هدف دیگر وجود یک طوقه اریب هموار با انحنای غیر صفر است که از سطوح لوله ای شکل به دست می آید. به همین منظور سطوح لوله ای مرتبط به تعداد کافی دارای زوج های نقطه ای هستند که مقابل هم قرار دارند

چکیده ندارد.

تاریخچه نظریه نرمال فرم بیش از100سال است. فرم نرمال کلاسیک لزوما ساده ترین فرم نیست. یوشیکی با استفاده از عملگربراکت لی و با استفاده از تبدیلات غیر خطی توانست فرم نرمال ساده تری به دست آورد. همچنین او توانست برای چند میدان برداری خاص ساده ترین فرم نرمال را بدست آورد .بیدر وسندرز ساده ترین فرم نرمال را برای سیستم های همیلتونی و پوچ توان مطالعه کردند.آنها ساده ترین فرم نرمال رابوسیله مفهوم مدرج بدست آوردند. ونگ روشی دیگر ازطریق مفهوم مدرج ابداع کردندکه در آن فرم نرمال از مرتبه با لی براکت شده است آنها ثابت کردند کهساده ترین فرم نرمال فرمنرمال از مرتبه نامتناهی است . لذا شرایطی لازم که تحت آنها فرمهای نرمال مرتبهمتناهی ساده ترین فرم نرمال باشند را بدست آوردند. شکافت مجانبی یک سیستم دینامیکی نزدیک به نقطه تعادل سیستمی است با پارامترهای اضافه شده به طوری که هر تغییر در یک پارامتر همه خواص سیستم اولیه حفظ شود. شکافت مجانبی مرتبه متناهی یکی از بهترین راهها برای تحلیل سیستم می باشد که همراه با فرم نرمال می توان آنرا بدست آورد. ایده اصلی نظریه فرم نرمال ساده کردن تابع لجستیک با تغییرمتغییرهای نزدیک به همانی است. این به این دلیل است که تبدیل های نزدیک به همانی توپولوژی جوابهای معادله را تغییر نمی دهند و شار سیستم با شار سیستم فرم نرمال همانریخت توپولوژیک خواهد بود. در فصل اول : در ابتدا مفاهیم مقدماتی دستگاههای خطی وچگونگی بدست آوردن جواب برای سیستم های خطی وسپس سپس شرایط برای وجود دینامیکی را بیان می کنیم. در ادامه قضیه هارتمن گروبمن و مفاهیمی در رابطه با خواص سیستمهای خودگردان نقاط عادی منظم تکیین وبحرانی رابیان می کنیم. در پایان مفاهیمی از جبر لی و مثال هایی مهم از جبر های لی مانند که پایه واساس کارهای تحقیقاتی ما که در فصل 6ارائه می کنیم. در فصل دوم : روش براکت لی چندتایی و فرم بوگدانوف تا کنز را بیان می کنیم. سپس ساختار مدرج و امین سطح فرم نرمال و فرم های نرمال یکتا را بیان می کنیم ودر پایان مثالهایی از حالات خاص از بوگدانوف تاکنز بیان می کنیم. در فصل سوم : در ابتدا تعریف شکافت مجانبی را تعریف می کنیم سپس نرمال فرم های اولین سطح از سیستم های دو درجه ای را محاسبه می کنیم ودر ادامه اولین سطح شکافت سیستم دینامیکی نزدیک به نقطه تعادل را داریم ودر پایان مر حله ی ابر نرمال سازی را داریم. در فصل چهارم: ساده ترین فرم نرمال با استفاده از متغییر زمان محاسبه می کنیم ولی به خاطر مشکل بودن اثبات آنها روشی دیگر را در فصل 5 معرفی می کنیم در فصل پنجم : با روش ساده ترین فرم نرمال با استفاده از متغییر زمان محاسبه می کنیم. این روش مزیت های زیادی نسبت به روش قبلی دارد که مهمترین برتری داشتن ابزار مناسب برای اثبات قضایامی باشد که روش قبلی این امکان را نداشت. در پیوست نیز برنامه های کامپیوتری مربوط به روش اول آورده شده است که در آنجا ابتدا ساختارجبر لی رامحاسبه مکنیم بعد از آن ساختار مدرج و کوتاه سازی فرم نرمال را بدست می آوریم در ادامه اعمال تغییرات ودر نهایت فرم نرمال کلاسیک ساده ترین فرم نرمال را محاسبه می کنیم.

در این پایان نامه به معرفی فضاهای نرمدار احتمالی پرداخته ایم سپس قضیه ی مازور-اولام را که قبلا در فضاهای نرمدار ثابت شده بود، ثابت کنیم. بحث فضاهای نرمدار احتمالی ابتدا با ایده ی تعریف فضای متریک احتمالی ارایه شده توسط منجر آغاز شد. به این ترتیب که ابتدا صورت کلاسیک قضیه ی مازور یولام بیان میکند که هر نگاشت طولپا بین در فضای نرمدار یک نگاشت آفین است. ، به این ترتیب که ابتدا در سال 1962 شرسنف فضاهای نرمدار احتمالی را تعریف کرد اما از آنجا که این تعریف شرایط بسیار قوی ای داشت و میتوانست شرایط ضعیفتری نیز برقرار باشد و البته وجود سوالاتی که در دراز مدت نیز ریاضیدانان نتوانستند بدان پاسخ دهند، لذا در سال 1993 تعریف جدید توسط السینا، شوایزر و اسکلار ارایه شد که نه تنها به سوالات موجود پاسخ داد، بلکه قابلیت گسترش فراوانی هم داشت.صورت کلاسیک قضیه ی مازور اولام بیان میکند که هر نگاشت طولپا بین در فضای نرمدار یک نگاشت آفین است.

در این پایان نامه به مطالعه فضاهای حاصل ضرب،فضاهای خارج قسمت و زیر فضاهای یک فضای نرم دار احتمالی خواهیم پرداخت.سپسبه مطالعه خواصی از یک فضای نرم دار احتمالی خواهیم پرداخت،که تحت اعمال حاصل ضرب،خارج قسمت وزیر فضا پایا می ماند.حالت های خاص مهم مانند فضاهای نرم دار احتمالی منجر وفضاهای نرم دار احتمالی سرسنف به طور جداگانه برسی خواهند شد.به ویژه شرایطی را برسی خواهیم کرد که تحت آن شرایط کامل بودن از یک فضای نرم دار احتمالی به فضای حاصل ضرب ،زیر فضای آن و فضای خارج قسمتی آن انتقال یابد. در ادامه نشان خواهیم داد که هر فضای نرم دار احتمالی یک گروه توپولوژیک است و همچنین تحت شرایط خاصی این فضاها به فضاهای برداری توپولوژیک تبدیل خواهند شد.

در این پایان نامه، پس از تعمیم مفهوم احاطه سازی روی دسته ای از دنباله های همگرا به صفر، شرایطی بر روی ماتریس بی نهایت بعدی p را بررسی می کنیم به گونه ای که برای هر c_0^? ? ? و ?، ? p توسط ? به طور قوی احاطه شود. مشاهده می کنیم که برخلاف حالت متناهی که برای هر ماتریس تصادفی دوگانه و هر x?r^n، x p توسط x احاطه می شود، در حالت نامتناهی چنین اتفاقی نمی افتد. حتی با بیان مثالی مشاهده می کنیم که برای ماتریس های تصادفی متعامد نیز این خاصیت لزوماٌ برقرار نمی باشد. اما قضیه ی زیر را که به قضیه ی هورن معروف است ثابت می کنیم. ماتریس تصادفی متعامد q موجود است به گونه ای که ?q= ? اگر و تنها اگر: در حالتی که ، . در حالتی که ، . همچنین قضیه ی زیر را که به قضیه ی شور- هورن معروف است به عنوان کاربردی از قضیه ی هورن برای عملگرهای فشرده و مثبت ارائه خواهیم کرد. عملگر مثبت و فشرده ی a با لیست مقادیر ویژه ی ? و عناصر قطری ? موجود است اگر و تنها اگر: در حالتی که ، . در حالتی که ، .

در این پایان نامه ابتدا نشان می دهیم که ماتریس های لوئنر متناظر با تابع عملگری محدب روی (1,1-) لزومی ندارد که به طور مشروط معین منفی باشند. سپس نشان می دهیم که ماتریس های لوئنر متناظر با تابع f(t) = t^r به ترتیب برای r در فواصل [0,1]، [1,2] و [2,3] نیمه معین مثبت، به طور مشروط معین منفی و به طور مشروط معین مثبت هستند. علاوه بر ماتریس های لوئنر ماتریس های کونگ نیز بسیار مورد توجه قرار گرفته اند. نشان می دهیم که این ماتریس ها به ترتیب در فواصل [0,1] و [1,3] نیمه معین مثبت و به طور مشروط معین منفی هستند. بنابراین نتیجه می گیریم که رفتار ماتریس های لوئنر وکونگ در فاصله [1,3] متفاوت است.

در این پایان نامه به بررسی فضاهای خارج قسمتی و حاصل ضربی فضاهای نرمدار احتمالی میپردازیم و همینطور به بررسی اینکه هر فضای نرمدار احتمالی یک گروه توپولوژیک است و تحت شرایط خاصی این فضاها فضاهای برداری توپولوژیک نیز میباشند، میپردازیم.

صورت کلاسیک قضیه ی مازور-اولام بیان میکند که هر نگاشت طولپای پوشا بین دو فضای نرم دار یک نگاشت آفین است. این قضیه در سال 1932 توسط مازور و اولام به اثبات رسید. حال هدف از این پایان نامه اثبات قضیه ی مازور-اولام برای فضاهای نرم دار احتمالی تعریف شده توسط السینا، شوایزر و اسکلار است.