در این پایان نامه ابتدا مقدماتی از مبحث گراف ها ارایه خواهیم کرد. سپس گراف های تصادفی را مورد بررسی قرار می دهیم. گراف های تصادفی موضوعی است که از تلفیق ریاضیات گسسته و احتمال به دست آمده و به مرور جایگاه خود را در دیگر شاخه های علوم پیدا کرده است. در ادامه مبحث اقتصادی vcg را با مقدمات ارایه می کنیم.در نهایت بیش پرداخت vcg را در مدل های معروف و خاص از گراف های تصادفی مانند گراف های تصادفی اردوش-رینی مدل گراف تصادفی کامل و مدل گراف تصادفی قانون توان برآورد خواهیم کرد.

در بسیاری از مدل های سری زمانی سنتی،ارتباط بین مولفه های یک فرآیند ایستای اکید را می توان به عنوان یک مدل سری زمانی ناپارامتری در نظر گرفت. در برخی از این مدل ها مانند مدل arch ارتباطی وی‍ژه بین تابع رگرسیونی و تابع مقیاس برقرار است که این رابطه در بسیاری از این مدل ها، مانند مدل های مالی و اقتصادی دارای اهمیت قابل توجهی است. در این پایان نامه به معرفی روشی برای آزمون بررسی این ویژگی در یک چارچوب ناپارامتری پرداخته شده است. این آزمون بر اساس اختلاف بین دو برآورد ناپارامتری خطای رگرسیونی توزیع بنا شده است.

تحلیل مولفه های اصلی، شیوه مفیدی برای خلاصه سازی داده ها است. این شیوه با پیدا کردن مجموعه جدیدی از متغیرها که ناوابسته و کوچکتر از مجموعه اولیه متغیرها است، به کاهش بعد مجموعه داده های اولیه می پردازد در حالی که بیشترین اطلاعات مجموعه داده ها حفظ می شود. تجزیه مقدار منفرد، روشی در جبر ماتریس ها است که ماتریس های مستطیلی را به سه ماتریس جداگانه تجزیه می کند. این نوع تجزیه در تحلیل چند متغیره کاربردهای فراوانی دارد. استفاده از تجزیه مقدار منفرد ماتریس داده ها روشی برای محاسبه مولفه های اصلی است. در این متن، به ارتباط تجزیه مقدار منفرد با تحلیل مولفه های اصلی و تحلیل تناظر می پردازیم. همچنین کاربرد تجزیه مقدار منفرد در رگرسیون بیان می شود. سرانجام روشی برای تخمین زدن تعداد مولفه های اصلی بر اساس تجزیه مقدار منفرد پیشنهاد می گردد.

در این پایان نامه، برآورد ریسک کراندار شده ی میانگین توزیع نمایی به کمک دو روش محاسبه می گردد. روش اول منسوب به بیرنبام - هلی است و روش دوم که روش بهینه تری نسبت به روش اول است روش نمونه گیری دو مرحله ای نامیده می شود. برای روش دو مرحله ای فرمول های صریحی برای توزیع حجم نمونه ی کل، امید ریاضی و ریسک برآوردگر میانگین توزیع نمایی، ارائه می شود. در ادامه نیز فرمول صریحی برای ریسک مجانبی بیان می شود. سعی می کنیم قاعده ی توقف مناسب را طوری تعیین کنیم که ریسک برآوردگر میانگین توزیع نمایی توسط مقداری از پیش تعیین شده به طور یکنواخت کراندار شود. در نهایت برای اثبات درستی آنچه که به صورت تئوری آورده شده است شبیه سازی هایی را ارائه می دهیم.

یکی از مدل های خطی تعمیم یافته ی مهم، مدل رگرسیون لجستیک است. به دلیل غیر خطی بودن معادلات برآوردیابی نسبت به پارامترها، معمولا از روش های عددی تکراری برای پیدا کردن برآوردها استفاده می شود. برآوردهای حاصل به طور معمول در برابر مشاهدات دورافتاده (نقاط پرت) حساس هستند. برای حل این مشکل، روش هایی برای پیدا کردن برآوردگرهای استوار ارائه شده است. در این پایان نامه دو روش پیدا کردن برآوردگرهای استوار مورد بررسی قرار می گیرد. یکی از روش ها، بر اساس مینمیم سازی بعضی از تابعک های درستنمایی و روش دیگر برپایه تابع تأثیر است. از این روش ها برای ساختن آزمون فرض های استوار مربوط به پارامترهای مدل رگرسیون لجستیک، تحلیل لجستیک ممیزی استفاده می شود. با استفاده از داده های واقعی و همچنین شبیه سازی، مفید بودن روش های مطالعه شده، نشان داده می شود.

یک مسأله اساسی درباره متغیرهای تصادفی، برآورد تابعی وابسته از متغیر پاسخ روی یک مجموعه از متغیرهای مستقل، بر مبنای n مشاهده توأم است. در این پژوهش، نوعی از مدل رگرسیون خطی ساده فازی بررسی می گردد که در آن، هر دو سری از داده های ورودی و خروجی می توانند زیرمجموعه هایی فازی از r^p باشند. بدین منظور، دو مسأله اساسی، مورد مطالعه قرار می گیرند: 1- تشخیص مدل: در اینجا، مدل ساده خطی جدیدی برای متغیرهای تصادفی فازی در r^p در نظر گرفته می شود. 2- برآورد مدل مورد نظر: برآورد پارامترهای موجود در مدل. در این پایان نامه، این وابستگی، از طریق یک تابع خطی به صورت y = ax + ? می باشد به گونه ای که e(y|x)=ax+b در این مدل پارامتر a یک عدد حقیقی و پارامتر b مقدار مورد انتظار(امید ریاضی) خطاهاست که فازی مقدارهستند. بنابراین، موضوع مورد مطالعه عبارت است از برآورد پارامترهای a و b، زمانی که داده های ورودی و خروجی فازی هستند.

در مطالعه ی قابلیت اعتماد سیستم های فنی، مدل های رکورد نقش مهمی را ایفا می کنند. فرض کنید حد پایین مشخصی برای اولین رکورد در نظر بگیریم، در این صورت تعریفی را برای باقیمانده رکوردهای بعدی ارائه می دهیم و از آن برای پیش بینی رکوردهای بعدی استفاده می کنیم. در ادامه تحت این فرض که حد پایینی برایm -امین رکورد مشخص باشد، باقیمانده رکوردهای بعدی را پیش بینی می کنیم که آن را توسیع میانگین باقیمانده رکوردها می نامیم و چندین ویژگی آن را مورد مطالعه قرار می دهیم. همچنین مقایسه ای بین توسیع میانگین باقیمانده رکوردهای دو سیستم، زمانی که این سیستم ها طبق نرخ شکست شان مرتب شده اند انجام می دهیم. علاوه بر این، تعمیم میانگین باقیمانده رکوردها را با جایگزینی دنباله ای از k-رکورد به جای دنباله ای از رکوردهای معمولی در توسیع میانگین باقیمانده رکوردها تعریف می کنیم. در مسائل دو نمونه ای، برخی از ترتیب های تصادفی بین تعمیم میانگین باقیمانده رکوردها بررسی می گردند. در انتها با استفاده از شبیه سازی درستی برخی از نتایج نظری را نشان می دهیم.

یکی از دلایل اهمیت برآورد تابع چگالی احتمال، کاربرد آن در برآورد توابع نرخ شکست و هم چنین پی بردن به رفتار متغیرهای تصادفی است. در این پایان نامه ابتدا یک کلاس کلی از برآوردگرهای تابع چگالی معرفی و برخی از ویژگی های مجانبی آن بررسی خواهد شد. سپس با انتخاب یک معیار سنجش برآورد، به نام میانگین خطای درجه دوم انتگرالی، مسئله ی برآورد تابع چگالی، تحت فرض کران دار بودن این معیار، مطرح می شود. در ادامه، دنباله ای ازمتغیرهای تصادفی مستقل و هم توزیع از نرمال با واریانس نامعلوم، در نظر گرفته خواهد شد و برآورد تابع چگالی، تحت تابع زیان خطای درجه دوم انتگرالی، وقتی که تابع ریسک توسط مقدار ثابت و از پیش تعیین شده ا ی کران دار شده باشد، تعیین می گردد. به دلیل مفید نبودن روش های مبتنی بر حجم نمونه ی ثابت، روش برآوردیابی دنباله ای بایستی مورد استفاده قرار گیرد. سپس ویژگی های مجانبی مرتبه ی اول و دوم در مورد قاعده ی توقف و تابع ریسک بررسی خواهد شد. سرانجام سعی می شود آن چه به صورت نظری اثبات شده است با استفاده از شبیه سازی و هم چنین با استفاده از داده های واقعی، نشان داده شود.

در این پایان نامه تعدادی از توزیع های پیوسته، بر اساس امید شرطی تابعی از مقادیر رکورد و خصوصیات امید های شرطی آماره های ترتیبی سانسور شده ی پیش رونده نوع دوم مشخص می شوند، توزیع های مختلف ممکن است آنتروپی رنی یکسانی داشته باشند، بنابراین یک توزیع به طور منحصر به فرد، به وسیله آنتروپی رنی مشخص نمی شود، در این متن خصوصیات آنتروپی رنی آماره های ترتیبی را توصیف نموده و تعدادی از مشخص سازی ها را بر اساس آنتروپی رنی آماره های ترتیبی و رکورد ها مورد بررسی قرار گرفته و همچنین برخی مشخص سازی ها بر اساس آنتروپی شانون این آماره ها انجام شده است.

در این پایان نامه، تحت چارچوب بیزی، برآورد پارامترهای مورد نظر، بر اساس داده های k-رکورد در کلاس کلی از توزیع های طول عمر بررسی می شود. برآورد بیز پارامترها تحت توابع زیان متعادل از قبیل تابع زیان مربع خطای متعادل و تابع زیان خطی-نمایی متعادل ارائه می گردد. در بعضی حالت ها روایی یا ناروایی برآوردگرهای خطی مطالعه می شود. برآوردگرهای گاما-مینیماکس تأسف پسین و گاما-مینیماکس شرطی در تحلیل بیز استوار، معرفی می گردد و روابط برآوردگرهای گاما-مینیماکس تأسف پسین و گاما-مینیماکس شرطی بین توابع زیان متعادل و توابع زیان معمولی ارائه می شود. مسئله پیش گویی k-رکورد های بعدی، تحت توابع زیان متعادل بررسی می شود. سرانجام عملکرد توابع زیان متعادل و توابع زیان معمولی با شبیه سازی مقایسه شده است.

پیش گویی پیشامد های آینده براساس اطلاعات گذشته و حال یکی از مسائل اساسی آمار است. در این پایان نامه ابتدا یک خانواده از توزیع ها به عنوان مدل جامعه در نظر گرفته شده است و با استفاده از نگرش بیزی به بیان توابع چگالی پیش گویی به دو حالت یک نمونه ای و دو نمونه ای بر روی داده های سانسور نوع دوم پرداخته شده است، همچنین یک فرآیند کلی برای تعیین فواصل پیش گویی بیزی یک و دونمونه ای برای طول عمر آینده، مبتنی بر سانسور تلفیقی نوع یک و دو، ارائه خواهیم داد. توزیع نمایی و پارتو به عنوان مثال هایی از این نوع سانسور مورد استفاده قرار می گیرند. سرانجام سعی می شود آن چه به صورت نظری ثابت شده است با استفاده از شبیه سازی نشان داده شود.

در آزمون های قابلیت اعتماد، یکی از اهداف اصلی پیش گویی زمان شکست است. دراین پایان نامه، پیش گویی ماکسیمم درستنمایی، بهترین پیش گویی نااریب خطی و بهترین پیش گویی ناوردای خطی بر اساس نمونه سانسور شده نوع دوم توزیع نمایی برای ‎$s$‎امین آماره ترتیبی در حالت یک نمونه ای و دو نمونه ای به دست می آید. سپس پیش گویی های به دست آمده با هم مقایسه می شود. یکی از معیارهای مقایسه دو پیش گویی، احتمال نزدیکی پیتمن است. در این پایان نامه پیش گویی های معرفی شده از نظر معیار پیتمن در هر دو حالت مورد مقایسه قرار می گیرد. در پایان بعضی نتیجه گیری های خاص ارائه شده و با شبیه سازی صحت آن ها مورد بررسی قرار می گیرد.

در برخی از مسائل برآوردیابی پارامتر های مکان، با شرط محدودیت روی فضای پارامتر که از قبل معلوم می باشد، روبرو می شویم، یک نوع از محدودیت ها، محدودیت برابری است و نوع دیگری از آن، محدودیت نابرابری ترتیبی است.در این پایان نامه محدودیت نابرابری ترتیبی مورد مطالعه قرار می گیرد.

مسئله ی برآورد دنباله ای بیزی عبارت است از جستجوی یک روش دنباله ای مطلوب به طوری که شامل یک زمان توقف بهینه و یک برآورد بهینه باشد.

یکی از توزیع های مهم در آمار و مدل بندی داده های طول عمر، توزیع وایبول است. این توزیع در بسیاری از کاربردها از جمله پزشکی، دندان پزشکی، تجزیه و تحلیل گارانتی، هزینه ی چرخه ی عمر، ویژگی مواد و کنترل فرایند تولید مورد استفاده قرار می گیرد. در این توزیع برآوردگرهای ماکسیمم درستنمایی شکل بسته ای ندارند و با استفاده از روش های عددی محاسبه می شوند. بنابراین استنباط آماری بر اساس این توزیع، ساده نیست. در این پایان نامه به بررسی سه مسئله پیرامون توزیع وایبول پرداخته شده است. مسئله ی اول، استنباط پارامتر میانگین توزیع وایبول براساس داده های کامل و سانسورشده ی نوع دوم است. البته می توان با روش های استنتاجی، نتایج را برای داده های سانسورشده ی نوع اول نیز به کار برد. مسئله ی دوم، ایجاد حدود پیش گویی برای این پارامتر است، هنگامی که شامل حداقل ‎ l ‎ نمونه از ‎m ‎ مشاهده در آینده باشد و مسئله ی سوم، استنباط پارامتر قابلیت اعتماد تنش-مقاومت در دو متغیر تصادفی مستقل وایبول است. با استفاده از مفاهیم متغیر تعمیم یافته و کمیت محوری تعمیم یافته، استنباط هایی پیرامون مسائل مطرح شده ارائه می شود. به وسیله ی شبیه سازی به مقایسه ی این روش و روش های دیگر پرداخته و نشان داده می شود که روش تعمیم یافته در مقایسه با سایر روش ها بهتر است