نیاز های محاسباتی بشر در دو زمینه علمی و تجاری به سرعت رو به رشد است . حل مسایل حجیم در کامپیوتر هایی که فقط یک پردازشگر دارند به دو دلیل غیر ممکن است : الف : فضای حافظه ای که میخواهیم به یک پردازشگر تخصیص دهیم محدود است ب : زمان محاسباتی که برای حل مسایل مورد نیاز است کاربردی نیستند یکی از راههایی که می توان یک مسئله را سریع تر حل کرد این است که آن را به قسمت های جدا گانه ای تقسیم کنیم که بطور همزمان حل شوند . پردازش مسایلی که قابلیت تفکیک به اجزاء را دارند پردازش موازی نامیده میشود. پردازش موازی با افزایش تعداد پردازشگر ها و ارائه سیستم ارتباطی موثر بین آن ها راه حل بسیار موثری برای حل این مشکل ارائه می کند . در این رساله برخی از خصوصیات محاسبات موازی مورد بررسی قرار گرفته است.

در این رساله، روش های انتگرال گیری عددی روی نواحی چندضلعی و روش های عددی برای حل معادلات انتگرال برروی این نواحی را بررسی و سپس یک روش عددی جدید برای حل این نوع معادلات انتگرال اعم از خطی و غیرخطی،ارائه می دهیم. روش اشاره شده دارای مزایایی همچون عدم نیاز به افراز ناحیه ی چندضلعی، عدم پیچیدگی محاسباتی و دقت مناسب می باشد. همچنین همگرایی روش مذکور را اثبات و تعدادی نتایج عددی نیز در رساله بررسی شده است.

در این پایان نامه یک مسأله شامل معادله دیفرانسیل جزیی ازنوع سهموی با شرایط اولیه و کرانه ای در نظر گرفته می شود. در معادله مورد نظر یک تابع مجهول بر حسب متغیرزمان در خواص فیزیکی مسأله استفاده شده است. این مسأله بد وضع است. برای یافتن جواب تقریبی توابع کاردینال چبیشف انتقال یافته به کار گرفته شده اند. به دنبال آن ماتریس عملگر مشتق را به کار برده و مسأله را به یک دستگاه ازمعادلات جبری تبدیل می کنیم. در آخر این الگوریتم را برای چند مثال عددی مورد آزمایش قرار می دهیم.

در این پایان نامه، روش های عددی برای حل معادله ی sine-gordon غیر خطی یک بعدی بررسی و سپس یک روش جدید مبنی بر به کار گیری روش های تفاضل متناهی فشرده و رانگ-کوتای-نیستروم ضمنی قطری (dirkn) به ترتیب برای گسسته سازی مشتق مکانی و زمانی ارائه شده است. روش اشاره شده برای هر دو متغیر مکانی و زمانی از مرتبه ی چهار دقیق و دارای مزایایی همچون تولید ماتریس خوش شرط و بدون هیچ شرطی پایدار می باشد. همچنین خوش وضعی مسئله را نیز مورد بررسی قرار می دهیم

روش عناصرطیفی(sem)روش عددی مرتبه بالایی برای حل معادلات دیفرانسیل است که دقت روش های طیفی را با انعطاف پذیری هندسی روش عناصرمتناهی ترکیب می کند. در این پایان نامه ساختار روش عناصرطیفی برای معادلات انتشار موج یک و دو بعدی بیان شده است که در آن از فرمول ضعیف معادله مورد نظر روی شبکه ای از عناصر و با به کارگیری شرط مرزی نیومن استفاده می شود. مدل دامنه با استفاده از درونیاب های لاگرانژ مرتبه بالا گسسته سازی شده است و انتگرال گیری روی عناصر بر پایه ی قاعده انتگرال گیری گاوس-لوباتو-لژاندر انجام می شود. این گونه ترکیب گسسته سازی و انتگرال گیری به یک ماتریس جرم قطری منجر می شود که الگوریتم مورد نظر را بسیار ساده می کند.

در این پایان نامه به حل برخی معادلات انتگرال-دیفرانسیل پرداخته می شود. در فصل اول برخی تعاریف و قضایای اولیه مورد نیاز در فصل های آتی بیان می شود. در فصل دوم به طور مختصر در مورد حساب دیفرانسیل و انتگرال کسری صحبت می کنیم، انتگرال ریمان-لیوویل کسری را تعریف کرده و همچنین به تعریف برخی مشتق های کسری از جمله مشتق کسری ریمان-لیوویل و مشتق کسری کاپوتو می پردازیم. در فصل سوم وجود ویکتایی جواب در معادلات انتگرال- دیفرانسیل معمولی و وجود جواب در معادلات انتگرال-دیفرانسیل کسری با مشتق کسری کاپوتو اثبات می شود. همچنین در این فصل کنترل پذیری این گونه معادلات از مرتبه کسری اثبات می شود. در فصل چهارم به معرفی سه روش تبدیل دیفرانسیل، اختلال هموتوپی و تکرار تغییراتی می پردازیم و همچنین در این فصل همگرایی روش تکرار تغییراتی نیز اثبات می شود. و در نهایت در فصل پنجم به حل دو نوع معادله انتگرال- دیفرانسیل معمولی فردهلم وکسری ولترا با استفاده از سه روش مذکور در فصل چهارم می پردازیم . نتایج عددی حاصل از حل معادلات با استفاده از این سه روش در جدول هایی آورده می شود. نتایج حاصل حاکی از کارایی و دقت بالای روش ها دارد.

تحقیقات اخیر روی روشهای عددی‏، بر ایده استفاده از روشهای بدون شبکه‎{meshfree methods}‎ برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی تاکید‏ می کند. یکی از ویژگی های رایج همه روشهای بدون شبکه، توانایی آنها در ساخت تقریب تابع، تنها با استفاده از اطلاعاتی در یک مجموعه از داده های پراکنده می باشد. تعدادی از روشهای بدون شبکه عبارتند از: روش هیدرودینامیکهای ذره ی هموار‎{smooth particle hydrodynamics method} ‎، روش المان پراکنده‎{diffuse element method} ‎، روش گلرکین المان آزاد‎{element-free galerkin method} ‎، روش هسته باز سازنده‎{reproducing kernel particle method} ‎، روش افراز واحد‎{partition of unity method} ‎، روش {hp-clouds} ، روش پترو-گلرکین موضعی بدون شبکه{meshless local petrov–galerkin method} ، روش تفاضلات متناهی ‎{ ‎f‎inite differences} ‎، روش پترو-گلرکین موضعی بدون شبکه مستقیم‎{direct meshless local petrov–galerkin method} ‎} و روش معادله انتگرال مرزی تقابل دوگانی ‎{dual reciprocity boundary integral method} ‎.‎ در چند سال اخیر گروه دیگری از روشهای بدون شبکه که بر اساس توابع پایه ای شعاعی تولید می شوند، برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی توجه بیشتری را به خود جلب کرده اند. در ابتدا توابع پایه ای شعاعی برای درونیابی داده ها ‏در توابع چندمتغیره مطرح شدند. به هر حال، ویژگی بدون شبکه بودنشان انگیزه ای شد تا محققان از آنها برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده کنند. کانزا‎{e.‎ ‎j‎. ‎kansa} ‎، اولین کسی بود که از این توابع برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده کرد ‏و نام روش خود را توابع پایه ای شعاعی سراسری‎‏‎globally radial basis function‎}‎} نامید‎‎. چون ماتریس ضرایب روش کانزا متقارن نبود لذا فشیئور‎{g.‎ ‎e‎. ‎fasshauer} ‎ روش نوع هرمیت را برای تضمین تقارن ماتریس ضرایب ارائه کرد. ماتریس ضرایب متقارن، حل پذیری معادلات خطی مربوطه را تضمین می کند. ‎‏روش‎ های کانزا و فشیئور به طور مستقیم عبارتی از تقریب تابع بوسیله توابع پایه ای شعاعی را در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی جایگزین می کنند. اما شو ‎{shu}‎‎‎‏ و همکاران در سال 2003‏ میلادی نوع دیگری از روش های مبتنی بر ‎{rbf}‎‏ را با بهره گیری از ایده انتگرال گیری دیفرانسیلی {differential quadrature}‎‎مطرح کردند ‏و نام آن را انتگرال گیری دیفرانسیلی بر اساس توابع پایه ای شعاعی برگزیدند. بر خلاف روش کانزا این روش مشتق تابع در یک نقطه را بوسیله ترکیب خطی از همه مقادیر تابع در کل دامنه تقریب می زند. هر دو روش در کنار مزیت های زیادی که دارند، دارای معایبی نیز می باشند که استفاده عملی از آنها را دچار مشکل کرده است. عددحالت ماتریس درونیاب این روش ها با افزایش تعداد نقاط گرهی به سرعت رشد می کند. همچنین، هزینه محاسبات این روش برای مسائل بزرگ بسیار زیاد است. برای رفع این مشکلات تکنیکهای متعددی ارائه شد که یکی از آنها استفاده از روشهای موضعی براساس توابع پایه ای شعاعی می باشد. یکی از روشهای موضعی، روش انتگرالگیری دیفرانسیلی موضعی براساس توابع پایه ای شعاعی می باشد که توسط خود شو در همان سال 2003 ارائه شد. این روش در واقع مشتق تابع در یک گره بصورت یک ترکیب خطی از مقادیر تابع در گرههای مجاور گره مورد نظر بیان می شود. همچنین برای کاهش عدد حالت ماتریس درونیاب اخیراً خانم پازوکی به همراه شابک‎‎{schaback} ‎‎‏ تکنیک تغییر پایه را مطرح کردند‎‎‎‎‎ . در ادامه این فصل به بیان تعاریف اولیه می پردازیم. در فصل دوم جنبه های مختلف توابع پایه ای شعاعی برای تقریب تابع را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل سوم اصول روش های مبتنی بر توابع پایه ای شعاعی برای حل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی ارائه می گردد. پیاده سازی این روش ها برای حل عددی معادله ساین گوردون‎‎{sine-gordon}‎‎‏ در فصل چهارم بررسی و نتایج عددی تحلیل می شوند. نتیجه گیری در فصل پنجم مطرح می شوند.

در این رساله قصد داریم الگوریتمهایی مبتنی بر تاو محاسباتی را برای معادلات کاربردی بگونه ای طراحی و استخراج کنیم که در مقایسه با دیگر روشها از سرعت و دقت قابل توجهی برخوردار باشند. برخی از معادلات کاربردی شامل مشتق کسری اعم از معادلات دیفرانسیل معمولی کسری، معادلات انتگرو-دیفرانسیل کسری و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی کسری می باشند که کاربردهای بسیاری در علوم مختلف مهندسی، ریاضی فیزیک، زیست شناسی و شیمی دارند. در واقع هدف ما استخراج الگوریتمهایی کارا و مفید مبتنی بر روش تاو محاسباتی بوده که برای برخی از این معادلات به همراه بررسی سازگاری، پایداری و همگرایی آن الگوریتمها چه از لحاظ عملی و چه از لحاظ تئوری مورد تحلیل و بررسی قرار گرفته است و نشان داده ایم که روش تاو محاسباتی و الگوریتمهای بدست آمده دارای مزایایی نسبت به برخی روشهای نو می باشند. همچنین امید می رود که برنامه نویسی الگوریتمهای مذکور بصورت یک بسته نرم افزاری و بر اساس برنامه های محاسباتی انجام پذیرد.

در این پایان نامه، به معرفی معادلات دیفرانسیل تأخیری پنتوگراف پرداخته ایم که به روش های مختلف از جمله هم محلی حل شده است. روش طیفی چبیشف نیز برای حل معادلات دیفرانسیل تأخیری پنتوگراف ارائه شده است، که در این روش ابتدا عمل انتقال بازه را انجام می دهیم و سپس معادله را حل می کنیم که نتایج مطلوبی حاصل شده است.

این پایان نامه مبتنی بر حل عددی معادلات انتگرال ولترای نوع دوم منفرد ضعیف با هسته های لگاریتمی با استفاده از چندجمله های متعامد می باشد. هدف ما از انجام این رساله، بررسی حل عددی این نوع معادلات، با استفاده از روش بسط متناهی چندجمله های چبیشف و لژاندر [ 8 ،7 ]، و نیز تحلیل خطا و همگرایی آنها می باشد. در نهایت نتایج عددی و همگرایی این دو روش با برخی روش های عددی از جمله روش هم محلی با چندجمله ای های قطعه ای پیوسته برانر [ 13 ]، برای این نوع معادلات مورد بررسی و مقایسه قرار می گیرد. مبنای کار این رساله مبتنی بر مراجع [ 8 ،7 ] می باشد.

این پایان نامه به مطالعه وجود و یکتایی جواب های مسائل معادلات دیفرانسیل جزئی از نوع بیضوی و سهموی به صورت یکنواخت و غیر یکنواخت از مرتبه دو می پردازد. سپس روش تقریب تابع سینک یک و دو بعدی را بیان نموده و جواب های حاصل را در حالت های مختلف برای یافتن جواب تقریبی بررسی می نماید. بنابراین لازم است تا برخی تعاریف مقدماتی, لم ها, و قضایای مورد نیاز در آنالیز تابعی از قبیل فضاهای سوبولف, معادلات بیضوی غیرخطی, مفهوم یکنواختی و غیریکنواختی را مورد مطالعه قرار داده, سپس از برخی نامساوی های فضاهای سوبولف، برای اثبات وجود و یکتایی جواب بهره گیریم. هدف اصلی این پایان نامه مطالعه رفتارهای جواب تقریبی حاصل از به کارگیری روش های عددی است که در این تحقیق برای اولین بار از روش تابع سینک دو بعدی استفاده خواهیم نمود.

در این پژوهش، یک روش کنترل بهینه مبتنی بر چارچوب سیستم های غیرخطی به منظور بهبود عملکرد کنترل کلی سیستم های غیرخطی ارائه گردید است. اولاً، سیستم های غیرخطی با استفاده از تعدادی از روابط مدلهای آفلاین تکه ای تقریب زده می شوند، روابطی که خود از طریق سیستم های غیرخطی در نقاط عملیاتی تعیین شده ایجاد می گردند. سپس این مدل های تبدیلی در چارچوب سیستم های ترکیبی با یکدیگر ترکیب شده و یک مساله مرتبط در حوزه کنترل بهینه را پایه ریزی می کنند که در آن متغیرهای تصمیم گیری نه تنها شامل کنترل مجاز پیوسته، بلکه شامل زمانبندی مدل های زیرسیستمی نیز هستند. ثانیاً، این مساله دستیابی به کنترل بهینه از طریق گسسته سازی در کل فضای حالت و فضای کنترل مجاز به منظور دستیابی به راه حل عددی بهینه به یک مساله miqp تبدیل می گردد. به منظور تسریع نمودن این الگوریتم، یک روش همزمان در رابطه با المان های محدود نیز مورد استفاده قرار می گیرد تا بدین وسیله از ابعاد مساله miqp کاسته شود. در نتیجه، یک mpc مبتنی بر مدل ترکیبی برای سیستم های خطی طراحی شده و آثار نامطلوب عدم مطابقت مدل که از روش همزمان حاصل شده است با اتخاذ استراتژی mpc تقلیل داده شود. شبیه سازی ها و قیاس های انجام گرفته با روش های سوییچینگ نرم (soft-switching)، سوییچینگ سخت (hard-switching) و hmb تاییدکننده این موضوع هستند که با استفاده از رویکرد ارائه شده می توان به یک عملکرد مطلوب دست یافت.

هدف ما در این‏ پایان نامه بررسی روش کوادراتور انتگرال با انتخاب تصادفی گره ها تحت عنوان روش کوادراتور انتگرال‏ تصادفی (riq) برای حل معادلات انتگرال از نوع ولترا می باشد. این روش برای غلبه بر محدودیت های روش کوادراتور انتگرال عمومی (giq) که در آن باید گره ها‎ در امتداد یک خط راست باشند‏، توسعه داده شده است.

در این پایان نامه به بررسی بهبود روش تکراری تقریبات متوالی برای حل کلاسی از معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولترا با استفاده ازروش کوادراتور دیفرانسیل موسوم به ‎‎dq می پردازیم. روش ‎‎dq‎ یک روش گسسته سازی عددی برای حل معادلات انتگرال و دیفرانسیل است که مزیت اصلی آن حصول یک تقریب عددی با دقت بالا با استفاده از تعداد کم و متناهی نقاط گره ای است. در این پایان نامه با معرفی یک روش ترکیبی از دو روش تقریبات متوالی و ‎dq، ضمن پیاده سازی روش به بررسی شرایط همگرایی پرداخته و برخی نتایج عددی را نیز ارائه می کنیم. در هر حالت جواب های عددی حاصله را با نتایج عددی حاصل از برخی روش های تقریبی مقایسه خواهیم کرد. مبنای اصلی کار این پایان نامه براساس مراجع‎{1}‎ و ‎{21}‎ می باشد.

معادله شرودینگر غیرخطی مکعبی، معادله ی دیفرانسیل جزئی می باشد که در فیزیک مدرن نقش بسزایی دارد. به دلیل اهمیت زیاد جواب های معادله ی شرودینگر در توصیف چندین پدیده در فیزیک و مهندسی، حل این معادله ضرورت زیادی دارد. در این پایان نامه جهت حل عددی معادله ی شرودینگر غیرخطی مکعبی دو بُعدی، روشی عددی مبتنی بر روش هم محلی تابع پایه شعاعی به همراه عملگر الگوریتم نیوتن، ایجاد و بصورت موفقیت آمیزی استفاده شده است. مزیت اصلی روش های بدون شبکه نسبت به روش های مبتنی بر شبکه کلاسیک، از قبیل تفاضلات متناهی، عناصر متناهی و حجم متناهی، عدم نیاز آن ها به گسسته سازی دامنه یا مرز می باشد. روش مفروض برای حل چند مثال استفاده می شود. جواب های عددی بدست آمده اعتبار، دقت و کارایی روش مفروض را نشان می دهد.