فرض کنید یک گراف همبند باشد. برای رئوس متمایز و ، فاصله فرعی ، طول بلندترین مسیر بین و در است. یک مسیر به طول را یک مسیر فرعی می نامند. مجموعه از رئوس را یک مجموعه فرعی می نامند هرگاه هر رأس از در یک مسیر فرعی برای برخی اعضای مانند و قرار گیرد. مینیمم اندازه یک مجموعه فرعی را عدد فرعی نامیده و با نماد نشان می دهند. مجموعه فرعی که هیچ زیرمجموعه سره آن یک مجموعه فرعی نباشد را مجموعه فرعی مینیمال می نامند. ماکسیمم اندازه یک مجموعه فرعی مینیمال را عدد فرعی مثبت گراف نامیده و با نماد نشان می دهند. زیرمجموعه از مجموعه فرعی مینیمم را یک زیرمجموعه تحمیل کننده نامند هرگاه تنها مجموعه فرعی مینیمم شامل باشد. مینیمم اندازه یک زیرمجموعه تحمیل کننده را عدد فرعی تحمیل کننده نامند و با نماد نشان می دهند. کمترین مقدار عدد فرعی تحمیل کننده برای یک مجموعه فرعی مینیمم را عدد فرعی تحمیل کننده می نامند و با نماد نشان می دهند. به عبارت دیگر، . برای هر رأس در ، مجموعه از رئوس را یک -مجموعه فرعی می نامند هرگاه هر رأس از در یک مسیر فرعی برای برخی اعضای مانند قرار گیرد. مینیمم اندازه یک -مجموعه فرعی را -عدد فرعی نامیده و با نماد نشان می دهند. برای رأس ، کمترین مقدار برای هر را با نماد نشان می دهند. به عبارت دیگر، . رأس را احاطه گر فرعی رأس نامند هرگاه یا . مجموعه از رئوس را یک احاطه گر فرعی نامند هرگاه هر رأس با برخی از رئوس احاطه فرعی شود. مینیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر فرعی را عدد احاطه ای فرعی می نامند و با نماد نشان می دهند. مجموعه احاطه گر فرعی که هیچ زیرمجموعه سره آن یک مجموعه احاطه گر فرعی نباشد را یک مجموعه احاطه گر فرعی مینیمال نامند. ماکسیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر فرعی مینیمال را عدد احاطه ای فرعی مثبت گراف نامیده و با نماد نشان می دهند. در این پایان نامه، دو پارامتر جدید احاطه گری در گراف ها را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل یک این پایان نامه تعاریف و قضایای مقدماتی مربوط به مجموعه های فرعی و احاطه گرهای فرعی بیان شده است. فصل دوم، مجموعه های فرعی مینیمم، مینیمال و زیرمجموعه های تحمیل کننده مجموعه های فرعی مینیمم در گراف را بررسی می کند. فصل سوم به -مجموعه های فرعی و رابطه آنها با مجموعه های فرعی اختصاص دارد. احاطه گرهای فرعی مینیمم و مینیمال عنوان فصل چهارم می باشد. در فصل آخر این پایان نامه نتایج مربوط به احاطه گرهای فرعی در گراف های جهت دار بیان شده است.

گراف g را با مجموعه رئوس و یالهای v وe در نظر بگیرید توابع f و g را به ترتیب از v و e به {1-و1} تعریف کنید.تابع g را یک تابع k-زیراحاطه گر تام یالی علامتدار است هرگاه بر ای حداقل k یال از g مجموع وزن یالهای موجود در همسایگی یالی باز آنها بزرگتر یا مساوی یک باشد. مینیمم وزن g از g را عدد k-زیراحاطه ای تام یالی علامتدار تابع f را یک تابع بد گویند هرگاه بازای هر راس از g مجموع وزن رئوس موجود در همسایگی باز آنها کوچکتر یا مساوی یک باشد. مینیمم وزن f را عدد تصمیم منفی گویند.تابع h از e به {1-و0و1} تابع k -زیراحاطه گر یالی منفی است هرگاه بر ای حداقل k یال از g مجموع وزن یالهای موجود در همسایگی یالی آنها بزرگتر یا مساوی یک باشد. مینیمم وزن h از g عدد k -زیراحاطه ای یالی منفی است.

فرض کنیدکه g گرافی با جورسازی کامل m باشد. عدد تحمیل کننده جورسازی کامل m، کمترین تعداد یال هایی در s زیرمجموعه m می باشد که در آن s مشمول درهیچ جورسازی دیگری نباشد.

مجموعهs از رئوس گراف gرا یک مجوعه احاطه گر تام نامند هرگاه هر رأس درv(g) با حداقل یک رأس از s مجاور باشد. مینیمم تعداد اعضای یک مجموعه احاطه گر تام را عدد احاطه ای نامیده و با?_(t ) (g) نشان می دهند. مجموعه s را یک مجموعه احاطه گر همبند مضاعف در g نامند هرگاه هر رأس درv(g)-s با حداقل یک رأس از s مجاور بوده و زیرگرافهای القایی g[s] و g[v-s] همبند باشند. مینیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر همبند مضاعف در g را عدد احاطه ای همبند مضاعف آن نامیده و با ?_cc (g) نشان می دهند. مینیمم تعداد یالهایی از گراف g را که با زیرتقسیم ـآنها عدد احاطه ای تام (عدد احاطه ای همبند مضاعف) افزایش یابد، عدد زیرتقسیم احاطه ای تام (عدد زیرتقسیم احاطه ای همبند مضاعف) نامیده و ب) sd_(?_t ) (g) sd_(?_cc ) (g) (نشان می دهند. فاوارون و همکارانش حدس زدند که در هر گراف همبند g از مرتبه n?3، sd_(?_(t ) ) (g)??_t (g)+1 و آن را برای برخی گرافها ثابت کردند. در این رساله، این حدس را برای گرافهایی که هر رأس آنها مشمول در حداکثر سه دور القایی c_4 باشد و گرافهای همبندی که دورهای القایی c_3 و c_5 ندارند، ثابت کرده و یک کران بالا برای عدد زیرتقسیم احاطه ای تام در رده خاصی از گرافها بر حسب عدد جورسازی ارایه می دهیم. همچنین عدد زیرتقسیم احاطه ای همبند مضاعف را مطالعه کرده و کرانهایی را برای آن برحسب پارامترهای مختلف یک گراف ارایه می دهیم.

فرض کنید g‎ گرافی با d‎ رأس وr=k[x_1 ,…,x_d] ‎ حلق? چندجمله ای ها روی میدانk ‎ با d‎ متغیر مستقل باشد. فرض کنید ‎ i ‎ ایده آل یالی گراف ‎$ (ایده آل تولید شده توسط تک جمله ای های متمایز با درج? دو) باشد. در این پایان نامه برای تعیین ایده آل های اول وابسته به توان های ‎ i ‎، ساختاری معرفی می شود که با استفاده از این ساختار نشان داده می شود کران بالای مجموعه ایستایی ایده آل های اول وابسته به توانی از ‎ i ‎ در کجا رخ می دهد. در این پایان نامه با مطالعه روی کلاس خاصی از ایده آل های تک جمله ای، به دنبال روشی هستیم که به وسیل? آن بتوان ایده آل های اول مشمول در مجموعه ایده آل های اول وابسته به ایده آل تک جمله ای را تعیین و کران بالایی برای ایستایی این مجموعه را محاسبه کرد. در فصل دوم ابتدا در مورد جبر تک جمله ای ها مطالبی توضیح داده خواهد شد و سپس با استفاده از نظری? گراف ها ارتباط بین ایده آل تک جمله ای و یک گراف، که منجر به تعریف ایده آل یالی می شود، را بیان می کنیم. در فصل سوم با استفاده از خصوصیات گراف ها، ایده آل های اول مشمول در مجموعه ایده آل های اول وابسته به ایده آل یالی یک گراف را تعیین و کران بالایی برای ایستایی این مجموعه ارائه می کنیم.

در این پایان نامه به بررسی خانواده ای از پار‎امترها که مدل کسری برخی پارامترهای دیگر در نظریه گراف هستند، می پردازیم. پارامترهای اصلی در حالت کلی به فرم: مینیمم-ماکسیمم کاردینالیتی یک مجموعه مینیمال-ماکسیمال از رئوس گراف ‎هستند، بطوریکه مجموع وزن رئوسی که به همسایگی هر رأس نسبت می د هیم حداکثر-حداقل یک می باشد. پارامترهایی که در این پایان نامه بررسی می کنیم شامل مدل کسری احاطه ای، احاطه ای تام، دسته بندی، ‎ -‎k‎ ‎ فاصله احاطه ای و احاطه ای کلی است.

: فرض کنیدg یک گراف متناهی ساده بامجموعه رئوس v(g)={x1,…,xn } ومجموعه یالهای e(g) بوده و r=k[x1,…,xn] حلقه چندجمله ایهاباn متغیر روی میدان k باشد .ایده آل یالی گراف g ،i(g)، را به صورت زیر تعریف می کنیم .<{xixj| xixj?eg}> i(g)= گراف g را کوهن- مکالی(دنباله وار) گوییم هرگاه حلقه r/i(g)کوهن- مکالی(دنباله وار) باشد. دراین پایان نامه نشان می دهیم تمام گرافهای وتری کوهن- مکالی دنباله وار بوده و دوگان الکساندر ایده آل یالی آنها مولفه وار خطی است. همچنین رابطه رئوس یک گراف وتری با بیشینه وجه هایی از همبافت ساده گون g ،(g)?، که دارای رئوس آزاد هستند مورد بررسی قرار می گیرد.

فرض g گرافی با مجموعه رئوس v و مجموعه یال های e باشد، زیر مجموعه d از رئوس g یک مجموعه احاطه گر همبند مضاعف برای g است، هرگاه d یک مجموعه احاطه گر بوده و زیر گراف های القایی g[d] و g[v-d] همبند باشند.می نیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر همبند مضاعف را عدد احاطه ای همبند مضاعف می نامیم.

فرض کنید g = ( v ; e ) گرافی فاقد راس منفرد است. مجموعه ی d ? v (g) را مجموعه احاطه گر تام گوییم هرگاه d یک مجموعه احاطه گر بوده و زیر گراف القایی g[d] شامل هیچ راس منفردی نباشد. می نیمم کاردینال یک مجموعه احاطه گر تام را عدد احاطه ای تام می نامند. مجموعه d ? v (g) را یک مجموعه احاطه گر همبند بیرونی تام گویند هرگاه d یک مجموعه احاطه گر تام g بوده و زیر گراف القایی توسط g[v ? d] همبند باشد. عدد احاطه ای همبند بیرونی تام برای گراف g ، می نیمم کاردینال یک مجموعه ی احاطه گر همبند بیرونی تام g است. در این پایان نامه ، نخست کران های قابل وصول برای عدد احاطه ای همبند بیرونی تام ارایه کرده و سپس عدد احاطه گری همبند بیرونی تام گراف هایی را بررسی می کنیم که قطر آنها دو است. همچنین ، نامساوی از نوع نامساوی نوردهاوس-گادم را برای عدد احاطه گری همبند بیرونی تام اثبات می کنیم.

در حلقه نوتری و جابجاییr ، ایده آل i را به طور نرمال آزاد از تاب گوییم هرگاه به ازای هر t?1، ass(r/it) =ass(r/i). در این پایان نامه یک روش بازگشتی برای مطالعه ایده آلهای تک جمله ای آزاد از مربع به طور نرمال آزاد از تاب، ارائه می دهیم و با استفاده از آن نشان می دهیم که اگر i یک ایده آل تک جمله ای آزاد از مربع باشد که به طور مینیمال آزاد از تاب نیست آنگاه کوچکترین توان آن، که دارای ایده آل اول محاطی است از?1(h) بزرگتر خواهد بود که در آن h ابرگراف وابسته به ایده آل i و ?1(h) عدد جورسازی آن می باشد. بعلاوه نشان داده می شود اگر i در خاصیت بسته بندی صدق نکند آنگاه به ازای+1 1? t=،t i دارای ایده آل اول محاطی است. در نهایت ثابت می شود اگر i ایده آل یالی یک گراف باشد آنگاه مجموعه ایده آلهای اول وابسته به توانهای i، یک زنجیر صعودی می باشند.

یک تناظر یک به یک طبیعی بین ایده آلهای تک جمله ای آزاد از مربع و ابرگرافهای ساده متناهی وجود دارد. فرض کنید h یک ابرگراف ساده متناهی با مجموعه رئوس {vh = {x1‎ , ... , ‎xnو مجموعه یالی e‎h = {e1‎ , ... , ‎et}‎ بوده و [r = k[x1 , ‎... , ‎xn حلقه چند جمله ایها با n متغیر روی میدان k باشد. فرض کنید (j(hایده آل پوششی ابر گراف h باشد. در این پایان نامه ما ارتباط رفتار دنباله 1?ass(r/js)}s)}را با خواص رنگ آمیزی ابر گراف h مورد بررسی قرارداده و یک روش جبری برای مشخص نمودن عدد رنگی hارائه می دهیم. نهایتا رابطه بین گرافهای تام و شرط زنجیر اشباع شده برای ایده آلهای اول وابسته توانهای ایده آل پوششی jرا مورد بررسی قرار می دهیم.

فرض کنید g گرافی با مجموعه رئوس v باشد. زیرمجموعه d از v یک مجموعه احاطه گر است هرگاه هر راس از v-d با راسی از d مجاور باشد. افراز دماتیک رئوس عبارت است از افراز رئوس به مجموعه های احاطه گر. بیشترین تعداد مجموعه در چنین افرازی، عدد دماتیک g نامیده میشود. فرض گنید f تابعی باشد که به رئوس گراف مقادیر 0، 1 و 2 را نسبت می دهد. هرگاه هر راس با مقدار 0 با راسی با مقدار 2 مجاور باشد، به چنین تابعی تابع احاطه ای رومی گفته میشود.

فرض کنید یک گراف ساده با مجموعه رئوس مجموعه یالهای باشد. همسایگی باز رأس عبارت است از و همسایگی بسته آن برابر است با . فرض کنید یک تابع حقیقی مقدار بر باشد. در این صورت را وزن تابع می نامند. تابع را یک تابع احاطه گر (تام) علامت دار در نامند هرگاه به ازای هر ، ( ). مینیمم وزن در میان تمام توابع احاطه گر (تام) علامت دار را عدد احاطه ای (تام) علامت دار نامیده و با ( ) نشان می دهند. تابع احاطه گر (تام) علامت دار در گراف را یک تابع احاطه گر (تام) علامت دار کلی نامند هرگاه یک تابع احاطه گر (تام) علامت دار در باشد. فرض کنید یک عدد صحیح باشد. تابع را یک تابع احاطه گر علامت دار در نامند هرگاه به ازای هر ، . مینیمم وزن در میان تمام توابع احاطه گر علامت دار را عدد احاطه ای علامت دار آن نامیده و با نشان می دهند. خانواده از توابع احاطه گر علامت دار در را یک خانواده احاطه گر علامت دار نامند هرگاه به ازای هر ، . بیشترین تعداد اعضای یک خانواده احاطه گر علامت دار در را عدد دماتیک علامت دار آن می نامند. در این رساله، مفهوم توابع احاطه گر تام علامت دار کلی را معرفی نموده و کرانهایی را برای عدد احاطه ای تام علامت دار کلی به دست می آوریم و درختها را بر اساس تفاضل عدد احاطه ای تام علامت دار کلی و عدد احاطه ای تام علامت دار دسته بندی می کنیم. همچنین عدد احاطه ای علامت دار و عدد دماتیک علامت دار و عدد دماتیک تام علامت دار در گرافهای جهت دار را معرفی نموده و کرانهایی را برای این پارامترها بر حسب پارامترهایی مانند درجه ورودی و درجه خروجی رئوس، مرتبه، اندازه و دیگر پارامترهای یک گراف به دست می آوریم.

فرض‎‎کنید g‎ یک گراف ساد? متناهی با n‎ رأس بوده و r = k[x1 , ... , xn]‎ حلق? چندجمله‎ایها روی میدان k‎ باشد بطوریکه ‎i(g)‎ ایده‎آل یالی و ‎i(g)^?‎ الکساندر دوآل ایده‎آل یالی است. در این پایان‎نامه، نشان داده می‎‎شود که دورهای القایی فرد در گراف g‎ را می‎توان از ایده‎آل‎های اول وابست? 2 ^(i(g)?‎)‎بدست آورد که روشی را جهت تعیین دور‎‎های القایی فرد از طریق اعمال جبری روی یک ایده‎آل نظیر اشتراک، حاصل‎‎ضرب و حاصل‎تقسیم، نتیجه می‎دهد. علاوه براین حدسی را برای ساختن گراف‎های (‎s+1)– رنگ‎پذیر بحرانی از گراف‎های s‎ – رنگ‎‎پذیر بحرانی معرفی می‎کنیم و نشان می‎‎دهیم که اگر این حدس، برای هر عدد طبیعی ‎s‎ برقرار باشد آنگاه هر ایده‎آل تک‎جمله‎ای آزاد از مربع ناآمیخته با ارتفاع 2‎ در حلق? ‎r‎ مانند ‎i‎، یعنی ایده‎آل پوششی گراف ‎g‎، دارای خاصیت پایا می‎باشد، به عبارت دیگر به ازای هر عدد طبیعی ‎s‎، ایده آلهای اول وابسته (r/(i^s زیر مجموعه ایده آلهای اول وابسته ((r/(i^(s+1 است. همچنین بطور جبری ثابت می‎‎شود که این حدس برقرار است اگر عدد رنگی کسری ‎g‎ ، x_(f)(g)‎، در رابط? (x(g) -1<x_(f)(g)<=x(g صدق کند. ‎

فرض کنید ( g=(v,e گرافی با مجموعه رئوس v ویالهایe باشد.عدد پوچساز گراف g بزرگترین عدد صحیح k است به طوری که مجموع k جمله اول دنباله درجات غیرکاهشی g حداکثر برابر تعداد یال های g باشد.در این پایان نامه کران بالا برای اعداد احاطه ای برحسب عدد پوچساز ارائه می دهیم.

let g=(v,e) be a graph with vertex set v and edge set e.for two vertices u,v of g ,the closed interval i[u,v] ,consists of u,v and all vertices lying in some u-v geodesic in g.if s is a set of vertices of g then i[s]is the union of all sets i[u,v]for u,v ? s. if i[s]=v(g) , then s is a geodetic set for g.the geodetic number g(g) is the minimum cardinality of geodetic set.the maximum cardinality of a minimal geodetic set is the upper geodetic number g^+ (g). a set s?v(g) is a connected gcedeodetic set of g if i[s]=v(g) and the subgraph in g induced by s is connected.the minimm cardinality of a connected geodetic set of g is the connected geodetic number g_c (g)of g and a connected geodetic set of g whose cardinality equals g_c (g)is a minimum connected geodetic set of g. in this thesis, we study geodetic number and upper geodetic number of graphs.

فرض کنید g=(v(g),e(g)) گرافی با مجموعه رئوس v(g) و مجموعه یال های e(g) باشد. زیرمجموعه s از رئوس g یک مجموعه احاطه گر نامیده می شود هرگاه هر رأس در v(g)-s حداقل با یک رأس در s مجاور باشد. عدد احاطه ای گراف g، کوچکترین اندازه یک مجموعه احاطه گر در g است و با ?(g) نشان داده می‍شود. به وضوح عدد احاطه ای گراف g با حذف یال هایی از g ممکن است افزایش یابد. اگر g یک گراف ناتهی باشد، مینیمم تعداد یال هایی که حذف آن ها باعث افزایش عدد احاطه ای می شود را عدد بانداژ نامیده و با b(g) نشان می دهند. واضح است عدد احاطه ای گراف g با افزودن یال های g افزایش نمی یابد و می تواند کاهش پیدا کند. اگر g یک گراف غیر کامل باشد، مینیمم تعداد یال هایی که افزودن آن ها باعث کاهش عدد احاطه ای می شود را عدد تقویت کننده نامیده و با r(g) نشان می دهند.

در این پایان نامه ما خانواده ی خاصی از ابرگراف ها را که کلاتر می نامیم مورد بررسی قرار می دهیم. و نشان می دهیم که کلاتر های با خاصیت رأسی آزاد لایه پذیراند. همچنین نشان می دهیم که اگر c یک کلاتر ناآمیخته با یک جورسازی کامل از نوع کونیگ بدون دورهایی از طول ‎3‎ یا ‎4‎ باشد، آنگاهc ? لایه پذیر محض است و کلاترهای قابل قبول کامل، ناآمیخته اند. همچنین رابطه ی بین گراف های دو بخشی کوهن-مکالی و لایه پذیری را مورد بررسی قرار می دهیم

برای هر راس ‎u‎ وv از گرافg ‎، مجموعه یi[u‎, ‎v] ‎ شامل تمام راس هایی است که در مسیرهای ژئودتیک u-v ‎ از گراف g قرار دارد. اگرs زیر مجموعه ای از راس های گراف g ‎باشد، آنگاه i[s] ‎اجتماع تمام مجموعه های i[u‎, ‎v] ‎ برای u‎,‎v? s ‎است. مجموعه یs? v(g) ‎ یک مجموعه ی ژئودتیک است اگر i[s]= v(g) ‎.به کوچکترین اندازه ی مجموعه های ژئودتیک در گرافg ‎ عدد ژئودتیک گویند و با g(g) ‎ نشان می دهند. مجموعه ی ژئودتیک s?v(g) ‎ یک مجموعه ی ژئودتیک تام است اگر‎ g[s] ‎شامل راس تنها نباشد. به کوچکترین اندازه ی مجموعه های ژئودتیک تام در گراف‎ g ‎عدد ژئودتیک تام گویند و با g_t (g) ‎نشان می دهند. مجموعه ی ژئودتیک‎ s?v(g) ‎مجموعه ی ژئودتیک تام مهارشونده است اگرg[s] ‎ و g[v(g)-s] ‎ شامل راس تنها نباشند. به کوچکترین اندازه ی مجموعه های ژئودتیک تام مهارشونده در گراف‎ g ‎عدد ژئودتیک تام مهارشونده گویند و باg_{tr}(g) ‎ نشان می دهند. در این پایان نامه توصیف کاملی از گراف ‎‎‎g‎ ‎‎‎به طوری که دارای راس تکیه گاهی و راس سادکی نباشد و‎‎‎g_{tr}(g)=|v(g)|‎ ‎‏، را ارائه دادیم. همچنین شرط لازم و کافی را برای سه تایی(a‎, ‎b‎, ‎c) ‎ از اعداد صحیح به طوری که گراف همبند غیر بدیهیg ‎ برای ‎(i) a=g(g) ‎, ‎ b=g_{tr}(g) ‎, ‎ c=|v(g)| ; ‎(ii) a=g_t(g) ‎, ‎ b=g_{tr}(g) ‎, ‎ c=|v(g)| ; ‎(iii) a=rad(g) ‎, ‎ b=diam(g) ‎, ‎ c=‎g_{tr}(g)‎‎ قابل حصول باشد، بررسی می کنیم. سپس شرط لازم و کافی را برای g_{tr}(g)=n ‎شناسایی می کنیم همچنین به بررسی زوج‎ (a‎, ‎b) ‎از اعداد صحیح به طوری که گراف همبند غیر بدیهی g ‎برای a=g_{tr}(g) ‎, ‎ b=f_{tr}(g) ‎ قابل حصول باشد، می پردازیم و در نهایت برای سه تایی (a‎, ‎b‎, ‎c) ‎از اعداد صحیح به طوری که گراف همبند غیر بدیهی g ‎ برای a=g_{tr}(g) ‎, ‎ b=f_{tr}(g) ‎, ‎ c=|v(g)| ‎قابل حصول باشد‎‏‎، را بررسی می کنیم. کلمات کلیدی : عدد‎‎ ژئودتیک‏، عدد ژئودتیک تام‏، عدد ژئودتیک تام مهار شونده‏، عدد تحمیل کننده ی ژئودتیک‏، عدد تحمیل کننده ی ژئودتیک تام‏، عدد تحمیل کننده ی ژئودتیک تام مهارشونده.

فرض کنید g یک گراف باشد. عدد اخاطه ای k - محدود شده گراف g کوچکترین عدد صحیح r ( g ) است , بطوریکه برای هر زیر مجموعه u با k راس یک مجموعه احاطه گر در g از اندازه ی حداکثر r ( g ) شامل u موجود باشد. بنابراین عدد احاطه ای k- محدود شده یک گراف تعداد رئوس مورد نیاز برای احاطه گری است با این شرط که مجموعه احاطه گر شامل k راس دلخواه باشد.

در این پایان نامه به بررسی برخی از خواص ترکیبیاتی همبافتهای ساده گون پرداخته می شود. فرض کنید w یک زیر مجموعه v و ? یک همبافت ساده گون روی مجموعه رئوسv باشد. ما ابتدا رنگ آمیزی و رنگ آمیزی جزئی نسبت بهw را در مورد ? بررسی کرده ایم. سپس با ایجاد همبافت ساده گون ?_? که آنرا همبافت ساده گون آویزدار شده جزئی می نامیم، به بررسی خواص آن پرداخته ایم. در ادامه با فرض w=v به نتایج دیگری رسیده ایم و سپس -h بردار یک همبافت ساده گون را بررسی کرده ایم . در پایان به عنوان یک کاربرد همبافتهای استقلال گرافهای کردال را در نظر گرفته ایم.

مجموعه s را یک مجموعه احاطه گر پویا گوییم هر گاه به ازای هر عضو s حداقل یک از دو شرط زیر برقرار باشد. 1) {s - {v یک مجموعه احاطه گر باشد. 2) راسی مانند u در همسایگی v در خارج از s وجود داشته باشد که اگر v را با u در s جابجا کنیم آنگاه s یک احاطه گر باشد. یک مجموعه احاطه گر پویای g را می نیمال گویند هر گاه هیچ زیر مجموعه واقعی آن احاطه گر پویا نباشد. منییم تعداد یالهایی که با زیر تقسیم آنها عدد احاطه ای پویا افزایش می یابد را عدد زیر تقسیم احاطه ای پویا گوییم. مجموعه s را یک مجموعه k - احاطه گر پویا گوییم اگر برای هر k - زیر مجموعه ی w از v(g) یک تابع از s موجود باشد بطوریکه( f(s زیر مجموعه w را احاطه کند. در این پایان نامه دو پارامتر جدید احاطه ای در گراف ها را مورد بررسی قرار داده و دو پارامتر جدیددیگر را معرفی کردهایم.بررسی علمی مجموعه های احاطه گر و عدد احاطه ای در گراف ها به سال 1960 بر می گردد. چاپ بیش از دو هزار مقاله علمی نشان از اهمیت این مفهوم در نظریه گراف و کاربرد های آن دارد.

فرض کنید g = ( v, e ) یک گراف باشد. اگر uv ? e ، آنگاه گوییمu و یکدیگر را احاطه می کنند. بعلاوه اگر deg u ? deg v ، آنگاه گوییم u ، v را بطور قوی وv ، u را بطور ضعیف احاطه می کند. مجموعه d ? v در گراف ، یک مجموعه احاطه گر (ds) نامیده می شود هرگاه هر رأسv? v(g) توسط حداقل یک رأس ازd احاطه شده باشد. مینیمم کاردینال یک مجموعه احاطه گر از g را عدد احاطه ای نامیده و با ?(g) نمایش می دهند. مجموعه d ? v در گراف g ، یک مجموعه احاطه گر ضعیف (wds) نامیده می شود هرگاه هر رأسv? v(g) توسط حداقل یک رأس ازd به طور ضعیف احاطه شده باشد و مجموعه d ? v در گراف g ، یک مجموعه احاطه گر قوی(sds) نامیده می شود هرگاه هر رأس v? v(g) توسط حداقل یک رأس ازd به طور قوی احاطه شده باشد. مینیمم کاردینال یک (sds) wds ازg را عدد احاطه ای ضعیف (قوی) نامیده و با نماد ?w(g) (?st(g)) نمایش می دهند. در این پایان نامه مفاهیم احاطه گری ضعیف و قوی و نتایج موجود روی این دو پارامتر را در گرافها بررسی خواهیم کرد.

چکیده فرض کنید x و y دو فضای توپولوژیک و ? t:x یک چند تابعی باشد. تابع پیوسته f:x?y را یک انتخاب برای t نامند هرگاه برای هر x ? x داشته باشیم f(x) ? t(x). در این پایان نامه به بررسی شرایط کافی برای وجود انتخاب چند تابعی ها خواهیم پرداخت. قضیه مایکل یکی از مهمترین نتایج در این زمینه است. انتخابهای تقریبی و مساله تجزیه انتخابها نیز از موضوعات اساسی این پایان نامه می باشد. ما همچنین انتخابهای چندتابعی های لیپشیتز و چند تابعی های نا پیوسته پایینی را مورد بررسی قرار خواهیم داد. واژه های کلیدی: انتخاب پیوسته، چند تابعی، چند تابعی لیپشیتز، انتخابهای تقریبی، مساله تجزیه انتخابها.