متناهی g، (e(g در چه صورت به عنوان حلقه در (m_0(g ماکسیمال می باشد.

تمام حلقه ها در این رساله شرکت پذیر یکدار در نظر گرفته شده اند. حلقه ی آرمنداریز r را به این صورت تعریف می کنیم که برای چندجمله ای های (f(x و (g(x در حلقه ی [r[x به طوری که 0=(g(x)f(x نتیجه شود که برای هر i و j، b_ja_i=0 . همچنین توسیع های دیگری از حلقه ی آرمنداریز مانند حلقه های آرمنداریز ضعیف و آرمنداریز پوچ را معرفی کرده و خواص آن ها را مورد بررسی قرار داده ایم. از جمله قضایای اصلی که در این رساله بررسی شده اند، می توان اشاره کرد به این که هر حلقه ی کاهشی، آرمنداریز است. این مطلب توسط شخصی به نام آرمنداریز ثابت شد. همچنین در سال 2006 لیو نشان داد که حلقه ی r آرمنداریز ضعیف است اگر و تنها اگر برای هر n، حلقه ی ماتریس های n*n بالا مثلثی آرمنداریز ضعیف باشد. از دیگر قضایای مطرح شده در این رساله می توان به قضیه ی، i ایده آل آرمنداریز ضعیف حلقه ی r باشد در این صورت [i[x ایده آل آرمنداریز ضعیف حلقه ی [r[x است که توسط دکتر هاشمی اثبات شده اشاره کرد. در نهایت اصلی ترین قضیه ی حلقه های آرمنداریز پوچ را بیان می کنیم. اگر i ایده آل پوچ r باشد، آرمنداریز پوچ بودن حلقه ی r، آرمنداریز پوچ بودن حلقه ی r/i را به صورت دوطرفه ثابت می کند.

فرض کنیم r یک حلقه نوتری باشد، و فرض کنیم a ایده آلی از r باشد که dim ra=1 و m را r-مدولی متناهی قرار می دهیم. آنگاه هم متناهی بودن و بعضی دیگر از خصوصیات مدول های کوهمولوژی موضعی (h_a^i (m را بررسی می کنیم. برای یک ایده آل دلخواه a وr-مدول دلخواه m که متناهی فرض نمی شود، مدول های کوهمولوژی موضعی آرتینی را مشخص می کنیم. و همچنین، مجموعه اول های هم وابسته مدول های کوهمولوژی موضعی روی حلقه های موضعی را توصیف خواهیم کرد.

فرض کنید r یک حلقه وi یک ایده آل از آن باشد تساوی i^2=qi برای هر ایده آل پارامتری q مشمول توان به اندازه کافی بزرگ از ایده آل ماکسیمال m که برقرار است. اگر q ایده آل m-اولیه در یک حلقه موضعی r و یک نمایش مجزا از q به عنوان یک اشتراک تحویل ناپذیر از ایده آل های m-اولیه باشد اندیس تحویل پذیری q را به صورت (n(q,r تعریف می کنیم با در نظرگرفتن r به عنوان حلقه موضعی کوهن - مکولی تعمیم یافته در پی یافتن پاسخ دو سوال زیر هستیم 1.آیا اندیس تحویل پذیری مستقل از انتخاب q است؟ 2.در صورتی که باشد تحت چه شرایطی تساوی برقرار است . کلمات کلیدی : مدول کوهن-مکولی تعمیم یافته ، حلقه مقدار گسسته حوزه کرول ،اندیس تحویل پذیری، حلقه کرنشتاین ،ایده آل کاهشی وسکل.

در این پایان نامه به بررسی رابطه بین مدول های خالی از تاب و تصویری می پردازیم وشرایطی را بیا می کنیم که تحت این شرایط یک مدول خالی از تاب تصویری می شودو هر بار سعی داریم شرایط را قوی تر کنیم تا زمینه را برای اثبات حدس تصویری گرنشتاین فراهم کنیم.حدس تصویری گرنشتاین حالت خاصی از تعمیم حدس ناکاماست که هنوز به عنوان مساله باز باقی مانده است.

به بررسی مدول ها و همبافت های تصویری و انژکتیو گرنشتاین می پردازیم. هم چنین پوش (پیش پوش )، پوشش (پیش پوشش) را تعریف و رابطه ی آن ها با مدول ها و همبافت های گرنشتاین را بیان می کنیم. به علاوه رابطه ی بین مدول ها و همبافت های انژکتیو گرنشتاین را بررسی می کنیم. ثابت می کنیم که اگر r یک حلقه ی نوتری چپ باشد، آن گاه همبافت c متشکل از r-مدول های چپ انژکتیو گرنشتاین است اگر و تنها اگر برای هر c^{m}-ها، مدول های انژکتیو گرنشتاین باشند. ابعاد تصویری (انژکتیو) گرنشتاین مدول ها و همبافت ها را نیز تعریف و خواصی از آن ها را مطرح می کنیم. هم چنین رابطه ی بین ابعاد انژکتیو گرنشتاین مدول ها و همبافت ها را روی حلقه های نوتری چپ مورد بررسی قرار می دهیم.

حلقه ی پوچ-انژکتیو تعمیمی خاص از حلقه ی به طور اصلی انژکتیو است. همچنین حلقه ی تقریبا پوچ-انژکتیو، تعمیمی از حلقه های تقریبا به طور اصلی انژکتیو و تقریبا min-انژکتیو می باشد. در این پایان نامه، ضمن معرفی ساختار جبری این حلقه ها، خواص و ویژگی های آنها را نیز مورد بررسی قرار می دهیم. به عنوان مثال خواص زیربرقرار است: در حلقه های تقریبا پوچ-انژکتیو راست، اگر ایده آلی با مولد پوچ توان، تصویری باشد، مولد آن خودتوان است. رادیکال اول حلقه ی تقریبا پوچ-انژکتیو، زیر مجموعه ی ایده آل منفرد راست آن است. اگر حلقه ی تقریبا پوچ-انژکتیو، ni نیز باشد، آنگاه مجموعه ی عناصر پوچ توان آن زیرمجموعه ی ایده آل منفرد راست آن است. از جمله مباحث دیگری که در این رساله به آن می پردازیم، منظم بودن حلقه ی تقریبا پوچ-انژکتیو است. اگر شرط زوج-گوسی راست بودن نیز اضافه شود، معادل بودن گزاره های زیر اثبات می شود. • هر r-مدول راست، تقریبا پوچ-انژکتیو است. • هر r-مدول دوری راست، تقریبا پوچ-انژکتیو است. • هر r-مدول ساده راست، تقریبا پوچ-انژکتیو است. • هر عضو از عناصر پوچ توان r، قویا منظم است. • حلقه ی n، r-منظم است.

در این پایان نامه حلقه ها شرکت پذیر و یکدار هستند وهرجا که حلقه جابجایی باشد، ذکر می کنیم. ما به بررسی پوچ سازهای یک حلقه و حلقه ی چندجمله ای روی آن می پردازیم و نشان می دهیم رابطه ی دوسویی بین مجموعه ی پوچ سازهای یک حلقه و حلقه ی چندجمله ای روی آن وجود دارد اگر و فقط اگر حلقه، آرمنداریز باشد. همچنین رابطه ی دوسویی بین مجموعه ی پوچ سازهای ایده آل های یک حلقه و حلقه ی چندجمله ای روی آن وجود دارد اگر وفقط‍ اگر حلقه، شبه آرمنداریز باشد. بدین منظور به معرفی حلقه های آرمنداریز و شبه آرمنداریز می پردازیم وخواص آنها را بیان کرده و ارتباط آنها را با حلقه های دیگر نشان می دهیم و شرایطی را که تحت آن یک حلقه شبه آرمنداریز می شود، مورد بررسی قرار می دهیم.

زیرمدول های اول و اولیه تعمیمی از ایده آل های اول و اولیه در نظریه ی حلقه ها هستند. در این رساله سعی داریم به معرفی این زیرمدول ها و بررسی خواص آنها بپردازیم. سپس تعریفی از زیرمدول ثانوی، مدول ثانوی و ثانویه را ارائه دهیم. ثابت خواهیم کرد که زیر مدول اول ماکزیمال و اولیه ماکزیمال با هم معادلند. همچنین در مقایسه مدول اول و ثانوی این نتیجه را به دست خواهیم آورد که یک مدول آرتینی متناهی مولد، اول است اگر و تنها اگر ثانوی باشد. در ادامه بعد از تعریف مدول ضربی و هم ضربی و بررسی خواص اولیه آنها، ثابت خواهیم کرد تعداد زیرمدول های ثانوی از یک مدول هم ضرب، متناهی است. همچنین شرطی برای تساوی دو زیرمدول اول از مدول ضربی را ارائه خواهیم داد. در فصل پایانی ابتدا به معرفی زیرمدول اشباع شده خواهیم پرداخت و درباره ی اول یا اولیه بودن آن بحث خواهیم کرد. همچنین به معرفی مدول کاملا اول پرداخته و این تعریف را طی قضایایی به مدول های خارج قسمتی و مدول کسرها تعمیم خواهیم داد. بعد از بررسی خواص این مدول ها، به بررسی زیرمدول اول از مدول های کاملا اول خواهیم پرداخت.

چکیده -مدول جمع مستقیم r در قضیه ی گوته و کوهن و کاپلانسکی ثابت شده است که هر حلقه ای آرتینی و ایده آل اصلی باشد. به طور r مدول های دوری است اگر و فقط اگر طبیعی این سوال جالب مطرح می شود که اگر فرضکنیم هر ایده آل حلقه جمع مستقیمی از مدول های دوری است آیا بازهم این ویژگی برقرار است؟ هدف پاسخگویی به این سوال جمع مستقیم متناهی ازحلقه های نوتری موضعی جابجایی باشد. r است در حالتی که هر ایده آل اول به صورت جمع مستقیمی از r بعلاوه فرض می کنیم در حلقه جابجایی به صورت حاصلضرب مستقیم تعداد متناهی از r مدول های دوری است و در حالتی که حلقه های موضعی جابجایی باشد، ساختار این حلقه ها تعریف شده است. به خصوص در حالتی که حلقه های موضعی است، ساختار این حلقه ها کاملاً تعریف شده است. در حالت ، چهار شرط معادل زیر را نشان می دهیم : (r;m) خاص برای حلقه ی موضعی -مدول های دوری است. r ، جمع مستقیمی از r هر ایده آل اول حلقه ی (i ، حلقه ی ایده آل اصلی است. r=ann(w) 2 و برای هر m= ? 2 rw (ii -مدول دوری است. r ،jj جمع مستقیمی از حداکثر r هر ایده آل اول (iii -مدول های دوری است. r جمعوندی از جمع مستقیمی از r هر ایده آل اول (iv بعلاوه قضیه ای را مطرح می کنیم که نشان می دهد برای آنکه هر ایده آل اول در حلقه نوتری موضعی جمع مستقیم از ایده آل های اصلی باشد تنها کافی است که ایده آل ماکسیمال آن را بررسی کرد. می باشند. [?] و [?] ،[?] مقاله های اصلی برای تهیه این پایان نامه مراجع واژه های کلیدی : مدول های دوری، حلقه های موضعی، ایده آل های اول، حلقه های گوته و حلقه های ایده آل اصلی.

زیرمدول های اول و اولیه تعمیمی از ایده آل های اول و اولیه در نظریه ی حلقه ها هستند. در این پایان نامه تعریفی از زیرمدول ? -اول، زیرمدول تقریباً اولیه، ایده آل ? -اولیه و زیرمدول? –اولیه کلاسیک را ارائه می دهیم و سپس خواص و ویژگی های آنها را بررسی می کنیم.ثابت خواهیم کرد که اگرn یک زیر مدول ? -اول از m با شرط(n :r m) * ?(n)آنگاه یک زیرمدول اول است. همچنین نشان می دهیم در صورتی کهi یک ایده آل? -اولیه ازr باشرط i2 * ?(i) آنگاه i یک ایده آل اولیه خواهد بود و برای زیرمجموعه بسته ی ضربیs از r بررسی می کنیم که اگرn یک زیرمدول? -اول ازm چنان باشد که s?1m ?= s?1n و s?1(?(n)) ? s?1?(s?1n) آنگاهs?1n یک زیرمدولs?1? - اول است و بطور مشابه نیز نشان می دهیم که اگرiیک ایده آل ? -اولیه باشد به طوری که (s?1?(i) ? s?1?(s?1iو ? ??i ?s آنگاه s?1i یک ایده آلs?1? -اولیه است. همچنین در این پایان نامه ویژگی هایی از ضرب دکارتی مدول ها را برای زیرمدول های? -اول, زیرمدول های تقریباً، ایده آل های? -اولیه و ایده آل های تقریباً اولیه بررسی کرده و اثبات می نمائیم. در پایان نیز ثابت کرده که زیرمدول? -اول کلاسیک و زیرمدول? -اولیه کلاسیک تعمیمی از زیرمدول? -اول می باشند.

ما در این پایان نامه ابتدا به بررسی عناصر منظم ون نیومن، موضعی ون نیومن وتمیز در یک حلقه و رابطه این عناصر با یکدیگر می پردازیم. هم چنین اگر یک حلقه شامل عناصر منظم ون نیومن باشد، در این صورت دارای یک ایده آل منظم ماکزیمال است. وجود این این ایده آل ماکزیمال در سال 1950 توسط براون و مک کوی نشان داده شده است. هدف ما در این پایان نامه مشخص کردن این ایده آل منظم ماکزیمال در چند حلقه جابجایی می باشد که عبارتند از: حلقه های موضعی ون نیومن و موضعی ون نیومن قوی، حلقه های چندجمله ای و سری توانی و حلقه ای که حاصل ضربی از حلقه های موضعی باشد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.