اگر p نمایش خاصیتی روی رده ی فضاهای باناخ باشد، گوییم p یک خاصیت دوگان است، هرگاه از دوگان هر فضای باناخ به خود فضا به ارث برسد. مسئله ای را که به بررسی خاصیت دوگان روی فضاهای باناخ می پردازد، به مسئله ی دوگان می شناسیم. همچنین p را یک خاصیت سه فضا گوییم، هرگاه برای هر فضای باناخ x و هر زیرفضای بسته ی m از x، اگر دو تا از سه فضای باناخ x، m و فضای خارج قسمتی x/m دارای خاصیت p باشند، آنگاه سومی نیز این خاصیت را داشته باشد. مسئله ای که به بررسی خاصیت سه فضا روی فضاهای باناخ می پردازد، به مسئله ی سه فضا معروف است. در فصل اول به بیان بعضی از تعاریف و قضایای مقدماتی مورد نیاز و در فصل دوم به بررسی مسائل دوگان و سه فضا روی برخی از مفاهیم کلاسیک فضاهای باناخ مانند خاصیت انعکاسی، جدایی پذیری، خاصیت شور و ... می پردازیم. در فصل سوم خاصیت های w^*d و bw^*d را برای فضای دوگان *^x از فضای باناخ x معرفی می کنیم و به کمک آن مسائل دوگان و سه فضا را برای برخی از انواع خاصیت های تقریب و تقریب فشرده حل می کنیم و علی رغم آنکه خواص تقریب فشرده و تقریب فشرده کران دار در فضاهای باناخ در حالت کلی در هیچ کدام از مسائل دوگان و سه فضا صدق نمی کنند، نشان خواهیم داد که خواص w^*d و bw^*d یک شرط کافی برای برقراری آن ها است.

معادله تابعی، معادله ای است که یک تابع را به شکل ضمنی تعیین می کند و در آن ضابطه ی تابع به صورت صریح مشخص نمی شود. مسئله ی پایداری معادلات تابعی هنگامی مطرح می شود که معادله ی تابعی را با نامعادله ای که به عنوان یک اختلال معادله عمل می کند جایگزین کنیم. در واقع، مسئله ی پایداری معادلات تابعی این طور مطرح می شود که چگونه جواب های معادله ای که اختلاف آن از جواب های یک نامعادله داده شده ناچیز است را به دست آوریم. در این پژوهش، با استفاده از قضیه انقباض باناخ تعمیم یافته در فضاهای متریک تعمیم یافته ی کامل، مسئله ی پایداری برخی از معدلات تابعی به ویژه پایداری معادله ی تابعی کوشی بررسی می شود.

در این پایان نامه به حل یک مسأله ریاضی پرداخته شده است. یعنی اثبات می شود که زیر مجموعه ای از فضای باناخ x متشکل از تمام نقاط x عضوx که برای آن ها مسأله مینیمم سازی ، "خوش رفتار" است، یک زیر مجموعه "مانده" از x است. در فصل دوم از مفهوم "پیمانه تحدب" کمک گرفته شده است. در حالی که در فصل سوم تحت مفروضاتی متفاوت راه حلی متفاوت ارائه می گردد. نتایج فرعی دیگری نیز بدست می آید. همچنین نشان داده می شود که مفروضات ذکر شده علاوه بر"کافی" بودن "لازم" نیز می باشند.

در این پایان نامه شرایط لازم و کافی برای تساوی مثلثی در پیش هیلبرت *c-مدول ها را مورد بررسی قرار داده ایم. در فصل اول تعاریف مقدماتی را بیان کرده و در فصل دوم به بررسی مفهوم برد عددی و قضایایی در این مورد که در فصل های بعدی به کار می آید، پرداخته ایم. در فصل سوم تساوی مثلثی را در فضاهای نرمدار مورد بحث قرار داده ایم و یک حالت ضعیف تر از آن که معادله دگاوه روی فضاهای نرمدار مختلف است را بیان کرده ایم، در پایان، در فصل چهارم به بررسی تساوی مثلثی در پیش هیلبرت مدول ها پرداخته و کاربردهایی از آن بیان می شود.

در این پایان نامه قضایای نقطه ثابت تقریبی و نقطه انطباق در فضای b-متریک بررسی می شود. در فصل اول به بیان نقطه ثابت و مقدمات و پیش نیاز هایی که مورد نیاز در فصول بعد است، می پردازیم. فصل 2 شامل قضایی از نقطه ثابت روی سه فضای متریک است و به دنبال شریطی هستیم که تحت آن ترکیب سه نگاشت دلخواه دارای نقطه ثابت باشند. در فصل 3 که مهمترین فصل می باشد، با معرفی فضای b-متریک، به قضایی از نقطه ثابت تقربی روی این فضا می پردازیم. در پایان با بیان نقطه انطباق، قضیه ای از نقطه انطباق روی فضای b-متریک می پردازیم.

در این پژوهش به بررسی خواص نقطه ثابت برای نیم گروه‎‎های چپ معکوس پذیر در - فضاهای وابسته به جبرهای وان-نیومن‏ می پردازیم. به خصوص کلاس همه عملگرهای کلاس اثر‏، همچنین جبرهای باناخ وابسته به گروه های به طور موضعی فشرده مورد توجه قرار می گیرند. برایرسیدن به این منظور ابتدا در فصل اول خاصیت نقطه ثابت و ساختارهای نرمال و نرمال ضعیف در فضاهای باناخ و در نیم گروه های چپ معکوس پذیر را مطرح کرده و به اختصار به مبحث عملگرهای کلاس-اثر و جبرهای وان-نیومن می پردازیم. در فصل دوم به اثبات چند قضیه مهم مربوط به دنباله های به طور مجزا محمل دار می پردازیم و با استفاده از آن ها ثابت می کنیم که عملگرهای کلاس-اثر خاصیت نقطه ثابت ضعیف ستاره برای نیم گروه های چپ معکوس پذیر دارد. در فصل سوم ابتدا تعاریف و قضایای مربوط به جبرهای فوریه وفوریه اشتیلیس رابیان می کنیم و سپس شرایط لازم وکافی برای این که جبرهای فوریه و فوریه اشتیلیس خاصیت نقطه ثابت ضعیف برای نیم گروه های چپ معکوس پذیر داشته باشند را به دست می آوریم. در فصل چهارم مفهوم توپولوژی اندازه برای عملگرهای اندازه پذیر را معرفی کرده و در پایان خواهیم دید که یک زیر مجموعه محدب و کراندار از -‎فضاهای وابسته به جبرهای وان-نیومن که نسبت به توپولوژی اندازه فشرده است‏، خاصیت نقطه ثابت برای نیم گروههای چپ معکوس پذیر را دار‎د.

در این پایان نامه به بررسی نامساوی های تابعی جمعی در باناخ-مدول ها می پرذازیم. در فصل اول مفاهیم مورد نیاز از باناخ-مدول ها و *c-جبرها را آورده ایم. در فصل دوم پایداری معادلات تابعی ارائه شده است.در فصل سوم نامساوی های تابعی جمعی را در باناخ-مدول ها روی یک *c-جیراثبات می کنیم. به علاوه این نتایج برای رسیدگی به همریختی ها در جبرهای باناخ مختلط و اثبات پایداری هایرز اولام تعمیم یافته همریختی ها در جبرهای باناخ مختلط مورد استفاده قرار می گیرد. در نهایت در فصل چهارم نامساوی های تابعی کوشی-جنسن را در باناخ-مدول ها روی یک *c-جبر بررسی می کنیم و پایداری هایرز اولام تعمیم یافته ی نگاشت های خطی مربوط به آن را در باناخ-مدول ها روی یک *c-جبر اثبات می کنیم.

وجود زیرفضاهای پــایا‏، نسبت به خانواده ای از عملگرهای کراندار روی فضای هیلبرت جدائی پذیر با‎‎ بعد‎‎ نامتناهی‏، را مسئله زیرفضاهای پــایا گوییم که یک مسئله بــاز در نظریه عملگرها می باشــد. تلاش برای حل این مسئله‏، نظریه عملگرها را در بحث وجود زیرفضاهای پــایا به چالــش و تکاپو در آورده است‏. در این راستا‏، قضایای نقطه ثابت، به‎ عنوان ‎‏یک ابزار کلیدی در این تلاش نقش به سزائی بر عهده داشته است. اهمیت این قضایا از دیرباز تا امروز، در کاربردهایش می باشــد که یکی از کاربردهای آن‏، حل برخی مسائل پیرامون بحث وجود زیرفضاهای پــایا است که محتوای این پژوهش‏، بیان این کاربرد است. در این تحقیق روی آن قسمت هایی از سیر تکاملی حل مسئله مذکور‏، متمرکز می شویم که در بیان راه کار‏، مستقیماً از قضایای نقطه ثابت استفاده شده است. اثبات وجود زیرفضاهای پــایا تحت هر عضو یک زیرجبر از جبر عملگرهای کراندار روی فضای باناخ که شامل عملگرهای فشرده می باشد‏، یکی از این موارد است که به آن می پردازیم. سپس روی وجود زیرفضای پــایا تحت عملگرهای اساساً نرمال تمرکز می کنیم. در ادامه قضیه برنساید که دلالت بر وجود زیرفضاهای پــایا غیربدیهی تحت یک عملگر کراندار روی فضای ‏باناخ با بعد متناهی دارد را به فضاهای هیلبرت‏، باناخ و شبکه باناخ تعمیم می دهیم. همچنین می بینیم که حل معادله عملگری ریکاتی ارتباط مستقیم با وجود زیرفضاهای پایا تحت عملگرهای ماتریسی روی فضای کرین دارد که در این تحقیق به آن نیز پرداخته ایم.

هدف اصلی این پایان نامه تجزیه و تحلیل ساختار طبقه بندی مدول های تصادفی نرم دار است. بنابراین در ابتدا تحدب تصادفی اکید و یکنواخت در مدول های تصادفی نرم دار را معرفی می کنیم، سپس روابط مخصوص به رده بندی تحدب اکید و یکنواخت را ثابت می کنیم. بعلاوه موضوعات مهمی مانند نظریه مزدوج تصادفی و بهترین تقریب را ارائه می دهیم.

در این پژوهش به مطالعه اندازه ها ی غیرتحدبی دارای خاصیت کانتور و اندازه غیرفشردگی می پردازیم و با استفاده از این مفاهیم به دنبال برقراری شرایطی هستیم که با حذف تحدب دامنه نگاشتهای متراکم، ناانبساطی و طولپا به وجود نقطه ثابت آن ها منجر شود. در این راستا فصل اول را به مفاهیم مقدماتی مورد نیاز از جمله نگاشت های لیپ شیتز و ساختار نرمال اختصاص داده ایم. در فصل دوم به قضایایی از نقطه ثابت روی نگاشت های ناانبساطی و طولپا با در نظر گرفتن شرط تحدب دامنه این نگاشت ها پرداخته می شود. در فصل سوم مفهوم اندازه غیرتحدبی و خاصیت کانتور را معرفی کرده و در فصل چهارم مفهوم اندازه غیرفشردگی و ارتباط آن با اندازه غیرتحدبی را بیان می نماییم. در فصل آخر با استفاده از ‎خاصیت‎‎‎ c روی نگاشت های متراکم و ناانبساطی شرط تحدب دامنه این نگاشت ها را حذف می کنیم و با استفاده از مفاهیم مرکز چبیشف و شعاع چبیشف روی نگاشت های طولپا‏، شرایطی را برقرار می کنیم که بدون نیاز به تحدب دامنه این نگاشت ها‏، وجود نقطه ثابت این نگاشت ها‏، حاصل شود.

در این رساله مسئله نزدیکترین نقطه و دورترین نقطه در مشبکه های باناخ مورد بررسی قرار می گیرد. مسئله مشخص سازی نقاط بهترین تقریب به کمک همریختی های مشبکه را مطرح و این مسئله را روی ایده آلها و زیرمجموعه های صلب مورد بررسی قرار می دهیم. مسئله بهترین تقریب تسلطی و بیان شرایطی که مشتق پذیری نگاشت فاصله و پیوستگی نگاشت تصویر را تضمین کند مطالبی دیگری است که در این رساله بررسی می شود. همچنین مسئله دورترین نقاط تسلطی را تعریف و به بررسی این مسئله در مشبکه های باناخ می پردازیم. رابطه بین انواع یکنوایی و جواب های منحصر بفرد مسئله دورترین نقاط تسلطی از جمله مسائلی است که مورد بررسی قرار می گیرد.

قاب ها در فضاهای هیلبرت و باناخ اختصاص دارد. بعد از g این تحقیق به قاب های ترکیبی و بیان مقدمات و ارائه ی مفاهیمی، رفتار قاب های ترکیبی تحت عملگرهای کراندار و با برد بسته را مورد مطالعه قرار می دهد و نشان می دهد که هر قاب ترکیبی تصویری از پایه ی ترکیبی متعامد تحت عملگرهای ترکیب (کراندار و پوشا) است. -قاب ها و دوگان متبادل آن ها می پردازد و نشان داده g همچنین به بررسی برخی نتایج برای -قاب ها تحت آشفتگی های کوچک پایدارند و در ادامه ثابت می شود که g -قاب ها و دوگان g می شود که -قاب ها تحت آشفتگی های کوچک و عملگرهای معکوس پذیر g در فضاهای باناخ نیز قاب های ترکیبی و پایدارند و در نهایت پایداری قاب های ترکیبی تحت آشفتگی عملگر یا به عبارت دیگر آشفتگی عملگر از قاب های ترکیبی در فضاهای هیلبرت را مورد بررسی قرار می دهد.

تبدیل درخت دوتایی موجک مختلط دارای خاصیت نامتغیر بودن نسبت به جابجایی مکانی بوده و انتخابگری جهت دار بهتری در مقایسه با تبدیلات ویولت گسست? مرسوم ارائه می کند. دسته جدیدی از جفت موجک های هیلبرت که قابل استفاده در درخت دوتایی ‎(دودرختی)‎ است، در اینجا ارائه می گردد. این جفت های هیلبرت دقیقاً متعامد و در عین حال تقریباً متقارن می باشند. از این رو، از هر دو مزیت موجک های متعامد و تعامد طرفینی برخوردار است. تقارن در موجک ها اهمیت شایانی در بسیاری از کاربردها دارد، چرا که انتخابگری جهتدار را در اختیار ما می گذارد. یک روش طراحی کارآمد و منعطف برای طراحی این جفت های هیلبرت جدید پیشنهاد شده است. این روش پیشنهادی به راحتی این امکان را به طراح می دهد تا بین درجه‎‎ تقارن و کیفیت تجزیه ای رابطه ای برقرار کند. فیلترهای موجک طراحی شده دارای پاسخ فرکانس مناسب و تأخیر گروهی مسطح است و به تقریب خوبی به شرط تأخیر نیم نمونه می رسد که برای کیفیت مطلوب تحلیلی (تجزیه ای) لازم است

چکیده بر اساس تعریف مجموعه های l- محدود و عملگرهای کاملاً پیوسته محدود در فضاهای باناخ مجموعه های تقریبا -l محدود و عملگرهای کاملاً پیوسته تقریبا محدود مجزا در مشبکه های باناخ را تعریف کرده و برخی از خواص آن ها را بررسی می کنیم. همچنین شرایطی را پیدا می کنیم که تحت آن ها دو مجوعه ی l- محدود و تقریبا -l محدود یکسان هستند. همچنین خواص گلفاند-فیلیپس قوی ، دانفورد-پتیس فشرده ی نسبی قوی ، شور ، دانفورد-پتیس ضعیف و برخی از عملگرها را در مشبکه های باناخ بررسی می کنیم.

لونر و هاینز در یک مقاله مشترک نشان دادند که برای هر دو عملگر مثبت a و b روی یک فضای هیلبرت h، اگر a ? b ? 0، آنگاه برای هر اسکالر 0 ? ? ? 1، نامساوی عملگری a? ? b? نیز برقرار است. پس از آن این نامساوی مورد توجه بسیاری از آنالیزدانان قرار گرفت و کاربردها و تعمیم های متعددی از آن به دست آمد. در این پژوهش، نامساوی فوروتا به عنوان تعمیمی از نامساوی لونر-هاینز مورد بررسی قرار می گیرد. سپس کاربردهایی از آن به دست می آید. به خصوص تعمیمی از معادله عملگری سیلوستر و نیز تعمیم هایی از نامساوی های عملگری شناخته شده به عنوان کاربردی از نامساوی فوروتا به دست می آیند.