این رساله تحلیلی از روش پرونا-ملک و چگونگی متحول شدن داده های اولیه هموار در حالت یک بعدی با مقیاس یک پرامتر طبیعی موجود در طرح است، که شامل حل یک دستگاه معادلات حرارت جفت شده به یکدیگر،در امتداد شرایط مرزی غیر خطی است که برگرفته از مقاله زیر است : s.selim esedoglu."an analysis of the perona-malik schem" university of minnesots.2001. با روشی مناسب با توجه به اندازه شبکه یک حد زنجیره ای معنی دار بدست می آوریم. نتیجه این تحلیل و بررسی در جریان گرادیان برای یک انرژی دیده می شود. درست همانطور که تکامل گسسته جریان های گرادیان برای انرژی گسسته هستند که آن به جز زمان های منفرد خاصی،شامل حل یک دستگاه معادلات به هم جفت شده با شرایط مرزی غیر خطی می باشد.در زمان های خاص جواب های تجربی گرادیان ناپدید می شود بااین وجود یک توسیع طبیعی برای جواب هایی که بعد ازاین زمان های منفرد هستند،وجود دارد.

در این پایان نامه ابتدا با مفاهیم تابع لیاپانوف،پایداری و پایداری مجانبی سرتاسری آشنا می شویم. روش مستقیم(روش اول) وروش غیر مستقیم(روش دوم) لیاپانوف برای ارزیابی نقاط پایدار و پایدار مجانبی دستگاه را مطرح می کنیم. هم چنین روش لیاپانوف برای کرانداری جواب های معادلات دیفرانسیل را عنوان می کنیم. سپس به بررسی پایداری و کرانداری جواب های انواع مختلفی از معادلات دیفرانسیل مرتبه سوم غیر خطی با استفاده از روش مستقیم لیاپانوف می پردازیم. مزیت روش مستقیم لیاپانوف ارزیابی کرانداری و پایداری نقاط تعادل دستگاه بدون حل معادله دیفرانسیل برای توصیف دستگاه می باشد.

بسیاری از مسایل بهینه سازی قابل تبدیل به مسأله ی برنامه ریزی نیمه معین هستند که می توان آنها را با روشهای نقطه درونی حل کرد.روشهای نقطه درونی برای برنامه ریزی نیمه معین با توجه به پیچیدگی های چند جمله ای وکارایی عملی شان همواره مورد توجه بوده است. الگوریتم نقطه درونی نشدنی اولیه-دوگان در حال حاضر بهترین کران تکرار را برای مسایل بهینه سازی خطی دارد که در این پایان نامه آن را برای برنامه ریزی نیمه معین گسترش می دهیم.الگوریتم با تکرارهای شدنی اکید برای مسأله ی آشفته شده اولیه و دوگان آن روی مسیر مرکزی شروع می شود وگامهای شدنی،تکرارهای شدنی اکید را برای مسأله آشفته شده بعدی پیدا می کند. با استفاده از گام مرکزی برای مسأله آشفته شده جدید تکرارهای اکید شدنی که به اندازه کافی نزدیک مسیر مرکزی هستند،بدست می آیند.نقطه شروع به عدد مثبت ?? وابسته است و در نهایت الگوریتم یا یک ?-جواب برای مسأله می یابد و یا تشخیص می دهد که هیچ جواب بهینه ?(x?^* ?,y?^*,s^* ) با فاصله دوگانی صفر وجود ندارد در صورتی که مقادیر ویژه s^* و? x?^* از ? بیشتر نشود. در ادامه کاربردهایی از مسایل برنامه ریزی نیمه معین در علوم مختلف را بررسی می کنیم سپس با استفاده از برنامه ریزی نیمه معین یک راه حل جدید برای حل مسأله پخش بار معرفی می کنیم. لازم به ذکر است که مسأله پخش بار بهین یک مسأله نامحدب است که با تبدیل به مسأله برنامه ریزی نیمه معین به یک مسأله محدب تبدیل می شود

ز نظر و?ژگی? کاربردی، معادله د?فرانس?ل تاخ?ری خنثی به عنوان مدلی برای شبکه الکتریکی? که شامل خطوط انتقال بدون ات?ف است مورد استفاده قرارمی گ?رد. با افزا?ش ا?ن شبکه ها، برای مثال در کامپ?وترهای با سرعت با? که دارای خطوط انتقال بدون ات?ف می باشند برای مرتبط کردن مدارهای جا به جا?? مورد استفاده قرار می? گ?رنددر ا?ن رساله به مطالعه نوسان معاد?ت د?فرانس?ل تاخ?ری خنثی? می? پرداز?م. در فصل اول به ارائه تعار?ف اصلی?می پرداز?م. در فصل دوم نوسان معاد?ت د?فرانس?ل تاخ?ری خنثی? خطی? مرتبه اول با ضرا?ب مثبت ومنفی? به فرم ز?ر را مورد بررسیی قرار می ده?م. ddt[x(t) ? r(t) x(t ? r)] + p(t) x(t ? ? ) ? q(t) x(t ? ?) = 0 با ب?ان لم های اساسی نتا?ج اصلی را ب?ان می? کن?م . در فصل سوم نوسان معاد?ت د?فرانس?ل تاخ?ری خنثی? غ?ر خطی مرتبه اول با ضرا?ب مثبت ومنفی? به فرم ز?ر را مورد بررسی? قرار می ده?م. +?[x(t) ? r(t)f(x(t ? r))] p(t)g(x(t ? ? )) ? q(t)g(x(t ? ?)) = ?, t ? t? مع?ار نوسان را برای معادله فوق ب?ان می? کن?م. در فصل چهارم نوسان معاد?ت د?فرانس?ل تاخ?ری خنثی? خطی? مرتبه دوم با ضرا?ب مثبت ومنفی? به فرم ز?ر را مورد بررسی قرار می ده?م. x(t) + ?l i=? ci(t)x(t ? ?i)] ?? + ?m i=? pi(t)x(t ? ?i) ? ?n i=? qi(t)x(t ? ?i) = ?, t > ?, (1) [x(t) ? ?l i=? ci(t)x(t ? ?i)] ?? + ?m i=? pi(t)x(t ? ?i) ? ?n i=? qi(t)x(t ? ?i) = ?, t > ?, (?) با ارائه قضا?ای اساسی به بررسی رفتار نوسانی جواب های معادله (?) و (?) در حالت همگن می? پرداز?م. هم چن?ن به بررسی? رفتار نوسانی? جواب های معادله (?) و (?) با جم?ت اجباری می پرداز?م. در هر بخش با ارائه مثالها?? اهم?ت نتا?ج به دست آمده را نشان می? ده?م. در فصل پنجم نوسان معاد?ت د?فرانس?ل تاخ?ری خنثی غ?ر خطی? مرتبه دوم با ضرا?ب مثبت ومنفی به فرم ز?ر را مورد بررسی قرار می ده?م. [x(t) + r(t)f(x(t ? ?))] ?? + p(t)g(x(t ? ?)) ? q(t)g(x(t ? ?)) = ?, (?) [x(t) ? r(t)f(x(t ? ?))] ?? + p(t)g(x(t ? ?)) ? q(t)g(x(t ? ?)) = ?, (?) با ارائه قضا?ای اساسی? به بررسی رفتار نوسانی? جواب های معادله (?) و (?) در حالت همگن می? پرداز?م. هم چن?ن به بررسی رفتار نوسانی? جواب های معادله (?) و (?) با جم?ت اجباری می? پرداز?م. در هر بخش با ارائه مثالها?? اهم?ت نتا?ج به دست آمده را نشان می دهیم.