در این پایان نامه ابتدا مفاهیم و تعاریف اولیه هندسه فینسلری معرفی و سپس میدانهای برداری هندسی روی خمینه های ریمانی و خاصیتهای هندسی غیر ریمانی می پردازیم و با بررسی معادله دیفرانسیل مرتبه دوم برای یک طبقه از مترهای راندرز با ایزوتروپیک s- انحنا، یک طبقه کلی از مترهای راندرز با انحنای اسکالر را به دست می آوریم. و در نهایت با فرض اینکه خمینه m فشرده و بدون مرز است به اثبات قضیه زیر می پردازیم قضیه: فرض کنید f متر راندرز روی خمینه فشرده m از بعد n>3 باشد که بصورت متر ریمانی h و میدان برداری v نمایش داده می شود. فرض کنید f دارای ایزوتروپیک s - انحنای s=(n+1)cf و با انحنای پرچمی اسکالر باشد و همچنین µ انحنای برشی ثابت از متر ریمان h باشد. 1) اگر µ=-1 آنگاه f ریمانی است 2) اگر µ=0 آنگاه f موضعا مینکوفسکی است 3) اگر µ=1 آنگاه ? تابع ویژه از عملگر لاپلاس متناظر با اولین مقدار ویژه ? =n باشد در این صورت ( hو m) به یک اسپری واحد یا به میدان برداری کیلینگ v روی ( hو m)ایزومتر است.

فرض می کنیم خمینه ریمانی همراه با ضرب تقریبی بوده و میدان برداری نرمال یکه روی زیر خمینه ریمانی باشد. را بصورت تجزیه می کنیم که در آن میدان برداری مماس و تابع یکنواخت روی زیر خمینه ریمانی می باشند. ایمرسون را برای مقادیر و داریم و به ازای هر میدان برداری روی زیر خمینه ، را بصورت تجزیه می کنیم که در آن ، 1- فرمی بصورت روی زیرخمینه می باشد. فرض می کنیم عملگر وینگارتن از ایمرسون است و نشان می دهیم: (1) 1- فرمی بسته است اگر و تنها اگر ، (2) متر راندرز روی زیر خمینه ریمانی القائی قابل تبدیل به متر بروالد است اگر و تنها اگر باشد، (3) میدان برداری کیلینگ است اگر و تنها اگر . در ادامه گروه لی به عنوان خمینه شبه ریمانی مورد توجه می باشد.این خمینه متصف به ساختار ضرب تقریبی همراه با متر کیلینگ است.در ابتدا خمینه ریمانی با ضرب تقریبی همراه با ساختار غیرانتگرالپذیر ودر ادامه نوع خمینه شبه ریمانی را مورد بررسی قرار می دهیم.

گروه های لی پوچ توان با دو گام گروههای لی غیر آبلی هستند که تا حد امکان به گروههای آبلی نزدیکند، با این وجود خاصیتهای جالبی می پذیرند که چنین خاصیتهایی در گروه های آبلی مشاهده نمی شوند. در این پایان نامه به مطالعه هندسه گروههای پوچ توان همبند ساده با دو گام به همراه متریک چپ پایای ریمانی و فینسلری می پردازیم . می توان انتظار دیدن برخی خواص مشابه با فضاهای اقلیدسی مسطح را داشت . چنین خواصی همیشه موجود نیستند. برای مثال ولف نشان داد که هر گروه لی پوچ توان غیر آبلی با متریک چپ پایا باید هر دو انحنای مقطعی مثبت و منفی را بپذیرد و میلنر این نتیجه را به انحنای ریچی تعمیم داد. علاوه بر این میلنر در حالت کلی نشان داد که هندسه هر گروه لی g با متریک چپ پایا به طور قویی انعکاسی از ساختار جبر لی g وابسته به آن می باشد همانطور که خواهیم دید تعداد زیادی از نتایج این فصل این مطالب را روشن می سازد . برای مطالعه هندسه گروههای پوچ توان با دو گام به همراه متریک چپ پایا به روش کاپلن در ]13[، عمل کرده و ترکیب اصلی آن را توضیح می دهیم . فرض می کنیم nیک جبر لی پوچ توان با دو گام به همراه ضرب داخلی <,> و n یک گروه لی پوچ توان همبند ساده با دو گام و با جبرلی n باشد . روی n متریک چپ پایا را طوری نظر می گیریم که توسط ضرب داخلی <,> رویn=t_e n تعیین می شود، سپس فرض می کنیم z نشان دهنده مرکز n و نشان دهنده مکمل متعامد z در n باشد . هر عضوz?z یک تبدیل خطی پاد متقارن با ضابطه تعریف می کند که در آن نشان دهنده الحاقی نسبت به ضرب داخلی <,> است. به طور معادل j(z) به ازای هر توسط معادله تعریف می شود که مکرر کاربرد دارد.

اطلاعات و درهم تنیدگی از دیدگاه کوانتومی بررسی شده است. ارتباط فیبرسازی هاف و حالت های چند کیوبیتی بررسی شده است. همچنین حالت های همدوس مختلف و در هم تنیدگی آنها بررسی شده است.در هم تنیدگی کوانتومی مبتنی بر حالت های همدوس نوسانگر هماهنگ بوزونی و حالت های فشرده مورد مطالعه قرارگرفته است. یکی از اهداف ما در اینجا بررسی در هم تنیدگی حالت های همدوس گراسمنی می باشد.

بلاچ، کروچ، مارسدن و راتیو در سال 2002 نمایش متقارن از معادلات جسم صلب را به وسیله حل مساله کنترل بهینه روی گروه لی so(n) بدست آوردند. در این پایان نامه قصد تعمیم این نمایش متقارن از گروه لی so(n) به دیگر گروه ها را داریم که این گروه ها زیر گروه های ماتریس های کوادراتیک از گروه خطی عمومی هستند. برای رسیدن به این مقصود با یک مساله کنترل بهینه روی این گروه ها شروع می کنیم که در واقع با حل این مساله ژئودزیک ها روی متریک چپ پایا تولید می شود. در ادامه به بررسی رابطه بین نمایش متقارن از معادلات جسم صلب تعمیم یافته و خود معادلات جسم صلب تعمیم یافته می پردازیم . در نهایت یک نسخه گسسته از این نمایش متقارن ارائه می شود که منجر به الگوریتم های عددی برای تولید معادلات جسم صلب تعمیم یافته می شود.

در این پایان نامه، ژئودزیک های صفحه گراشین و گروه هایزنبرگ در مفهوم جدید هندسه زیرفینسلری با متریک راندرس خاص به دست آورده می شود: از اصل ماکزیمم پنتریاگین برای صفحه گراشین و از یک تکنیک جدید که از ساختار جبروار لی استفاده می کند، برای گروه هایزنبرگ استفاده نموده ایم.

چکیده: اغلب سیستم های دینامیکی، دارای ساختار هندسی بوده و می توانند بر پایه ای از هندسه ی ریمانی و نظریه گروه های لی فرمول بندی شوند. در این پایان نامه پنج سیستم فیزیکی مطرح و بطور هندسی فرمول بندی شده است. 1) دوران آزاد جسمی صلب (فرفره ی اویلر) که سیستمی برجسته در مکانیک می باشد و به عنوان یک مثال توضیحی از نظریه ی هندسی مطرح شده است. 2) معادله ی ژئودزیک روی گروهی از دیفئومرفیسم های یک دایره و معادله kdv روی گروه توسعه یافته ی آن 3) تحلیل هندسی آشوب یک سیستم هامیلتونی (سیستم هنن-هلس)که یک سیستم خود برهم کنش با تعداد متناهی نقاط جرمی می باشد. 4) فرمول بندی هندسی هیدوردینامیک سیالی تراکم ناپذیر روی گروهی از دیفئومرفیسم های حافظ حجم که تعبیری از منشأ انحنای ریمانی جریان سیال نیز داده می شود. 5) معادله ژئودزیک روی گروه حلقه که منجر به معادلات الحاقی حرکت یک رشته حلقوی می شود و معادله روی گروه توسعه یافته ی آن که مشاهده می کنیم هم ارز با معادله ای از یک رشته ی حلقوی با یک جریان محوری در امتداد آن می باشد. لازم به ذکر است که فرمول بندی های هندسی کنونی قابل تعمیم به سیستم های گوناگون بوده و چشم انداز عمیقی به سیستم های فیزیکی ارائه می دهد که نتایج جدیدی را به ارمغان می آورد.

چکیده: در این پایان نامه، مخروط خارج قسمت(x/y, p?)ایجاد شده به وسیله زیرمخروط y را تعریف کرده و مورد بررسی قرار خواهیم داد. بویژه کامل دوسویی بودن (x/y,p ? ) را با توجه به کامل دوسویی بودن (x,p) تحقیق کرده و ثابت می کنیم مخروط خارج قسمت دوگان ((x/y ) ? , · p?,u)) ) را می توان به عنوان زیرمخروطی از (x^*,?.?_(p ?,u) ) در نظر گرفت. همچنین قضایای نمودار بسته و نگاشت باز برای مخروط های شبه نرم دار بیان و ثابت می شود.

در این پایان نامه فضا های فینسلری تعمیم یافته را مورد بررسی قرار می دهیم.برخی از قضایای وجودی و خواص هندسی این فضاها رابررسی کرده و نشان می دهیم که هرچنین فضایی می تواند بصورت یک فضای هم مجموعه از یک گروه لی با یک متریک فینسلری پایا نوشته شود. نشان می دهیم که هر فضای فینسلری متقارن توسعه یافته از مرتبه متناهی بوده و اگر از مرتبه زوج باشد آنگاه از نوع بروالدی است. فضاهای بروالدی متقارن توسعهیافته نیز مورد بررسی قرار می گیرند.

در این پایان نامه، به بررسی مقاله دنگ و هو در زمینه فضاهای فینسلر همگن پرداخته می شود. ابتدا نشان داده می شود که هر فضای فینسلری همگن را می توان به صورت فضای خارج قسمتی g/h نوشت که g یک گروه لی و h زیرگروه بسته آن است و در حالتی خاص متریک های فینسلری دوپایا روی خمینه های همگن و شرایط لازم و کافی برای داشتن متریک فینسلری دوپایا روی گروه لی، بررسی می شود. در پایان شرایطی روی خمینه فینسلری همگن مهیا می شود تا متریک فینسلری غیر ریمانی همگن روی آن وجود داشته باشد و چند مثال از آن خمینه ها بیان می شود.

در این پایان نامه (a,b)متریک ها را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس یک روش برای ساخت این نوع متریک ها ارایه می دهیم و سپس تعدادی شرط برای اینکه برخی از این متریک ها از نوع بروالد یا داگلاس باشند ارایه می دهیم...

در این پایان نامه قاب های ترکیبی را معرفی کرده و برخی از ویژگی های آنها را بیان می نماییم سپس رفتار قاب های ترکیبی تحت پاک شدگی زیرفضاها و بردارهای قاب موضعی را بررسی می نماییم و شرایط کافی برای پایداری یک قاب ترکیبی نسبت به این پاک شدگی را بیان می کنیم و نتایجی روی قاب های ترکیبی به دست می آوریم که بطور بهینه برای آن پاک شدگی ها ساخته شده اند. به علاوه خواص ضرب گر های بسل را بررسی می نماییم و در نهایت مفهوم ضرب گر ترکیبی بسل را که مفهوم ضرب گر بسل را به دنباله های ترکیبی بسل تعمیم می دهد معرفی کرده برخی از ویژگی های آن را مورد بررسی قرار می دهیم

متریک های فینسلر به طور طبیعی تحویل پذیر روی گروه های لی فشرده و پوچ توان بررسی شده و یک رده بندی برای چنین فضاهایی بیان کرده ایم.

در این پایان نامه متریکهای راندرس ناوردا روی خمینه های ریمانی همگن بررسی می شود.سعی می شود تا یک توصیف جبری از این متریکها داده شودو همچنین شرایط لازم و کافی برای خمینه های همگن که چنین متریکهایی داشته باشند مورد بررسی قرار می گیرد.بعنوان حالت خاص متریکهای راندرس دوناوردا روی گروههای لی بررسی خواهند شد.انحنا وژئودزیکهای این متریکها مورد محاسبه قرار گرفته و مطالعاتی در مورد وجود این متریکها انجام خواهد شد.

در این پایان نامه مفهوم نگاشت نیم خطی و نیم خطی ضعیف بین دو فضای برداری توپولوژیک x وy را تعریف نموده و ارتباط بین نگاشت های نیم خطی و نیم خطی ضعیف را بررسی می کنیم ، در واقع مجموعه نگاشت های نیم خطی بین فضاهای برداری توپولوژیک توسیعی مهم از مجموعه عملگرهای خطی می باشد. قضیه همپیوستگی و اصل کرانداری یکنواخت را با لحاظ کردن نگاشت های نیم خطی بیان و ثابت می کنیم . در ادامه، اصل کرانداری یکنواخت برای رده جدیدی از گردایه نگاشتها از فضای برداری توپولوژیک به فضای برداری توپولوژیک مرتب شده بررسی می شود. y

یکی از بهترین روش ها برای حل مسائل مقدار مرزی، معادلات انتگرال و انتگرال دیفرانسیل روش های طیفی می باشد. مزیت اصلی روش های طیفی در بدست دادن نتایج دقیق با درجه آزادی کمتری است. در این پایان نامه نشان داده ایم استفاده از چد جمله ای های گگن بائور به عنوان چند جمله ای های پایه ای کارامد تر چبیشف و لژاندر میباشد.

در این پایان نامه در ابتدا درونیابی هرمیتی گسسته تک متغیره و دو متغیره را معرفی می کنیم و همچنین تخمین های خطا را برای این نوع از درونیابی بدست می آوریم. سپس درونیابی اسپلاین گسسته درجه پنجم و دو پنجی را معرفی می کنیم. و همچنین تخمین های خطا بین تابع اصلی و تابع درونیاب اسپلاین گسسته را بیان می کنیم.و مثال هایی را برای فهم بهتر مطالب ارائه می کنیم، سپس با استفاده از درونیابی اسپلاین درجه دو پنجی گسسته هسته معادلات انتگرال فردهلم را تباهیده می کنیم و با استفاده از آن به روشی برای حل این نوع از معادلات انتگرال می رسیم که نسبت به روش های قبلی نتایج بهتری دارد. و در آخر مثالی را با روش بدست آمده حل خواهیم کرد و با روش های قبلی مقایسه می کنیم که نشان می دهد این روش دارای نتایج بهتری نسبت به روش های مقایسه شده است.

فرض کنید h/g یک منیفلد همگن ریمانی باشد. در این صورت ژئودزیک ? از h/g گذرنده از مبدا o را همگن گویند هرگاه ??t?=exp?tx??o?, t?r که در آن x?g????. بردار x?g???? که برای آن ??t?=exp?tx??o? یک ژئودزیک باشد را بردار ژئودزیک گویند. نشان داده شده هر فضای همگن ریمانی دارای حداقل یک ژئودزیک همگن می باشد. همچنین توسط لمی بنام لم ژئودزیک مجاسبه بردارهای ژئودزیک امکان پذیر شده است. در این پایان نامه میدان های برداری کیلینگ واحد همگن و ژئودزیک های همگن و بردارهای ژئودزیک را برای گروههای لی بفرم a?pr محاسبه خواهیم کرد.

چکیده: در این مقاله کلاف مماسی از یک منیفلد فینسلری مانند‎(m,f) ‎ را که به متریک ساساکی مجهز شده است مورد مطالعه قرار می دهیم و بعضی نتایج را به دست می آوریم. ما منیفلد ریمانی ‎m‎ را به عنوان یک منیفلد فینسلری توصیف می کنیم به طوریکه دیورژانس ترفیع افقی هر میدان برداری در ‎ mصفر است یا به طور معادل توزیع افقی در کلاف مماسی کلاف مماسی شکافته مینیمال است، و ثابت می کنیم ساختار تقریباً مختلط روی کلاف مماسی شکافته انتگرال پذیر است اگر و تنها اگر منیفلد پایه انحنای پرچمی صفر داشته باشد. در چنین حالتی کلاف مماسی شکافته کهلری است. همین طور ثابت می کنیم کلاف مماسی شکافته tm ‎ به طور موضعی متقارن است اگر و تنها اگر منیفلد پایه به طور موضعی اقلیدسی باشد. نتایج ما تعمیم نتایج مشابهی برای منیفلدهای ریمانی می باشند.

در این پایان نامه ما فرمول صریحی از s-انحنا در فضای راندرز همگن ارائه می دهیم. برای اینکار روی فضای برداری n-بعدی v و نیز فرم مینکویسکی f، کمیت ?_f=(vol(b^n))/(vol{(y^i)?r^n |f(y^i b_i )<1}) را تعریف می کنیم و با استفاده از آن کمیت پیچیدگی از (v,f) را به فرم,y?v-{0} ?(y)=ln ?(det?(g_ij (y)))/?_f تعریف می کنیم.برای هر y?t_x m-{0} فرض می کنیم ?(t) یک ژئودزیک با شرط ?(0)=x ,(?(0)=y) ? باشد.کمیت s(x,y)=d/dt[?(?(t),(?(t))]|_(t=0) ) ? را s-انحنا خواهیم نامید. نشان خواهیم داد که مقدار s-انحنا در فضای راندرز همگن برابر صفر است.

در ا?ن پا?اننامه متر?کهای راندرس از نوع بروالد روی گروههای ل? چهاربعدی که دارای یک ساختارابرمختلط ناوردا می باشند مورد بررسی قرار می گیرند. فرض کنید m ?ک خم?نه هموار همبند باشد و ? ?ک متر?کر?مان? روی m باشد . در این صورت یک متریک راندرس روی m عبارت است از یک متریک فینسلر به فرم f = ? + ? که ? در آن یک 1-فرمی هموار با طول کمتر از یک می باشد. در این پایان نامه انحنای پرچمی متریک های راندرس از نوع بروالد روی گروه های لی چهار بعدی دارای یک ساختار ابرمختلط ناوردا بطور صریح حساب می شوند و فضاهای بروالدی با انحنای پرچمی نامنفی و نامثبت نیز ساخته خواهند شد.

فرض کنید m یک منیفلد هموار همبند باشد و α یک متریک ریمانی روی m باشد، در این صورت یک متریکراندرس روی m عبارت است از یک متریک فینسلر به فرم f =β + α که در آن β یک 1-فرمی هموار با طول کمتر از یک می باشد. در این پایان نامه ابتدا هندسه فینسلری متریک های راندرس چپ پایا و دو پایا روی گروه های لی مورد بررسی قرار می گیرند سپس ‍‍‍‍‍ژئودزیک های متریک های فینسلری چپ پایا و دو پایا روی گروه های لی محاسه می شوند. در ادامه با استفاده از متریک های ریمانی ناوردا از چپ روی بعضی از گروه های لی 3-بعدی متریک های بروالدی غیرریمانی از نوع راندرس که انحنای پرچمی نامثبت دارند ساخته خواهد شد.

در این پایان نامه روش شبه درونیاب اسپلاین برای حل مسائل مورد مطالعه قرار گرفته است. مقایسه بین قاعده بدست آمده در اینجا و قاعده سیمپسون و همچنین مقایسه ای با قاعده گریگوری برای انتگرال های یک گانه، دوگانه و سه گانه از مرتبه بالا انجام می گیرد. مثال هایی برای نشان دادن کارائی و دقت روش های ارائه شده، آورده شده است.

جبرهای نویکوو در برخی مفاهیم فیزیکی و ریاضی ظاهر شده اند. برای اولین بار در مطالعه عملگرها ی همیلتونی مربوط به انتگرال گیری برخی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی معرفی شدند. همچنین در ارتباط با کروشه پواسون از نوع هیدرودینامیک و معادلات یانگ -باکستر نیز ظاهر شده اند. در این پایان نامه ساختار های نویکوو را بررسی می کنیم علاقمندیم که بدانیم وجود یک ساختار نویکوو روی جبرلی آن را حل پذیر می کند یا نه؟برعکس دنبال جبرهای لی حل پذیری می گردیم که هیچ ساختار نویکووی نپذیرد. درکل درباره وجود ساختارهای آفین و نویکوو در چندین رده از جبرهای لی حل پذیر از جمله جبرهای لی حل پذیر2-‎گامی بحث خواهیم کرد.

در بررسی هندسه(3)so برخی فضاها در بعد 5 به فضای بردارn- بعدیv بهمراه یک متریک ریمانی g و تانسور متقارنtijk بر خوریم که

در این پایان نامه یک روش تقریبی جدید برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و دستگاه معادلات انتگرال ولترا به کار بردیم. این روش، معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال را به معادله ماتریسی با استفاده از سری تیلور تبدیل می کند. سیستم به دست آمده از روش ارائه شده یک معادله خطی جبری است، که حل این سیستم منجر به ضرایب تیلور تابع جواب می شود. همچنین این روش جواب تحلیلی را وقتی که جواب دقیق آن چند جمله ای است نتیجه می دهد. برای نشان دادن دقت وکارایی روش مثالهایی ارائه شده است.

این پایان نامه براساس مقاله ای از زییا تحت عنوان نقاط هوموکلینیک و تقاطع های زیرخمینه های لاگرانژی به بررسی تقاطع های هوموکلینیک در دیفیومرفیسهای سیمپلتیک می پردازد. بنابراین فصل اول و دوم به بررسی و معرفی اجمالی فضای برداری سیمپلتیک و خمینه سیمپلکتیک اختصاص داده شد و در فصل سوم مقدمات لازم از دستگاههای دینامیکی آورده شده است . در فصل آخر نظریه تقاطع زیرخمینه های لاگرانژی یک خمینه سیمپلکتیک آورده شده است .