در این پایان نامه پیوستگی نقاط مینیمال مساله های بهینه سازی چندهدفی پارامتری مورد بررسی قرار گرفته است. این مساله ها به صورت خطی و / یا محدب در نظر گرفته شده و پریشیدگی در سمت راست قیدها و تابع هدف فرض شده است. پیوسته هاسدروف بالایی و پیوسته هاسدروف پایینی برای مساله های بهینه سازی چندهدفی پارامتری ارائه شده اند که با استفاده از آن ها، به بررسی رفتار نقاط مینیمال مساله بهینه سازی چند هدفی پارامتری پرداخته شده اند، به طوری که این خاصیت امکان داده تا فاصله ی هر نقطه ی مینیمال پریشیده مساله از مجموعه نقاط مینیمال از مساله اصلی برآورد شود.

در این روش با استفاده از بسط یک تابع بوسیله ی تابع سینک و با تغییر متغیر نمایی به حل انتگرال و با بکار بردن آنها در قسمت انتگرالی معادلات انتگرال به حل تقریبی آنها می پردازیم.

در این رساله به بررسی روش سوزوکی در نظریه نقطه ثابت خواهیم پرداخت. این روش تعمیمی جدید از اصل انقباضی باناخ است که در سال 2008 توسط سوزوکی معرفی شد و پس از آن توسط ریاضی دانان دیگر ادامه یافته است. در فصل اول، تعاریف، قضایا و لم های مورد نیاز را ارائه می دهیم. فصل دوم شامل برخی از کارهای قدیمی سوزوکی مانند تعمیم قضیه مایر-کیلر و برخی قضایای مربوط به نگاشت های غیرتوسیعی است. روش جدید سوزوکی و نتایج آن را در فصل سوم بررسی می کنیم. در فصل چهارم، قضایای مربوط به روش سوزوکی برای چندتابعی ها که توسط سوزوکی و دیگر محققین ارائه شده را بررسی خواهیم نمود.

فرض کنید (x,d) یک فضای متریک و? یک ترتیب روی x باشد که لزوما ارتباطی بین d و ترتیب ? وجود ندارد. در این حالت، (x,d,?) را یک فضای متریک مرتب می نامند. در سال های اخیر ثابت شده است که اغلب نتایج نظریه نقطه ثابت روی فضاهای متریک مرتب تعمیم نتایج مشابه روی فضاهای متریک هستند. در این رساله، برخی معادلات دیفرانسیل را معرفی نموده، برخی نتایج نقطه ثابت برای خودنگاشت ها و چندتابعی ها روی فضاهای متریک مرتب را بررسی و کاربردهایی از این نتایج را برای برخی معادلات دیفرانسیل ارائه می نماییم. این کاربردها معمولا در نظریه معادلات دیفرانسیل بررسی نمی شوند و موضوعی جدید در این گرایش هستند.

در این پایان نامه معادله ی انتگرال نوع دوم فردهلم با هسته ی منفرد ضعیف را حل می کنیم.بدین صورت که با استفاده از موجکهای هرمیت مثلثاتی بعنوان پایه تقریبی برای قسمت منفرد هسته ساخته و جایگزین می کنیم که استفاده از این نوع موجک برای گسسته سازی معادلات انتگرال به یک بلوک تکراری از ماتریس های قطری تقارنی ختم می شود که موجب می شود حجم محاسبات بسیار کم شده و هزینه محاسبه و ذخیره سازی تا حد زیادی کاهش یابد.

نظریه نقطه ثابت یکی از شاخه های ریاضی است که کاربرد فراوانی به خصوص در حل معادلات دیفرانسیل دارد. تعمیم های مختلفی توسط ریاضیدانان متعددی در این نظریه ارائه شده اند. یکی از این تعمیم ها مربوط به فضاهای متریک تعمیم یافته است. در این رساله تاریخچه ای مختصر از فضاهای متریک تعمیم یافته ارائه نموده و چند نتیجه درباره نقطه ثابت چندتابعی ها روی این فضاها ثابت می کنیم. در این راستا از تکنیک سوزوکی برای تعمیم برخی نتایج فدیمی استفاده خواهیم کرد. همچنین با ترکیب تکنیک اخیر صامت و تکنیک سوزوکی، نتیجی را درباره نقطه ثابت نگاشت ها و چندتابعی های انقباضی ثابت می کنیم. علاوه بر ارائه چند نتیجه در خصوص قضایای نقطه ثابت در فضاهای متریک جزئی، چند نتیجه را نیز درباره مسائل تعادلی بیان خواهیم نمود.

در این پایان نامه به چند سوال باز در نظریه ی میانگین پذیری تقریبی جبرهای باناخ پاسخ داده می شود. ابتدا مثالی از جبرهای باناخی ارائه می شود که میانگین پذیر تقریبی کراندار هستند اما واحد تقریبی کراندار ندارند. این پاسخ سوال بازی بود که سال 2000 قهرمانی و لوی وقتی مفهوم میانگین پذیری تقریبی را معرفی کردند مطرح بود. برای c_0 مجموع مستقیمی از جبرهای باناخ میانگین پذیر شرایطی را فراهم می کنیم تا میانگین پذیر تقریبی باشند و پس از بررسی جزئیات مثال های مطرح شده به سایر سوالات باز پاسخ می دهیم:دو مفهوم میانگین پذیری تقریبی کراندار و انقباض پذیری تقریبی کراندار یکی نیستند، مجموع مستقیم دو جبر باناخ میانگین پذیر تقریبی لزومی ندارد میانگین پذیر تقریبی باشد و یک ایده آل هم بعد یک در یک جبر باناخ میانگین پذیر تقریبی کراندار لازم نیست میانگین پذیر تقریبی باشد

در این پایان نامه نشان می دهیم که اندیس عددی یک فضای ‎-l‎محاط شده و اندیس عددی یکی از دوگان های آن برابر می باشد.در حالت خاص اندیس عددی پیش دوگان یک جبر حقیقی یا مختلط فون نیومن یا سه گانه‎jbw* ‎ با اندیس عددی خود فضا برابر می باشد. ما ثابت خواهیم کرد که اگر ‎ xیک فضای باناخ ‎-m‎محاط شده با اندیس عددی ‎1‎ باشد آنگاه هر زیرفضای بسته ‎ x**‎ شامل ‎x‎ نیز دارای اندیس عددی ‎ 1می باشد.(در حالت خاص x*‎ و x** دارای اندیس عددی ‎1‎ می باشند.) نشان می دهیم که هر فضای باناخ ‎x‎ که شامل یک نسخه c0 یا ‎است, یک نرم معادل را می پذیرد که برای آن اندیس عددی فضای دوگان آن اکیدا کوچکتر از یکی از فضاها می باشد. در حالت خاص از یک فضای جدایی پذیر ‎x‎ شامل c0 , در واقع این امکان وجود دارد که ‎ x‎را با مقدار ماکزیمم اندیس عددی دوباره نرم بندی کنیم( مثلا با 1 ) ‎در حالی که اندیس عددی دوگان خیلی کوچکتر می باشد(مثلا ‎0‎ در حالت حقیقی و ‎1e‎ در حالت مختلط).

در این ‏رساله انژکتیو بودن ‎l^{p}(g برای ‎1<p<infty‎ بررسی می شود.‏ در واقع‏، با استفاده از مفهوم نرم های چندگانه ثابت می شود که ‎l^{p}(g)‎ به عنوان ‎l^{1}(g)‎ -مدول چپ باناخ، انژکتیو است اگر و فقط اگر گروه موضعاً فشرده ‎g میانگین پذیر باشد. هچنین با استفاده از نرم های چندگانه مفهوم جدیدی از میانگین پذیری به نام ‎(p,q)‎ -میانگین پذیری چپ برای گروه ‎g‎ ‎1leq pleq q <infty تعریف شده و نشان داده می شود که این مفهوم با میانگین پذیری معمولی ‎g‎ و انژکتیو پذیر بودن ‎l^{p}(g)‎ معادل است و درنهایت نظریه فضاهای نرم دار چندگانه توسیع داده شده است

در این پایان نامه به بررسی این موضوع خواهیم پرداخت که چه موقع یک فضای باناخ با نرم مطلق دارای اندیس های عددی چند جمله ای برابر با یک است. همچنین در حالت حقیقی ثابت می شود که هرگاه ‎$ x $‎ یک فضای باناخ با نرم مطلق و بعد بزرگتر از یک و دارای خاصیت رادون-نیکودیم یا فضای آسپلوند باشد‏، آنگاه ‎$ n^{(2)}(x)‎<1‎ $‎‏. در حالت مختلط ثابت می شود که فضاهای باناخ ‎$ ‎x‎ $‎‏ با نرم مطلق که دارای خاصیت رادون-نیکودیم هستند و در رابطه ی ‎$ n^{(2)}‎(x)‎=‎1‎ $‎‏ صدق می کنند‏، فضاهای ‎$ ‎ell‎_{‎infty‎}‎^{‎m‎}‎ $‎ ‎‏هستند.‎ همچنین‏، فضای مختلط آسپلوند ‎‎$ x $‎‎‏ با نرم مطلق که در رابطه ی ‎$ n^{(2)}(x)=‎1 $‎‎‎‏ صدق می کند برابر ‎$ ‎c‎_{0}(lambda)‎ $‎ ‎‏است.

نظریه نقطه ثابت کاربردهای متعددی در حل مسائل معادلات دیفرانسیل، نظریه بازی ها و اقتصاد دارد. نظریه نقطه ثابت ابزاری کاربردی در آنالیز غیر‎‎ خطی است و تکنیک های بسیار زیادی در این حوزه وجود دارد‎.‎ در این پایان نامه قصد داریم به برخی از تکنیک ها و تعمیم های جدید در این حوزه بپردازیم که اغلب مطالب درباره نگاشت های چند مقداری خواهد بود. در این راستا به معرفی نگاشت های ‎$ alpha $-‎انقباضی و ‎$ eta $-‎تعمیم یافته انقباضی ضعیف و بررسی نتایجی درباره خاصیت نقطه ثابت تقریبی چنین نگاشت هایی ‎می پر‎‎‎‎‎‎دازیم.

در این پایان نامه به بررسی چند نوع معادله دیفرانسیل کسری با مشتق کاپوتو یا ریمان لیوویل با شرایط مرزی انتگرالی‏، متناوب و غیر متناوب می پردازیم. همچنین چند شمول دیفرانسیل مرتبه کسری با شرایط مرزی ‏انتگرالی‏، سیگما‏، خاص و غیر تناوبی را مورد بررسی قرار خواهیم داد. در این راستا از قضایای متعدد نقطه ثابت برای وجود جواب معادلات و شمول های دیفرانسیل کسری با شرایط مرزی مختلف استفاده خواهیم نمود.

در این پایان نامه حالت قوی تر شده ای از صورت عمومی اصل بازتابی موضعی مورد بررسی قرار گرفته است. در آن، اصل بازتابی نسبت به زیر فضاها اضافه شده است. همچنین، کاربردهایی از این اصل در خصوص خاصیت تقریب کراندار برای زوج ها متشکل از فضاهای باناخ و زیر فضاهای آن ارائه شده است.

چکیده ندارد.

فرض کنید x یک فضای برداری باشد. زیرمجموعه c را از x یک مخروط گوییم هرگاه برای هر 0 <λ داشته باشیم λcc. در این رساله توسط مخروط c یک رابطه ترتیب روی x تعریف می کنیم. خاصیت یکنوایی توابع را نسبت به این رابطه ترتیب تعریف می کنیم توابع یکنوا که روی مخروط دلخواه تعریف شده اند را بررسی و در نهایت مفاهیم متخلخل و σ- متخلخل را مطرح و نتایجی را درباره آنها ثابت می کنیم.

بحث اساسی دراین پایان نامه به میانگین پذیری و میانگین پذیری ضعیف ‏‎m(g)‎‏ ، برای گروه موضعا فشرده دلخواه ‏‎g‎‏ اختصاص یافته است.