در این پایان نامه نشان داده می شود اگر گروهی دارای پوشش متناهی از زیر گروه های دوری باشد ، آنگاه این گروه دوری و یا متناهی است و اگر تعویض گرهای آن دارای پوشش متناهی از زیرگروه های دوری باشد، آنگاه زیرگروه مشتق آن دوری و یا متناهی است.

در پایان نامه حاضر قصد داریم به بررسی و تشریح برهان جبری برای یکی از قضایای مهم منطق ریاضی به نام قضیه حذف برش بپردازیم. این قضیه که یکی از مهمترین نتایج در نظریه برهان بر پایه حساب رشته هاست، اولین بار توسط گرهارد گنتسن ، در سال 1934 برای منطق های کلاسیک و شهودگرایی اثبات شده است. از اوایل قرن نوزدهم زمینه های مشترکی بین منطق ریاضی و جبر بوجود امد که موجب گسترش تحقیقات در منطق بوسیله تکنیک های جبری و گاهی حصول نتایجی در جبر به کمک ابزارهای منطقی شد و این منجر به ایجاد شاخه منطق جبری در ریاضیات شد.دلایل مختلفی بر ایجاد شاخه منطق جبری موثر بود که از ان میان می توان به ارتباط معنایی نزدیکی که بین شاخه ای از منطق ریاضی (به نام نظریه مدل) و بخشی از جبر (به طور خاص جبر جهانی) وجود دارد اشاره کرد. همچنین در برخی موارد تکنیک های جبری راه حل های ساده تری برای مسیله هایی از منطق ریاضی که که پاسخ آنها بوسیله ابزارهای منطقی طولانی و گاه طاقت فرسا بودند، ارایه می کردند. پروفسور هیروآکرا اونو، ریاضیدان برجسته ژاپنی ، در خلال کارهای گسترده خود در منطق جبری ، برهان جبری زیبایی برای قضیه حذف برش در [2] ارائه کرد؛ که ما در اینجا به تشریح این برهان برا ی منطق زیرساختاری میپردازیم. منطق منطقی است که از منطق شهودگرایی با حذف قاعده ساختاری انقباض حاصل می شود. در جریان این اثبات ایده کار کاملا روشن می شود وبا اعمال تغییراتی در آن می توان برهان را برای بسیاری از انواع دیگر منطق نیز ارائه گردد.

فرض کنید gیک گروه، زیرگروه h از gرا ساکن گویند هرگاه به ازای هر g?g ، اندیس h?h^g در h متناهی است. واضح است که زیرگروه های نرمال، زیرگروه های متناهی و زیر گروه های با اندیس متناهی مثال هایی بدیهی از زیرگروه های ساکن اند. هرگاه هر زیرگروه gساکن باشد gرا تماماً ساکن گویند و با نماد tin نشان می دهند. از خواص گروه های تماماً ساکن این است که زیرگروه و تصویر همریخت گروه تماماً ساکن، گروه هایی تماماً ساکن است ولی خاصیت توسیع در این نوع گروه ها برقرار نیست.گروه های آبلی و گروه های متناهی نمونه هایی از گروه های تماماً ساکن است و نشان خواهیم داد که هیچ گروه نامتناهی، ساده، موضعاً متناهی و تماماً ساکن وجود ندارد.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه به گروه موضعا ?غیردوری g گراف ?_g را نسبت می دهیم cyc(g) g را به عنوان مجموعه ر?وس آن در نظر می گیریم که در آن cyc(g) = {x?g | دوری باشد y?g برای هر <x,y> } به هم متصل اند هرگاه زیرگروه تولید شده توسط آنها تشکیل زیرگروه دوری ندهد. چنین گرافی x,y است و دو رأس متمایز را گراف غیر دوری گروه g می نامیم. در این پایان نامه ما ویژگی های این گرافها را مورد مطالعه قرار می دهیم و به ویژگیهای گراف غیردوری نظیر برخی از گروههای خاص اشاره خواهیم کرد. به عنوان مثال نشان می دهیم که اگر g یک 2- گروه آبلی .diam( ?_g) ??مقدماتی باشد آنگاه همچنین ثابت می کنیم که عدد خوشه ای ?_g متناهی است اگر و تنها اگر ?_g خوشه ای نامتناهی نداشته باشد و نشان خواهیم داد که اگر g گروهی متناهی و پوچ توان و h گروهی دلخواه با این ویژگی که ?_g ? ?_h باشد آنگاه h نیز گروهی متناهی و پوچ توان خواهد بود. علاوه بر این مثالهایی از ????cyc(g)| = |cyc(h)| = 1 و گروههایی مانند g ارائه می دهیم که گرافهای غیر دوری آنها یکتا هستند یعنی اگر برای گروه دلخواه h, داشته باشیم ?_g ? ?_h، آنگاه g ?h خواهد بود. البته حدس ما در این مثالها این است که هر گروه ساده غیرآبلی و متناهی دارای گراف غیردوری یکتا است. در انتها به مثالهایی از گروههای غیردوری متناهی مانند g اشاره می کنیم که اگر برای گروه دلخواه h, داشته باشیم ?_g ? ?_h، آنگاه |g|=|h|. اگرچه این مطلب این سوال را در ذهن القا می کند که آیا چنین خاصیتی برای تمام گروههای غیردوری متناهی برقرار است یا خیر؟ که در پایان در این رابطه بحث خواهیم کرد.

در این پایان نامه ساختار و مرتبه گروه خودریختی های حاصل ضرب مستقیم گروه های متناهی را به دست می آوریم.ما ابتدا نشان می دهیم که اگر h و ‎k‎ گروه هایی متناهی باشند که هیچ عامل مستقیم مشترکی ندارند و ‎g=h× k‎، آنگاه ساختار و مرتبه aut g‎را می توان برحسب aut h، aut k و گروه های همریختی مرکزی hom(h,z(k)) و hom(k,z(h) ‎ بیان کرد. در فصل سوم ابتدا گروه خودریختی های حاصل ضرب مستقیم ‎n‎ نسخه از یک گروه ناآبلی تجزیه ناپذیر را می یابیم. ما گروه خودریختی ها را به صورت ماتریس هایی با درایه هایی که همریختی های بین ‎n‎ عامل مستقیم هستند توصیف می کنیم. سپس این توصیف را همراه با تعمیم نتیجه ای از بیدول و کاران روی aut(h× k)، که ‎h‎ و ‎k‎ هیچ عامل مستقیم مشترکی ندارند به کار می بریم تا قضایای ساختار و مرتبه را برای یک حاصل ضرب مستقیم دلخواه به دست آوریم. به عنوان نتیجه اصلی گروه خودریختی های یک حاصل ضرب مستقیم متناهی دلخواه g=h_1^(?_1 )×…×h_n^(?_n ) را توصیف می کنیم که ‎ h_iها همگی غیریکریخت و تجزیه ناپذیرند ?_i?1 ، 1?i?n . مطالب فصل های ‎2‎ و ‎3‎ از منابع ‎11 و ‎12 گرفته شده اند. کلمات کلیدی: خودریختی ها، حاصل ضرب مستقیم، گروه های متناهی. ‎

هدف اصلی این پایان نامه مطالعه گراف اشتراکی وابسته به گروه ها و حلقه ها است. درابتدا گراف اشتراکی گروه های آبلی متناهی و نیز گروه های دوری متناهی را مورد مطالعه قرار داده ایم و برخی خواص از جمله مجموعه مستقل، عدد استقلال، همبندی و قطر آن ها را مشخص نموده ایم. سپس به معرفی گراف ماکسیمال در یک گروه پرداخته ایم که رئوس این گراف زیر گروه های بیشین گروه می باشند. در این قسمت گراف ماکسیمال را در حالی که g یک گروه متناهی ساده ویا غیر ساده باشند را مورد بررسی قرار داده ایم. بطور مثال ثابت کرده ایم که اگرg یک گروه ساده و متناهی باشد گراف ماکسیمال آن همبند و قطر آن حداکثر 62 است. در خاتمه به معرفی گراف اشتراکی حلقه ها پرداخته شده است و در حالی که این گراف مسطح باشد ساختارحلقه مربوطه را تعیین نموده ایم.

گروه دلخواه g را در نظر بگیرید. گراْف ?_g را که گراف جا به جا یی رده های تزویج g نامیده می شود به صورت زیر به گروه g نسبت می دهیم: مجموعه ی تمام رده های تزویج غیر بدیهی g را به عنوان رئوس ?_g در نظر بگیرید.دو رده ی تزویج متمایز با یکدیگر مجاورند اگر و فقط اگر عنصری از یک رده ی تزویج با عنصری از رده ی تزویج دیگر جا به جا شود.در این پایان نامه نشان می دهیم که اگرg گروهی تابدار حل پذیر باشد آنگاه ?_g حداکثر دو مولفه ی همبندی دارد که قطر هر مولفه ی همبندی حداکثر 9 است. همچنین اگر g گروهی موضا" متناهی باشد آنگاه ?_g حد اکثر 6 مولفه ی همبندی دارد که قطر هر یک از مولفه های همبندی حداکثر 19 است. به علاوه در این پایان نامه دو زیر گراف القایی مهم ?_gz و ?_gf را معرفی می کنیم که مجموعه ی رئوس زیر گراف القایی ?_gz رده های تزویج غیر مرکزی g و مجموعه ی رئوس ?_gf رده های تزویج نامتناهی g می باشد. اگر g گروهی تابدار غیر آبلی باشد به طوری که ?_gz یال نداشته باشد آنگاه g دارای مرتبه ی 6 یا 8 است و اگر g گروهی متناهی غیر آبلی از مرتبه فرد باشد به طوری که ?_gz مثلث نداشته باشد آنگاه g دارای مرتبه ی 21 یا 27 است. در انتها ساختار گروه های تابداری را که زیر گراف القایی ?_gf آنها یال نداشته باشد به طور کامل توصیف می کنیم.

فرض کنیم g یک گروه و (z(g مرکز گروه باشد. دراین صورت گراف جابه جایی وابسته به گروه g که با ?_g نمایش داده می شود بدین صورت تعریف می کنیم که رئوس آن عناصر غیر مرکزی یعنی (g(g می باشند و دو رأس x و y به یکدیگر وصل می باشند هرگاه xy=yx. در این پایان نامه همبندی، قطر، کمر و عدد استقلال گراف جابه جایی هنگامی که مرکز گروه بدیهی باشد، بررسی می شود. در انتها گراف جدید ?^g-غیر جابه جایی را معرفی و سپس به بیان خواص فوق درباره ی این گراف وابسته به گروه های متقارن و متناوب و دووجهی می پردازیم و هم چنین عدد رنگی گراف ?^g-غیر جابه جایی وابسته به گروه دووجهی را به دست می آوریم.

روش های زیادی برای نسبت دادن یک گراف به یک گروه وجود دارد. ما گراف زیر را به گروه g نسبت می دهیم.فرض کنیم ‎g‎ گروهی غیر آبلی و ‎z(g) ‎ مرکز آن باشد. گراف غیر جابه جایی گروه ‎g‎ را با ‎?_g‎ نمایش داده و به صورت زیر تعریف می کنیم: (g(g را مجموعه ی رئوس گراف ‎ ?_g ‎ در نظر می گیریم و دو راس ‎x‎ و ‎ y را زمانی به یکدیگر وصل می کنیم که ‎ xy? yx‎. ما نشان می دهیم اگر ‎ ? _p و ? _h‎ یکریخت باشند، آن گاه ‎ |p|=|h|‎ که در آن p‎ یک ‎p-گروه متناهی و غیر آبلی و ‎h‎ گروهی دلخواه است. برای اثبات این موضوع از خواص p-گروه ها و مفاهیم مقدماتی نظریه اعداد کمک می گیریم. هم چنین گراف g^~ ‎غیر جابه جایی برای گروه ‎g‎ مفهوم جدیدی است که آن را با نماد ?~^g_g نشان داده و به صورت زیر معرفی می کنیم: مجموعه رئوس آن را (g(g در نظر می گیریم و دو راس ‎x‎ و ‎y‎ را به یکدیگر وصل می کنیم هرگاه ‎ [x,y ]? g‎ ‎,g^{-1}.‎ ما در مورد همبندی این گراف بحث می کنیم و در انتها قضیه ی زیر را ثابت می کنیم قضیه. اگر برای گروه متناهی و غیر آبلی ‎g‎ و گروه h گراف های‎‎، ?~^g_g و ?~^h _h با یکدیگر یکریخت باشندآن گاه ‎|g|=|h|‎.هم چنین نشان می دهیم طی یکریختی این دو گراف بعضی خواص جبری g به h منتقل می شود.

برای نیم گروه s گراف توان به صورت زیر تعریف می شود: رأس های گراف همان اعضای s هستند و دو رأس متمایز مجاورند اگر و فقط اگر یکی توانی از دیگری باشد .به طور مشابه می توان برای یک گروه نیز گراف توان را تعریف نمود. در این طرح شرط معادل برای این که گراف توان یک گروه کامل باشد بیان شده است همچنین در مورد همبندی گراف نیز شرایط معادلی مطرح و اثبات شده است. تمرکز بیشتر این طرح بر روی نیم گروه zn و گروه un می باشد. بسیاری از خواص گراف توان zn و در این طرحَ un بیان شده است از جمله این که گراف توان un مسطح است اگر و فقط اگر n عدد 240 را عاد کند همچنین گراف توان zn اویلری است اگر و فقط اگر n=2 . در این پایان نامه در مورد همیلتونی بودن گراف توان نیز صحبت شده است و مقادیری از n که به ازای آنها گراف توان un همیلتونی باشد یا نباشد مشخص شده است.در پایان در مورد گراف توان تعمیم یافته صحبت شده است که از نظر تعریف تقریبا مشابه گراف توانی است اما از نظر خواص و ویژگی ها متفاوت تر عمل می کند.

در این پایان نامه علاوه بر این که مفاهیم احتمالی تازه ای را معرفی می کنیم ، نظریه ی احتمالی گروه ها را به نظریه ی گراف ها پیوند می دهیم. گرافی را به گروهی نسبت داده و اطلاعات عمومی این گراف را بررسی می کنیم. گاهی اوقات ایده ی مربوط کردن گرافی خاص به گروهی معین از احتمالاتی که قبلاً معرفی شده ، ناشی شده است. در برخی موارد ساختن یک گراف کلیدی برای تعریف مفهومی احتمالی بوده است. از اهداف این رساله بررسی احتمال این است که n- تایی از عناصر گروه توسط خود ریختی داخلی از گروه ثابت بماند. علاوه براین که اثبات می کنیم که مقدار احتمال برای گروه های آیزوکلینیک برابر است مقدار احتمال را برای رده هایی از گروه ها محاسبه می کنیم. از مفاهیم دیگری که در این پژوهش به آن پرداخته ایم، n - امین درجه ی پوچ توانی نسبی دو زیرگروه از گروه،است. در واقع احتمال این است که جابه جاگری از وزن n+1 از عناصر برابر یک شود به طوری که مولفه ی اول آن از یک زیرگروه و مولفه ی آخر آن از زیرگروه دیگرانتخاب شود. n– امین درجه ی جابه جایی نسبی گروه نسبت به زیرگروه دلخواه آن عبارت است از احتمال این که توان n – ام عنصری تصادفی از زیرگروه با عضوی از گروه جا به جا شود. بدنه ی اصلی این احتمال بر مبنای درجه ی جابه جایی و n- امین درجه ی جابه جایی است. علاوه براین تاثیر تغییر ساختار گروه را روی مقدار احتمال بررسی خواهیم کرد این احتمال را برای گروهی فشرده تعریف خواهیم کرد. این احتمال کلیدی برای تعریف n – امین گراف ناجابه جایی نسبی است. به گروهی متناهی که پوچ توان از رده ی حداکثر n نیست و زیر گروه از آن گراف نا پوچ توان نسبی از رده ی حداکثر n،را نسبت می دهیم. در نهایت احتمال مزدوج بودن دو عنصر که اخیرا معرفی شده است ایده ی ساختن گراف مزدوج را در ذهن ماالقا می کند.

در این پایان نامه ویژگی هایی از گراف کیلی یکانی از جمله عدد خوشه ای، عدد رنگی، همبندی یالی و راسی، قطر این گراف ، شرایط تام بودن و تعداد درخت های فراگیر آن بررسی می گردد. همچنین انرژی این گراف و شرایط ابر انرژیک بودن آن محاسبه می شود. در انتها مقادیری را که انرزی یک گراف دلخواه می تواند اختیار کند را مشخص می کنیم.

در این رساله ضمن تعریف درجه جابجایی یک گروه متناهی ، ارتباط آن را با مفاهیمی چون پوچتوانی ، حلپذیری و ابرحلپذیری بیان می کنیم سپس گروههای متناهی با حداکثر سه درجه جابجایی نسبی را مورد بررسی قرار داده و گروههای با چنین ویژگی را رده بندی می کنیم . در ادامه به معرفی دو تعمیم متفاوت از درجه جابجایی یک گروه می پردازیم . ابتدا احتمال جابجایی متقابل دو زیر مجموعه از گروه و سپس احتمال ثابت نگه داشتن یک عنصر توسط یک خودریختی به پیمانه یک زیرگروه مشخصه را بیان می نماییم. در پایان مفهوم جدید پوچتوانی و حلپذیری نسبت به یک خودریختی در گروههارا معرفی و برخی تعاریف جدید مانند جابجاگر و سری مرکزی بالایی و پایینی نسبت به یک خودریختی را بیان و نتایج و قضایایی را با این مفاهیم جدید ارایه می دهیم .

مسئله درخت استاینر دارای پیش زمینه ی کاربردی وسیعی می باشد، مانند سیستم حمل و نقل، شبکه ارتباطی، طراحی خطوط لوله و... . در این رساله مسئله درخت استاینر را تعریف کرده وسپس حالات خاص مسئله و ساده سازی هایی برای کوچکتر کردن ابعاد مسئله بیان می کنیم. در ادامه یک نمونه از کاربردهای مسئله را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس روش های حل دقیق و حل تقریبی مسئله را بیان کرده ایم. یکی از روش های دقیق ذکر شده روش فاکتورگیری می باشد که دارای پیچیدگی زمانی o(|e|.22c) می باشد که c تعداد روش فاکتورگیری اعمال شده روی گراف و |e| تعداد یال های گراف است. از روش های تقریبی ارائه شده در این رساله می توان به روش فرا ابتکاری کلونی مورچگان و رویه ی جستجوی انطباقی تصادفی حریصانه اشاره کرد. در ادامه یک روش ترکیبی برای حل مسئله در ابعاد بزرگ معرفی کرده ایم. در انتها دوباره بهینه سازی مسئله را مورد بررسی قرار داده ایم و دو روش برای دوباره بهینه سازی مسئله معرفی کرده وبکار برده ایم.

زیرگروه خودجابجاگر یک گروه ریشه در نظریه گروههای متناهی دارد و حالت خاص آن زیرگروه مشتق است. مفهوم زیرگروه خودجابجاگر به صورت اساسی برای اولین بار در مقاله ای به وسیله پیتر هگارتی در سال ???? معرفی و مورد بررسی قرار گرفت. بعلاوه، هگارتی با معرفی زیرگروهی مشخصه از یک گروه، به نام مرکز مطلق گروه، یکی از نتایج معروف شور در سال ???? را تعمیم داد. تا کنون پژوهشهای متعددی در این زمینه انجام گرفته است. دکتر رجب زاده مقدم در سال ??10 با تعمیم خودجابجاگرها به وزن های بالاتر به معرفی و بررسی ساختار سری های خودمرکزی بالایی و پایینی پرداختند. در این رساله ضمن بررسی مجدد خواص گروههای انگل و بل با استفاده از زیرگروه خودجابجاگر مفهوم گروههای خود انگل و خود بل را معرفی و خواص ویژه گروههای ?-خودانگل و خود بل را تشریح میکنیم. همچنین ?-گروههای ?-خود انگل را به طور کامل طبقه بندی میکنیم. چگونگی ارتباط ساختار یک گروه و گروه خودریختی هایش همواره مورد علاقه جبردانان بوده است. ما در این رساله نشان می دهیم که خاصیت خود انگل بودن یک گروه اطلاعات مفیدی از ساختار گروه خودریختی ها بدست می دهد.

در این رساله، درجه جابجایی نسبی و درجه نرمال بودن زیرگروه های یک گروه متناهی را مورد بررسی قرار داده و طبقه بندی کاملی از همه گروه های متناهی با تعداد درجه جابجایی نسبی یا درجه نرمال بودن کم را ارئه می دهیم. همچنین گراف ها نانرمال یک گروه متناهی را نسبت به زیرگروه هایش تعریف کرده و ویژگی های گرافی آن را مطالعه می کنیم.

یک تعمیم از گراف غیرجابه جایی گروها وتشخیص پذیری گروه متناوب an به وسیله گراف غیر جابه جایی

فرض کنید n و k دو عدد صحیح باشند به طوری که n>k>0. در این پایان نامه به معرفی یک رده جدید از گراف ها، با عنوان h(n,k) که شامل ابرمکعب ها و برخی از گراف های معروف است، می پردازیم. برای نمونه گراف های جانسون، گراف های نسر و گراف های پترسن، زیرگراف های h(n,k) هستند. برخی خواص جبری و توپولوژیکی گراف های h(n,k) را ارائه می کنیم. برای مثال، h(n,k) یک گراف کیلی است، خودریختی گروهی h(n,k)شامل یک زیرگروه از مرتبه n!2^n است، عدد همیندی h(n,k، انتخاب k از n می باشد. اگر k فرد باشد، h(n,k) همیلتونی است و اگر زوج باشد، h(n,k) شامل دو مولفه همبند یکریخت است. به علاوه، قطر h(n,k) را در حالتی که k یک عدد فرد است محاسبه می کنیم. در انتها برای برخی مقادیر کوچک n و k، خواص گراف h(n,k) را بیان کرده و چند حدس پیرامون عدد استقلال و عدد خوشه ای گراف h(n,k) را بررسی خواهیم نمود.

فرض کنید ‎g گروهی متناهی باشد. در این پایان نامه دو نوع گراف اشتراکی وابسته به گروه ‎g را مورد مطالعه قرار داده ایم. اولین گراف، گراف اشتراکی زیرگروه های ‎g است که در آن راس ها عناصر غیرهمانی ‎g و دو راس ‎x و ‎y با یکدیگر مجاورند هرگاه زیرگروه های دوری ‎<x> و ‎<y>‎ اشتراک غیربدیهی داشته باشند. خواص اساسی این گراف از جمله همبندی، عدد استقلال، مسطح بودن و غیره را بررسی می کنیم. دومین گراف، گراف اشتراکی زیرگروه های نرمال ‎g است که در آن راس ها زیرگروه های نرمال ‎g و دو زیرگروه نرمال ‎g با یکدیگر مجاور هستند هرگاه دارای اشتراک غیربدیهی باشند. خاصیت های همبندی، کامل بودن و اینکه تحت چه شرایطی دوبخشی و یا جنگل باشند را مورد مطالعه قرار داده ایم.

گراف ناجابه جایی گروهها و گراف کیلی از معروفترین گرافهای منسوب به یک گروه هستند. در سال 1975 اردوش برای گروه دلخواه g گرافی موسوم به گراف ناجابه جایی تعریف کرد که رئوس آن عناصر غیر مرکزی gبوده و دوراس متمایز xوy مجاورند هرگاه با یکدیگر جابه جا نشوند. گراف کیلی نیز همانطور که از نامش پیداست منسوب به کیلی بوده و برای گروه دلخواه gو زیر مجموعه sاز آن که نسبت به معکوس بسته بوده و فاقد عنصر همانی است گرافی است که رئوس آن عناصرg بوده و دوراس متمایزxوy مجاورند هرگاه y=sx که در آن s عنصری از s است. در این طرح با الهام گرفتن از گراف ناجابه جایی و کیلی گراف به معرفی و بررسی خواص گرافهای زیر می پردازیم. تعمیم گراف ناجابه جایی: دو راس متمایز xو yمجاورند هرگاه خودریختی موجود باشد که فقط یکی از آنهارا ثابت نگه دارد . در این تعریف یک عنصر ازg راس است اگر تنها نباشد. تعمیمی دیگراز گراف ناجابجایی: رئوس این گراف زیرمجموعه هایی از گروه gهستند که زیر مجوعه مرکز گروه نیستند و دو راس متمایز مجاورند هرگاه جابجاگرشان همانی نباشد. گراف ناجابجایی حلقه ها: برای حلقه دلخواه rرئوس این گراف عناصر غیر مرکزی r بوده و دو راس متمایز، مجاورند چنانچه (با عمل ضرب) با بکدیگر جابه جا نشوند. در آخر برای حلقه جابه جایی و یکدار r و عدد طبیعی n گرافی را منسوب می کنیم که در تعریف شباهتی گراف کیلی دارد. رئوس این گراف عناصر ناصفر حاصلضرب دکارتی r برای n بار بوده و دو راس مجاورند هرگاه ماتریس پایین مثلثی n درn همچون a با درایه های روی قطر اصلی ناصفر متعلق به r موجود باشد به قسمی که ax=y یاay=x .

فرض کنید g یک گروه باشد. در این گراف توانی وابسته به گروه g که بال نماد g نشان داده می شود، گرافی است که رأس های آن عناصر گروه p(g) مجاورند هرگاه یکی از آن ها توانی از دیگری باشد. در این رساله گراف های توانی مسطح و کامل گروه ها را طبقه بندی کرده و عدد خوشه ای و رنگی آن ها را محاسبه می کنیم. هم چنین، کران های بالا و پایینی برای عدد استقلالی این گراف ها ارائه خواهیم کرد و نشان خواهیم داد که گراف توانی تام است. علاوه براین و دور به طول ? از گراف توانی، گروه k?;?;k?; با حذف بعضی از زیرگراف های القایی خاص همانند ?های متناظر با این گراف ها را طبقه بندی خواهیم کرد. با توجه به این که گراف توانی گروه های متناهی تعریف p(g) را با حذف عنصر همانی از مجموعه رئوس (g) همواره همبند است، گراف سره توانی،می کنیم که لزوماً همبند نیست. نهایتاً، همبندی گراف سره توانی گروه های پوچتوان، گروه های با افراز غیر بدیهی، گروه های متقارن و متناوب را مورد بررسی قرار می دهیم.

فرض کنید ‎r‎ یک حلقه جابه جایی و یکدار باشد و ‎j(r)‎ ایده آل جیکوبسن ‎r‎ باشد. گراف جیکوبسن حلقه ‎r‎ که با ‎$mathfrack{j_r}$‎ نشان داده می شود، گرافی است با مجموعه رئوس ‎r j(r)‎ به طوری که دو رأس متمایز ‎x و ‎y‎ به یکدیگر متصلند اگر 1-xy‎ عنصری غیر یکه از ‎r‎ باشد. در این رساله به بررسی برخی ویژگی های گراف جیکوبسن از قبیل همبندی، مسطحی و تام بودن می پردازیم. همچنین پایاهای عددی از قبیل قطر، کمر، عدد غالب، عدد استقلال و عدد رنگی گراف جیکوبسن را بدست آورده و نیز تخمینی مناسب برای عدد رنگی یالی آن ارائه می کنیم. علاوه بر این شرایطی را بررسی می کنیم که تحت آن دو حلقه متناهی ‎r‎ و ‎s‎ دارای گراف های جیکوبسن یکریخت باشند. در نهایت به بررسی دورها و مسیرها در گراف جیکوبسن می پردازیم.

بررسی ارتباط بین گراف ها‎ با شاخه های دیگر علوم خصوصا شاخه های مختلف ریاضی‏، بدون شک پنجره ای بی بدیل برای جویندگان روش های نوین و متنوع باز کرده است. این ‏موضوع باعث پیدایش دید های بسیار متنوعی به مسایل و قضایای مختلف شده است. ارتباط بین گراف ها و جبر نیز باعث ایجاد ابزار جدید در هر دو حوزه علم ریاضی شده است. در مقاله های مورد مطالعه در این پایان نامه نیز به وضوح این موضوع مشهود است. در ابتدا در سال 1990 آقایان برتمن و هرزوگ مطالب مفیدی در مورد ارتباط بین اندازه رده های تزویج یک گروه و گراف مقسوم علیه مربوط به آن ها پرداختند. در سال 2012 تیم آقایان بیناچی و هرزوگ ارتباط بین گروه های متناهی و ‎گراف‎ مقسوم علیه های مشترک را در حالت متناهی و همین تیم با کمی جابجایی در اعضا‏، در سال 2013 این ارتباط را در حالت کلی اثبات نمودند.‎ ‎‎‎در فصل ‎‏اول‎ این پایان نامه تعریف ها و قضیه هایی که در فصل های بعد مورد استفاده قرار گرفته شده اند, آورده شده است‎.‎ ‎این مطالب در مورد گراف ها و گروه ها است و نظر به حجم زیاد مطالب‏، فقط مطالب مقدماتی و مورد نیاز در این فصل گنجانده شده است. در‎ فصل دوم به بیان تعریف ابتدایی از گراف مقسوم علیه مشترک یک در گروه های متناهی پرداخته ایم. تعاریف و قضایای این فصل مورد استفاده در فصل های بعد است.‎ ‎در فصل‎ سوم‎‎‎‎‎ به بررسی ارتباط بین منظم بودن گراف مقسوم علیه مشترک و مقسوم علیه اول گروه های متناهی و کامل بودن این گراف برای گراف های 2-منظم و 3-منظم می پردازیم. شیوه اثبات قضایا در این فصل بر مبنای گراف می باشد.‎ ‎در فصل چهارم کامل بودن گراف مقسوم علیه مشترک و گراف اول مربوط به گروه های متناهی را در حالت کلی اثبات می کنیم. شیوه اثبات در این فصل بیشتر با استفاده از اصول جبر می باشد‎. در پایان نیز به بیان مراجع مورد استفاده در پایان نامه و همچنین واژه نامه فارسی به انگلیسی برای لغات بکار رفته در مطالب پرداخته ایم.

گراف های کیلی نوعی از گراف های وابسته به یک گروه هستند. اگر این گروه را به بعضی از توابع حسابی مرتبط سازیم گراف کیلی رفتاری همانند یک گراف حسابی خواهد داشت. در این پایان نامه گراف کیلی روی گروه دوری ‎ zn‎ ، از جمله گراف کیلی بخشی و گراف کیلی اویلر و رده دیگری از گراف های حسابی به نام گراف حسابی ‎vn مورد بررسی قرار می گیرند. همچنین نشان می دهیم گراف کیلی بخشی، منتظم، همیلتونی و همبند است. این گراف دوبخشی نیست و هنگامی که ‎n‎ فرد باشد اویلری است. فرمولی برای محاسبه تعداد مثلث ها در این گراف نیز ارائه شده است. مقدار عدد غلبه ای برای گراف cay(zn ,a) ‎ که ‎a‎ مجموعه مولد گروه zn‎ باشد را می یابیم. همچنین، پارامترهای غالب جورسازی روی گراف کیلی اویلر بررسی می شوند و بعضی از نتایج مرتبط با خواص اساسی ضرب مستقیم گراف کیلی اویلر در گراف حسابی vn ‎ بیان می شوند.

بازی رنگی گراف ها، اولین بار حدود سال ‎????‎ توسط بادلندر مطرح شد. فرض کنید یک گراف متناهی ‎g‎ و مجموعه ‎x‎ با ‎k‎ رنگ موجود باشد و دو بازیکن آلیس و باب این بازی را روی رأس های گراف انجام دهند. بازی با حرکت آلیس شروع می شود و هر کدام از بازیکن ها پشت سر هم یک رأس از گراف ‎$g$‎ را با یک رنگ از مجموعه ‎x‎ رنگ می کنند، که رئوس مجاور همرنگ نباشند. بازی هنگامی پایان می پذیرد که هیچ حرکت بیشتری نتوان انجام داد. آلیس برنده است، اگر همه رأس های گراف رنگ آمیزی شده باشد و باب هنگامی برنده می شود که رأسی رنگ نشده در گراف وجود داشته باشد که آلیس نتواند با رنگ های موجود آن را طوری رنگ کند، که با مجاورهایش همرنگ نباشد‎.‎ عدد رنگ پذیری بازی‎ گراف ‎g‎ کمترین تعداد رنگی است که در بازی رنگی بر روی گراف ‎g‎ آلیس استراتژی برد دارد‎.‎ بازی رنگی یالی گراف ها مشابه بازی فوق تعریف می شود، با این تفاوت که بازیکنان به جای رنگ آمیزی رئوس، یال ها را رنگ می کنند. شاخص رنگ پذیری بازی ‎کوچکترین عدد صحیح ‎k‎ است که آلیس در یک بازی رنگی یالی با ‎k رنگ بر روی گراف gاستراتژی برد دارد.

هدف از این پایان نامه معرفی دو گراف وابسته به یک زیرگروه از یک گروه می باشد. در این راستا ابتدا گراف کیلی گروه ‎g‎ وابسته به زیرگروه h‎ را که بنام گراف همرده کیلی معروف است را مورد مطالعه قرار می دهیم که در آن رئوس گراف عبارتند از مجموعه ی تمام همرده های متمایز راست ‎ h ‎ در ‎ g ‎ است و رأس ‎ hx ‎ به رأس ‎ hy ‎ متصل است, اگر ‎ yx^{-1} in hsh ‎ که در آن ‎ s ‎ یک زیرمجموعه از ‎ g ‎ است. گراف دیگر وابسته به یک زیرگروه ‎ h ‎از ‎ g ‎ گرافی است که مجموعه رئوس آن عناصر گروه ‎ g ‎ و رأس ‎ x ‎ به رأس ‎ y ‎ متصل است, هرگاهxy in h ‎ در این پایان نامه خواص اساسی این دو گراف مورد بررسی قرار می گیرند‎.‎

هدف از این رساله معرفی سه گراف و بررسی خواص اساسی و مهم این گراف ها از جمله هم بندی، کامل بودن، مسطح،1-مسطح،همیلتونی و محاسبه پایاهای عددی از قبیل کمر،قطر،عدد غالب و عدد رنگی به صورت زیر می باشد

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

فرض کنید f یک تابعگون باشد که به هر گروه g خانواده ای از زیرگروه هایش را نسبت دهد به طوری که به ازای هر همریختی a ازg داشته باشیم ((f(a(g))=a(f(g . تعریف می کنیم دو زیرگروه h و k از گروه g جابه جایی شونده هستند اگر hk=kh .علاوه بر این زیرگروه h جابه جاپذیر یا شبه نرمال است اگر با هر زیرگروه g جابه جایی شونده باشد .همچنین زیرگروه های hو k در یک گروه g دوبه دو f- جابه جاپذیر هستند اگرh با هر عضو {f(k)u {k وk با هر عضو {f(h)u {h جابه جا شوند . زیرگروه های h و k را تماماً f - جابه جاپذیر گوئیم اگر هر عضو {f(k)u {k با هر عضو {f(h)u {h جابه جا شوند . در این رساله ثابت می کنیم که اگر g=hk حاصل ضربی از دو زیرگروهh و k باشد و h و k تماماً s- جابه جا پذیر وابرحل پذیر باشندآن گاه g نیز ابرحل پذیر است . علاوه بر این نشان می دهیم g=hk ابرحل پذیر است هر گاه h و k تماماً sn- جابه جاپذیر ; kابرحل پذیر وh متناهیا تولید شده و پوچ توان باشد .

در این پایان نامه ، زیرگروه خودجابجاگر و مرکز مطلق یک گروه معرفی می شوند. می توان مشتق و مرکز یک گروه را برحسب خود ریختیهای داخلی آن گروه تعریف کرد.حال اگر به جای خود ریختیهای داخلی گروه خودریختیهای گروه را در نظر بگیریم به ترتیب زیرگروه خودجابجاگر و مرکز مطلق گروه بدست می آیدوبه وسیله آنها یکی از نتایج معروف شور را تعمیم می دهیم.همچنین کران هایی برای آنها ارائه می دهیم در ادامه گروه های دوری را به عنوان زیرگروه های خودجابجاگر درنظر می گیریم.همچنین نشان می دهیم هر گروه آبلی متناهی، زیرگروه خودجابجاگر گروهی آبلی و متناهی است.