از یک مدول دلخواه یک حلقه ی جابه جایی می سازیم. و به جای بررسی زیرمدول ها ایده ال های این حلقه را بررسی می کنیم. نشان می دهیم خواص مهمی چون حذفی بودن ضربی بودن معکوس پذیری و ...منتقل میشود.

فرض کنید g یک گراف با مجموعه رأس های v(g) و مجموعه یال های e(g) باشد. رأس تمام رأس های واقع درn[v] را احاطه می کند. زیرمجموعه s از رأس های g ، یک مجموعه احاطه کننده برای g نامیده می شود هرگاه هر رأس توسط حداقل یک رأس از s احاطه شده باشد. مینیمم عدد اصلی در بین تمام مجموعه های احاطه کننده را عدد احاطه کننده نامیده و با نشان می دهند. اگر<s> یک گراف بدون رأس منفرد، همبند، یا بدون یال باشد، آن گاه s را به ترتیب مجموعه احاطه کننده کلی، همبند و مستقل می نامند. عدد احاطه کننده کلی، همبند و مستقل گراف g را به ترتیب با ، و نمایش می دهند. در این پایان نامه، که در سه فصل طراحی شده است، چند مفهوم مجموعه ی احاطه کننده معرفی می شوند و مسائلی که در این مورد مطرح شده اند، مورد بررسی قرار می گیرند. در ضمن به برخی کاربردهای این مفاهیم در شبکه های کامپیوتری، شبکه های رادیویی و غیره می پردازیم. در فصل اول به تعاریف و قضایای مقدماتی که در فصول بعدی به آنها احتیاج داریم می پردازیم. فصل دوم شامل شش بخش است. در بخش اول اعمال روی گراف ها، در بخش دوم تا پنجم به ترتیب مجموعه احاطه کننده، مجموعه احاطه کننده مینیمال، مجموعه مستقل و مجموعه احاطه کننده مینیمم را شرح می دهیم. در بخش ششم کران هایی برای عدد احاطه کننده مشخص کرده ایم و سپس عدد احاطه کننده برای چند گراف خاص را بیان نموده ایم. فصل سوم شامل چهار بخش است. در بخش اول چند نوع احاطه کننده را تعریف کرده ایم. در بخش دوم به قضایایی راجع به احاطه کننده کلی پرداخته ایم. در بخش سوم خانواده ، دور و گراف کیلی در را شرح داده ایم و در بخش آخر قضیه اصلی این پایان نامه را آورده و اثبات کرده ایم.

در این پایان نامه پس از بیان چند تعریف و قضیه ی مقدماتی در فصل 1، مفاهیم مدول های (n,d)-انژکتیو و (n,d)-یکدست و (n,d)-حلقه ی (ضعیف) راست را در فصل 2 معرفی کرده و بعضی از خصوصیات (n,d)-حلقه ها را بیان می کنیم. در فصل 3 ابتدا مفهوم حلقه های n-منسجم را براساس مفهوم حلقه های نوتری و حلقه های منسجم تعمیم داده و سپس به برسی خصوصیات این حلقه ها می پردازیم. در فصل 4 با استفاده از مفاهیمی چون پیش پوش (n,d)-یکدست و پیش پوشش (n,d)-انژکتیو به شناسایی حلقه های n-منسجم و (n,d)-حلقه های(ضعیف) راست می پردازیم و در فصل 5، نشان می دهیم که اگر s یک توسیع تقریبا عالی از حلثقه ی r باشد، آنگاه r یک (n,d)-حلقه ی(ضعیف) راست است اگر وتنها اگر s یک(n,d)-حلقه ی(ضعیف) راست باشد.

دراین پایانامه قضیه ای از ((کیست)) را که برای حلقه های جابجایی pp بیان شده است را به حلقه های شبه بئر اصلی توسعه می دهیم، که در آن هر ایده آل اول مینیمال منحصربفرد است. این مطب را بدون استفاده از بحث های توپولوژیکی بیان خواهیم کرد. همچنین تجزیه هایی از حلقه های شبه بئر و شبه بئر اصلی را مورد بررسی قرار می دهیم. بعلاوه ویژگی های هم ارزی از مدول های شبه بئر اصلی را ارائه خواهیم داد.

در دهه اخیر مقالات زیادی به رشته تحریر در آمده که در آنها به یک حلقه متناهی یک گراف ساده وابسته شده است و با تجزیه و تحلیل آن گراف نتایج عمیقی در نظریه حلقه ها حاصل شده است در این پایان نامه ساختار گراف مقسوم علیه صفر تعیین شده توسط کلاسهای هم ارزی مقسوم علیه های صفر حلقه جابجائی، یکدار و نوتری r را بررسی می کنیم و نشان می دهیم که چگونه می توان اطلاعاتی در باره حلقه r را از این ساختار بدست آورد به ویژه ما چگونگی تشخیص اول های وابسته حلقه r از روی این گراف ها را تعیین می کنیم

فرض می کنیم r یک حلقه جابجایی باشد. در اینجا ایده آل های دوجذبی را که تعمیمی از ایده آل های اول هستند معرفی می کنیم و آنها را در دامنه های ارزیاب و پروفر و ددکیند و تقریبا ددکیند بررسی می کنیم.

در این پایان نامه بااستفاره از گراف مقسوم علیه صفر وابسته به ایده آل پوج ساز مدول خصوصیات یک r-مدول روی حلقه منظم فون نویمان و مرتبه آن را مورد مطالعه قرار گرفته است. و نشان می دهیم هر r-مدول ضربی روی حلقه منظم فون نویمان یک مدول منظم فون نویمان است. همچنین رابطه بین قطر گراف و ایده آل های اول می نیمال را بررسی می کنیم. علاوه بر آن نشان می دهیم که این گراف تحت چه شرایطی کامل است. و ارتباط بین گراف گراف مقسوم علیه صفر و گراف مقسوم علیه صفر وابسته به ایده آل i را مورد مطالعه قرار می دهیم.