فرض کنیم g یک گروه باشد و (m_0(g نمایش حلقه ی تقریبی توابع حافظ صفر روی g باشد. در این صورت زیرگروهی از (+,(m_0(g) که توسط (end(g تولید می شود، یک حلقه ی تقریبی است که حلقه ی تقریبی درونریختی های g نامیده می شود و آن را با (e(g و عناصر توزیع پذیر آن را با ((d(e(g نمایش می دهیم. در این پایان نامه مطالب ذیل مورد بررسی قرار می گیرد. 1) برای گروه g ، همواره(end(g زیرمجموعه ی ((d(e(g و ((d(e(g زیرمجموعه ی (e(g می باشد. نشان می دهیم که کلاس همه ی گروه ها با توجه به این که روابط شمول، محض یا غیرمحض در نظر گرفته شوند، به چهار زیرکلاس ناتهی افراز می شوند. 2) با استفاده از نظریه ی حلقه های تقریبی، برای گروه متناهی g مشخصات کاملی از زیرحلقه های تقریبی ماکسیمال (m_0(g ارائه می دهیم. 3) مشخص می کنیم که (e(g در چه صورت به عنوان یک زیرحلقه ی تقریبی از (m_0(g ماکسیمال می باشد. 4) گروه g یک e-گروه است، اگر حلقه ی تقریبی (e(g یک حلقه باشد. ویژگی هایی از e-گروه های متناهی مطرح کرده و سپس بررسی می کنیم که برای e- گروه متناهی g، (e(g در چه صورت به عنوان حلقه در (m_0(g ماکسیمال می باشد.

گروه g را غیرتابدار گوئیم هرگاه بطور همزمان شامل اعضای تابدار و بی تاب باشد. گروه g را موضعاً پوچتوان گوئیم هرگاه هر زیرگروه با تولید متناهی آن پوچتوان باشد.در این پایان نامه به بررسی ویژگی هایی از بخش بی تاب گروه خواهیم پرداخت که منجر به پوچتوانی موضعی گروه می شوند. گروه g را جابجایی توانی گوئیم هرگاه از جابجایی توانهای نابدیهی اعضایش جابجایی آن اعضا نتیجه شود. در ادامه هسته جابجایی توانی گروه را تعریف کرده و گروه g را چجابجایی توانی وگوئیم هرگاه دارای هسته جابجایی توانی بدیهی باشد . همچنین هسته جابجایی توانی گروههای موضعاً پوچتوان و نیز گروههای متناهی با مرکز نابدیهی را محاسبه خواهیم کرد.

فرض می کنیم v را یک فضای برداری از بعد n روی یک میدان متناهی باشدو g زیرگروه گروه خطی عام باشد که روی حلقه منظم v عمل کند. عناصری از حلقه منظم که تحت این عمل ثابت می مانند را حلقه پایا می نامیم. همریختی انتقال را بین دو حلقه منظم و حلقه پایا تعریف می کنیم و نشان می دهیم که اگر مشخصه میدان مرتبه گروه را عاد کند برد همرختی انتقال ایده آل سره و ناصفر است. سپس نشان می دهیم : 1) حلقه پایا برای p-گروه روی میدان fp یک حلقه چندجمله ای است و بردهمریختی ایده آل اصلی می باشد. 2)برد همریختی انتقال برای گروه خطی عام وگروه خطی خاص ایده آل اصلی می باشد. 3)برد همریختی انتقال برای گروه های جایگشتی ایده آل رادیکال و برای گروه های جایگشتی دوری ایده آل اول می باشد.

فرض کنیم g یک گروه باشد و paut(g) مجموعه ی متشکل از خودریختی های چندجمله ای g باشد. در این صورت زیرگروهی aut(g) را که توسط paut(g) تولید شود، با نماد (paut) ?(g)نمایش می دهیم. در این پایان نامه مطالب ذیل مورد بررسی قرار می گیرد. اگر g گروهی پوچ توان از رده ی c در آبلی باشد که در آن c یک عدد صحیح و مثبت است، آنگاه (paut) ?(g) پوچ توان از رده ی حداکثر c-1 در فراآبلی می باشد. اگر g حل پذیر از طول مشتق r>1 باشد، آن گاه (paut) ?(g) حل پذیر از طول مشتق حداکثر 2 (r-1) است. فرض کنیم g گروهی پوچ توان از رده c باشد که در یکی از شرایط زیر صدق می کند: g گروهی تاب دار از توان متناهی باشد؛ g گروهی بی تاب ناآبلی باشد. در این صورت paut(g) زیرگروهی پوچ توان از رده حداکثر max{c-1,1} از aut(g) می باشد. اگر g گروهی پوچ توان فراآبلی بی تاب از رده ی c>1 باشد، آن گاه paut(g) با مجموعه توابع چندجمله ای f(x)=x?_(i=1)^m?[x,v_i ]^(?_i ) که در آن ?_i=±1 و v_i?g برابر می شود.

فرض کنیم g یک گروه باشد، "f ? aut(g)" را یک خود ریختی چند جمله ای گوییم هرگاه u_0,…,u_m?g و ?_1,…,?_m ? z موجود باشند به طوری که به ازای هر xاز g f(x)=u_0 x^(?_1 ) u_1…u_(m-1) x^(?_m ) u_m. مجموعه ی همه ی خودریختی های چندجمله ای گروه g را با paut(g) و زیرگروه تولید شده توسط تمام خودریختی های چندجمله ای گروه g را با (paut) ?(g) نشان می دهیم. یک خودریختی از گروه g را –iaخودریختی می نامیم هرگاه یک خودریختی همانی روی g/g القا کند و زیرگروه نرمال از aut(g) , متشکل از همه ی –iaخودریختی های گروه g را با ia(g) نشان می دهیم. در این پایان نامه مطالب ذیل مورد بررسی قرار می گیرد: فرض کنیم g یک _pگروه متناهی و غیرآبلی باشد. دراین صورت paut(g) نیز یک _pگروه است. فرض کنیم g یک گروه باشد. در این صورت g گروهی پوچ توان از رده ی c است اگروتنهااگر (paut) ?(g) پوچ توان از رده ی c-1 باشد. فرض کنیم g یک گروه فراآبلی باشد. در این صورت (paut) ?(g) نیز فراآبلی است. فرض کنیم g یک گروه فراآبلی با دومولد باشد. دراین صورت هر –iaخودریختی از g چندجمله ای است. فرض کنیم g یک گروه فراآبلی با دومولد باشد. در این صورت ia(g) نیز فراآبلی است.

فرض کنیم ‎$g$‎ یک گروه باشد و ‎$m$‎ و ‎$n$‎ زیرگروه های نرمالی از ‎$g$‎ باشند. در این صورت ‎$aut^{m}_{n}(g)$‎ را گروه همه خودریختی های ‎$g$‎ در نظر می گیریم که ‎$g/m$‎ و ‎$n$‎ را مرکزی می کنند. همچنین برای سادگی ‎$aut^{z(g)}_{z(g)}(g)$‎ را با ‎$c^{*}$‎ نمایش می دهیم. یکی از سوالات جالبی که در مورد خودریختی ها مطرح می شود یافتن شرط لازم و کافی برای گروه ‎$g$‎ است به طوری که زیرگروه های خاصی از خودریختی های ‎$g$‎ با هم برابر شوند. ‎ oindent‎ در این رساله با استفاده از روش های متنوع جبری به حل مسائل ذیل می پردازیم: ‎egin{itemize}‎ ‎item[(1)]‎ مشخص ساختن همه گروه های پوچ توان متناهی مولد ‎$g$‎ که در آن ها ‎$c^{*}=inn(g)$‎. ‎item[(2)]‎ مشخص ساختن گروه های پوچ توان متناهی مولد ‎$g$‎ که در آن ها ‎$aut_{c}(g)=inn(g)$‎. ‎item[(3)]‎ یافتن شرایط لازم و کافی برای ‎$g$‎ به طوری که ‎$aut^{m}_{n}(g)$‎ با ‎$z(inn(g))$‎, ‎$inn(g)$‎, ‎$c^{*}$‎ یا ‎$aut_{c}(g)$‎ برابر شود. ‎item[(4)]‎ مشخص ساختن ‎$p$-‎گروه های متناهی ‎$g$‎ که در آن ها تساوی ‎$aut^{m_{1}}_{n_{1}}(g)=aut^{m_{2}}_{n_{2}}(g)$‎ برای زیرگروه های نرمال ‎$m_{1}$‎، ‎$m_{2}$‎، ‎$n_{1}$‎ و ‎$n_{2}$‎ از ‎$g$‎ برقرار باشد. ‎item[(5)]‎ یافتن شرایطی که وجود خودریختی های غیر داخلی از ‎$aut^{m}_{n}(g)$‎ را تضمین کند. ‎item[(6)]‎ طبق تعریف خودریختی ‎$ heta$‎ از گروه ‎$g$‎ را داخلی نقطه ای گوییم هرگاه برای هر ‎$xin g$‎، ‎$ heta(x)$‎ با ‎$x$‎ مزدوج باشد. ابتدا تعمیمی طبیعی از این مفهوم ارائه نموده و سپس به بررسی برخی ویژگی های آن و رابطه بین ‎$inn(g)$‎ و گروه خودریختی های داخلی نقطه ای در گروه های پوچ توان متناهی مولد از رده ‎2‎ می پردازیم.

فرض کنیمgیک گروه باشد.خودریختیrازgنرمال نامیده می شود هرگاه به ازای هر زیر گروه نرمالhازgداشته باشیمr(h)=h.در این پایان نامه مطالب ذیل مورد بررسی قرار می گیرد. 1-اگرgیک گروه پوچ توان فراآبلی(ناآبلی)آزاد باشد,آنگاه گروه خودریختی های نرمالgباگروه خودریختی های داخلی تعمیم یافته آن برابر تی باشند. 2-اگرgیک گروه پوچ توان(از ردهc)در آبلی باشد,آنگاه گروه خودریختی های نرمال آن پوچ توان (از رده حداکثرc)در فراآبلی است.بخصوص,اگرgیک گروه فراآبلی باشد.آنگاهaut_n(gحل پذیر از طول مشتق حداکثر3است. 3-اگرgیک گروه زبر حل پذیر باشد,آنگاه گروه خودریختی های نرمال آن با تولید متناهی و پوچ توان در (متناهی و زبر حل پذیر)است. 4-اگرgیکp-گروه پوچ توان با نمای متناهی باشد وp>2.آنگاهaut_n(gحاصل ضرب نیم مستقیمmوnمی باشد که در آن n یک p-گروه پوچ توان از نمای متناهی و m یک گروه دوری است که مرتبه آنp-1را عاد می کند.

چکیده را گویا گوییم هرگاه ? : g ?? g یک گروه باشد. درونریختی g فرض کنیم ،x ? g که به ازای هر ?? موجود باشند به طوری h1, ..., hr ? z و a1, ..., ar ? g end? r(g) را با g پذیر ?? های گویای معکوس ?? گروه درونریختی .?(x) = (xa1)h1...(xar )hr است اگر وتنها اگر c ی پوچتوانی ?? توان از رده ?? پوچ g کنیم که ?? دهیم. ثابت می ?? نمایش می باشد. c ? ی 1 ?? توان از رده ?? پوچ end? r(g) g نماییم. اگر ?? را معرفی می ،paut(g) ،g ای گروه ?? های چندجمله ?? مجموعه خودریختی یک گروه است. سپس نتایج زیر را اثبات ،paut(g) گاه ?? یک گروه متناهی باشد، آن نماییم. ?? می گروه است. -p نیز paut(g) گاه ?? گروه متناهی غیر آبلی باشد، آن -p یک g اگر (1) است اگر وتنها c ی?? توان از رده ?? پوچ g گاه ?? یکگروه متناهی غیر آبلی باشد، آن g اگر (2) باشد. c ? ی 1 ?? توان از رده ?? پوچ paut(g) اگر paut(g) گاه ?? توانی 2 و 3 باشد، آن ?? ی پوچ ?? توان متناهی از رده ?? یک گروه پوچ g اگر (3) های داخلی، خودریختی ?? را توصیف خواهیم کرد و شرایطی را که مجموع خودریختی کنیم. ?? شود را بررسی می ?? می باشند. نگاشت g عناصر ثابتی از ar+1،...،a یک گروه متناهی باشد و 1 g فرض کنیم ای?? را جایگشت چندجمله x 7?? a1xa2...xar+ ی 1 ?? با ضابطه ? : g ?? g دوسویی دهیم. ?? نمایش می u(g) را با g ای گروه ?? های چندجمله ?? گوییم. مجموعه جایگشت توانی ?? ی پوچ ?? توان متناهی از رده ?? یک گروه پوچ g چنین ثابت خواهیم کرد که اگر ?? هم نمایش داد که در x 7?? axrb ی?? توان با ضابطه ?? را می u(g) گاه هر عضو در ?? 2 باشد، آن باشد.علاوه عکس این مطلب نیز برقرار می .a, b ? g

فرض کنیم ‎g‎ یک گروه و ‎aut(g) ‎ گروه خودریختی های ‎g‎ باشد. گروه ‎g‎ را ‎a(g) ‎- گروه گوییم هرگاه مجموعه خودریختی های جابه جاشونده آن، ‎a(g) ‎، زیرگروهی از‎aut(g) ‎ باشد. آنچه برای ما جالب است بررسی خودریختی های جابه جاشونده یک گروه و پاسخ به این پرسش است که ‎‎چه شرایطی در گروه ‎g‎ ایجاب می کند که ‎g‎ یک a(g) ‎- گروه باشد؟. برای این منظور، رده های خاصی از ‎p‎- گروهها، شامل ‎p- گروههای فراخاص، -p‎گروههای از رده ماکسیمال، ‎-p‎گروههای با زیرگروه ماکسیمال دوری و غیره را مورد مطالعه قرار داده ایم. ما مفهوم خودریختی مرکزی ساز یک گروه را نیز معرفی نموده ایم. همچنین، در مورد برخی خواص بنیادی خودریختی های مرکزی ساز گروهها کنکاش نموده ایم. نتایج زیر حاصل پژوهش در این زمینه ها است: 1. مشخص نمودن کمترین مرتبه یک ‎p‎-گروهِ نا‎a(g) ‎-گروه برای هر عدد اول‎p‎. 2. تعیین کوچک ترین مرتبه یک نا‎ a(g)-گروه.‎ 3. معرفی یک نا a(g)-گروه برای هر عدد اول ‎p‎ و هر عدد صحیح ‎n>5‎. 4. ‎ بررسی ‎-a(g)‎گروه بودن ‎p‎-گروههای با زیرگروه ماکسیمال دوری و مطالعه ساختار ‎a(g)‎ در این گروهها. 5. مطالعه همه گروههای از مرتبه ‎p^5‎ و مشخص نمودن‎a(g) ‎-گروهها و ناa(g) ‎-گروهها.‎ 6. اثبات‎ a(g) ‎-گروه بودن ‎p‎-گروههای از رده ماکسیمال. 7. اثباتa(g) ‎-‎گروه بودن p‎-‎گروههای از دوگان رده ‎?‎ برای عدد اول فرد ‎p‎ و نیز در حالت های خاص برای ‎p=2‎. 8. مطالعه برخی ویژگی های اساسی خودریختی های مرکزی ساز یک گروه

فرض کنیم g یک گروه باشد، در این پایان نامه نتایج زیر را بحث می کنیم: (1) گروه تمام خودریختی های ضرب مستقیم hو k به طوری که hوk متناهی اندو عامل مشترک مستقیم ندارند. (2)گروه تمام خودریختی های گدوه متناهی حاصل ضرب نیم مستقیمhوk به طوریکه هر دو گروه متناهی اند. (3) بررسی گروه خودریختی های گروه دو وجهی تعمیم یافته (4) یافتن خودریختی هایی از گروه ناآبلی ار مرتبه ی p^3 (5)بررسی خودریختی های گروه ناآبلی فرا دوری شکافته شده

فرض کنیم g یک گروه باشد. گروه خودریختی های گروه g و زیرگروه متشکل از نقاط ثابت خودریختی ? از گروه g را به ترتیب با (aut(g و (c_g (? نشان می دهیم. خودریختی ? منظم یا بدون نقطه ثابت (تقریباً منظم) نامیده می شود اگر c_g (?)=1 ((c_g (? متناهی باشد). در این پایان نامه نتایج زیر مورد بررسی قرار می گیرد: 1. ساختار گروههای متناهی که خودریختی منظم از مرتبه عدد اول p دارند، به خصوص زمانی که p برابر 2 یا 3 است. 2. کاربردی از خودریختی های بدون نقطه ثابت در گروه فروبینیوس. 3.خودریختی های منظم یک گروه دوری متناهی. 4. فرض کنیم g یک گروه چنددوری باشد که خودریختی تقریباً منظم ? از مرتبه 2 دارد. در این صورت g آبلی در متناهی است. با ذکر یک مثال نشان داده می شود که این نتیجه را نمی‎ توان به گروههای حلپذیر متناهی مولد، توسیع داد. 5. ساختار گروههای خاصی که زیرگروه فیتینگ، خودریختی های آنها، شامل یک خودریختی تقریباً منظم است. 6. نقاط ثابت خودریختی های گروههای دوری. 7. نقاط ثابت خودریختی های گروههای آبلی مقدماتی.

فرض کنیم g یک گروه باشد و aut(g) گروه خودریختی های آن باشد.گروه gرا a(g)-گروه گوییم هرگاه مجموعه ی خودریختی های جابه جاشونده ی آن، a(g)، زیرگروهی از aut(g) باشد. گروه g راac گروه نامیم هرگاه مرکزی ساز همه ی اعضای غیر مرکزی گروه g آبلی باشد. در این پایان نامه نتایج زیر مورد بررسی قرار می گیرد: (1) مشخص نمودن کمترین مرتبه ی یک p-گروه نا a(g) برای هر عدد اول p. (2) تعیین کوچک ترین مرتبه ی یک نا a(g)-گروه. (3) معرفی یک نا a(g)-گروه برای هر عدد اول p و هر عدد صحیح n?5. (4) اثبات a(g)-گروه بودن ac-گروه های متناهی. (5) اثبات a(g)-گروه بودن p-گروه های از رده ی ماکسیمال. (6) اثبات a(g)-گروه بودن p-گروه های متناهی فرادوری. عمده مطالب این پایان نامه از منابع on commuting automorphisms of p-groups‎ از وثوق پور و اخوان ملایری و commuting automorphisms of some finite groups از فولادی و عرفی تهیه شده است.

در این پایان نامه به بررسی ساختار ضرب حلقوی گروهها می پردازیم و سپس نمایش ضرب حلقوی گروهها را بررسی خواهیم کرد.منابع مورد استفاده منبع 4 می باشد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

در این تحقیق نشان می دهیم که هرگاه a عضوی از r به طوری که برای هرزیرمجموعه ی نامتناهی x ازr و ax وxa دارای اشتراک ناتهی باشند آنگاه a یک عضومرکزی است. درادامه به بررسی دوشرط جابجاپذیری حلقه های نامتناهی می پردازیم. حلقه نامتناهی r رایک *-حلقه می نامیم هرگاه برای هردوزیرمجموعه نامتناهی xو y از r و xy,yx دارای اشتراک ناتهی باشند.ثابت می کنیم هر*-حلقه ی نامتناهی جابجایی است.

فرض کنیم g یک گروه باشد. گروه خودریختی های g را با (aut(g و گروه خودریختی های مرکزی g را با (autc(g نمایش می دهیم. خودریختی α از گروه g، یک خودریختی جابه جا شونده نامیده می شود هرگاه هرعضو گروه g با تصویرش تحت α جابه جا شود. مجموعه ی تمام خودریختی های جابه جا شونده را با a(g) نمایش می دهیم. در این پایان نامه خواهیم دید: 1) (a(g لزوماً یک زیرگروه از (aut(g نمی باشد. اما از ویژگی های جالبی برخوردار است. تحت شرایطی روی گروه g ، نه تنها (a(g یک زیرگروه از (aut(g می باشد بلکه (a(g)= aut(g . هم چنین وجود شرط ماکسیمال روی گروه های با مرکز بدیهی ایجاب می کند که (a(g بدیهی باشد. 2) یک خودریختی داخلی ، خودریختی جابه جا شونده است اگر و تنها اگر توسط یک عضو 2- انگل القا شده باشد. 3) گروه های ناآبلی وجود دارند که هر عضو گروه با تصویرش تحت هر درونریختی گروه جابه جا می شود . این گروه ها را e- گروه می نامیم. e- گروه ها به صورت حاصل ضرب نیم مستقیم محض تجزیه نمی شوند. 4) فرض کنیم g گروهی نا آبلی از مرتبه باشد که در آن p^3 یک عدد اول فرد است. اگر g شامل عضوی از مرتبه p^2 باشد آن گاه (a(g یک گروه آبلی مقدماتی از مرتبه p^2 است و در غیر این صورت (a(g یک گروه نا آبلی از مرتبه (p^2(p-1 می باشد.

فرض کنیم g یک گروه باشد. یک پوشش برای گروه g خانواده ی از زیرگروه های g می باشد به طوری که . پوشش هایی که ما در نظر می گیریم ، خانواده ای متناهی از زیرگروه هاست. در این پایان نامه نتایجی را که در رابطه با گروه g از روی خواص زیرگروه های به دست می آید، بررسی می کنیم. ما مطالب زیر را اثبات می کنیم : (1) هر یک از ها گروه انگل می باشد، اگر و تنها اگر مجموعه ی عناصر انگل g زیرگروهی از اندیس متناهی را شامل شود. (2) اگر زیرگروه مشتق هر یک از ها متناهی باشد، آن گاه g متناهی است. (3) هر یک از ها دوری می باشد، اگر و تنها اگر g دوری یا متناهی باشد. (4) هر یک از ها آبلی می باشد، اگر و تنها اگر g مرکز در متناهی باشد. (5) اگر مجموعه ی همه ی جا به جا گرها توسط تعداد متناهی زیرگروه دوری پوشیده شود، آن گاه g متناهی یا دوری است.